2025年中考数学难点突破与训练：全等三角形中的倍长中线模型（解析版）

专题07全等三角形中的倍长中线模型

【模型展示】

B

\/

\/

7

E

已知：在AABC中，D为AC中点，连接BD并延长到E使得DE=BD,连接AE则：BC平行

且等于AE.

特点

【证明】

延长BD到E,使DE=BD,连接CE,

,：AD是斜边5c的中线

：.AD=CD

*：ZADE=ZBDC

二△ADE丝△ADC（SAS）

：.AE=BC,ND5C=NAED

：.AE//BC

倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，

则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证

结论

明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中

线的时候）。

【模型证明】

【证明】

作BFLDE于点F,CGLDE于点G.

D

A

—

、t

F

：.ZF=ZCGE=90°.

义•；NBEF=NCEG,BE=CE,

在ABEF和ACEG中，

[ZF=ZCGE

-ZBEF=ZCEG,

,BE=CE

4BFE出ACGE.

：.BF=CG,

在尸和△DCG中，

，ZF=ZDGC

v<ZBAE=ZCDE,

1BF=CG

AABF乌ADCG.

：,AB=CD.

方法三：

作CF〃AB,交DE的延长线于点F.

【题型演练】

一、解答题

1.如图，A48C中，4D是2C边上的中线，E,尸为直线/。上的点，连接BE,CF,且BE〃CF.

⑴求证：ABDE”ACDF；

⑵若/£=15,/b=8,试求的长.

【答案】（1）见解析；

(2)I；

【分析】（1）根据两直线平行内错角相等；全等三角形的判定（角角边）；即可证明；

（2）由（1）结论计算线段差即可解答；

（1）

证明：\'BE//CF,:.NBED=/CFD,

:NBDE=/CDF,BD=CD,

:.ABDE沿4CDF（AAS）；

（2）

解：由（1）结论可得。£=。尸，

•；EF=AE-AF=15-8=7,

7

【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定（AAS）和性质；掌握全等三角形的判定和性质是

解题关键.

2.如图，在此△/BC中，/4C3=90。，点。是的中点，小明发现，用已学过的“倍长中线”加倍构造全

等，就可以测量CO与数量关系.请根据小明的思路，写出CD与的数景关系，并证明这个结论.

【答案】CD=^AB,证明过程详见解析

【分析】延长CO到点R使ED=CD,连接3E,根据全等三角形的判定和性质即可求解.

【详解】解：CD=^AB,证明：如图，延长CD到点E,使瓦”CD,连接BE,

AE

在△ADE和△4DC中,

BD=AD

</BDE=ZADC

ED=CD

：.△AADC(SAS),

；・EB=AC,ZDBE=ZA,

：.BE//AC,

ZACB=90°f

：.ZEBC=180°-CB=90°,

J/EBC=/ACB,

在△£C5和△ZBC中，

EB=AC

<ZEBC=ZACB

CB=BC

：.△EC5也△45C(SAS),

:.EC=AB,

：.CD=^EC=^AB.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是正确的作出辅助线.

3.我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形.如图，OA=OB,OC=OD,

ZAOB=ZCOD=90°,回答下列问题:

B

P

(1)求证：△CMC和△08。是兄弟三角形.

(2)“取2。的中点尸，连接0P,试说明NC=20P.”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲

的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题.

①请在图中通过作辅助线构造△。尸O,并证明BE=OD；

②求证：AC=20P.

【答案】(1)见解析

(2)①见解析；②见解析

【分析】⑴证出乙40C+N80180。，由兄弟三角形的定义可得出结论；

(2)①延长。尸至E,使PE=OP,证明g△OP。(SAS),由全等三角形的性质得出5£=。。；

②证明△£30丝△CCU(SAS),由全等三角形的性质得出OE=NC,则可得出结论.

(1)

证明：VZAOB=ZCOD=90°,

：.ZAOC+ZBOD=3600-ZAOB-ZCOD=360°-90o-9Qo=lS00,

又,：AO=OB,OC=OD,

.♦.△CMC和△02。是兄弟三角形；

(2)

①证明：延长。尸至E,使PE=OP,

：.BP=PD,

XVZBPE=ZDPO,PE=OP,

:ABPE经ADPO(SAS),

：.BE=OD-,

②证明：•:XBPE空ADPO,

：./E=/DOP,

：.BE//OD,

：.NE8O+/BOD=180。，

又：ZBOD+ZAOC=1SO°,

：.ZEBO=ZAOC,

\'BE=OD,OD=OC,

：.BE=OC,

又；OB=OA,

:.AEBO咨ACOA(SAS),

：.OE=AC,

又；OE=2OP,

：.AC=20P.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是

解题的关键.

4.【发现问题】

小强在一次学习过程中遇到了下面的问题:

如图1,是△/8C的中线，若/8=8,AC=6,求/D的取值范围.

【探究方法】

小强所在学习小组探究发现：延长4D至点E,使ED=">,连接BE.可证出△4DC与△成>3,利用全等

三角形的性质可将已知的边长与AD转化到同一个△/BE中，进而求出AD的取值范围.

方法小结：从上面思路可以看出，解决问题的关键是将中线4D延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种

方法叫做倍长中线法.

【应用方法】

(1)请你利用上面解答问题的方法思路，写出求的取值范围的过程；

【拓展应用】

(2)已知：如图2,4D是△/BC的中线，BA=BC,点E在2c的延长线上，EC=BC.写出4D与/E之

间的数量关系并证明.

图2

【答案】(1)1<AD<7；(2)2AD=AE.理由见解析

【分析】(1)延长4D至点E,使DE=4D,连接BE,证明四△CZM(SAS),得出/C=8E=6,由三

角形三边关系可得出答案；

(2)延长至尸，使由&4s证明△2。尸名△CD4,利用已知条件推出NFR4=N/CE,再由S/S

证明CE四/XFBA即可得到2AD=AE.

【详解】(1)证明：延长ND至E,使DE=AD,

是3c边上的中线，

：.BD=CD,

在△出羽和中，

BD=CD

<NBDE=ZCDA,

DE=DA

:•△BDE"4CDA(SAS)f

：・AC=BE=6,

在中，AB-BE<AE<AB+BE,

•••8-6V2/QV8+6,

A1<^D<7；

(2)2AD=AE.理由如下：

证明：延长4。至尸，使。尸=4。，

E

是5C的中线,

:・BD=CD,

在/和△CD4中，

BD=CD

</BDF=/CDA,

DF=DA

:,△BDF/ACDA(SAS)f

：.AC=BF,NCAD=NF,

J.AC//BF,

：./FBA+NB4c=180。,

•：BA=BC,

：.NBAC=NBCA,

*：NACE+/BCA=180。,

：.ZFBA=ZACE,

*：BA=BC,EC=BC,

；,BA=EC,

在△4CE和△尸8/中,

CE=BA

<ZACE=ZFBA,

AC=BF

:.LACE2MBA（SAS）,

：.AE=AF,

"：2AD=AF,

：.2AD=AE.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题

的关键.

5.［问题背景］

①如图1,CD为△ZBC的中线，则有S/CD=Su8CD；

②如图2,将①中的N/C8特殊化，使NZC8=90。，则可借助“面积法”或“中线倍长法"证明/B=2CD；

［问题应用］如图3,若点G为的重心（△ABC的三条中线的交点），CG±BG,若/Gx2C=16,贝！I

△BGC面积的最大值是（）

A.2B.8C.4D.6

【答案】［问题背景］①见解析；②见解析；［问题应用］C

【分析】［问题背景］①设边的高长为〃，可得〃，邑再由即可求证;

②延长CD至点£,使DE=CD,连接NE,BE,根据可得四边形NC8E是平行四边形，再由N/C3

=90。，可得到四边形/C8E是矩形，即可求证

［问题应用］如图，过点G作GHLBC于点根据题意可得点〃是8C的中点,NG=2DG,从而得到DG=：BC,

得至|J/G=2C,再由/Gx8C=16,可得至U/G=8C=4,再由G//_L2C,可得GHgDG,从而得到当G8=£»G

时，△BGC面积的最大，即可求解.

【详解】解：［问题背景］①设N8边的高长为人

S&ACD=54Dxh,S&BCD=5BDxh,

・.・C。为的中线，即

•C—c

,•24CD~3BCD；

②如图，延长CD至点£,使DE=CD,连接/£,BE,

E

为△4BC的中线，

：.AD=BD,

,:DE=CD,

二四边形ACBE是平行四边形，

乙4c3=90。，

四边形/C2E是矩形，

:.AB=CE,

'：DE=CD,

：.AB=CD+DE=2CD-,

［问题应用］如图，过点G作8c于点儿

:点G为△N8C的重心（△/8C的三条中线的交点）,

.••点。是2c的中点，AG=2DG,

'：CG±BG,

：.DG=-BC,

2

,*.AG=BC,

•：AGxBC=16,

；・4G=BC=4,

：.DG=2,

■:GHLBC,

：.GH<DG,

：.GH<2,

:.当GH=2,即G/7=OG时，ZXBGC面积的最大，最大值为

-DGx5C=ix2x4=4.

22

【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，重心的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理，重心的性质

是解题的关键.

6.先阅读，再回答问题：如图1,已知△N3C中，为中线.延长ND至£,使DE=4D.在和

△ECD中，AD=DE,ZADB=ZEDC,BD=CD,所以，△48。之△ECD(SAS),进一步可得到4B=CE,

48〃CE等结论.

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算

或证明题.

解决问题：如图2,在△48C中，/£>是三角形的中线，尸为/。上一点，且8尸=/。，连结并延长3尸交NC

于点£,求证：AE=EF.

【答案】证明见试题解析.

【分析】延长4D到G,使。尸=£>G,连接CG,得到8D=DC,根据&4S推出△8D产名△CAG,根据全等三

角形的性质得出BF=CG,NBFD=/G,求出N4尸£=/G,CG=AC,推出/G=/C4凡求出N4FE=/C4F

即可.

【详解】解:延长/。到G,使。尸=£>G,连接CG,

•.2。是中线，

：.BD=DC,

在△AD/和△CDG中，

'：BD=DC,ZBDF=ZCDG,DF=DG,

丛BDFW丛CDG,

：.BF=CG,NBFD=/G,

NAFE=NBFD,

：.ZAFE=ZG,

,:BF=CG,且已知8/=ZC,

：.CG=AC,

：.ZG=ZCAF,

：.ZAFE=ZCAF,

：.AE=EF.

【点睛】本题考查了倍长中线法、三角形全等的判定、性质及等腰三角形的性质等，本题的关键是借助阅

读材料中提供的方法延长/。到G,使DF=DG,进而构造三角形全等.

7.(1)如图1,若^ABC是直角三角形，NBAC=90。，点D是BC的中点，延长AD到点E,使DE=AD,

连接CE,可以得到AABD之AECD,这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”.求证：4ACE是直

角三角形

(2)如图2,ZXABC是直角三角形，ZBAC=90°,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点,

且DE_LDF.试说明BE2+CF2=EF2；

(3)如图3,在(2)的条件下，若AB=AC,BE=：12,CF=5,求4DEF的面积.

S2图3

169

【答案】⑴证明见解析；⑵证明见解析；⑶

【分析】(1)根据全等三角形的性质和直角三角形的判定解答即可;

(2)延长ED至点G,使得DG=DE,连接FG,CG,根据全等三角形的判定和性质进行解答;

(3)连接AD,根据全等三角形的判定和性质和三角形的面积公式解答即可.

【详解】(1)VAABD^AECD

.'.ZECD=ZB

ZBAC=90°

ZB+ZBCA=90°

ZBCE+ZBCA=90°,BPZACE=90°

/.△ACE是直角三角形

(2)延长ED至点G,使得DG=DE,连接FG,CG,

VDE=DG,DF±DE,

ADF垂直平分DE,

；.EF=FG,

：D是BC中点,

；.BD=CD,

在4BDE和4CDG中,

BD=CD

<ZBDE=ZCDG,

DE=DG

AABDE^ACDG(SAS),

・・・BE=CG,ZDCG=ZDBE,

VZACB+ZDBE=90°,

.\ZACB+ZDCG=90o,即NFCG=90。,

VCG2+CF2=FG2,

.\BE2+CF2=EF2；

(3)连接AD,

VAB=AC,D是BC中点，

・・・NBAD=NC=45。，AD=BD=CD,

VZADE+ZADF=90°,ZADF+ZCDF=90°,

・・・ZADE=ZCDF,

在AADE和ACDF中，

ZBAD=ZC

<AD=CD,

ZADE=ZCDF

AAADE^ACDF(ASA),

・・・AE=CF,BE=AF,AB=AC=17,

S四边形AEDF=5SAABC，

=

••SAAEF-x5x12=30,

,A1169

・・ADEF的面积=5SAABC-SAAEF=.

【点睛】考查全等三角形的判定与性质，通过证明三角形全等得出对应边相等、对应角相等是解题基础，

将待求线段转化成求等长线段是解题的关键.

8.(1)阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

在△ABC中，AB=9,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图1)：

①延长AD到Q,使得DQ=AD；

②再连接BQ,把AB、AC、2AD集中在AABQ中；

③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14,则AD的取值范围是.

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条

件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

(2)请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明.

(3)思考：己知，如图2,AD是AABC的中线，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZFAC=90°.试探究线段

AD与EF的数量和位置关系并加以证明.

图I图2

【答案】(1)2<AD<7；(2)AC//BQ,理由见解析；(3)EF=2AD,ADLEF,理由见解析

【分析】(1)先判断出8O=CD,进而得出△以>5之△4DC(SAS),得出2。=/。=5,最后用三角形三边

关系即可得出结论；

(2)由(1)知，AQDB”AADC(SAS),得出即可得出结论；

(3)同(1)的方法得出△3D0丝△CZM(SAS),则BQ=AC,进而判断出NENE

进而判断出△AB。/△瓦4尸，得出力。=即，/BAQ=NAEF,即可得出结论.

【详解】解：⑴延长ND到。使得连接3。，

'：AD是△48C的中线，

:.BD=CD,

BD=CD

在△QQ5和△ADC中，=

DQ=DA

:•△QDBQAADC(SAS),

.\BQ=AC=59

在△450中，AB-BQ<AQ<AB+BQ,

•••4V4QV14,

：.2<AD<lf

故答案为2V/OV7；

(2)AC//BQ,理由：由(1)知，△QDBQdADC,

：.NBQD=NCAD,

：.AC//BQ；

(3)EF=2AD,ADA.EF,

理由：如图2,延长/。到。使得8。=/。，连接BQ,

由(1)知，XBDQWXCDA(S/S),

AZDBQ=ZACD,BQ=AC,

*：AC=AF,

：.BQ=AF,

在△42C中，ABAC+ZABC+ZACB=1SO°,

：./BAC+NABC+/DBQ=180°,

・・・ZBAC+ABQ=ISO°,

ZBAE=ZE4C=90°f

：.ZBAC+ZEAF=1SO°,

：.ZABQ=ZEAF,

AB=EA

在△/BQ和△口/中，<ZABQ=ZEAF,

BQ=AF

：.4ABQ咨LEAF,

：.AQ=EF,NBAQ=NAEF,

延长D4交M于尸，

ZBAE=90°,

：.ZBAQ+ZEAP=90°,

：.NAEF+/EAP=90。,

：.ZAPE=90°,

：.ADLEF,

•；4D=DQ,

.\AQ=2ADf

•:AQ=EF,

：.EF=2AD,

即：EF=2AD,ADLEF,

Q

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解题

的关键.

9.在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在中，AB

=8,力。=6,点。是边上的中点，怎样求4。的取值范围呢？我们可以延长4。到点E,使4。=。。

AD=DE

然后连接5E（如图①），这样，在△4。。和△£/必中，由于＜/ADC=/EDB,:.△ADC^^EDB,：.AC

BD=CD

=EB,接下来，在△48E中通过/E的长可求出4。的取值范围.

请你回答:

(1)在图①中，中线的取值范围是.

(2)应用上述方法，解决下面问题

①如图②，在△NBC中，点。是8C边上的中点，点£是边上的一点，作交NC边于点巴连

接所，若BE=4,CF=2,请直接写出£尸的取值范围.

②如图③，在四边形48CD中，NBCD=150。,N4DC=30。，点E是N2中点，点尸在DC上，且满足3c

=CF,DF=AD,连接CE、ED,请判断CE与的位置关系，并证明你的结论.

【答案】(1)1<AD<1；(2)①2<所<6；②CELED,理由见解析

【分析】(1)在AABE中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；

(2)①延长ED到点N,使ED=DN,连接CN、FN,由SAS证得AA©C三AEDB,得出BE=CN=4,

由等腰三角形的性质得出斯=冲，在4CFN中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；

②延长CE与DA的延长线交于点G,易证DG〃BC,得出/G/E=/CSE,由ASA证得AG/E=AC3E,

得出GE=CE,/G=3C,即可证得CD=G。，由GE=CE,根据等腰三角形的性质可得出CE，ED.

【详解】(1)在^ABE中，由三角形的三边关系定理得：AB-BE<AE<AB+BE

8—6<AE<8+6,即2<AE<14

:.2<2AD<14,即1<4D<7

故答案为：1<ND<7；

(2)①如图②，延长ED到点N,使即=。可，连接CN、FN

•.,点D是BC边上的中点

BD=CD

CD=BD

在4NDC和4EDB中，■ZCDN=ZBDE

DN=ED

ANDC三^EDB(SAS)

,-.BE=CN=4

■：DFVDE,ED=DN

是等腰三角形，EF=FN

在ACFN中，由三角形的三边关系定理得：CN-CF<FN<CN+CF

:.4-2<FN<4+2,即2cm<6

/.2<EF<6；

@CE1ED-,理由如下：

如图③，延长CE与DA的延长线交于点G

•・,点E是AB中点

/.BE=AE

•・•/BCD=150。,ZADC=30°

/.DGHBC

ZGAE=ZCBE

ZGAE=ZCBE

在AGAE和aCBE中，|AE=BE

ZAEG=ZBEC

/.bGAE=ACBE(ASA)

:.GE=CE,AG=BC

•・•BC=CF,DF=AD

:.CF+DF=BC+AD=AG+AD.^CD=GD

•・•GE=CE

；.CE人ED.(等腰三角形的三线合一)

【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、等腰三角形的判定与性质等

知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键.

10.阅读材料，解答下列问题.

如图1,已知△48C中，AD为中线.延长/。至点E,使DE=AD.在△NDC和△££>8中，AD=DE,

ZADC=ZEDB,BD=CD,所以，△/CO之△EAD,进一步可得到NC=3£,/C7/AE'等结论.

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算

或证明题.

解决问题：如图2,在△NBC中，是三角形的中线，点尸为上一点，且8产=/C,连结并延长8/交

/C于点E,求证：AE=EF.

【答案】详见解析

【分析】延长AD到M,使DM=AD,连接BM,根据SAS推出△BDM名ACDA,根据全等三角形的性质

得出BM=AC,ZCAD=ZM,根据BF=AC可得BF=BM,推出/BFM=/M,求出NAFE=/EAF即可.

【详解】如图，延长4。至点〃，使得并连结9,

BD=CD,

在AMDB和AADC中,

BD=CD,

<ZBDM=ZCDA,

DM=DA,

：.AMDB%AADC,

:.AC=MB,NBMD=NCAD,

'：BF=AC,

：.BF=BM,

：.ZBMD=ZBFD,

'：ZBFD=ZEFA,ZBMD=ACAD,

ZEFA=NEAF,即4E=E尸.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性

质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形.

11.(1)如图1所示，在A/BC中，。为3C的中点，求证：AB+AO2AD

甲说：不可能出现△48。丝△/CD,所以此题无法解决；

乙说：根据倍长中线法，结合我们新学的平行四边形的性质和判定，我们可延长4。至点E,使得/)£=">,

连接BE、CE,由于BD=DC,所以可得四边形N8EC是平行四边形，请写出此处的依据

_________________________________________(平行四边形判定的文字描述)

所以=△A8E中，AB+BE>AE,

即AB+AC>2AD

请根据乙提供的思路解决下列问题：

(2)如图2,在A48c中，。为8C的中点，AB=5,AC=3,AD=2,求ANBC的面积；

(3)如图3,在A48c中，。为8C的中点，〃■为ZC的中点，连接AW•交4D于尸，若AM=MF.求证：

BF=AC.

【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(2)6；(3)见解析.

【分析】(1)根据题意，DE=AD，BD=OC即可得四边形的对角线相等，根据平行四边形的判定定理即可

写出；

(2)根据倍长中线法，延长4。至点G,使得DG=/D,可以求得/G,/C,GC,再根据勾股定理的逆定理

可知A/GC为五/A,继而即可求得面积

(3)根据倍长中线法，延长4D至点N,证明四边形48NC是平行四边形，由4M'=旅即可证明族=NC.

【详解】解：(1)DE=AD,BD=DC

四边形/8EC是平行四边形

依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

(2)如图，根据倍长中线法，延长4。至点G,使得。G=4D,

由(1)可知，四边形/3GC是平行四边形

\GC=AB,AC//BG

'''AB=5,AC=3,AD=2

:.AG=4,GC=5

AC2+AG2=32+42=25

CG2=52=25

：.AC2+AG2^CG2

:.A4GC是MA

■：ACHBG

.■.SZ.\/1.£K>CC=S./\./I(rTIr.=-2AC-AG=-2x3x4=6

(3)如图，根据倍长中线法，延长4。至点N,使4D=£W,

N

由（1）可知：四边形/3NC是平行四边形,

:.ACHBN,AC=BN

ZMAF=NBNF

■：AM=MF

NMAF=ZMFA

又•；NMF4=NBFN

NBNF=NBFN

BF=BN

BF=AC

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理的逆定理，等角对等边，运用倍长中线法是解题

的关键.

12.（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1,在△NBC中，AB=8,AC=6,

求3c边上的中线的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）,

图1图2图3

①延长4。到使得。A/=/D；

②连接通过三角形全等把/8、AC,2/。转化在■中；

③利用三角形的三边关系可得的取值范围为48-BM<AM<AB+BM,从而得到AD的取值范围

是;

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.

（2）请你写出图2中NC与的数量关系和位置关系，并加以证明.

（3）深入思考：如图3,/£>是△48C的中线，AB=AE,AC=AF,NBAE=NCAF=90°,请直接利用（2）

的结论，试判断线段4D与即的数量关系，并加以证明.

【答案】（1）1VNDV7；（2）AC//BM,MAC=BM,证明见解析；（3）EF=2AD,证明见解析.

【分析】（1）延长/。到使得DM=4D,连接根据题意证明g△NDC,可知在

△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM,即可；

(2)由(1)知，LMDBq4ADC,可知NM=/C/D,AC=BM,进而可知NC〃3M；

(3)延长40到“，使得。连接由(1)(2)的结论以及已知条件证明进

而可得由即可求得/。与防的数量关系.

【详解】(1)如图2,延长/D到“，使得ZW=/。，连接

；AD是△/8C的中线，

:.BD=CD,

在AMDB和△4DC中，

BD=CD

<ZBDM=ZCDA,

DM=AD

•MMDB出AADCCSAS),

：.BM=AC=6,

在A4BMAB-BM<AM<AB+BM,

A8-6<AM<?,+6,2<AM<14,

：.\<AD<1,

故答案为：

(2)AC//BM,MAC=BM,

理由是：由(1)知，△MOB乌△4DC,

AZM^ZCAD,AC=BM,

：.AC//BM；

(3)EF=2AD,

理由：如图2,延长/。到M,使得。连接

由(1)知，4BDM咨ACDA(S4S),

:.BM=AC,

"：AC=AF,

:.BM=AF,

由(2)知：AC//BM,

ZBAC+ZABM=1SO°,

*.*/BAE=/E4c=90。,

：.ZBAC+ZEAF=1SO°,

：.NABM=/EAF,

在和△口/中，

AB=EA

</ABM=ZEAF,

BM=AF

:•△ABMmAEAF(SAS)f

：.AM=EF,

U：AD=DM,

：・AM=2AD,

■:AM=EF,

：.EF=2ADf

即：EF=2AD.

图2

【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键.

13.【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图①，在△ZBC中，4。是边上的中线,

若延长4。至£,使DE=AD,连接CE,可根据"S证明△力助，则力5=£C.

AAA

D

E

图①图②图③

(1)【类比探究】如图②，在AOEF中，DE=3,。尸=7,点G是EF的中点，求中线。G的取值范围；

(2)【拓展应用】如图③，在四边形4BCD中，48〃CD,点E是3C的中点.若NE是ZR4D的平分线.试

探究48,AD,。。之间的等量关系，并证明你的结论.

【答案】(1)2<OG<5

(2)AD=DC+AB

【分析】(1)延长。G至使GM=DG,连接反凡根据SAS可证△DEGg△MRG,得出MG3,然后根

据三角形三边不等关系定理求出。”取值范围，最后把DM=2DG代入即可求解；

(2)延长NE,DC相交于点F,根据ASA可证△/8£乌△尸CE,则AB=FC,然后由NE平分N8/。，AB//CD

可证/Q/D4R由等角对等边可得尸，最后由线段的和差关系即可求解.

(1)

解：延长。G至使GM=Z)G,连接MF,

D

EG\/F

\/

\/

\/

\/

\/

\/

\/

，M

又EG=FG,NEGD=/FGM,

：./XDEGqAMFG,

：.DE=MF,

又DE=3,

：.MF=3f

又DF=1,

,/DF-MF<DM<DF+MF,

：.7-3<DM<7+3,即4<DM<10,

.\4<2£>G<10,

：.2<DG<5；

(2)

延长。。相交于点后

'：AB//CD.

：./BAE=/F,

又BE=CE,NAEB=/FEC,

：.4ABE学AFCE,

：.AB=CF,

VZBAE=ZF,NDAF=NBAE,

：./F=/DAF,

:・AD=FD,

又FD=CD+DF,CF=AB,

：.AD=CD+AB.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形三边关系定理等知识，读懂题意，

添加“倍长中线”的辅助线是解题的关键.

14.阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1,AABC中，AB=6,AC=4,点D为BC的中点，求

AD的取值范围.

Cl)小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题.他的做法是：如图2,延长AD到E,使DE=

AD,连接BE,构造ABED咨ZXCAD,经过推理和计算使问题得到解决.

请回答：AD的取值范围是.

(2)参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3,AABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，

连接PE并延长交BC于点D.求证：PA-CD=PC«BD.

【答案】(1)1<AD<5；(2)证明见试题解析.

【详解】试题分析：(1)由△BEDgACAD,得至!!BE=AC,在4ABE中，由三角形三边关系即可得到结

论；

(2)延长PD至点F,使EF=PE,连接BF.得至U/XBEFg/XAEP,从而NAPE=/F,BF=PA,又由/BDF

BF豳

=NCDP,得至l]Z\BDFs/^CDP,故尸。=，磁:，即可得到结论.

试题解析：(1)1<AD<5；

(2)证明:延长PD至点F,使EF=PE,连接BF.：BE=AE,ZBEF=ZAEP,AABEF^AAEP,AZAPE

BFPa蹈

=ZF,BF=PA,又；/BDF=/CDP,AABDF^ACDP,APC='C©:,/.PC,即PACD=

PCBD.

考点：相似三角形的判定与性质.

15.在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法.

A

A

(1)如图1,40是A/3C的中线，AB=1,NC=5求4D的取值范围.我们可以延长40到点使DM=月。,

连接收，易证△4DC也所以的W=/C.接下来，在“8/中利用三角形的三边关系可求得力/

的取值范围，从而得到中线的取值范围是.

⑵如图2,4。是A/3C的中线，点E在边NC上，BE交AD于点、F,且/£=成，求证：AC=BF；

【答案】

(2)见解析

【分析】(1)如图1,延长/。到点使。M=4D,连接8",证明△/£>(?乌△MDB(SAS),推出/C=3〃=5,

再根据AB-BMWAM«AB+BM,可得结论；

(2)如图2,延长4D到T,使得。7=40,连接27,由△4DC乌△ZD2,推出/C=8T,NC=N7KD,推出87IMC,

再证明2尸=87,可得结论.

(1)

解：如图1中，延长40到点使D〃=4D,连接

,：AD是△XBC的中线,

：.BD=CD,

在△/£>(?和△MOB中,

DA=DM

<ZADC=/MDB,

DC=DB

：.△ZQC/△M)5(SAS),

：.AC=BM=5,

■;AB=7,

：.AB-BM<AM<AB+BM,

：.2<AM<n,

：.2<2AD<12,

：.\<AD<6,

故答案为：1V4K6；

(2)

证明：如图2中，延长/。到T,使得。7=/。，连接5T,

9：AD是△/BC的中线，

：.BD=CD,

在△4DC和中，

DA=DT

<ZADC=ZTDBf

DC=DB

：./△TDB(SAS),

:・AC=BT,ZC=ZTBD,

：.BT\\AC,

：.ZT=ZDAC,

'：EA=EF,

：.ZEAF=ZEFA,

ZEFA=ZBFT,

：.ZT=ZBFT,

：.BF=BT,

：.AC=BF

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，三角形的中线的

性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，倍长中线构造全等三角形解

决问题.

16.在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线.

(1)如图1,4D是A4BC的中线，4B=7,/C=5,求40的取值范围.我们可以延长40到点M，使DM=40,

连接易证=所以=接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的

取值范围，从而得到中线的取值范围是;

(2)如图2,4。是的中线，点£在边NC上，8E交于点尸，且/£=跖，求证：AC=BF；

(3)如图3,在四边形N3CZ)中，AD//BC,点E是48的中点，连接CE,ED且CELDE,试猜想线段

8C,CD,/。之间满足的数量关系，并予以证明.

A

E

CD

图3

【答案】（1）\<AD<6,（2）见解析；⑶CD=BC+AD,证明见解析

【分析】（1）延长40到点M,使DW=，连接9,即可证明=AMDS,则可得8M=/C,在

中，根据三角形三边关系即可得到的取值范围，进而得到中线的取值范围；

（2）延长/。到点使。，连接卸/,由（1）知A/DC三,则可得/M=NC4O,BM=AC,

由/E=EF可知，ACAD=AAFE,由角度关系即可推出/即。=/9次，故BM=3尸，即可得到ZC=89；

（3）延长CE到尸，使EF=EC,连接/月，即可证明AAEFMASEC,则可得/胡尸=/A4F=3G由

ADIIBC,以及角度关系即可证明点尸,4。在一条直线上，通过证明放ADEF之RtADEC,即可得到

FD=CD,进而通过线段的和差关系得到5=BC+ND.

【详解】（1）延长到点M,使DM=40,连接BM,

是AA8C的中线，

DC=DB,

在M.DC和AMDB中，

AD=MD,ZADC=ZMDB,DC=DB,

：.NADC=\MDB,

BM=AC,

在\ABM中,

AB-BM<AM<AB+BM,

7-5</河<7+5,BP2<AM<\2,

：.\<AD<6；

（2）证明:延长/。到点M,使。M=4。,连接四，

由（1）知AADC沁MDB,

A

AE=EF,

ACAD=ZAFE,

•・•ZMFB=ZAFE,

:./MFB=/CAD,

ZBMF=ZBFM,

:.BM=BF,

:,AC=BF,

(3)CD=BC+AD,

延长CE到尸，使EF=EC,连接Zb,

F

/.\AEF=ABEC,

/.ZEAF=ZB,AF=BC,

vADIIBC,

:.NBAD+NB=T8。。,

.•./EAF+/BAD=18V,

.•.点£4。在一条直线上,

•・•CE1ED,

：./DEF=/DEC=9。。，

在RtADEF和RtdDEC中，

EF=EC,ZDEF=ZDEC,DE=DE,

：.RtADEF也RtADEC,

FD=CD,

FD=AD+AF=AD+BC,

CD=BC+AD.

【点睛】本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平

行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关

键.

17.问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是3C的中点，点/在。E上,

且NBAE=