2025年中考数学热点题型专项训练：解直角三角形的应用（解析版）

专题06解直角三角形的应用

目录

热点题型归纳.........................................................................................1

题型01仰角与俯角问题...............................................................................1

题型02坡度问题.....................................................................................6

题型03方位角问题..................................................................................14

中考练场............................................................................................23

热点题型归纳

题型01仰角与俯角问题

【解题策略】

仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角.

【典例分析】

例.（2023•湖北襄阳•中考真题）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像.某校数学兴趣小组利用热气球开展综

合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度.如图，在点。处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为

32m,从热气球C看铜像顶部A的俯角为45。，看铜像底部8的俯角为63.4。.已知底座8D的高度为41m,求铜像N8的

高度.（结果保留整数.参考数据；sin63.4°*0.89,cos63.4°~0.45,tan63.4°®2.00,07.41）

G

I

【答案】铜像48的高度是14m；

【分析】根据题意可得——=tan63.4。。2.00,从而求出CG=5方=14m,即可求解.

BF

【详解】解：由题意得：CE=32m,EF=BD=4m,:.CF=CE-EF=28m,

四边形BFCG是矩形,：.8G=。尸=14m,

ZACG=45°,NBCG=63.4°,：.ZFBC=ZBCG=63.4°,

CF

—=tan63.4°®2.00,5F=14m,

BF

：.CG=BF^14m,ACG=AG14m,：.AB=BG-AG=14m,二铜像AS的高度是14m；

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，关键是求出CF.

【变式演练】

1.（2024•山西朔州•一模）山西“应县木塔”，又名山西“应县佛宫寺释迦塔”，它是当今世界上的第一奇塔.它不仅是

中国，而且是世界上现存最古老、最高峻的木构建筑物，所以它在世界建筑中占有突出的地位.已知“应县木塔”的高

度为67.3米，塔前“女神雕像”的高度为10.3米，木塔与雕像之间有障碍物，不能直接测量，某测量小组为了测

量“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离，采用了如下测量方案（如图所示）：

①他们在“木塔”和“雕像”之间选择一观景平台£,测得“木塔”顶部A的仰角为30。，测得“雕像”顶部C的仰角为45。；

②测得测角仪的高度EF为1.3米；

③测得点昆尸,。在同一条直线上，AB±BD,EF±BD,CD±BD,垂足分别是优尸,。.

求“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离切□.（结果精确到0.1米，参考数据：石。1.7）

【答案】121.2米

【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定和性质，过点、E作MN〃BD,交N3于"，交CD于

构造矩形MB/芯，NDFE,MBDN,再利用三角函数解RtZ\4WE和Rt^CNE即可.

【详解】解：如图，过点E作〃乂〃交4g于交CD于M,

vAB±BD.EF1BD,CD1BD,MN//BD,：，MN1AB,MNLCD,

二.四边形加班E,NDFE,AffiZW均为矩形，MB=DN=EF=\3,BD=MN,

AM=AB-MB=673-\3=66,CN=C。一。N=10.3—1.3=9.

在Rt//E中，乙3=3。。，♦"二蒜嗒=66x艮112.2

3

CN9

在RtZXCNE中，ZCEN=45°,：.ME=---------=-=9,

tan4501

BD=MN=ME+EN=112.2+9=121.2,

即“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离约为121.2米.

2.（2024•陕西西安•一模）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐

长安城保留至今的重要标志.小港为测量小雁塔的高度、制定了如下测量方案：如图所示，当小港站在点/处仰望塔

顶，测得仰角为30。，再往塔的方向前进50nl至2处，测得仰角为60。、小港的身高忽略不计，请根据题目信息，求出

小雁塔的高度CD.（参考数据：右1aL73,结果精确到0.1m）

【答案】43.4m

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设CD=xm,先解RM/DC得到/C=«xm,再解RM3DC得到

BC=^xm,进而建立方程底—@、=50,解方程即可得到答案.

33

【详解】解：设CD=xm,在RtA/DC中，ZACD=90°,N/=30。，AC=——=---=V3xm,

tanAtan30°

在RABDC中，ZBCD=90。，ZCBD=60°,；.BC=CD=——=—xm，

tanCBDtan6003

A

-：AB=5Qm,AV3x-—x=50,解得xa43.4,：.CD«43.4m,

3

小雁塔的高度CD约为43.4m.

3.（2024•西藏拉萨，一模）如图，学校的教学楼对面是一幢办公楼，教学楼与办公楼的水平距离BC=30m,卓玛在教

学楼顶部4处测得办公楼顶部。处的俯角a=30。，测得办公楼底部C处俯角尸=60。，求办公楼高CD（结果保留根

号）

【答案】办公楼的高3为20Gm.

【分析】此题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），过N作4E，CD交CD的延长线于£,在Rt^AED和RuAEC

中，由三角函数定义求出。E、CE的长，即可解决问题.

【详解】解：

过/作/E_LCD交CD的延长线于E,则

在RM4ED中，,/ZDAE=a=30°,tanZDAE=—=tan30°=—，DE=

AE3

,:NEAC=0=60°,：.tanZEAC=—=tan600=A/3,/.CE=s/3AE=305/3m,

AE

/.CD=C£-OE=306-106=20向m),

答：办公楼的高C。为200m.

4.(2023•海南三亚•二模)某中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河的宽度CD.如图所示，一架水平飞行的无人

机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为c,无人机沿水平线距方向继续飞行60米至B处，测得正前方河流右

岸。处的俯角为30。，线段的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、。在同一条直线上，其中tana=G，

WC=606米.

⑴填空：ZACM=_&,NBDC=_度；

(2)求无人机的飞行高度NM；

(3)求河流的宽度CD.(结果保留根号)

【答案】(1)60,30；(2)无人机的飞行高度为180米；(3)河流的宽度C。为(60+120&)米.

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

(1)根据仰角、俯角的概念、平行线的性质解答；

(2)根据正确的定义计算，得到答案；

(3)过点3作BELMD于点E,根据正切的定义求出。£,进而求出CO.

【详解】(1)解：tana=右，

a=60°,

,/AF//MD,

Z.ACM=a=60°,ZBDC=ZFBD=30°,

故答案为：60,30；

（2）解：在RQ/CMr中，WC=60G米，ZACM=60°,

则血LMCtan44CM=606xg=180（米），

答：无人机的飞行高度为180米；

（3）解：如图，过点8作于点E,

一—r,DE=-------------=—=180/3,

在RtZ^BOE中，NBDE=3Q°,贝UtanZBDE也（米），

T

:.MD=ME+DE=（6Q+180两米，

vMC=60百米，；・C。=-MC=（60+120®）米，

答：河流的宽度。为（60+120百）米.

题型02坡度问题

【解题策略】

展度「一蕨面的铅直高朗而永年责度前耳诃薇坡度7戢普福版蕨口厂「甬李每7蓑莉一

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用a表示，则有i=tana.

【典例分析】

例.（2023•江苏泰州•中考真题）如图，堤坝N8长为10m,坡度z•为1:0.75,底端N在地面上，堤坝与对面的山之间

有一深沟，山顶。处立有高20m的铁塔CQ.小明欲测量山高DE,他在/处看到铁塔顶端C刚好在视线N8上，又在

坝顶8处测得塔底。的仰角7为26°35'.求堤坝高及山高。£.（sin26°35,»0.45,cos26°35,®0.89,tan26°35,»0.50,

小明身高忽略不计，结果精确到1m）

【答案】堤坝高为8米，山高为20米.

【分析】过8作明,"7于"，设8〃=4无，AH=3x,根据勾股定理得至!=+=5x=io,求得

AH=6,BH=8,过8作8尸，CE于尸，则所=8〃=8,BF=EH,设。尸=a,解直角三角形即可得到结论.

【详解】解：过3作皮于X,

:坡度i为1：0.75,BH-4x,AH-3x,AQ=AH2+BH2=5x=10>x=2,AH=6,BH=3,

过2作5F_LCE于尸，则E尸=8”=8,BF=EH,

DF

设。尸=。，Va=26°35,.BF=—=2a,AE=6+2Q,

tan26°35'0.5

•.•坡度，为1:0.75,CEz/E=（20+a+8）:（6+2。）=l：0.75,

：.a=\2,：.DF=12（米）,ADE=DF+EF=12+S=20（米）,

答：堤坝iWi为8米，山局。£为20米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用■俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键.

【变式演练】

1.(2023•安徽•模拟)如图，一栋楼房后有一个小山坡CD,其坡度:3:4.某一时刻太阳光线与水平线的夹角为

40。时，楼房在小山坡。上的影长为25米，测得坡脚C与楼房的水平距离3c=40米，求楼房N8的高度.(结果

精确到1米，参考数据：sin40°~0.64,cos40°«0.77,tan40°~0.84)

【答案】65米

【分析】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形以及矩形的判定及性质，通过作恰当的辅助线，构造直角三角形，

将实际问题转化成解直角三角形求解是解题的关键.

过点。分别作DEL3C,交5c的延长线于点E,于点尸，则四边形8阳E是矩形，DF=BE,DE=BF.设

DE=3x,可得C£=4x,由勾股定理得(3x)2+(4x)2=25?,解得^=5,从而CE=20,8尸=OE=15,在RtAND-中，

解直角三角形得/尸tan4(FR60X0.84=50.4米，从而即可得解.

【详解】解：过点。分别作DEL3C,交的延长线于点E,DFLAB于点,F,则四边形是矩形，

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

:.DF=BE,DE=BF.

在RtVDCE中,

,DE3

i=-----=-，

CE4

，设。£=3无，可得C£=4x,

由勾股定理得（3x）2+（4x）2=252,解得》=5,

:.CE=20,BF=DE=15,

:.DF=BE=BC+CE=40+20=60（米）.

在RbU忙中，

Ap

•：tanZ.ADF=tan40°=,

DF

AF=DFtan40°»60x0.84=50.4（米），

AB=AF+BF=50.4+15»65（米）.

答：楼房NB的高度约为65米.

2.（2023・甘肃天水•模拟预测）如图，在葫芦河的右岸边有一高楼N3,左岸边有一坡度i=l：2的山坡CF,点C与点

8在同一水平面上，CF与NB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼NB的高度，在坡底。处测得楼顶N的仰角

为45。，然后沿坡面CF上行了20店米到达点。处，此时在D处测得楼顶”的仰角为30。.

（1）求。£的值.

（2）求楼42的高度.

【答案】（l）DE=20m；（2）楼AB的高度为（50+30百）米.

【分析】本题考查了解三角形的应用，勾股定理，矩形的判定与性质.

r)p

(1)由i===l：2,DE1+EC2=CD-,解得。E=20m；

EC

(2)过点。作。于G,过点C作CH，。G于〃，则四边形DE3G、四边形DEC"、四边形5C77G都是矩形,

AB=BC,设NB=BC=xm,则4G=(尤-20)m,0G=(x+40)m,在RQ/OG中，—=tanZADG,代入即可得出

DG

结果.

【详解】(1)解：在RdDEC中,

rxE1

—=1：2,DE2+EC2=CD2,CD=20A/5,

EC

・•・O£2+(2°E)2=(20&『,

解得：£)E=20m.

(2)解：如图，过点。作。GL/8于G,过点。作CHLDG于X,

・•・EC=40m,

VZACB=45°fABLBC,

：.AB=BC,

设AB=BC=xm,

贝！j/G=(x-20)m,Z)G=(x+40)m,

在RS4DG中，

4G

•・•——=tan//OG,

DG

x-20

=tanZ30°

x+40

解得：尤=50+30行，

经检验，x=50+30G是方程的解.

答：楼AB的高度为卜0+30石）米.

3.（2023•河南濮阳•三模）如图，李东在延时课上利用所学的数学知识测量校园内教学楼CD的高度，在教学楼前方

3

有一斜坡，坡长/8=10m,坡比，=：,李东在/点处测得楼顶端。的仰角为45。，在2点处测得楼顶端。的仰角为61。

4

（点4B,C,。在同一平面内）.求教学楼C0的高度（结果精确到0.1m,参考数据：tan61Owl.80）

【答案】教学楼的高度约为31.5m.

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，正确地作出辅助线是解题的关键.

过点N作/尸_L3。，垂足为尸，过点/作NE_LCD,垂足为£,根据矩形的性质得到N尸=OE,AE=DF,设

AF=3t,BF=4t,根据勾股定理得到/尸=6,BF=8,在小A/CE中，ACAE=45°,设/E=CE=x,求得

DF=x,CD=x+6,得到8O=x-8,根据三角函数的定义即可得到结论.

【详解】解：过点/作垂足为凡过点N作4ELC。，垂足为£,

CDLBD,

二•四边形4E7"是矩形，

，AF=DE,AE=DF

AF3

在MA/B尸中，——=一,48=10,AF2+BF2=AB2，

BF4

设/尸=3f,BF=4t,

.•.(37)2+(4疔=100,

.,.t=2,

/.AF=6,BF=8,

在火心力蠹中，ZCAE=45°f

NACE=45。=/CAE,

AE=CE,

设AE=CE=xf

DF=x,CD=x+6,

/.BD-x—8,

在RMBDE中,ZCBD=61°,..CD=5D-tan61°,

x+6«1.8(x-8),

解得：x=25.5,

.•.CQ=25.5+6=31.5(m),

答：教学楼CO的高度约为31.5m.

4.(2024・上海普陀•一模)如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡N3的坡度，但由于山坡前有

小河阻碍，无法直接从山脚3处测得山顶/的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：

A

第一步：从小河边的C处测得山顶/的仰角为37。；

第二步：从C处后退30米，在。处测得山顶/的仰角为26.6。；

第三步：测得小河宽为33米.

已知点3、C、。在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡N8的坡度.

(参考数据：sin22.6°~0.45,cos26.6°®0.89,tan26.6°~0.5,sin37°»0.6,cos37°~0.8,tan37°~0.75)

【答案】山坡的坡度”5:3

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.过

点N作/交DC的延长线于点“，根据正切的定义用4H■表示出DH、CH,进而出去///,再求出58,根

据坡度的概念计算，得到答案.

【详解】解：如图，过点/作交DC的延长线于点“，

在RtAADH中，ZADH=26.6°,

tanNADH=-----,

DH

4H

：.DH=--------------x2AH,

tanZADH

在RtA/CH中，ZACH=37°,

4H

tanZACH=—,

CH

AH4

CH=N—AH

3

DC=DH—CH,

4

2AH——4〃=30,

3

解得：AH=45,

4

CH=-AH=60（米），

BH=CH-CB=60-33=27,

J山坡43的坡度为：45:27=5:3.

题型03方位角问题

【解题策略】

方向角：平面上，通过观察点。作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点。出发的视线与

水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.

【典例分析】

例.（2023・海南・中考真题）如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30。方向上，轮船沿着正北方向航行

20海里到达8处，测得灯塔M位于5的北偏东60。方向上，测得港口C位于B的北偏东45。方向上.已知港口C在灯塔

”的正北方向上.

⑴填空：NAMB=_度,ZBCM=_M;

（2）求灯塔”到轮船航线48的距离（结果保留根号）；

⑶求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号).

【答案】(1)30,45(2)灯塔M到轮船航线的距离为10百海里(3)港口C与灯塔M的距离为海里

【分析】(1)作交于。，作MELAB交AB于E,由三角形外角的定义与性质可得乙必四=30。，再由

平行线的性质可得ZBCM=45°,即可得解；

(2)作CD_L/3交于。，作A8交于E,由(1)可得：/A=/BMA=30°,从而得至lj=20海

里，再由EA/=BAZ•sin/EBM进行计算即可；

(3)作CD_L交48于。，作ME_L48交N8于E,证明四边形CDEN是矩形,得到CD=EM=1073海里，DE=CM,

由5£=5河＜0$/匹"计算出班的长度，证明△CDB是等腰直角三角形，得到CD=AD=106海里，即可得到答案.

【详解】(1)解：如图，作交48于。，作交于£,

60

45>

NDBM=NN+NAMB=30°+ZAMB=60°,AAMB=30°,

VAB.CN都是正北方向，.•.A5〃CW,

ZDBC=45°,ZBCM=45°,故答案为:30,45；

(2)解：如图，作CD_L/8交48于。，作交于E,

由（1）可得：NA=NBMA=3Q°,二BN=/B=20海里，

在RtABEM中，ZEBM=60°,BM=20海里，

EM=BM-sinZEBM=20xsin60P=20x—=10和海里;

2

•••灯塔M到轮船航线NB的距离为10G海里；

(3)解：如图，作CD_L4B交48于D,作Affi_L48交48于E,

CDLAB,MELAB,48、CM都是正北方向,

二四边形CDEW是矩形，

CD=EN=]0g海里，DE=CM,

在RtABEM中，AEBM=60°,BM=20海里,

BE=BMcosZEBM=20xcos60。=20x!=10海里,

2

:在RtzXCOB中，ZDBC=45°,

，AC£>8是等腰直角三角形，

.•.CZ)=M)=10AA海里，

.•.。”=。£=8。-8石=104-10=10(百-1)海里,

港口C与灯塔M的距离为io（C-i）海里.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌

握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键.

【变式演练】

1.（2024•陕西西安•一模）如图，我国某海域上有/、3两个小岛，2在N的正东方向.有一艘渔船在点。处捕鱼,

在/岛测得渔船在东北方向上，在3岛测得渔船在北偏西60。的方向上，且测得8、C两处的距离为200海里.

（1）求N、C两处的距离；

⑵突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援.此时，在。处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度沿DC方向

前往。处，测得。在小岛/的北偏西15。方向上距N岛30海里处.求救援船到达C处所用的时间.（结果保留根号）

【答案】（1）A、C两处的距离为20海里；（2）救援船到达C处所用的时间为立小时.

4

【分析】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及锐角三

角函数定义等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

（1）过C作CE工48于点E,由含30。角的直角三角形的性质得C£=10行海里，再由等腰直角三角形的性质即可得

出结论；

（2）过点。作于点尸，由锐角三角函数定义得4F=15海里，。尸=156海里，则CF=4C-4尸=5海里，再

由勾股定理求出。的长，即可解决问题.

【详解】（1）解：如图1,过C作CE/4B于点E,

由题意得：8。=20/海里，/。8£=90°-60°=30°,NC/E=90。-45。=45。，

C£=15C=|X20V2=10V2（海里），A4EC是等腰直角三角形，

AC=42CE=V2x10V2=20（海里），

答：A、C两处的距离为20海里；

（2）解：如图2,过点。作。尸工/C于点尸，

AF=ADcosZDAF=30x^=15（海里），

Za

DF=ADsinZDAF=30x—=15A0（海里），

2

:.CF=AC-AF=20-15=5（海里）,

在RtZkCDT中，由勾股定理得：CD=yjDF2+CF2=^（15A/3）2+52=10VT（海里），

万

/.10V7-40=—（小时），

4

答：救援船到达C处所用的时间为也小时.

4

3.（2024•湖南长沙•三模）如图，灯塔8位于港口A的北偏东58。方向，且48之间的距离为30km，灯塔。位于灯塔

8的正东方向，且用C之间的距离为10km.一艘轮船从港口A出发，沿正南方向航行到达。处，测得灯塔C在北偏东

37。方向上，灯塔B到直线4。的距离为BE.

D

⑴求BE的长；

（2）求。£的长（结果精确到0.1）.（参考数据：

sin58°®0.85,cos58°®0.53,tan58°®1.60,sin37°®0.60,cos37°®0.80,tan37°®0.75）

【答案】（1）25.5km⑵47.3km

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟悉掌握三角函数是解题的关键.

（1）用正弦三角函数求解即可.

（2）结合第一问，求解CE长度，用正切三角函数求解即可.

【详解】（1）解：由题意得，NE=90。,

■.■ZBAE^58o,AB=30km,

BE=/B-sin58°x30x0.85=25.5（km）.

（2）=

CE=BE+BC=35.5（km）

.•.£>£■=C£tan37°«35.5-0.75»47.3(km).

4.(2023•山东青岛•模拟预测)如图，在航线/的两侧分别有观测点A和8,点A到航线/的距离为2km,点3位于点A

北偏东60。方向且与A相距10km处.现有一艘轮船从位于点B南偏西76。方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min

后该轮船行至点A的正北方向的。处.

A

⑴求观测点8到航线/的距离；

⑵求该轮船航行的距离CO的长(结果精确到0」km).(参考数据：6=1.732,sin76°»0.97,cos76°«0.24,

tan76°®4.01)

【答案】(l)3km(2)3.4km

【分析】本题考查解直角三角形应用的问题.

(1)图中已将观测点3到航线/的距离用辅助线8E表示出来，要求BE,先求出。4,OB,再在RtA08£中，求出5E

即可.

(2)RtA/OD中求出OD,在RM30E中求出OE,进而可求出。E,在Rt^CBE中，根据/CB£=76。，BE=3km,

求出CE,则CD=CE-DE.

【详解】(1)解：设与/交于点O.

在RtA/OD中,

VZOAD=60°,4D=2(km),

c/AD/［、

:.OA=---------=4A(km).

cos60°'7

vy45=10(km),

:.OB=AB-OA=6{km).

在RtABQE中，ZOBE=ZOAD=60°,

BE=OB-cos60°=3(km).

答：观测点5到航线/的距离为3km.

(2)在RtA/OD中,OD=AD-tan60°=273(km),

在RLBOE中，OE=3E.tan6(r=36(km),

DE=OD+OE=5坦(km).

在RMCBE中，NCBE=76°,BE=3km,

/.CE=BE•tan/CBE=3tan76°.

:.CD=CE-DE^3tan760-56a3.4(km).

•••该轮船航行的距离CD的长为3.4km.

5.(2024・重庆大渡口•一模)某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：A-B-C-D.已知点3在点/

的北偏东45。方向3.6km处，点。在点3的正东方2.4km处，点。在点C的南偏东30。方向，点。在点力的正东方.(参

考数据：V2«1.414,6gl.732,ab2.449)

⑴求线段CD的长度；（结果精确到0.01km）

（2）已知送货司机在送货过程中全程保持10加/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从/点运送到。点,

则送货司机按既定路线N-8-C-D进行运送能否按时送达？（送货司机在各站点停留的时间忽略不计）

【答案】(1)2.94km；(2)能

【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正确构造直角三角形从而利用解直角三角形的相关知识

求解是解题的关键.

(1)分别过点8、C作BE，于£,C尸，于尸,得到四边形BEFC是矩形，BE=CF,利用=3.6km，NBAE=45°

求出BE,即CV,从而利用NDC尸=30。求出CD；

(2)先算出总路程，再除以速度得到送货时间，与16分钟比较即可得解.

【详解】(1)分别过点2、。作于E,于尸,

北

依题意可知：BC//AD,NR4E=45°,ZDCF=30a,/8=3.6km,BC=2.4km,

ZCBE=ZAEB=ZBEF=ZEFC=ZCFD=BCF=90°,四边形8EFC是矩形，BE=CF,

V^5=3.6km,NBAE=45。,：.BE=CF=ABsinZBAE=3.6x)

又,,,ZDCF=30°,

CF

.CD=乂卡=警®1.2X2.449=2.9388。2.9《kn)

一~7~—"、—行—v乙

1,cos/DCF735

(2)16分钟=960秒,

VAB=3.6km,SC=2.4km,CD«2.94km,

/.ylJ8+JBC+CZ)®3.6+2.4+2.94=8.94(kni),

AB+BC+CD8.94x1000

从/点运送到。点的时间为:=894(s)<960(s),

10

，送货司机按既定路线/-3-(7-。进行运送能按时送达.

中考练场

1.(2023・湖北恩施•中考真题)小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他

认为利用台阶的可测数据与在点A,B处测出点。的仰角度数，可以求出信号塔。E的高.如图，NB的长为5m,高BC

为3m.他在点A处测得点。的仰角为45。，在点8处测得点。的仰角为38.7。，A,B,C,D,E在同一平面内.你认为

小王同学能求出信号塔。E的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由.(参考数据：sin38.7。。0.625,

cos38.7°®0.780,tan38.7°*0.80,结果保留整数)

【答案】能求出信号塔。E的高，信号塔。£的高为31m；

【分析】过8作2尸，DE,垂足为尸，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质=进而设OE=xm根据锐角三

角函数解答即可.

【详解】解：过3作3尸_1。£,垂足为尸，

VZACB=90°,ZEDA=90°,，四边形BCE尸是矩形，/.CE=BF,EF=BC.

,.•/8的长为5m,高8c为3m,：.EF=BC=3m.

在RtA^5C中，AC=」AB。-BC?=A/52-32=4(m).

VZDEA=9Q0,/DAE=45。,：.ZADE=45°.AE=DE.二设/£=DE=;nn.

Z)F=(x-3)m,CE=BF=(x+4)m.tanZDBF=.

BF

X—3x—3

'：/DBF=38.7。，tan38.7°«0.80,Atan38.7°=------.A0.8=-------.Ax=31.即信号塔的。E高为31m.

x+4x+4

...能求出信号塔。£的高，信号塔DE的高为31m.

D

CAE

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，掌握锐角三角函数是解题的关键.

2.（2023・辽宁・中考真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600m高的山峰，由山底/处

先步行300m到达8处，再由8处乘坐登山缆车到达山顶。处.已知点4B.D,E,尸在同一平面内，山坡NB的坡

角为30。，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）

（1）求登山缆车上升的高度。E；

⑵若步行速度为30m/min,登山缆车的速度为60向min,求从山底/处到达山顶。处大约需要多少分钟（结果精确

到0.1min）

（参考数据：sin53°x0.80,cos53°20.60,tan53°a1.33）

【答案】（1）登山缆车上升的高度OE=450m；（2）从山底/处到达山顶。处大约需要19.4min.

【分析】（1）过3点作/于C,BELDF于E,则四边形成户。是矩形，在Rt448C中，利用含30度的直角

三角形的性质求得8c的长，据此求解即可；

（2）在中，求得8。的长，再计算得出答案.

【详解】（1）解：如图，过3点作3CL4F于C,BE上DF于E,则四边形是矩形,

D

在RtZ\/BC中，ZACB=90°,NN=30°,AB=300m,EF=BC=-AB=l50m,

2

尸-£尸=600-150=450（m）,答：登山缆车上升的高度。£=450m；

DE450

(2)解：在RtZkBOE中，ZDEB=90°,/DBE=53。，DE=450m,：.BD=---------=——=562.5(m),

sin53°0.81)

...从山底/处到达山顶。处大约需要：翳=19.375«49.4（min）,

答：从山底/处到达山顶Z）处大约需要19.4min.

【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键.

3.（2023・贵州・中考真题）贵州旅游资源丰富.某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索

道.设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建/8、。两段长度相等的观光索道，最终到达山顶。处，中

途设计了一段与"平行的观光平台8C为50m.索道48与相的夹角为15。，CD与水平线夹角为45。，43两处的水

平距离/E为576m,DF1AF,垂足为点尸.（图中所有点都在同一平面内，点4£、尸在同一水平线上）

（1）求索道N5的长（结果精确到1m）；

（2）求水平距离"的长（结果精确至Ulm）.

(参考数据：sinl5°«0.25,cosl5°«0.96,tan15°~0.26,72»1.41)

【答案】(l)600m(2)1049m

【分析】（1）根据的余玄直接求解即可得到答案；

（2）根据/8、CD两段长度相等及与水平线夹角为45。求出C到。尸的距离即可得到答案;

【详解】（1）解：：两处的水平距离/E为576m,索道与"的夹角为15。，

AB=AE=2=600m；

cosl500.96

（2）解：C。两段长度相等，CD与水平线夹角为45。，

CD=600m,CG=C£>cos45°=600x—=600x—=423m,

22

=^+50+^=576+50+423=1049m；

【点睛】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数.

4.（2023•辽宁丹东•中考真题）一艘轮船由西向东航行，行驶到/岛时，测得灯塔5在它北偏东31。方向上,继续向

东航行10nmile到达C港，此时测得灯塔3在它北偏西61。方向上，求轮船在航行过程中与灯塔8的最短距离.，（结果

精确到0.Inmile）（参考数据:sin31°«0.52,cos31°~0.86,tan31°»0.60,sm61°®0.87,cos61°»0.48,tan61°-1.80）.

【答案】轮船在航行过程中与灯塔8的最短距离为4.2nmile

【分析】过点8作8。_L/C于点D,则NABD=31。,/CAD=61°,进而得出AD。Q.6BD,CD°1.83。，根据AC1Onmile,

得出4。+。£>=0.62。+1.88。=10,即可求解.

【详解】解：过点5作于点D,

・.・AE1AC,CF±AC,

・•・BD〃AE〃CF,

：.ZABD=31O,ZCBD=61°,

：.AD=BD-tanNABD=BD-tan31°«0.6BD,CD=BD-tanACBD=5。•tan61。b1.88。，

*.*AC=1Onmile,

・•・AD+CD=0.6BD+\.SBD=10,

25

解得：BD=—nmile,

6

BD«4.2nmile,

答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为4.2nmile.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直

角三角形的方法和步骤.

5.（2023・湖北・中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形/BCD,斜面坡

度，=3:4是指坡面的铅直高度在'与水平宽度3尸的比.已知斜坡CD长度为20米，ZC=18°,求斜坡48的长.（结

果精确到米）（参考数据：sin18°~0.31,cos18°~0.95,tan18°«0.32）

【答案】斜坡的长约为10米

【分析】过点。作DEL8C于点E,在RtADEC中，利用正弦函数求得DE=6.2,在RM/BF中，利用勾股定理即可

求解.

【详解】解：过点。作。EL3C于点E,则四边形4DEF是矩形,

在RtADEC中，CD=20,ZC=18°,

£>£,=CD-sinZC=20xsinl8°«20x0.31=6.2.；.AF=DE=6.2.

Ap3।--------------55

—=-,...在RtA/8产中，AB=^AF2+BF2=-^F=-x6.2«10（米）.

BF433

答：斜坡48的长约为10米.

【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的

关键.

6.(2023•山东青岛・中考真题)太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排.某校组织学生进行

综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度.如图，太阳能电池板宽为AB,点。是48的中点，OC是灯杆.地

面上三点。，£与C在一条直线上，DE=1.5m,EC=5m.该校学生在。处测得电池板边缘点2的仰角为37。，在E

处测得电池板边缘点2的仰角为45。.此时点/、8与E在一条直线上.求太阳能电池板宽的长度.(结果精确到

343

0.1m.参考数据：sin37°~y,cos37°®-,tan37°,72»1.41）

【答案】1.4m

【分析】过点3作于点H,过点3作8OC于点尸，先证△BE”和△OEC均为等腰直角三角形，四边形

广为矩形，AOB尸为等腰直角三角形，设AF=xm,则OF=ca=xm,EH=BH=(5-x)m,DH=(6.5-x)m,然后

在Rt△e汨中，利用tan/8Z>〃=也得］=/三，由此解出x=0.5,再利用勾股定理求出03即可得的长.

DH46.5-x

【详解】解：过点B作出/于点打，过点3作8月，O