2025新高考数学重难点突破：外接球与内切球问题

（模拟精练）

一、选择题：（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.（2024・江西・一模）在体积为12的三棱锥A—BCD中，AC±AD,8C，,平面/CD，平面

BCD,//CD=J,/85=与，若点ABC,。都在球O的表面上，则球。的表面积为（）

34

A.127rB.167rC.32兀D.48兀

2.（2024.湖北.模拟预测）已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，E4=PB=PC=4,

=8。=2,4。=2",则球。的表面积为（）

A64兀口40兀c27兀c21兀

A.---h>.---—■—U.---

3342

3.（2024•福建•模拟预测）已知正四棱台下底面边长为4方，若内切球的体积为当兀，则其外接球表面积

O

是（）

A.49兀B.56兀C.65兀D.130兀

4.（2024.陕西宝鸡.三模）△ABC与△ABD都是边长为2的正三角形,沿公共边AB折叠成60°的二面角，

若点在同一球。的球面上，则球。的表面积为（）

5.（2024•山西太原•二模）已知圆锥的顶点为P,底面圆的直径AB=2瓜,tan/APB=V3，则该圆锥内

切球的体积为（）

A.守B.9C.争D.4兀

6.（2024・全国•二模）已知圆锥的轴截面是底角为。的等腰三角形，圆锥的底面半径为a,圆锥内有一个内

接圆柱，则圆柱体积的最大值为（）

A.a2tan0B.毛^tan2。C.之；。tandD.tan9

7.（2024•浙江•模拟预测）已知边长为6的正方体与一个球相交，球与正方体的每个面所在平面的交线都

为一个面积为16兀的圆，则该球的表面积为（）

A.967rB.IOOTTC.125兀D.2047r

8.（2024•河南濮阳•模拟预测）某圆锥的侧面展开图是面积为3兀，圆心角为等的扇形，则该圆锥的轴截

O

面的面积为（）•••

a

A，2B.4V2c.2V2D.2

9.（2024・青海・二模）如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为等腰梯形,BCHAD,PD

=2AD=4BC=4,底面积为封之，尸。，AD且=旧，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为

4

（）

A.9兀B.12V37TC.39兀D.207t

10.（2024•浙江•模拟预测）清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地.为

了核准粮食的数量,苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛,而一只官斛

的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm,下底也为正方形，内边长

为50cm，斛内高36cm，那么一斗米的体积大约为立方厘米？（）

A.10500B.12500C.31500D.52500

11.（2024•江苏无锡・模拟预测）蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子,适于牧业生产和游牧生活.如图所

示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为2m,底面半径为4m,O是圆柱下底面的圆心.

若圆锥的侧面与以。为球心,半径为47n的球相切，则圆锥的侧面积为（）

A.8^5nrn2B.16V57rm2C.20兀D.40nm2

12.（2024•云南大理•模拟预测）六氟化硫，化学式为S房,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气

体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体

每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图

所示，正八面体E—ABCD—F的棱长为a,此八面体的外接球与内切球的体积之比为（）

C.3V2D.2V2

13.（2024•天津北辰•三模）中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载

人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百

年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容

器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2,圆柱的

高为6,圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7,则该容器中液体的体积为（）

R76元c215兀n325兀

B-I-°，-9~16-

14.（2024•湖北武汉•二模）房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已

知长方体的规格为24cmX11cm义5cm，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1

次后共可以得到12c?nX11cmX5cm,24cmX--cmX5cm,24cmX11cmX—cm三种不同规格的

长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第

3次截取，则共可得到体积为165cm3的不同规格长方体的个数为（）

A.8B.11C.12D.10

二、多选题：（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.）

15.（2024•山东•模拟预测）四面体ABCD中，/1C=BC=4B=6,CD=W,=8,四面体ABCD外接

球的表面积记为$,则（）

A.当四面体4BCD体积最大时，S=112兀B.AD±BC

C.当AD=6时，5=普/兀D.S可以是4007r

16.（2024•广东佛山•模拟预测）如图，几何体的底面是边长为6的正方形A.B.C^AA,±底面

AB//AXBX,AAX=AB=3,BC=AD=G[0,1],则（）

A.当N=0时，该几何体的体积为45

B.当/1=；时，该几何体为台体

C.当4=5时，在该几何体内放置一个表面积为S的球，则S的最大值为9兀

D.当点回到直线DA距离最大时，则4=1

17.（23-24高一下•福建福州•期末）某圆锥的底面半径为3,母线长为4,则下列关于此圆锥的说法正确的

是（）

A.圆锥的侧面展开图的圆心角为普

B.圆锥的体积为9/7兀

C.过圆锥的两条母线作截面的面积最大值为8

D.圆锥轴截面的面积为3a

18.（2024.湖南.三模）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A.B.C.D.中，点P是正方体的上底面A.B.C.D,

内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（）

A.三棱锥Q-PCD的体积是定值

B.存在点P,使得PQ与44i所成的角为60°

C.直线PQ与平面A/DDi所成角的正弦值的取值范围为优，彳）

D.若PR=PQ,则P的轨迹的长度为手

19.（2025•广东•模拟预测）已知球。是某圆锥内可放入的最大的球，其半径为该圆锥底面半径的一半，则

该圆锥的体积与球O的体积之比为.

20.（2023・江苏连云港•模拟预测）已知正四面体ABCD的棱长为6,点瓦尸满足BC=ABE,BD=ABF,

用过A,三点的平面截正四面体ABCD的外接球。，当NG[1,3]时，截面的面积的取值范围为

21.（2024•陕西铜川•三模）柳卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝,在连接部分通过紧密的拼接，使得整个

结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得樟卯配合的牢度得

到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木撅、木片等.如图

为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且△4DEA8CF均为正三角形,

EF〃CE>,EF=4,则该木楔子的外接球的表面积为.

22.（2024•辽宁•模拟预测）在三棱锥P-ABC中，PA=P8=PC=2,ZBB4=ZBFC=60°,AAPC=

90°,若该三棱锥内有一球O与三棱锥各面均相切，则球O的半径为.

23.（2024•湖南邵阳•三模）在四面体48co中，△430是边长为4方的等边三角形，BC,CD,BC=

CD,AC=4v5,点E在棱AD上，且BD=4BE,过点E作四面体ABCD的外接球O的截面，则所得

截面圆的面积最小值与球O的表面积之比为.

24.（2024•安徽芜湖•模拟预测）在AABC中，AB==g,AC=2,将△ABC沿AC旋转，当点口到达

点B'的位置时，平面B'AC±平面BAC,则三棱锥B'-48。外接球表面积为.

25.（2024•吉林•模拟预测）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“差藜形多面体”，其可由两个正交的全等正

四面体组合而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点）.如图，若正四面

体棱长为2,则该组合体的表面积为；该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切

球体积的比值为

26.（2024.内蒙古鄂尔多斯.二模）如图，平面四边形4DBC中，48，口。,48=反7=2△48。为

等边三角形，现将4ABD沿AB翻折，使点。移动至点P,且尸B,则三棱锥P-ABC的外接球

的表面积为.

27.（2024.浙江.二模）已知正方体AtA2A3A4-4444的棱长为3，取出各棱的两个三等分点，共24个

点，对于正方体的每个顶点4,设这24个点中与4距离最小的三个点为R,Qa,入，从正方体中切去所

有四面体4舄Q优,i=1,2,…，8,得到的几何体的外接球表面积是.

28.（2024•湖南衡阳•模拟预测）某冷饮店为了吸引顾客，特推出一款蛋仔冰淇淋,其底座造型如图所示，外

部为半球型蛋壳，内有三个特制的球型蛋仔,蛋仔两两相切,且都与蛋壳相切，蛋仔的顶端正好与半球

型的蛋壳的上沿处于同一水平面，如果球型蛋仔的半径为四，求这个蛋壳型的半球的容积为.

一、单i&M

29.（2023•全国•高考真题）已知四棱锥P—ABCD的底面是边长为4的正方形，PC=P0=3,NPCA=

45°,则△PBC的面积为（）

A.2V2B.3V2C.4V2D.6V2

30.（2023•天津•高考真题）在三棱锥P—ABC中，点MN分别在棱上，且PN=

o

6

日尸3,则三棱锥P—4WN和三棱锥P—ABC的体积之比为（）

O

AXR2c—

9。3

31.（2006•江西・高考真题）如图，在四面体ABCD中，截面人即经过四面体的内切球（与四个面都相切的

球）球心O,且与BC、分别截于E、F.如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥A-

BEED与三棱锥A-EFC的表面积分别为Si，S2,则必有（）

A.&VS2B.Si>S2C.Si=$2D.Si、S2的大小不能确定

32.（2022•天津•高考真题）十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部即

为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有

一个公共侧面ABCD.在底面中，若班=CE=3,NBCE=120°,则该几何体的体积为（）

D.27V3

33.（2022.全国.高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀,侧面积分别为

S甲和S乙,体积分别为%和吃.若爹=2,则粤=（）

b乙）乙

A.V5B.2V2C.V10D.

4

34.（2022•全国•高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水

库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.Okn?；水位为海拔157.5?n时，相

应水面的面积为180.Oknf,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔

148.5m上升到157.57n时，增加的水量约为（/772.65）（）

A.1.0X10WB.1.2X10WC.1.4X10WD.1.6x10W

35.（2005•江