2025年中考数学复习：二次函数图象的平移、翻折、旋转综合问题（3题型）（解析版）

抢分秘籍14二次函数图象的平移、翻折、旋转综合问题

（压轴通关）

目录

【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）

中考预测

二次函数图象的平移、翻折、旋转综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年

都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

i.从考点频率看，二次函数图象的平移、翻折、旋转问题是几何综合，综合性比较强，同时也是高频

考点、必考点，所以必须对几何和函数图象的性质定理很熟练和贯通。

2.从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！

<（抢分通关

题型一二次函数图象的平移综合问题

典例精讲

【例1】（2024■浙江温州・一模）如图，直线了=-gx+2分别交x轴、了轴于点A,B,抛物线y=-f+机x

经过点A.

⑴求点3的坐标和抛物线的函数表达式；

⑵若抛物线向左平移〃个单位后经过点3,求”的值.

【答案】⑴点3的坐标为（0,2）,y=-f+M；

⑵%=2-&,n2-2+V2.

【分析】（1）由题意可得点A、B的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答；

（2）根据二次函数图象平移规律"左加右减，上加下减"得到平移后的抛物线的表达式，再把B的坐标代入

求解即可；

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握知识

点的应用是解题的关键.

【详解】（1）由y=+2可知，令x=0,则y=2,

-2

.•.点B的坐标为（0,2）,

令y=_；x+2=0,贝!|x=4,

.••点A的坐标为（4,0）,

代入抛物线的表达式，得-42+4%=0,解得〃?=4,

.••抛物线的函数表达式为y=-/+4x；

（2）由（1）得y=-%2+4x=+4,

・•・平移后的抛物线为＞=-（%-2+〃『+4,将点5（0,2）代入，得-（-2+〃『+4=2,

解得nx=2-V2,%=2+^2.

通关指导

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练

掌握知识点的应用是解题的关键.

【例2】（2024•江西赣州•模拟预测）如图，已知抛物线4：了=*与直线尸-1相交于4B.

（1）AB=______；

⑵抛物线右随其顶点沿直线y=向上平移，得到抛物线4,抛物线4与直线y=T相交于C,D（点、C

在点。左边），已知抛物线右顶点M的横坐标为%

①当根=6时，抛物线乙的解析式是，CD=；

②连接当△MCD为等边三角形时，求点M的坐标.

【答案】⑴2

(2)①y=-(x-6)2+3；4；0(4,2)

【分析】本题主要考查了二次函数与直线交点问题，等边三角形的性质，正切的定义：

(1)令y=-l,解方程即可求解；

(2)①根据题意可得抛物线右的顶点坐标为(6,3),从而得到抛物线4的解析式为y=-(x-67+3,再令

y=T,解方程即可求解；②根据题意可得从而得到抛物线4的解析式为y=-(x-加

令V=T,可得。。=而百，过点M作九OLCE于点E,则腔=gm+l,CE="；+4,然后根据是

等边三角形，得出/MCE=60。，再根据锐角三家函数即可求解.

【详解】(1)解：对于了=-2,

当歹=一1时，-1=-X2,

解得：x=±l,

・••点4(—1,—1),5。,—1),

・•・AB=2；

故答案为：2

(2)解：①对于y=

当x=6时，y=gx6=3,

.♦•抛物线右的顶点坐标为(6,3),

；•抛物线4的解析式为y=-(x-6)2+3,

当y=_］时，_I=_(X—6)2+3,

解得：x=8或4,

.\C(4,-1),5(8,-1)

：.CD=4；

故答案为：y=-(x-6)2+3；4

②解：：点M在直线y=；X上，

Mym^mj,

1

.♦•抛物线右的解析式为N=-（X-加）2+—m,

2

,S1

当y=_l时，_]=_（1_冽）+—m,

々刀/曰Y2ni+45V2m+4

用牛将：x=-----------F冽或x=---------------Fm，

22

、'/2冽+4、

：.C+m,-1,D+—1,

2

77

***CD=V2m+4，

N2m+4

如图，过点M作MD_LCE于点£,贝+CE=

22

•・・△MCD是等边三角形,

：.ZMCE=60°,

-m+\

tanZMC£=—2

2

解得：加=4或-2（不合题意，舍去）,

・••点M的坐标为（4,2）.

名校模拟

1.（2024•陕西西安三模）已知抛物线。:了="2+笈-4的对称轴为x=2,且过点/（1,2）.

⑴求抛物线C的表达式及顶点坐标;

⑵对称轴直线工=2与x轴的交于点。，与抛物线。交于点N.平移抛物线。得到抛物线U,使得抛物线C

的顶点〃在直线x=2的右侧.若等腰三角形。NM面积为8,请叙述平移过程.

x

【答案】⑴y=-2x?+8x-4,顶点坐标为（2,4）；

⑵将抛物线C向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线C'；或将抛物线C向右平移

4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线C,或将抛物线C向右平移4个单位长度，得到抛

物线C.

【分析】此题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移：

（1）由对称轴为x=2,得6=-4。，将点41,2）代入了="2-4«-4,得。=-2,由此得到抛物线的解析

式及顶点坐标；

（2）设平移的距离为刀，根据等腰三角形DW面积为8,得到为该等腰三角形的高，4为底，抛物线。的

顶点M的纵坐标为2,求出〃=4,即可得到平移的过程.

【详解】（1）.••对称轴为x=2,

---=2,即b=-Aa,

2a

将点4（1,2）代入^=〃工2一44%一4,

a—4。—4=2,

解得〃=-2,

y=-2f+8尤-4=-2（x-2『+4

；.顶点坐标为（2,4）；

（2）♦.•顶点坐标为（2,4）,

.•.D（2,0）,N（2,4）,

DN=4,

设平移的距离为人

当=（时，如图，

•••等腰三角形0W面积为8,

二〃为该等腰三角形的高，4为底，抛物线C的顶点”的纵坐标为2,

—x4A=8,

2

解得〃=4,

.\M（2+4,2）,即M（6,2）,

.♦.将抛物线C向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线C，.

当。M=DN=4时，如图，

可得M（6,0）,

...将抛物线C向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线C<

当=时，如图，

可得M（6,4）

.♦.将抛物线C向右平移4个单位长度，得到抛物线C'

2.（2024・贵州安顺•一模）如图，二次函数必=2/+法+。与x轴有两个交点，其中一个交点为4-1,0）,且

⑴求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；

⑵将二次函数%=2Y+6x+c向左平移1个单位，得函数%=;%与>轴的交点坐标为

⑶在(2)的条件下，将直线45向下平移〃(〃>0)个单位后与函数外的图象有唯一交点，求〃的值.

1Q

【答案】(1)必=2(x+：)—石

4o

5Q

⑵%=2。+：)2_3，(0,2)

4o

(3)H=1

【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题.

(1)用待定系数法直接将点42代入即可;

(2)涉及函数图象的平移，记得左加右减，求与y轴的交点坐标时令x=o即可;

(3)先求出直线N3的解析式，再跟抛物线解析式联立，只有一个交点即根的判别式为0.

【详解】(1)解：将4T0),8(1,2)代入％B2铲+瓜+。得

2-b+c=0b=l

2+—解得

c=-l

ia

该二次函数的表达式为必=2x2+x-l=2(x+：)-g；

48

19

(2),•*—2(xH—)—

148

iaia59

将二次函数必=2(x+/w向左平移1个单位，得函数外⑶+小尸/叱/人

令尤=0得%=2

%与了轴的交点坐标为(0,2)；

(3)设直线48解析式为歹=h+6

将/(-1,0),8(1,2)代入得

-k+b=0k=l

k+b=2解得

b=l

1.V=X+1

将直线45向下平移n(n>0)个单位得y=x+\-n

y=x+l-n

59

59得2(x+—y——=x+\-n

由，y=2(x+-)29--i18

48

整理得2x2+4x+n+l=0

y=x+l-〃与函数外的图象有唯一交点

A=16—8(〃+1)=0

..M—1.

3.(2024•安徽池州•二模)如图，抛物线匚了="2+法+。与X正半轴交于点/(3,0),与y轴交于点8(0,3),

对称轴为直线尤=1.

图②

⑴求直线的解析式及抛物线的解析式;

(2)如图①，点尸为第一象限抛物线上一动点，过点P作尸轴，垂足为C,PC交于点D,求当点P

的横坐标为多少时，PD+AD最大;

⑶如图②，将抛物线Cy=ax2+bx+c向左平移得到抛物线/，直线ZB与抛物线少交于V、N两点，若

点B是线段的中点，求抛物线Z的解析式.

【答案】⑴>=-x+3,y=-x2+2x+3；

⑵点尸的横坐标为三"时，PD+4D有最大值;

2

215

⑶y=-x—x+二.

4

【分析】(1)利用待定系数法解答即可求解；

(2)设点尸的横坐标为乙则尸”,-〃+2/+3),C(z,0),D(t,-t+3),先证明ANCA为等腰直角三角形，得

到/。=0虫7=血(3-。，进而得到9+/。=-1-匕自]+上£2,根据二次函数的性质即可求解；

I2)4

(3)设平移后抛物线〃的解析式y=-(x-〃7)2+4,联立函数解析式得-X+3=-(X-〃?)2+4,整理得，

22

x-(2m+l)x+»7-l=0,设M(X],必)，N(x2,y2),则为，莅是方程x?-(2加+1)尤+病_1=。的两根，由B

为MV的中点可得2加+1=0,求出机即可求解；

本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象

的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

【详解】(1)解：•••抛物线二y=#+6x+c与x正半轴交于点出3,0),与y轴交于点8(0,3),对称轴为直线

X=1,

9〃+3b+c=0a=-l

，<。=3,解得<6=2,

bic=3

-----=1L

、2a

•*.抛物线L的解析式为y=-x2+2x+3；

设直线AB的解析式为y=丘+3(后H0),把A(3,0)代入得，

3左+3=0,

解得上=7，

直线AB的解析式为y=-x+3；

(2)解：设点尸的横坐标为乙则尸«,-》+2/+3),C«,0),D(t,-t+3),

AC=3—Z，PD=—t~+3t,

•.•/(3,0),8(0,-3),

;.OA=OB=?>,

.•.△NOB为等腰直角三角形，

NOAB=45°,

,.•PC_Lx轴，

.•.△/CD为等腰直角三角形，

.­.AD=y/2AC=y/2(3-t),

：.PD+AD=-f+3f+3V2-41t=-[t-~^]+"+2

I2J4

・•・当/=匕2时，PD+4D有最大值，

2

即点P的横坐标为三正时，尸有最大值；

2

(3)解：由(1)可知，直线45的解析式为>=-x+3,

抛物线£为：y--x2+2x+3=-(x-1)2+4,

•••设平移后抛物线L'的解析式y=-(X-加)2+4,

y=-X+3

联立函数解析式得，

y=-(x-m丫+4'

—x+3——(x—冽)？+4,

整理得，x2-(2m+l)x+m2-1=0,

设N(%2J2)，则项，才2是方程X2-(2加+l)x+/T=0的两根，

：.X]+工2=2加+1,

・・・5为的中点,

玉+々=0，

2m+1=0,

解得加=,

2

：+4-x+”.

抛物线少的解析式》=-

।4

4.(2024•广东佛山•一模)综合运用：已知，抛物线y=ax?+法+2如图1所示，其对称轴是x=l.

图1图2

⑴①写出。与6的数量关系；

②证明：抛物线与直线夕=-2尤+2有两个交点;

⑵如图2,抛物线经过点(-将此抛物线记为片，把抛物线月先向左平移2个单位长度，再向上平移

1个单位长度，得抛物线旦.

①求抛物线用与x轴的交点坐标；

②点尸为抛物线耳上一动点，过点尸作x轴的垂线，交抛物线外于点。，连接尸。，以点尸为圆心、尸。的

长为半径作。尸.当。尸与x轴相切时，求点尸的坐标.

【答案】⑴①6=-2.,②见解析

⑵①(-1,0),(3,0)；②(-3,-13)或(1,3)或(3+而,-11一4而)或(3-厢,-11+4W)

【分析】(1)①根据对称轴是x=l,列式-，=1,即可求解，②联立抛物线与直线方程，计算A并配方,

2a

即可求解，

(2)①将(-1,-1)代入y=ax2-2ox+2,求出抛物线片的表达式:y=-x2+2%+2,顶点式：y=-(x-1)2+3,

根据坐标的平移，得到抛物线鸟的表达式，当y=0时，即可求解②，根据PQ与p点纵坐标的绝对值相等,

列出等式，即可求解，

本题考查了，抛物线的对称轴，求抛物线解析式，二次函数图象的平移，解题的关键是：根据题意列出等

量关系式.

【详解】(1)解:①•.•抛物线y=a/+bx+2的对称轴是X=l,

=1,即：b=-2a，

2a

・••抛物线方程为：y=ax2-2ax+2,

y——2x+2

②联立抛物线与直线方程,

y-ax2-2ax+2

整理得：ax2+(2-2Q)X=0,

Va<0,

・•・A=(2->0,

・・・抛物线与直线y=-2x+2有两个交点，

故答案为：@b=-2a,

(2)解：(J)将(一1,—1)代入歹=ox?—2ox+2,得：一1=a(—I)?—2〃.(一1)+2,

解得：a=-\,

・•・抛物线表达式为：y=+2x+2,顶点式为：y=—(x—l『+3,

•・,抛物线片先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得抛物线8，

・,•抛物线鸟的表达式为：)=-(%+巾+4=-x2-2%+3,

当歹=0时，o=—――2X+3,

解得：再=-3,%2=1,

・・・抛物线月与x轴的交点坐标为：(-3,0),(1,0),

②)根据题意得：卜工2+2x+2—(―%2—2x+3)|=|—%2+2%+3，

-x?+2x+2-(-——2%+3)-—+2x+2,-+2x+2-(--2%+3)--2x-2,

整理得：x2+2x-3=0,或工2_6工-7=0,

解得：x=-3^x=l^x=3+V10x=3-V10,

当x=—3时，y=—(―3)2+2x(-3)+2=—13,P(—3,—13),

当x=l时，y=—(1『+2x(l)+2=3,。(1,3),

当x=3+而时，y=—(3+而『+2义(3+而卜2=—11—4跖，尸(3+厢,—11—4历)，

当x=3—而时，y=—(3—M『+2x(3—而卜2=—11+4跖，尸(3—丽,—11+4历)，

故答案为：(―3,—13)或(1,3)或(3+厢,—11一4丽)或(3—丽11+4w).

5.(2024•江西南昌•一模)综合与实践

特例感知

(1)如图1,对于抛物线必=—5(x—1)(%—3)+3,%=—万工(%—4)+3,%=—5(x+1)(%—5)+3,

”=-g(x+2)(x-6)+3,下列结论正确的序号是.

①抛物线必，%,%，乂的对称轴是直线》=2;

②抛物线乂，%，力，乂由抛物线y=依次向上平移2个单位长度得到；

③抛物线乂，%,力，”与直线y=3的交点中，对称轴两侧相邻两点之间的距离相等.

概念形成

把满足纥=-，》+“-2)(尸〃-2)+3的抛物线称为“族抛物线

知识应用

如图2,“族抛物线的顶点依次为Mj,M2,M，/，…，M".

(2)试求线段的长.(用含〃的代数式表示)

(3)"族抛物线"乂，%,%,…，然上分别有点月，鸟，鸟，...，Pn,它们的横坐标分别是2,3,4,

〃+1.试判断点P2,P3,勺是否在同一条直线上，如果在，求出此直线的解析式；如果不在，请说

明理由.

【分析】

(1)求出每个抛物线的顶点坐标和对称轴，及其与直线y=3的交点坐标，即可得出答案；

z2

(2)先将尤=-；(x+"-2)(尤---2)+3变形为”=一!(02)2+且+3,得出”的顶点坐标为％2,g+3

222I，

(n+1)2

并得出2,乙乙+3,求出结果即可；

(3)先求出点月，P2,月，…，P„,然后求出直线耳巴的解析式，再说明月，P…匕在直线上.

【详解】解：（1）y1=-1（x-l）（x-3）+3

x2+2x+—

22

(x-2)2+—,

2V72

顶点坐标为（2,g

.••抛物线的对称轴为直线x=2,

>2=_}(%_4)+3

=—%2+2x+3

2

=_*-2)2+5,

.•.抛物线的对称轴为直线&=2,顶点坐标为（2,5）；

%=_,(%+1)(%_5)+3

12c11

—X+2xH—

22

1Zc\215

=——(x-2)+—,

2V72

顶点坐标为12,蔡.

...抛物线的对称轴为直线x=2,

y4=(x+2)(%-6)+3

1

=—x9+2x+9

2

=_#_2)2+"，

.••抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为（2,11）；

①抛物线必，%，力，乂的对称轴是直线》=2,故①正确；

②抛物线必，%，力，乂由抛物线》=-；（苫-2）2向上平移得到，但不是2个单位，故②错误;

③抛物线yi=-1（x-l）（x-3）+3与直线y=3的交点坐标为4（1,3）,4（3,3）；

抛物线％=_：x（尤-4）+3与直线片3的交点坐标为鸟（0,3）,4（4,3）；

抛物线力=-；（x+l）（x-5）+3与直线y=3的交点坐标为员（-1,3）,A3（5,3）；

抛物线y4=-1(x+2)(x-6)+3与直线y=3的交点坐标为54(-2,3),4(6,3)；

抛物线乂，外，为，乂与直线V=3的交点中，对称轴两侧相邻两点之间的距离相等，故③正确.

综上分析可知，正确的是①③；

一—4、一〃2+4)+3

•••"族抛物线"约的顶点坐标为M“[2,g+3],

("+1)2

则M向2,^^+3,

・"A/_(〃+1)2Q/I々)_2〃+1

MM

••nn+\=---+3-1万+3]=2；

(3)把＞2代入必=_*-2)2+：得：%=g,则+，.

把x=3代入力=-；(x-2p+5得：%=g,则巴卜，|]；

把"4代入力=-；卜一2)2+：得：%=?,贝

把x=5代入乂=-g(x-2『+ll得：%=葭，则心，,：)；

把》="+1代入%=(无一2『+L+3得：”="+■!，贝！1匕[〃+1,〃+|*

222I2.

7

79

设直线48的解析式为广丘+6,把用2,2

29

2

解得：

3

・・・直线肥的解析式为＞='+

把x=4代入y=x+：3得11

313

把x=5代入了=x+：得y=

35

把》=〃+1代入了=》+5得了="+5，

.•.点A、片、£在直线耳心上，

.•.点耳，P2,A，…，匕在同一条直线上.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的性质，求一次函数解析，解题的关键是数形结合，熟练

掌握二次函数的性质.

题型二二次函数图象的翻折综合问题

典例精讲

【例1】（2024•湖北孝感•一模）如图1,抛物线夕=。/+乐+：与x轴相交于/；,（）］、o］两点，与y

轴交于点C,连接8C,抛物线顶点为点

⑴直接写出a,b的值及点M的坐标;

⑵点N为抛物线对称轴上一点，当/N+CN最小时，求点N的坐标;

⑶平移直线BC得直线y=mx+n.

①如图2,若直线N=Mx+〃过点M,交x轴于点。，在x轴上取点E,连接EM,求/。血化的度数.

②把抛物线>="2+区+（在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3）.当直线^=加关+〃与新图象有

两个公共点时，请直接写出n的取值范围.

【答案】⑴。=1,6=-3,点W的坐标为］|,一1

⑵点N的坐标为

i529

⑶①勿磔=45。；②当直线'=加工+〃与新图象有两个公共点时，〃的取值范围为]<〃<1或"〉记.

【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式即可；

3

(2)点N为直线3C与直线x=彳的交点时，/N+CN最小，利用待定系数法求得直线BC解析式，据此求

2

解即可；

(3)①如图2,过点E作E尸于尸，过点“作轴于X,利用解直角三角形求得E尸、FM,

再利用三角形外角的性质即可求解；

②由题意可得翻折后的图象的解析式为了=-1-|]直线8C平移后的解析式为

y=-i1-x+n,联立方程得-r-97+〃+：5=0,利用根的判别式求得〃=2档9，即可求得答案.

22416

【详解】⑴解：当—时，片：,

设抛物线解析式为

把代入，得：|=«[o-|Jo

解得：a=X,

3

⑵解：由⑴得对称轴为直线户鼻

/[J'。；两点关于直线x=|对称，

3

・••点N为直线6c与直线％=的交点时，ZN+CN最小,

2

设直线解析式为>=区+

4

把代入得0=:左+3，

U)24

解得左V

.♦•直线3C解析式为y=-1x+3，

24

、“321351

当x=一时，y=—X—+—=—,

22242

.••点N的坐标为(m，；)；

(3)解：①直线BC解析式为＞=一;x+：,

直线BC平移后的解析式为y=-^x+n,

(3\1131

把点M的坐标-,-1代入»=一彳%+几得一1=一3、5+〃,解得〃=一］

二直线DM的解析式为y=-g尤

24

令y=o,WO—~~x~~f

24

解得：x=-(，

2

如图2,过点£作环，。河于R过点M作必/_Lx轴于凡

则呜。）,

MH=1,DH==2,

在RtADA/H中，DM=NDH?+MH2=打+俨=下,

MH

sinABDM=----

DEPM

EF_1

5V5

3

DF2

L2A/5

FM=DM-DF=J5—--=—

在Rt^MEF中，tanZEMF=-----=1,

FM

:・/EMF=45。,即/DAffi*=45。；

②:y=—―31+：=卜一：1-1,

把抛物线在X轴下方图象沿X轴翻折得到新图象，如图,

1=一0&+”

则翻折后的图象的解析式为了=-口-£|

•.•直线BC解析式为夕=-1X+。，

24

直线3c平移后的解析式为y=-gx+〃，

联立方程得一（x-|]+l=-gx+〃，

75

整理得：x2----1+〃+—=0，

24

当直线平移后与抛物线y=-1x-只有一个交点时,

△二1—：]—4X1X]H+j=0,

解得：«,

16

当直线3C平移后经过点/化01时，0=-底：+”,解得：〃=1,

12）224

1s29

・・•当直线＞=s+〃与新图象有两个公共点时’〃的取值范围为或〃＞记.

通关指导

本题考查用待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的应用、勾股定理、一元二次方程的根

与判别式的关系、解一元一次方程及解二元一次方程组，熟练利用待定系数法求得二次函数解析式是解

题的关键.

【例2】（2024•四川德阳•模拟预测）学习了二次函数后，我们发现抛物线的形状由二次函数的二次项系数决

定.已知抛物线歹="2-4办-4（a＞0）.

⑴如图1，将抛物线＞=仆2-5-4在直线＞=-4下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个

新的函数图象"印翻折后，抛物线顶点/的对应点4恰好在x轴上，求抛物线、="2-4«-4的对称轴及

a的值；

⑵如图2,抛物线y=aY-4办-4（。＞0）的图象记为"G”,与y轴交于点8；过点8的直线与（1）中的图象

"册（x＞2）交于尸,C两点，与图象"G"交于点D

①当a=g时，求证：PC=CD；

PC

②当awl时，请用合适的式子表示/（直接写结果）.

【答案】⑴X=2,4=1;

⑵①详见解析；②F

-1+(2

【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似和三角形全等：

一4〃

(1)抛物线＞一4ax-4的对称轴为x=--，即为x=2,根据翻折可知点/的纵坐标为-8,即点/

2a

的坐标为(2,-8),进而求解；

(2)①证明AC9附ADCN(ASA),即可求解；

PCPQIk2a

②当a＞0且awl时，证明ACPQSADPT,贝(]=房=^^=,即可求解；当。＞1时，同理可

Z-Xji//CI1IQI1IQ

解.

【详解】(l)解：抛物线的对称轴为直线：x=-?，即为x=2.

2a

根据翻折可知点/的纵坐标为-8,即点/的坐标为(2,-8).

将点力的坐标代入抛物线表达式得：4a-8°-4=-8,

解得：a=l,

即抛物线的对称轴为直线x=2,a=l；

(2)解:­：a=1,

X2-4X-4（X<0^X>4）

图象"FT的解析式为＞=＜

-X2+4X-4（0<X<4）

①证明：当时，图象"C"的解析式为y=|x2-1x-4.

设直线BD的解析式为、=依-4.

当fcv-4=/一4%一4时，

解得了=0或x=4+左，

・,•点。的横坐标为4+%.

当kx—4=—x2+4%-4时，

解得x=0(舍去)或x=4-k,

・••点P的横坐标为4—k.

14

当kx-4=—x2——x-4时,

33

角犁得％=0或x=4+3左，

・・・点。的横坐标为4+3人.

如图1,作尸W〃x轴，过点。作CA/_Lx轴交9于点M,

作CN〃工轴，过点。作DN^LCN交CN于点、N.

由各点横坐标可得：PM=4+k—(4—k)=2k,CN=4+3k—4—k=2k,

：.PM=CN.

•・•尸M〃工轴，C7V〃x轴,

：.PM//CN,

：.ZDCN=ZCPM.

•：DN1CN,CM1PM,

：./CMP=/DNC=90。.

：.ACPM^ADCA^(ASA),

・•.PC=CD.

②当〃〉0且awl时，图象"G"的解析式为y=ax2-4ax-4(a>0S.a^V).

由①可知点尸的横坐标为4-左，点。的横坐标为4+k.

4/7+k

当丘一4=a/-4。无一4（。>0且〃R1）时，解得：尤="三

a

....点。的横坐标为北堂

a

当0<a<l时，如图2,作尸。〃1轴，过点。作轴，交?。于点。，过点。作。轴交?。于点T.

由各点的横坐标可知尸。=4+4-（4-左）=2左，依=牝史_（4-左）=乂1H

aa

CQ1PQ,DTLPT,

・•・CQ\\DT.

・,.△CPQs△。尸了

PC_PQ_2k_2a

则

PDPTk(\+a)\+a'

当Q〉1时，如图3,作尸。〃X轴，过点。作轴，交P0于点。，过点。作。轴交尸。于点T.

由各点的横坐标可知PQ=4+k-（4-k）=2k,尸？=虫土上（4一左）=乂3

aa

•：CQ1PQ,DTLPT,

・・・CQ\\DTf

・,.△CPQs△。尸了

则%=理=___2_k__=—2a

7PDPT左(1+a)\+a'

综上所述，用含。的式子表示K为备

名校模拟

1.（2022•湖南衡阳•中考真题）如图，已知抛物线j=--x-2交x轴于A、8两点，将该抛物线位于x轴下

方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为"图象沙"，图象少交了轴于点C.

⑴写出图象少位于线段上方部分对应的函数关系式；

⑵若直线y=-x+6与图象/有三个交点，请结合图象，直接写出6的值；

(3)P为x轴正半轴上一动点，过点尸作20〃y轴交直线3C于点交图象用于点N,是否存在这样的点

尸，使A&W与△03C相似？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴>=-x2+%+2(-l<x<2)

⑵6=2或6=3

⑶存在，(1,0)或［瞥2()］或(1+行,0)

【分析】(1)先求出点/、B、C坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可;

(2)联立方程组，由判别式△=()求得6值，结合图象即可求解；

(3)根据相似三角形的性质分/CMW=90。和/NCW=90。讨论求解即可.

【详解】(1)解：由翻折可知：C(0,2),

令--》-2=0,解得：玉=-1,X,=2,

.•./(TO),8(2,0),

设图象甲的解析式为y=a(x+l)(x-2),代入“0,2),解得°=一1,

对应函数关系式为了=-(x+l)(x-2)=f2+x+2(-1<%<2).

=-x+b

(2)解：联立方程组

——f+x+2

整理，得：x2-2x+b-2=0,

由△=4-4(6-2)二0得：b=3,此时方程有两个相等的实数根，

由图象可知，当加2或加3时，直线歹=f+6与图象少有三个交点;

(3)解：存在.如图1,当CN〃OB时，AOBCs^NMC,此时，N与C关于直线苫=1对称,

二点N的横坐标为1,；.P(l,0)；

如图2,当CN〃。台时，丛OBCs^NMC,此时，N点纵坐标为2,

由x2-x-2=2,解得X[=、+,x2=--(舍),

1222

•••N的横坐标为叶姮，

2

所以尸

I7

如图3,当NNCN=90。时，AOBCsACMN,此时，直线CN的解析式为y=x+2,

联立方程组："=x：2解得xi+氐尤=1一店(舍),

[y=x-x-2

的横坐标为1+石，

所以网1+指,0),

题型三二次函数图象的旋转综合问题

典例精讲

【例1】(新考法，拓视野)(2024•江西南昌•一模)如图、在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y=f2+2x+3

与x轴交于点A,点B(点A在点3的左侧)，与V轴交于点C,尸为抛物线G的顶点，连接PB,将抛物线

G绕点。旋转180°得到抛物线G.

⑴求抛物线C?的解析式.

(2)连接/C,BC,求sin乙4cs的值.

⑶连接CP，。是抛物线。2上的点，若满足NQCO=N尸5C,求点。的坐标.

【答案】⑴y=/+2x-3

(2)sinZ^C5=|V5

(3)点0的坐标为(-2,-3)或(1,0)

【分析】

本题主要考查二次函数的图象与性质，中心对称的性质以及与解直角三角形相关的计算：

(1)由G：y=r2+2x+3求出与x轴的交点3(3,0),顶点坐标尸(1,4),设C?的解析式为

y=a(x+l)2-4,将点A关于原点对称的点的坐标(LO)代入，求出。=1,即可得C2的解析式；

(2)过点3作于点E,由两点间距离公式求出JBC=3e',48=4,/C=J8,由三角形面积公式求

出8£=她0,从而可求出sin//C8=26；

55

(3)证明△8PC是直角三角形且tan/P3C=；,分点。在了轴左侧和右侧两种情况，根据N0CO=NPBC

即tanAQCO=tanZPBC=1讨论求解即可.

2

【详解】(1)解：对于。+2x+3,当x=0时，v=3；当y=0时，-x+2x+3=0,

解得,占=-1,%=3,

.*.C(0,3),^(-1,0),5(3,0),

又G:y=-x?+2x+3=-(x-1)2+4,

.♦•抛物线的顶点P的坐标为(1，4),

设点A关于原点对称的点0的坐标为(1,0),

由旋转知，C2的顶点坐标为(-1,-4),且过点H(1,0),

，设。2的解析式为y=a(x+l/-4,

把代入得，4«-4=0,

解得，a=1,

C,的解析式为=(x+1)2-4=x2+2%-3；

(2)解：•••C(0,3),/(-l,0),3(3,0),

^5=|3-(-1)|=4,AC=^(-1-0)2+(0-3)2=瓜BC=^(3-0)2+(0-3)2=372,OC=3,

•••^sc=1^xOC=1x4x3=6,

过点2作于点E,如图,

贝1JS/Bc=34CxBE=；义屈xBE=6,

'BE=^=枭*屈，

6A/10

,,sinZACB=^~=—42

BC372

（3）解：VP（l,4）,5（3,0）,C（0,3）,

:.PB2=（l-3）2+（4-0）2=20,SC2=（3-0）2+（0-3）2=18,PC2=（1-0）2+（4-3）2=2,

:.PC?+BC?=PB?,

：.APBC是直角三角形,

：.tanZPBC=—=g=-；

BC3V23

分两种情况:

⑴当点。在y轴左侧时，如图，过点。作。尸,〉轴于点尸,

ZQCO=ZPBC,

：.tanZQCO=tanZPBC=1,

设点。的坐标为（加加+2加-3）,则：QF=-m,CF=3-m2-2m+3,,

.-m_1

3-m2—2m+33'

解得，吗=-2,%=3,

经检验，吗=-2,加2=3是原方程的根,

又加＜0,

m=—2,

此时，点。的坐标为(-2,-3)；

(")当点。在，轴右侧时，如图,

•.,点/关于原点对称的点H的坐标为(1，0),

・•・OH=1,

Q4'1

,

连接C4',则有：tanZACO=-=-f

tan/A'CO=tan/PBC,

点。与点H重合，

A2(1,0),

综上，点。的坐标为(-2,-3)或(1,0)

通关指导

本题主要考查二次函数的图象与性质，中心对称的性质以及与解直角三角形相关的计算.

【例2】(2023•陕西西安•模拟预测)已知抛物线/。="2-；芯-2与x轴相交于/、B两点(点2在点/的

左侧)，点/的坐标是(4,0),与y轴相交于点C,将抛物线工绕点Q0)旋转180。得到抛物线乙.

⑴求抛物线4的函数表达式.

⑵将抛物线4向左或向右平移，得到抛物线右，右与x轴相交于0、9两点(点9在点H的左侧)，与»

轴相交于点C,要使5炭@。=25?4，求所有满足条件的抛物线4的函数表达式.

1Q

［答案］⑴尸_j'_3