2025年中考数学大题专练：圆中的证明与计算问题（8大题型）（解析版）

中考大题06圆中的证明与计算问题

考情分析•直击中考

中考数学中，圆的基本性质、与圆有关的位置关系一直都是必考的考点，难度从基础到综合都有通常

选择填空题会出圆的基本性质，如弧长、弦长、半径、圆周角等的关系,基本都是基础应用，难度不大，个

别会出选择题的压轴题，难度稍大.简答题部分，一般会把切线的问题和相似三角形、锐角三角函数等结合

考察，这是一般都是中等难度的问题.还有一些城市会把圆的基本性质等与其他动点问题综合考察,此时一

般都是压轴题，难度很大，这时候就需要考生综合思考的点比较多.

琢题突破•保分必拿

圆与全等/相似三角形的综合

圆幕定理

四点共圆

圆的综合

题型一：圆中的角度和线段计算问题

龙麓》大题典例

1.（2023,浙江杭州•中考真题）如图，在。。中，直径4B垂直弦CD于点E,连接2。/。,灰7,作CF12D于

点K交线段。B于点G（不与点。方重合）,连接。F.

A

(1)若BE=1,求GE的长.

(2)求证：BC2=BG-BO.

(3)若FO=FG,猜想NC4D的度数，并证明你的结论.

【答案】(1)1

⑵见解析

(3)^CAD=45°,证明见解析

【分析】([)由垂径定理可得N4ED=90。，结合CFL/W可得AD4E=NFCD,根据圆周角定理可得

乙DAE=£BCD,进而可得NBCD=NFCD,通过证明△BCE三△GCE可得GE=BE=1；

(2)证明aaCB々CEB,根据对应边成比例可得BC2=B4-BE,再根据4B=2B0,BE=3BG,可证BC2

=BGBO；

(3)设N£ME=NC4E=a,4FOG=LFGO=0,可证戊=90。-0,Z.OCF=90°-3a,通过SAS证明

ACOF=AAOF,进而可得NOCF=4。49，即90°—3a=a,则Z/MD=2a=45°.

【详解】(1)解：••・直径48垂直弦CD,

•••Z.AED=90°,

・•・/-DAE+ZD=90°,

•・•CF1AD,

・•・/.FCD+ZD=90°,

・♦・乙DAE=Z-FCD,

由圆周角定理得"ZE=乙BCD,

・•・Z-BCD=Z-FCD,

在△BCE和△GCE中,

(乙BCE=Z-GCE

{CE=CE,

l乙BEC=乙GEC

:.ABCE=AGCE(ASA),

.・・GE=BE=1；

(2)证明：；4B是。。的直径，

•­•/.ACB=90°,

在△acB和acEB中，

(^ACB=乙CEB=90°

I/.ABC=Z.CBE'

•••AACBMCEB,

.BC_BA

BC2=BA-BE,

由(1)知GE=BE,

•••BE=^BG,

又：AB=2BO,

•••BC2=BA-BE=2BO-^BG=BG-BO；

(3)解：ACAD=45°,证明如下：

如图，连接。C,

A

BFO=FG,

・•・Z.FOG=Z-FGO,

•・•直径AB垂直弦CO,

・•.CE=DE,Z-AED=Z.AEC=^°,

又・.•AE=AE,

AACE=AADE(SAS),

・•・Z.DAE=Z-CAE,

^Z.DAE=/.CAE=a,乙FOG=幺FGO=B，

贝!JzJ7。。=乙BCD=Z-DAE=a,

•・•OA=OC,

•••Z.OCA-Z-OAC=a,

又乙408=90。，

・•・Z.OCF=Z.ACB-/.OCA-Z.FCD-乙BCD=90°-3a,

•・•(CGE=^OGF=B，LGCE=a,/.CGE+/.GCE=90°

・•・p+a=90°,

・•・a=90°—/?,

•••Z-COG=Z.OAC+Z.OCA=a+a=2a,

・•・Z.COF=乙COG+Z.GOF=2a+3=2(90°—£)+夕=180°一夕，

Z.COF=Z.AOF,

在△c。尸和△z。尸中，

(CO=AO

\Z-COF=£.AOF

IOF=OF

・•・ACOF^A>1OF(SAS),

•••Z.OCF=Z.OAF,

即90。一3a=a,

・•・a=22.5°,

•••Z-CAD=2a=45°.

【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三

角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论

证.

2.(2023•山东・中考真题)如图，已知4B是。。的直径，CD=CB,BE切。。于点B,过点C作CF1OE交BE

于点尸，若EF=2BF.

(1)如图1,连接BD,求证：△ADBmAOBE；

(2)如图2,N是力。上一点，在4B上取一点M,使NMCN=60。，连接MN.请问：三条线段MN,BM,DN有

怎样的数量关系？并证明你的结论.

【答案】⑴见解析

⑵MN=BM+DN,证明见解析

【分析】

(1)根据CF1OE,OC是半径，可得CF是。。的切线，根据BE是。。的切线，由切线长定理可得

BF=CF,进而根据sinE=M=J,得出NE=30。，Z.EOB=60°,根据CD=CB得出而=而，根据垂径定

理的推论得出。C1BD,进而得出4WB=9(T=NEB。，根据含30度角的直角三角形的性质，得出

AD=BO=^AB,即可证明△4BD三△OEB(AAS)；

(2)延长ND至H使得=连接CH,BD,根据圆内接四边形对角互补得出NHDC=NMBC,证明

△HDC^△MBC(SAS),结合已知条件证明NC=NC,进而证明△CNH三△CNM(SAS),得出NH=MN,

即可得出结论.

【详解】(1)证明：：CF1OE,0C是半径，

是。。的切线，

「BE是。。的切线，

：.BF=CF,

:EF=2BF

尸1

----

.sinF尸2

Z.zE=30°,4EOB=60。，

,・・CD=CB

：.CD=CB,

：.OClBDf

〈AB是直径,

：.2LADB=90°=/LEB09

VzE+zEBD=90°,Z.ABD+Z.EBD=90°

：./-E=^ABD=30°,

：.AD=BO=^AB,

：.AABD=△OEB(AAS)；

(2)MN=BM+DN,理由如下，

延长ND至“使得OH=BM,连接C",BD,如图所示

■:乙CBM+乙NDC=180。/”。。+Z.NDC=180°

:.乙HDC=cMBC,

•：CD=CB,DH=BM

：.△HDC=△MBC(SAS),

:•乙BCM=^DCH,CM=CH

由(1)可得乙480=30。，

又ZB是直径，贝！］乙4。8=90。，

・・・乙4=60。，

：.Z-DCB=180°一乙4=120°,

VZMC/V=60°,

:•乙BCM+乙NCD=120°一乙NCM=120°-60°=60°,

，Z.DCH+NCD=乙NCH=60°,

工乙NCH=（NCM,

•;NC=NC,

：.△CNH=△CNM（SAS）,

：.NH=MN,

：.MN=DN+DH=DN+BM.

即MN=BM+DN.

【点睛】本题考查了切线的判定，切线长定理，垂径定理的推论，全等三角形的性质与判定，根据特殊角

的三角函数值求角度，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的

关键.

茏龙》犀黄指导.

圆的基础定理：垂径定理、圆周角定理、切线长定理的内容和常考题型要熟悉，也要结合几何图形各自的

特征，综合应用起来解决相关问题.

垂径定理野小三德三L

如图，可得①AB过圆心②AB_LCD③CE=DE④筋=前⑤前=俞

【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的

弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其

中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造RtZ\,用勾股，求长度；

2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.

【利用圆周角定理解题思路】

1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以

利用圆周角定理进行角的转化.

2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.

3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角.

4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧

的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.

茏变》一变其训级

1.（2023•河南商丘•模拟预测）如图，过。。外一点尸作。。的两条切线，切点分别为4,B,过点8作

BCIIP4交。。于点C,连接4B,AC.

（2）若AP=6,AB=4,求。。的半径.

【答案】⑴见解析

O

（2）p/2

【分析】（1）连接04并反向延长交BC于点瓦根据切线的性质得到NEAP=90。，由BCIIP4易得

^CEA=Z.EAP=90°,即根据垂径定理得到BE=EC,即可得出结论；

（2）连接PO,与4B交于点H根据切线的性质得到P4=PB,ABPO=AAPO,由垂径定理得到P。14B,

AF=^AB=2,利用勾股定理求出PF,证明△FP2~X2P。，根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】（1）证明：连接。4并反向延长交于点E.

•••AEAP=90°.

•••BCWPA,

・•・/,CEA=2LEAP=90°,^AEIBC,

・•.BE=EC,

AB=AC；

•••PA.PB分别与。。相切，切点分别为/、B,

PA-PB,/.BPO-/.APO.

■■POLAB,AF=^AB=2.

•••在Rt△PFA中，PF=y/AP2-AF2=4V2.

•••Z.FPA=/-APO,/-PFA=Z-PAO=90°,

・•・AFPA-AAPO.

AFAO2AO

丽=酢，即nn亚=工，

XO=|V2,即O。的半径是

【点睛】本题考查了切线定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键在于对知识

的熟练掌握与灵活运用.

2.（2023•广东深圳•模拟预测）如图，在Rt^ABC中，乙4=90。，以4B为直径的半圆交BC于。，过。作圆

(1)AE=CE；

(2)CD^CB=4DE2.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】（1）由NC4B=90。、4B为直径可以得出AC为圆的切线，再根据切线长定理得出ZE=DE,然后

在Rt2X4CD中可推得CD=DE,即可证明.

（2）根据（1）的结论并结合相似三角形即可证明.

：.^ADC=AADB^90°,

•：/.CAB=90°,

.•.4C是圆的切线；

又；DE是圆的切线，

/.DE—AE,

：.^ADE=AEAD,

・・・NC=NCOE（等角的余角相等），

・・・CE=DE,

：.AE=CE.

（2）在RSCAD与RtZkCBA中,J版”高浮90。

J△CADCBA

.CA_CB

"CD~CA

^CA2=CD-CB；

:由（1）得CA=CE+4E=2DE,

：.CDCB=WE2.

【点睛】本题考查了切线的判定定理、切线长定理、圆周角定理、三角形内角和定理、相似三角形等知识

点，解题的关键是熟练运用相关的定理和推论.

题型二：求弓形面积或不规则图形面积

龙麓»大题典例

1.（2023•江苏南通・中考真题）如图，等腰三角形O4B的顶角N力。B=120。，。。和底边4B相切于点C,并

与两腰。4OB分别相交于D,E两点，连接CD,CE.

⑴求证：四边形ODCE是菱形；

⑵若。。的半径为2,求图中阴影部分的面积.

【答案】①见解析

（2）S阴影=等一2班

【分析】

（1）连接OC,根据切线的性质可得。C1然后利用等腰三角形的三线合一性质可得乙4。（?=NBOC=60。,

从而可得△ODC和△OCE都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得OD=CD=CE=OE,即可解

答；

（2）连接DE交OC于点F,利用菱形的性质可得OF=1,DE=2DF,ZOFD=90°,然后在Rt2\0DF中，利

用勾股定理求出DF的长，从而求出DE的长，最后根据图中阴影部分的面积=扇形ODE的面积一菱形ODCE

的面积，进行计算即可解答.

【详解】（1）

ACB

•••O。和底边4B相切于点C,

•••OC1AB,

0A=OB,Z.AOB=120°,

Z.A0C=/.BOC=^AOB=60°,

•：OD=OC,OC=OE,

ODC和△OCE都是等边三角形,

OD=OC=DC,OC=OE=CE,

：.OD=CD=CE=OE,

■■四边形ODCE是菱形；

(2)

解：连接DE交OC于点F,

•••四边形0DCE是菱形,

;OF=：OC=1,DE=2DF,4。尸。=90。，

在RtZiODF中，OD=2,

...DF=VOD2-OF2=722_12=V3,

DE=2DF=2V3,

•••图中阴影部分的面积=扇形ODE的面积一菱形ODCE的面积

1207Tx221

-OC-DE

=—3^6707----2

47rl厂

=——x2x2v3

32

=y-2V3,

二图中阴影部分的面积为等一2技

【点睛】

本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件

并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

2.（2023•江苏宿迁•中考真题）（1）如图，4B是。。的直径，AC与交于点尸，弦平分NB4C,点E

在4C上，连接DE、DB,.求证：

从①DE与。。相切；②DE12C中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写

序号），并完成证明过程.

（2）在（1）的前提下，若2B=6,^BAD=30°,求阴影部分的面积.

【答案】（1）②①，证明见解析（或①②，证明见解析）⑵I用一苧

【分析】（1）一：已知条件为②DE14C,结论为①DE与。。相切；连接OD,先证出。。II4C,再根据

平行线的性质可得DE1。。，然后根据圆的切线的判定即可得证；二：已知条件为①DE与。。相切，结论

为②DE14C；连接。D,先证出。DII4C,再根据圆的切线的性质可得DEI。。，然后根据平行线的性质即

可得证；

（2）连接。。,。尸，先解直角三角形求出。。/的长，再根据等边三角形的判定与性质可得2尸的长，从

而可得EF的长，然后根据圆周角定理可得NDOF=2ZCXD=60°,最后根据阴影部分的面积等于直角梯形

ODEF的面积减去扇形。DF的面积即可得.

【详解】解：（1）一：已知条件为②结论为①OE与。。相切，证明如下：

如图，连接。D,

C

E/

•・,OA=OD,

・•・Z.OAD=Z.ODA,

•・♦弦40平分

Z.0AD=Z.CAD,

・•・Z-CAD=乙ODA,

：.0D\\AC,

vDE1AC,

・•.DELOD,

又•••0D是。。的半径，

，.0E与O。相切；

二：已知条件为①DE与。。相切，结论为②DE14C,证明如下:

如图，连接。D,

•­•弦4D平分4BAC,

•••Z.OAD=Z.CAD,

,Z.CAD=Z.ODA,

・•・OD\\AC,

•・・DE与。。相切，

DELOD,

・•・DE1AC；

(2)如图，连接。20K

■：AB=6,ABAD=30°,

OA=OD=OF^3,AD=AB-cos30°=3®ACAD=30°,

DE=|X£>==AD-cos30°=|

又­■•Z.BAD=Z.CAD=30°,

••"AC=60°,

.•.△Q4F是等边三角形,

・•・AF=OA=3,

3

・•.EF=AE-AF=I，

由圆周角定理得：^DOF=2^CAD=60°,

DE-QEF+OD')60KX32

则阴影部分的面积为S直角梯形ODEF—S扇形0。尸=

2360

|gx偿+3371

2T

3n

【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、解直角三角形、扇形的面积、圆周角定理等知识点，熟练掌

握圆的切线的判定与性质是解题关键.

茏龙》舞迷揖导.

设OO的半径为R,n。圆心角所对弧长为I,n为弧所对的圆心角的度数，则

扇形弧长公式1=鬻（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表

±oU

示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位.）

2

扇形面积公式nnR17

5扇形一360一2'R

圆锥侧面积公式S圆锥侧=Tirl（其中1是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）

圆锥全面积公式S圆锥全=Tni+nr2（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）

22

圆锥的高h,圆r+h=I2

锥的底面半径r

go。

【阴影部分面积求解问题解题思路】求阴影部分面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则

的图形的面积转化为规则图形的面积.常用的方法有：

直接公式法

常

用直接和差法

方构造和差法

法全等法

等面积法

和差法割补法平移法

旋转法

究麻法

容斥原理

蔻麓〉^或训.级

1.（22-23九年级上•江苏扬州・期末）如图，CD是。。的直径，点B在。。上，点2为DC延长线上一点，过

点。作OEIIBC交48的延长线于点E,且=

⑴求证：4E是。。的切线；

⑵若线段OE与。。的交点F是。E的中点，。。的半径为3,求阴影部分的面积.

【答案】（1）证明见解析

【分析】！1）连接。B,根据圆周角定理得到BC1BD,根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到NOBE=90。,

根据切线的判定定理即可得到结论;

（2）连接BF,根据直角三角形的性质得到BF=OF,推出aOBF是等边三角形，得到48。尸=60。，根据

扇形和三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】（1）证明：连接。B,

・・,CD是。。的直径，

：.BCLBD,^/.CBD=90°,

U：OE\\BC,

：.Z-DGO=/-CBD=90°f

:.乙BGE=^DGO=9。。，zD+zDOG=90°,

•:乙D=LE,

:.乙DOE=CDBE,

•；OD=OB,

Z-D=乙OBD,

：.Z-OBD+"BE=ZD+乙DOG=90°,

：.Z.OBE=90°,

：OB是O。的半径，

••.4E是。。的切线；

(2)解：连接BF,

•：AOBE=90°,尸是0E的中点，

：.BF=0F,

,：O。的半径为3,乙DGO=90°,

：.BF=OF=OB=3,4BGO=180°-乙DGO=90°,

/.△0BF是等边三角形，

."BOF=60°,

."OBG=90°-乙BOF=30°,

：.OG=^OB=l，BG=70B2_0G2=收_(|丫=茅

，阴影部分的面积为:

2

cc_60X7TX31y3V3v3_3TT9A/3

3扇形08尸-心OBG=_xi=T一"T'

阴影部分的面积为磬-乎.

4o

【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质,

扇形的面积的计算等知识点.正确地作出辅助线是解题的关键.

2.（2023,江苏常州•一模）如图1,将一个三角形纸板△4BC绕点4逆时针旋转。到达△ABC，的位置，那么

可以得到：AB=AB',AC=AC,BC=B'C,ABAC=^B'AC,^LABC=AAB'C,^ACB=AAC

B'.（）图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变"中蕴含着"不变"，这是我们解决

图形旋转的关键.故数学就是一门哲学.

⑴上述问题情境中"（）”处应填理由：；

（2）如图2,将一个半径为4cm,圆心角为60。的扇形纸板力BC绕点。逆时针旋转90。到达扇形纸板4夕O的位

置.

①请在图中作出点。；

②如果BB，=6cm,则在旋转过程中，点B经过的路径长为cm；

⑶如果将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置.另一个在弧

的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止.此时，两个纸板重叠部分的面积是多少（如图

3)?

【答案】（1）旋转前后对应边相等，对应角相等

（2）①作图见详解；②乎兀

8兀一8小

⑶-3-

【分析】（1）根据旋转的性质即可求解；

（2）①根据旋转中心在对应点连线的垂直平分线的交点处即可求解；②根据弧长公式的计算方法即可求

解;

（3）如图所示，连接尸4交4C于点M,连接P4交于点N,连接PD,AA',PB',PC,根据旋转的性质可

得P4=P4=4,Z.PAC—Z-PA'B'=30°,可求出PM,A'M,S=SAADP，再根据S阴影B，DP=S扇形刀方，一

^AA,DP'S阴影CDP=S扇形P4C—SA4DP，阴影部分的面积为S阴影+S阴影cop,由此即可求解•

【详解】（1）解：根据旋转的性质可得，旋转前后对应边相等，对应角相等，

应填理由为：旋转前后对应边相等，对应角相等，

故答案为：旋转前后对应边相等，对应角相等；

（2）解：①根据旋转中心为对应点连线的垂直平分线的交点，作图如下：

②如图所示，点8绕点0逆时针旋转90。得到方,

：./.BOB'=90°,OB=OB',且BB'=6cm,

.•.在Rt△BOB，中，OB=OB'=苧BB，=乎x6=3VL

：.BB'=黑x2-rt-OB=：x2兀x3或=—n,

360042

故答案为：嗫；

(3)解：如图所示，连接P4交4C于点M,连接24交4⑶于点N,连接PD,AA',PB',PC,

Z.APAC=Z.PAB=^BAC=30°,

根据旋转的性质得，/-PA'B'=Z.PA'C=Z.PAB=Z.PAC=30°,PA=PA'=4cm,PA'1AC,

在RtZkPAM中，/.PAM=30°,PA=4cm,

.".sinzPXM=sin30°=詈，贝i」PM=PX-sin30°==2cm,则4M=PA'-PM=4—2=2,

在RtZ\4DM中，NP4B'=30°,4M=2,

：.cos^PA'D=cos30°=—,则4D==、="

A'Dcos30°—3

=1x型=吗

2233

,—△/力尸==5x4=S扇形PAg=360°xm(P4)2=—xnx42=-TT,

•e,阴影部分S阴影p/D=S扇形P4B'一^AA'DP=37T~竽=”年3,

根据旋转的性质，问理,S41DP=SA^DP=考mS扇形4PC=S扇形P4B，=留'，

,阴影部分S阴影PCO=S扇形4PC—S/^DP7r-竽=曳甘隹'

•••阴影部分的面积为S阴影P®D+S阴影PCD=趣萨+细萨=臂^

【点睛】本题主要考查旋转的性质，旋转中心的确定，弧长公式的计算，全等三角形的判定和性质，含30。

的直角三角形的性质，特殊角的三角函数的计算方法，掌握旋转的性质，弧长的计算方法，不规则图形面

积的计算方法是解题的关键.

题型三：正多边形与圆

(2021•湖北随州•中考真题)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用"同一个图形的面积

相等"、"分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积"、"同底等高或等底同高的两个三角形面积相等"

等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程

简便快捷.

DH

K

E/C

.0

M

D

（图1）（图2）

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4,则该直角三角形斜边上的高的长为,其内切圆的半

径长为;

（2）①如图1,P是边长为a的正△ABC内任意一点，点。为△4BC的中心，设点P到△4BC各边距离分别

为九1，八2，九3，连接4尸,BP,CP,由等面积法，易知/（/11+h2+九3）=S&4BC=3S^OAB，可得自十h2+

色=；（结果用含a的式子表示）

②如图2,尸是边长为。的正五边形4BCDE内任意一点，设点P到五边形ZBCDE各边距离分别为后，h2,h3,

o

储，九5，参照①的探索过程，试用含G的式子表示八1+九2+八3+储+总的值.（参考数据：tan36。右五,

tan54°«?）

O

D

（图3）（图4）

（3）①如图3,已知。。的半径为2,点力为。。外一点，。4=4,4B切。。于点B,弦BC〃。/1,连接

AC,则图中阴影部分的面积为；（结果保留冗）

②如图4,现有六边形花坛4BCDEF,由于修路等原因需将花坛进行改造.若要将花坛形状改造成五边形

ABCDG,其中点G在力F的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理

由.

【答案】（1）y,1;（2）①乎a；②涂；（3）①|兀；②见解析.

【分析】（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可;

（2）①先求得边长为a的正△4BC的面积，再根据）（/11+/12+八3）=50£^=35404/?解题即可；②设点。

为正五边形4BCDE的中心，连接。40B,过。作。Q148于Q,先由正切定义，解得0Q的长，由①中结论

知,S五边形ABCDE=55A<MB，继而得到5a（hi+%+/13+九4+九5）=5x/x5atan54。，据此解题；

（3）①由切线性质解得NOAB=30。，再由平行线性质及等腰三角形性质解得NCOB=60。，根据平行线间

的距离相等，及同底等高或等底同高的两个三角形面积相等的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇形08c

的面积，最后根据扇形面积公式解题；②连接DF,过点E作EG〃。尸交4F的延长线于G点，根据

S六边形4BCDEF—+S&DGF=S五边形4BCDG，据止匕解题•

【详解】解：（1）直角三角形的面积为：|X3X4=6,

直角三角形斜边为：432+42=5,

设直角三角形斜边上的高为心贝弓X5―/1=6

12

/l=—

设直角三角形内切圆的半径为r,则*3+4+5）=|x3x4

Ar=1,

故答案为：1；

（2）边长为a的正△底边的IWJ为乌面积为：S4OAB=Q,a,与a=4■是

1V37

V—a（/i+上+期）—S4ABC—3s△0/B=­a

Z14,

*，•h1+h2+八3=

故答案为：乎a；

②类比①中方法可知5a（八1+八2+九3+h4+八5）=S五边形ABCDE，

设点。为正五边形的中心，连接。40B,

由①得s五边形4BCDE=5s△o/B,

1

过。作OQ1ZB于Q,Z,EAB=-x180°x(5—2)=108°,

故乙。4Q=54°,OQ=AQxtan54°=|atan54°,

故5a(九1+h2+无3+九4+九5)=5x—CLx—cztan54°,从而得到:

九1+八2+八3+九4+九5=|atan54°七||a.

(3)①•.•48是。。的切线，

・•・OB1AB

・•.Z.OBA=90°

OB=2,OA=4

・•・/LOAB=30°

・•.L.AOB=60°

••・BC//OA

^LAOB=乙OBC=60°

•・•OC=OB

・••Z.OBC=Z.OCB=60°

・•・乙COB=60°

过点。作。QIBC

•・•BC//OA,

・・・0Q是△COB、△ABC的高，

^AABC=S^ocB

60xTir260x4TT2

•••S阴影部分=S扇形0BC=­痂—=360=371

故答案为：|兀；

②如图，连接DF,过点E作EG〃DF交4F的延长线于G点，则点G即为所求,

连接。G,六边形4BCDEF=S五边形ABCDF+SADEF，

•：EG//DF,

"△DEF=S^DGF，

二•S六边形尸=S五边形/BCD尸+^ADGF=S五边形

【点睛】本题考查正多边形和圆的知识，涉及含30。角的直角三角形、正切、切线的性质、扇形面积公式、

平行线的性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键.

奥茏》避黄揖号

正多边形的常用公式

边长a=2R-sin^（Rn为正多边形外接圆的半径）

nnn

360°

周长Pn=n-an外角/中心角度数

n

面积Sn=ganTn,n对角线条数n(n—3)

2

边心距・内角和(n-2)X180°.

rn=RnCOSn

内角度数(n-2)x180°n边形的边数(内角和+180°)+2

n

、的关系

anyRnrn解=温+苧（an、Rn、0为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个值

可以借助勾股定理求解.）

【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成

2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系,

故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算.

茏皿笠式训等

1.（2024•辽宁鞍山•三模）【发现问题】

蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1）,某数学兴趣小组的同学用若干个形状,

大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的

图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化.

【提出问题】

在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系?

【分析问题】

同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据

第一层正六边形模具的个数X1234

拼接图案中所需正六边形模具的总个数y171937

然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3,同学们根据图3中点的分布情况,

猜想其图象是二次函数图象的一部分.

图3图4图5图6

为了验证猜想，同学们从"形"的角度出发，借助"害I补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具

（虚线部分）移到下面（如图4）,并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如

图5),使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正

六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式.

【解决问题】

(1)直接写出〉与x的关系式；

⑵若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的

个数；

⑶如图6,作正六边形模具的外接圆，圆心为O,A,8为正六边形模具相邻的两个顶点，瓶的长为|7Tcm,

现有一张长：LOOcm,宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案(模具间的接缝忽略不计)，最

多可以放下多少个正六边形模具？(遮=1.732)

【答案】⑴y=3》2—3x+l

(2)8个

(3)469个

【分析】

本题主要考查求二次函数式，二次函数的应用以及正多边形和圆：

(1)运用待定系数法求解即可；

(2)将y=169代入y=3x2—3x+1求解即可；

(3)设正六边形其它顶点分别为连接2D,BD,求出28=2cm,BD=2V3cm,设第一层有x个

正六边形模具，求出拼接图案的最大宽度为2旧(2x—l)cm,最大高度为(6x—2)cm,分拼接图案的高与长

方形桌子的长平行和拼接图案的高与长方形桌子的宽平行两种情况求出x的值,代入函数关系式求出y的值

即可求解

【详解】(1)

解:设y与x之间的函数关系式为y=ax2+bx+c(a丰0),

将点(1,1),(2,7),(3,19)代入关系式，得:

(a+b+c=1

]4a+2b+c=7

(9a+36+c=19

(a=3

解得，b=-3

Ic=1

与X之间的函数关系式为y=3x2-3x+l；

(2)解：由(2)知，y=3x2-3x+l,

将y=169代入，得169=3/-3%+1,

解得，=8,%2=~7(不合题意，舍去)

所以，他拼接成的图案中第一层有8个六边形模具；

(3)

解：如图，设正六边形其它顶点分别为C,D,E,F,连接AD,BD,

由正六边形及其外接圆的性质得，AD为。。的直径，Z-BAD=60°,线段BD的长即为边力B,DE间的距离，

：.^ABD=90°,

：.AADB=30°

:荏的长为lircm,

•••。。的周长为6义/=4兀(51),

4177"

O。的直径=竺，即4。=4cm,

71

.'-AB=^AD=|x4=2(cm),BD=~-AD=~x4=2V3(cm)

设第一层有x个正六边形模具，

...第x层的正六边形模具个数最多，有(2x—1)个，拼接成的图案共有(2x—1)层，其中有x层的高度按。。

的直径计算，(x-1)层的高度按正六边形的边长计算，

所以，拼接图案的最大宽度为2b(2x—l)cm,最大高度为4x+2(x—l)=(6x—2)cm,

①当拼接图案的高与长方形桌子的长平行时，有，

(2V3(2x-1)<80

I6%-2<100

解得,xW也等，

O

•・二为整数，

・：x最大取12；

②当拼接图案的高与长方形桌子的宽平行时，有，

C2V3（2x-1）<100

I6x-2<80

解得，

Vx为整数，

・：x最大取13；

将x=12代入丫=3/-3刀+1,得，y=397；

将x=13代入y=3久2—3x+1得，y=469,

V469>397,

最多可以放下469个正六边形模具

2.（2023•河北邯郸•二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六

个全等的小圆组成（如图2）,大圆绕着圆心。匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点尸，N）均匀分布在大

圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如PQ）始终垂直于水平线/.

（l）zWOP=°

（2）若。4=16,。。的半径为10,小圆的半径都为1：

①在旋转一周的过程中，圆心M与/的最大距离为；

②当圆心8到/的距离等于。4时，求。”的长；

③求证：在旋转过程中，MQ的长为定值，并求出这个定值.

【答案】①60

⑵①25；②。H=3VTT；③MQ的长为定值，定值为10.

【分析】（1）将360。平均分6份即可；

（2）①当圆心Af在4。的延长线上时，圆心M与/有最大距离，据此即可求解；

②设的挂点为K,过点“作HT_U于点7,先证四边形HT40是矩形，再用勾股定理解Rt△OHK即可;

③先证△NOP是等边三角形，再证MNPQ是平行四边形，可得MQ=NP=10.

【详解】(1)解：4NOP=^=60。，

O

故答案为：60；

(2)解：①当圆心M在/。的延长线上时，圆心河与/有最大距离，

最大距离为=0M+0A=10—1+16=25,

故答案为：25；

②如图，设。”的挂点为K,过点H作”TIE于点T,

•・,挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线/,

・・・K,H,T在同一直线上，

•・•圆心〃到/的距离等于。4

：.HT=OAf

VHT1Z,OALI,

：.HT\\OAf

・・・四边形HT4。是平行四边形，

又・.・4。4r=90。，

・•・四边形HTZ。是矩形，

・"0"T=90。，

・"OHK=90。，

・•・OH=70K2-H"=V102-l2=3Vil；

③证明：如图所示，连接NP,MQ,

由⑴知ZNOP=60。,

又：ON=OP=10,

；.△NOP是等边三角形，

：.NP=ON=OP=10,

..•小圆的半径都为1,挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线I,

：.MN=PQ=1,MN||PQ,

四边形MNPQ是平行四边形，

:.MQ=NP=10,

；.MQ的长为定值.

【点睛】本题考查圆的基本知识，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性

质，勾股定理等，解题的关键是根据题意抽象出数学模型.

题型四：切线的性质与判定

龙变》大题典例

1.(2023•黑龙江大庆•中考真题)如图，4B是。。的直径，点C是圆上的一点，CD14D于点D,4D交。。

于点F,连接4C,若2C平分”48,过点尸作FG148于点G,交4C于点H,延长AB,DC交于点E.

①求证：CD是O。的切线；

(2)求证：AF-AC=AE-AH；

⑶若sinNDE4=g求需的值.

【答案】(1)证明，见解析

⑵证明，见解析

吟写

【分析】(1)连接。C,根据2C平分ACMB,则AD4C=NC4B,根据。A=。配得NC4B=N0C4根据平

行线的判定和性质，即可；

(2)由(1)得，/.DAC^^CAB,根据乙4HFNC4B+90。，^ACE-Z.OCA+90°,相似三角形的判定和性

质，即可；

4nr4

(3)根据sinNDE4=：则器=［设。。的半径为4%,贝|OE=5%,根据勾股定理求出CE；根据

□L/C□

AE=OA+OE,XD=1x9x,根据勾股定理求出DE,再根据DC=DE—CE,在根据勾股定理求出4C,根

\r-\AHAC目口—(*

据而=而，即可.

rnCc

【详解】(I)连接。C

•••AC平分4048,

：.^DAC=/-CAB,

•：OA=OC,

：.£,CAB=^OCAf

：.ADAC=A.OCA,

：.AD\\OC,

「CDLAD,

，乙D=^OCE=90。,

・・・CD是。。的切线.

(2)证明，如下：

由(1)得，ZOCE=90°,

,：Z.DAC=Z.CAB,

'：FG1ABf

・"FG/=90。，

：.^AHF=^CAB+90°,

VZi4CE=zOCi4+90°,

△ZCE〜

.AC_AE

••而一而‘

：.AC-AF=AE-AH.

4

(3)'.'sinZ.DEA=-f

.OC4

*-5J

设。。的半径为4%,

OE=5x,

CE=y/OE2-OC2=3%,

•：AE=0A+0E=9xf

*.AD=(X9%=^-x,DE=y/AE2—AD2=

U：DE=DC-VCE,

：.DC=^x,

•：AC2=AD2+DC2=(y)2+(y)2,

.•."=塔取，

,/AACE-AAHF,

.AHAC__4V10

,,FH-•

【点睛】本题考查圆，相似三角形，锐角三角形函数的知识，解题的关键圆的切线定理的运用，相似三角

形的判定和性质，锐角三角形函数的运用.

2.(2023,湖北恩施•中考真题)如图，△ABC是等腰直角三角形，乙4cB=90。，点。为4B的中点，连接C。

交。。于点E,。。与AC相切于点D

A

⑵延长CO交。。于点G,连接4G交O。于点R若4c=4鱼，求FG的长.

【答案】①见解析

【分析】

(1)连接。。，过点。作。PLBC于点尸，根据等腰三角形的性质得到N0CD=40CP=45。，推出

OD=OP,即可得到结论；

(2)根据等腰直角三角形的性质求出。4。。的长，勾股定理求出4G,连接。尸，过。作。4G于点〃,

利用面积法求出。乩勾股定理求出HG,即可根据等腰三角形的性质求出FG的长.

【详解】(1)证明：连接。。，过点。作。P1BC于点P,

,/。。与力C相切于点。.

：.OD1AC,

：△4BC是等腰直角三角形，44