2025年中考数学热点题型复习专项训练：几何最值问题（原卷版）

专题09几何最值问题

目录

热点题型归纳

题型01将军饮马模型.................................................................................1

题型02费马点模型...................................................................................2

题型03阿氏圆模型...................................................................................4

题型04隐圆模型.....................................................................................6

题型05瓜豆圆模型...................................................................................7

中考练场.............................................................................................9

热点题型归纳

题型01将军饮马模型

【解题策略】

两定一动模型一定两动模型

两线段相减的最大值模型（三点共线）

【典例分析】

例.（2022•黑龙江•中考真题）如图，菱形A8CD中，对角线AC,8。相交于点O,ZBAD=60°,AD=3,AH是—54C

的平分线，CELA”于点E,点P是直线48上的一个动点，则OP+PE的最小值是.

【变式演练】

1.（2022•山东枣庄•二模）如图，点尸是/AC®内任意一点，OP=3cm,点M和点N分别是射线。4和射线上的

动点，ZAO8=30。，贝UAPAW周长的最小值是.

2.（2023广东广州•模拟预测）如图，四边形ABCD中，AB//CD,AC1BC,ZDAB=6Q°,AD=CD=4,点M是

四边形ABCD内的一个动点，满足ZAMD=90。，则AMBC面积的最小值为.

题型02费马点模型

【解题策略】

将△APC边以A为顶点逆时针旋转60。，得至IJAQE,连接PQ,则AAPQ为等边三角形，PA=PQ。

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC,当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE。

【典例分析】

例.（2023全国•中考模拟预测）如图1,在RTAABC中,ZACB=90°,CB=4,CA=6,圆C的半径为2,点尸为圆

上一动点，连接AP,BP,求：

@AP+-BP,

2

@2AP+BP,

@^AP+BP,

④AP+3BP的最小值.

【变式演练】

1.（2022•广东广州•一模）如图，在RfAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点尸是AB边上一动点，作于点

线段4。上存在一点。当QA+Q8+QC的值取得最小值，且&。=2时，则尸£>=.

A

B

DC

2.（2023广东•一模）如图，AA3C中，N54C=45。，AB=6,AC=4,P为平面内一点，求2同尸+J^AP+3PC最

小值

3.（2024湖北中考.二模）如图，正方形ABCD的边长为4,点P是正方形内部一点，求P4+2P3+有PC的最小值.

题型03阿氏圆模型

【解题策略】

问题：在圆上找一点P使得B4+上”汨的值最小，解决步骤具体如下：

A

①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,OB

②计算出这两条线段的长度比上O二P=左

OB

ocPC

③在OB上取一点C,使得——=k,即构造△POMs/iBOP,则^—=k,PC=k・PB

OPPB

④则上4+左">B=Q4+PCNAC,当A、P、C三点共线时可得最小值。

【典例分析】

例.（2023•广西・中考真题）如图，抛物线>=依2+法+。与x轴交于A（百，0）,B两点（点8在点A的左侧），与了轴

交于点C,且。8=3。4=符（7,/Q4c的平分线A。交,轴于点。，过点A且垂直于AD的直线/交JV轴于点E,点尸

是x轴下方抛物线上的一个动点，过点尸作尸尸_Lx轴，垂足为F，交直线AD于点

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P的横坐标为加，当m时，求机的值；

（3）当直线尸产为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，为半径作。〃，点。为。H上的一个动点，^-AQ+EQ

24

的最小值.

【变式演练】

1.（2023・甘肃天水•一模）如图，已知正方形ABCD的边长为4,OB的半径为2,点P是。B上的一个动点，则PD

-|PC的最大值为一.

B

C

2.（2023江苏•二模）如图，正方形ABC。的边长为4,的半径为2,尸为。3上的动点，则0PC-尸。的最大值

是.

题型04隐圆模型

【解题策略】

【典例分析】

例.（2023•辽宁•中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,点M为8C的中点，E是上的一点，连

接AE,作点8关于直线AE的对称点"，连接并延长交BC于点f当班'最大时，点9到BC的距离是.

【变式演练】

1.（2024浙江金华•模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为4,点E是正方形ABCD内的动点，点尸是BC边上的动

点，MZEAB=ZEBC.连结AE,BE,PD,PE,则尸£>+PE的最小值为（）

A.2A/13-2B.475-2C.473-2D.2715-2

2.（2022•山东泰安・三模）如图，在RtAABC中，ZACB=90SZBAC=3O。，BC=2,线段8C绕点2旋转到3。，连

AD,E为的中点，连接CE,则CE的最大值是

3.（2022•广东河源.二模）如图，已知AC=2AO=8,平面内点P到点。的距离为2,连接”，若ZAPB^60°5.BP=-AP,

2

连接AB,BC,则线段BC的最小值为.

题型05瓜豆圆模型

【解题策略】

条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（/PAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）.

结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：ZPAQ=ZOAM；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.

【典例分析】

例.（2023•江苏・中考真题）在四边形ABCD中，钮=8。=2,/45。=120。,3〃为/ABC内部的任一条射线（NCBH不

等于60。），点C关于3"的对称点为C，直线AC与BH交于点F,连接CC'、CF,则MCF面积的最大值是.

D

【变式演练】

1.（2023江苏无锡•二模）如图，线段48为。。的直径，点C在AB的延长线上，AB=4,BC=2,点P是上一

动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作RJPCD,且使/DCP=60。，连接OO,则。D长的最大值为

2.（2023・安徽•一模）如图，在矩形A3CD中，AB=8,AD=4,点£是矩形ABC。内部一动点，且ZBEC=9O。，点尸

是A3边上一动点，连接PO、PE,则PD+PE的最小值为（）

APB

DC

A.8B.4指C.10D.4-2

3.（2023・江苏扬州・模拟预测）如图，A是。8上任意一点，点C在。B外,已知AB=2,BC=4,4ACD是等边三角形,

则△BCD的面积的最大值为（）

D

A.4石+4B.4C.4括+8D.（

中考练场

1.（2023•黑龙江绥化•中考真题）如图，AABC是边长为6的等边三角形，点E为高8。上的动点.连接CE,将CE绕

点C顺时针旋转60。得到连接AT,EF,DF,贝I△CD77周长的最小值是.

A

Z)

瓦

BC

2.（2022.四川成都.中考真题）如图，在菱形ABCD中，过点。作8交对角线AC于点E,连接8E,点P是线

段BE上一动点,作P关于直线DE的对称点P,点。是AC上一动点，连接P'Q,DQ.若A£=14,CE=18,则DQ-P'Q

的最大值为.

D

3.（2022•广西柳州•中考真题）如图，在正方形ABC