2025年中考数学大题与几何压轴题：圆压轴 （讲练）（原卷版）

专题12圆压轴

目录

考情分析

考点圆压轴

【真题研析•规律探寻】

题型01与圆有关的多结论问题（选/填）

题型02与圆有关的平移问题

题型03与圆有关的翻折问题

题型04与圆有关的旋转问题

题型05与圆有关的最值问题

题型06与圆有关的动点问题

题型07与圆有关的新定义问题

题型08阿氏圆

题型09圆、几何图形、锐角三角函数综合

题型10与圆有关的存在性问题

题型11与圆有关的定值问题

【核心提炼•查漏补缺】

【好题必刷•强化落实】

考点要求命题预测

在中考中，涉及圆压轴题的相关题目单独出题的可能性还是比较大的，多以解答

实数的分类题形式出现，常结合其它几何图形、锐角三角函数出成压轴题的几率特别大，所占分

值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.

考点圆压轴

真题研析-规律探寻

题型01与圆有关的多结论问题（选/填）

1.（2022•湖北武汉•中考真题）如图，点尸是。。上一点，4B是一条弦，点C是APB上一点，与点。关

于2B对称，4）交。。于点E,CE与4B交于点R5.BD||CE.给出下面四个结论：①CD平分NBCE；②

BE=BD；③AE2=aFx4B；④BD为。。的切线.其中所有正确结论的序号是.

2.（2021•广东广州•中考真题）如图，正方形4BC。的边长为4,点K是边3c上一点，且BE=3,以点/

为圆心，3为半径的圆分别交AB、4D于点尸、G,DF与4E交于点H.并与。4交于点K,连结8G、

C”.给出下列四个结论.（1），是尸K的中点；（2）△"GD三△HEC；（3）SAAHG：SAD//C=9：16；

（4）DK=l，其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）.

3.（2021•湖南岳阳•中考真题）如图，在Rt^ABC中，zC=90°,AB的垂直平分线分别交4B、AC于点D、

E,BE=8,。。为△BCE的外接圆，过点E作。。的切线EF交力B于点F,则下列结论正确的是.（写

出所有正确结论的序号）

®AE=BC；②乙AED=MBD；③若ND8E=40。，则朝的长为笫（1第=梦⑤若屐=6,则

CE=2.24.

4.（2020•湖南岳阳・中考真题）如图，4B为半。0的直径，M,C是半圆上的三等分点，71B=8,BD与半

OO相切于点B,点P为丽上一动点（不与点4M重合），直线PC交BD于点D,351。。于点5,延长BE

交PC于点F,则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）

①PB=PD；②前的长为凯；③NDBE=45。；@ABCFSJ\PFB；⑤CF•CP为定值.

题型02与圆有关的平移问题

1.（2022・湖北宜昌・中考真题）己知，在△ABC中，^ACB=90°,BC=6,以BC为直径的。。与交于

点、H,将△ABC沿射线AC平移得到△DEF,连接BE.

BEBE

（1）如图1,DE与。。相切于点G.

①求证：BE=EG；

②求BE•CO的值；

（2）如图2,延长HO与。。交于点K,将△DEF沿DE折叠，点F的对称点尸恰好落在射线BK上.

①求证：HKWEF1；

②若KF'=3,求/C的长.

2.（2023•四川乐山•中考真题）已知01，月）,（久2，、2）是抛物。1：、=-1%2+加：（6为常数）上的两点，当小+

久2=。时，总有力=>2

⑴求6的值；

（2）将抛物线Ci平移后得到抛物线。2：丫=一式尤一加2+l（m>0）.

探究下列问题：

①若抛物线Ci与抛物线C2有一个交点，求他的取值范围；

②设抛物线。2与x轴交于N,B两点,与〉轴交于点C,抛物线。2的顶点为点△4BC外接圆的圆心为点

F,如果对抛物线加上的任意一点P,在抛物线C2上总存在一点Q,使得点P、Q的纵坐标相等.求EF长的

取值范围.

3.（2021・湖南株洲•中考真题）将一物体（视为边长为5米的正方形4BC。）从地面PQ上挪到货车车厢

内.如图所示，刚开始点8与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点B（E）按逆时针方向旋转至正方形4/。氏

的位置，再将其沿EF方向平移至正方形42B2c2。2的位置（此时点B2与点G重合），最后将物体移到车厢平

台面MG上.已知MG〃PQ,AFBP=30°,过点F作尸H1MG于点H,F”=：米，£尸=4米.

（1）求线段FG的长度；

（2）求在此过程中点力运动至点42所经过的路程.

题型03与圆有关的翻折问题

1.（2021・湖北武汉•中考真题）如图，A8是。。的直径，BC是。。的弦，先将前沿BC翻折交4B于点D.再

将前沿4B翻折交BC于点E.若篇=南，设乙48C=a,贝M所在的范围是（）

A.21.9°<a<22.3°B.22,3°<«<22.7°

C.22.7°<a<23.1°D.23.1°<cr<23.5°

2.（2020・四川自贡・中考真题）如图，在矩形48CD中，E是4B上的一点，连接DE,将44DE进行翻折，恰

好使点4落在8C的中点F处，在。F上取一点0,以点。为圆心，。尸的长为半径作半圆与CD相切于点G;若

4。=4,则图中阴影部分的面积为一.

Bf-----C

3.（2018・云南曲靖•中考真题）如图，4B为。。的直径，点C为。。上一点，将前沿直线BC翻折，使沅

的中点。恰好与圆心。重合，连接。C,CD,BD,过点C的切线与线段BA的延长线交于点尸，连接4D,

在PB的另一侧作NMPB=AADC.

（1）判断PM与。。的位置关系，并说明理由；

Q）若PC=W,求四边形。CDB的面积.

D

C

题型04与圆有关的旋转问题

1.(2023•浙江嘉兴•中考真题)一副三角板4BC和DEF中，zC=zD=90°,48=30。，NE=45。，

BC=EF=12.将它们叠合在一起，边8c与EF重合，CD与4B相交于点G(如图1),此时线段CG的长

是,现将△DEF绕点C(F)按顺时针方向旋转(如图2),边EF与力B相交于点”，连结在旋

转0。到60。的过程中，线段扫过的面积是.

2.(2023・四川・中考真题)如图1,已知线段48,AC,线段AC绕点4在直线AB上方旋转，连接BC,以BC

为边在BC上方作RtZXBDC,且ND8C=30。.

(1)若NBDC=90。，以AB为边在力B上方作RtaBAE,且乙4EB=90。，AEBA=30°,连接DE,用等式表示

线段2C与DE的数量关系是；

(2)如图2,在(1)的条件下，若DE14B,AB=4,AC=2,求BC的长；

(3)如图3,若NBCD=90。，AB=4,4C=2,当4。的值最大时，求此时tan/CBA的值.

3.(2022•山东潍坊・中考真题)筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀

水，高则泻水.如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至/处，水沿射线4。方向泻至水渠

DE,水渠DE所在直线与水面PQ平行；设筒车为。0,。。与直线PQ交于P,。两点，与直线DE交于8,

C两点，恰有=连接AB/C.

(1)求证：AD为。。的切线；

(2)筒车的半径为3m,AC=BC,AC=30°.当水面上升，A,O,0三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大

深度(精确到0.1m,参考值：V2«1.4,V3«1.7).

题型05与圆有关的最值问题

1.(2023•陕西・中考真题)(1)如图①，在△04B中，。4=。8,^AOB=120°,4B=24.若。。的半

径为4,点P在。。上，点M在4B上，连接PM,求线段PM的最小值；

(2)如图②所示，五边形2BCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交

通枢纽.已知：^A=AABC=AAED=90°,AB=AE=10000m,BC=DE=6000m.根据新区的自然环

境及实际需求，现要在矩形4FDE区域内(含边界)修一个半径为30m的圆型环道。。；过圆心。，作

OMLAB,垂足为M,与。。交于点N.连接BN,点P在。。上，连接EP.其中，线段BN、EP及MN是要

修的三条道路，要在所修道路BMEP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道。。的圆心。

到力B的距离OM的长.

图②

在RtMBC中，AACB=90°,NB=60。，点D为线段上一动点，连接CD.

(1)如图1,若2C=9,BD=W，求线段4。的长.

(2)如图2,以CD为边在CD上方作等边点尸是DE的中点，连接并延长，交CD的延长线于点G.若

ZG=Z.BCE,求证：GF=BF+BE.

(3)在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE.点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿

所在直线翻折至△4BC所在平面内得到△BNM.连接4N,点P为4V的中点，连接CP,当CP取最大值

时，连接BP,将aBCP沿所在直线翻折至△4BC所在平面内得到△BCQ,请直接写出此时箸的值.

3.(2022•北京・中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知点对于点P给出如下定义：将点P向右

(a20)或向左(a<0)平移|可个单位长度，再向上(620)或向下(b<0)平移网个单位长度，得到点P',点P

关于点N的对称点为Q,称点Q为点P的“对应点”.

⑴如图，点点N在线段OM的延长线上，若点P(—2,0),点Q为点P的“对应点”.

①在图中画出点Q；

②连接PQ,交线段。N于点T,求证：NT《OM;

(2)。。的半径为1,M是。。上一点，点N在线段。M上，且。N=t6<t<1),若P为。。外一点，点Q为

点P的“对应点”，连接PQ.当点M在。。上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表

示).

4.(2021•贵州遵义・中考真题)点/是半径为28的O。上一动点，点3是OO外一定点，03=6.连接

OA,AB.

图①

(1)【阅读感知】如图①，当A48C是等边三角形时，连接OC,求OC的最大值；将下列解答过程补充

完整.

解：将线段。8绕点3顺时针旋转60。到08,连接O。，CO'.

由旋转的性质知：4030=60。，B0'=B0=6,即△050是等边三角形.

.•.0。'=30=6

又・••AABC是等边三角形

山3。=60°,AB=BC

：/OBO'=UBC=60°

：./.OBA^/.O'BC

在△0A4和△。心。中,

(OB=O'B

\^OBA=^O'BC

IAB=CB

(S/S)

■■.OA^O'C

在△OOC中，OC<OO'+O'C

当。，(7,C三点共线，且点C在。。，的延长线上时，0。=。。+。。

即OC<OO'+O'C

.•.当。，O',C三点共线，且点C在。。的延长线上时，OC取最大值，最大值是.

(2)【类比探究】如图②，当四边形N8CO是正方形时，连接。C,求OC的最小值；

(3)【理解运用】如图③，当A4BC是以A8为腰，顶角为120。的等腰三角形时，连接OC,求0c的最

小值，并直接写出此时―以？的周长.

题型06与圆有关的动点问题

1.(2023•内蒙古呼和浩特•中考真题)己知在Rt^ABC中，AACB=90°,BC=6,AC=8,以边4C为直径

作。。，与力B边交于点D,点M为边BC的中点，连接DM.

(1)求证：DM是。。的切线；

(2)点P为直线BC上任意一动点，连接4P交。。于点Q,连接CQ.

①当tanzBAP*时，求8P的长；

②求生的最大值.

2.(2023•浙江•中考真题)小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1,

O。的直径CD垂直弦48于点E,且CE=8,DE=2.

图2图3

（1）复习回顾：求力B的长.

（2）探究拓展：如图2,连接4C,点G是就上一动点，连接AG,延长CG交力B的延长线于点?

①当点G是近的中点时，求证：^GAF=ZF；

②设CG=x,CF=y,请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；

③如图3,连接DF,BG,当为等腰三角形时，请计算BG的长.

3.（2023・湖南娄底•中考真题）如图1,点G为等边△ABC的重心，点。为BC边的中点，连接GD并延长至

点。，使得DO=DG,连接GB,GC,OB,OC

（1）求证：四边形80CG为菱形.

⑵如图2,以。点为圆心，OG为半径作O。

①判断直线4B与。。的位置关系，并予以证明.

②点M为劣弧8c上一动点（与点B、点C不重合），连接并延长交AC于点E,连接CM并延长交2B于点尸,

求证：AE+AF为定值.

4.（2023・湖南•中考真题）如图，点B,C在O。上运动，满足482=8。2+4。2,延长力c至点。，使

得ADBC=NC4B,点E是弦力C上一动点（不与点N,C重合），过点£作弦4B的垂线，交于点尸，交BC

的延长线于点N,交。。于点M（点M在劣弧前上）.

(1)BD是。。的切线吗？请作出你的判断并给出证明；

(2)记△BDC,AABC,△4DB的面积分别为Si，S2,S,若S「S=(S2)2,求(tanD)2的值；

(3)若。。的半径为1,设=FE-FN-/—^―+-i-=y,试求y关于x的函数解析式，并写出自变

'BC-BNAE-AC

量X的取值范围.

题型07与圆有关的新定义问题

1.(2023•北京・中考真题)在平面直角坐标系xOy中，O。的半径为1.对于O。的弦4B和O。外一点C

给出如下定义：

若直线C4C8中一条经过点O,另一条是。。的切线，则称点C是弦4B的“关联点”.

(1)如图，点4(—1,0),Bi(—容约,%停")

①在点的(—1,1),C2(-V2,0),。3(0,我)中，弦的“关联点”是.

②若点C是弦的“关联点”，直接写出。C的长；

(2)已知点M(0,3),N(等,0).对于线段MN上一点S,存在O。的弦PQ,使得点S是弦PQ的‘关联点”，记PQ

的长为3当点S在线段MN上运动时，直接写出/的取值范围.

2.(2023•甘肃兰州•中考真题)在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到

直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”.

⑴如图2,已知点4(1,0),B(3,0),P是线段48上一点，直线EF过G(—1,0),T(0,冬)两点，当点P是直线EF

的“伴随点”时，求点P的坐标；

(2)如图3,x轴上方有一等边三角形ABC,BCly轴，顶点/在y轴上且在上方，。。=遮，点P是△A8C

上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”.当点P至此轴的距离最小时，求等边三角形2BC的边长；

(3)如图4,以4(1,0),B(2,0),C(2,l)为顶点的正方形2BCD上始终存在点P,使得点P是直线EF：y=-x+b

的“伴随点”.请直接写出b的取值范围.

3.(2020•湖北咸宁•中考真题)定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形.

理解：

(1)若四边形4BCD是对余四边形，则NA与NC的度数之和为；

证明：

(2)如图1,MN是。。的直径，点4B,C在O。上，AM,CN相交于点。.

求证：四边形48CD是对余四边形；

探究：

(3)如图2,在对余四边形4BCD中，AB=BC,AABC=60°,探究线段AD,CD和BD之间有怎样的数量关

系？写出猜想，并说明理由.

题型08与圆有关的阅读理解问题

1.(2021・四川遂宁•中考真题)已知平面直角坐标系中，点、P(Xo.yo)和直线/x+sy+c=o(其中/,B

不全为0),则点P到直线Nx+2y+C=0的距离d可用公式d=霭°来计算.

例如：求点尸（1,2）到直线y=2x+l的距离，因为直线＞=2x+l可化为2x—y+l=O,其中4=2,B=~

1,C=l,所以点尸（1,2）到直线y=2x+l的距离为：d==京=浮

Jy/A2+B2y/2z+{—l）zV55

根据以上材料，解答下列问题：

（1）求点M（0,3）到直线y=遮尤+9的距离；

（2）在（1）的条件下，的半径r=4,判断OM与直线y=VIx+9的位置关系，若相交，设其弦长

为小求〃的值；若不相交，说明理由.

2.（2019•山西・中考真题）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：

莱昂哈德•欧拉包eo"/?an/E"/er）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理,

下面是欧拉发现的一个定理：在aABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内

心，则。/2=/?2一2立

如图1,OO和。1分别是aABC的外接圆和内切圆，OI与AB相切分于点F,设OO的半径为R,。1的

半径为r,外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离01

=d,则有d2=R2-2Rr.

下面是该定理的证明过程（部分）：

延长AI交。0于点D,过点I作。0的直径MN,连接DM,AN.

■.•zD=zN,NDMI=NNAI（同弧所对的圆周角相等），

.•.△MDI'-AANL

_IM_ID

''7A-TN'

.-.IA-ID=IM-IN®,

如图2,在图1（隐去MD,AN）的基础上作OO的直径DE,连接BE,BD,BLIF,

•.DE是OO的直径，；.NDBE=90。，

•••OI与AB相切于点F,ZAFI=9O。,

.•.ZDBE=Z.IFA,

•./BAD=NE（同弧所对圆周角相等），

•••△AIF-AEDB,

=.■-1A-BD=DE-IF@,

任务：（1）观察发现：IM=R+d,/可=_（用含区，d的代数式表示）；

⑵请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；

（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1）,（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

（4）应用：若4ABC的外接圆的半径为5cm,内切圆的半径为2cm,则aABC的外心与内心之间的距离为_

cm.

E

3.（2018・四川达州•中考真题）阅读下列材料：

已知：如图1,等边4AiA2A3内接于OO,点P是4送2上的任意一点,连接PA〉PA2,PA3,可证:

PA1+PA2=PA3,从而得到：卷募函=2是定值.

参考数据：如图等腰△数。

中，若顶角乙4=108°,贝|JBC=W^4C；

T+64

若顶角NH=36。，则80三但/。人

（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整;

证明：如图1,作NPAiM=60。，AiM交A2P的延长线于点M.

••・△AiA2A3是等边三角形，

•*.z.A3A1A2=60°,

A3Alp=z_A2A1

又A3Al=A2Al,ZAIA3P=ZAIA2P,

「.△A1A3P三△AiA2NI

.•.PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1.

•••PZXX3=P是定值•

PAt+PA2

(2)延伸：如图2,把Q)中条件等边4A1A2A3”改为正方形A1A2A3A/,其余条件不变,请问:P241+PA2+PA3+PZ4

还是定值吗？为什么？

(3)拓展:如图3,把(1)中条件“等边4AiA2A3”改为“正五边形AiA2A3A4A5”，其余条件不变，则

_____一14+一一2____________

(只写出结果).

P/i+PAz+P/s+PZd+P/s____

题型09阿氏圆

1.(2021・四川宜宾•中考真题)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于/、2两点,与y轴

交于点C(0,6),抛物线的顶点坐标为E(2,8),连结BC、BE、CE.

(1)求抛物线的表达式；

(2)判断△8CE的形状，并说明理由；

(3)如图2,以C为圆心，夜为半径作OC,在OC上是否存在点P,使得尸的值最小，若存在，

请求出最小值；若不存在，请说明理由.

2.(2023・湖北黄石•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+族+c与x轴交于两点2(—3,0)

,8(4,0),与y轴交于点C(0,4).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)已知抛物线上有一点P(>o，yo),其中均<0,若NCAO+NABP=90。，求%()的值；

(3)若点。，E分别是线段4C,4B上的动点，且4E=2CD,求CE+2BD的最小值.

3.(2023・山东烟台・中考真题)如图，抛物线y=a/+法+5与x轴交于4B两点，与y轴交于点

C,AB=4.抛物线的对称轴x=3与经过点4的直线y=kx-1交于点。，与x轴交于点E.

111/1/

C：/C\/

(1)求直线4。及抛物线的表达式；

(2)在抛物线上是否存在点M,使得△力DM是以4。为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；

若不存在，请说明理由；

(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为OB上一个动点，请求出PC+?4的最小值.

题型10圆、几何图形、锐角三角函数综合

1.(2022•浙江宁波•中考真题)如图1,。。为锐角三角形4BC的外接圆，点。在前上，2D交BC于点E,

点下在4E上，满足N力FB—NBFD=N4CB,FG||4C交BC于点G,BE=FG,连结BD,DG.设N4CB=a.

⑴用含a的代数式表示4BFD.AA

(2)求证：ABDE三4FDG.ZA\

(3)如图2,a。为oo的直径.\

①当丽的长为2时，求前的长.

②当0尸:。£=4:11时，求cosa的值.

2.(2023•浙江台州•中考真题)我们可以通过中心图2

投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，4B是。。

的直径，直线Z是。。的切线，B为切点.P,Q是圆上两点(不与点4重合，且在直径的同侧)，分别作

射线4P,4Q交直线I于点C,点。.

AAA

图1图2图3

(1)如图1,当2B=6,BP的长为TT时，求BC的长.

(2)如图2,当第=*加=所时，求老的值.

(3)如图3,当sinNB4Q=9,BC=CD时，连接2尸，PQ,直接写出售的值.

3.(2021•广西柳州•中考真题)如图，四边形4BCD中，4D〃BCHD14BHD=4B=1,DC=V^,以/为

圆心，4。为半径作圆，延长CD交。4于点尸，延长。力交04于点£,连结BF,交0E于点G.

E

(1)求证：8c为04的切线；

(2)求cosNEDF的值；

(3)求线段BG的长.

题型11与圆有关的存在性问题

1.(2023•广东广州•中考真题)已知点P(zn,n)在函数y=—•!(><0)的图象上.

(1)若m=—2,求〃的值；

(2)抛物线丫=(无一山)0—口与苫轴交于两点“，N(M在N的左边)，与y轴交于点G,记抛物线的顶点

为E.

①〃?为何值时，点£到达最高处；

②设△GMN的外接圆圆心为C,OC与夕轴的另一个交点为尸，当m+n力0时，是否存在四边形FGEC为

平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由.

2.(2022•江苏盐城•中考真题)【发现问题】

小明在练习簿的横线上取点。为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆,

描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律.

【提出问题】

小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图像上.

(1)【分析问题】

小明利用己学知识和经验，以圆心。为原点，过点。的横线所在直线为“轴，过点。且垂直于横线的直线为y

轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示.当所描的点在半径为5的同心

圆上时，其坐标为.

⑵【解决问题】

请帮助小明验证他的猜想是否成立.

(3)【深度思考】

小明继续思考：设点P(OM),血为正整数，以。P为直径画OM,是否存在所描的点在OM上.若存在，求

机的值；若不存在，说明理由.

3.(2020•四川绵阳•中考真题)如图，在矩形ABCD中，对角线相交于点O,OM为aBCD的内切圆，切

点分别为N,P,Q,DN=4,BN=6.

⑴求BC,CD；

(2)点H从点A出发，沿线段AD向点D以每秒3个单位长度的速度运动，当点H运动到点D时停止,

过点H作HIIIBD交AC于点I,设运动时间为t秒.

①将△AHI沿AC翻折得△A/H,是否存在时刻3使点次恰好落在边BC上？若存在，求t的值；若不存在，

请说明理由；

②若点F为线段CD上的动点，当△OFH为正三角形时，求t的值.

(备用图)(备用图)

题型12与圆有关的定值问题

1.(2023・海南・中考真题)如图1,在菱形4BCD中，对角线AC,BD相交于点。，AB=6,^ABC=60°,

点P为线段B。上的动点（不与点B,。重合），连接CP并延长交边4B于点G,交D4的延长线于点

（1）当点G恰好为4B的中点时，求证：AAGH三△BGC；

（2）求线段BD的长；

（3）当为直角三角形时，求皆的值；

（4）如图2,作线段CG的垂直平分线，交BD于点N,交CG于点M,连接NG,在点P的运动过程中，NCGN的度

数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.

2.（2021•江苏泰州•中考真题）如图，在。。中，48为直径，尸为N8上一点，PA=1,PB=m（加为常数,

且"?>0）.过点尸的弦C01/8,。为戴上一动点（与点8不重合），AH1QD,垂足为连接

BQ.

（1）若加=3.

①求证：4。/。=60。；

②求器的值；

（2）用含〃z的代数式表示器，请直接写出结果；

Lfn

（3）存在一个大小确定的。。，对于点。的任意位置，都有8。2-2。〃2+2¥的值是一个定值，求此时N0

的度数.

核心提炼•查漏补缺

1.垂径定理及推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

方法技巧垂径定理模型（知二得三）

如图，可得①AB过圆心@AB1CD③CE=DE④部=俞⑤前=俞

【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分

的弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推

出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造RtA,用勾股，求长度;

2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.

【易错点】求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的

异侧.

2.弧、弦、圆心角的关系

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们

所对应的其余各组量分别相等.

【解题思路】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也

都相等.运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化.

3.圆周角定理

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=：圆心角）

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

【补充】圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两

个度数和为180°

【解题思路】

1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利

用圆周角定理进行角的转化.

2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.

3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角.

4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的

圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.

4.圆内接四边形

性质：1）圆内接四边形对角互补.

2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.

5.切线的性质与判定

定义线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点.

圆的切线垂直于过切点的半径.（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆

心的直线.）

性质解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中

作辅助线的一种方法）.根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计

算或证明.

1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.

2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切.

3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时，

判定

1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，

简称“连半径，证垂直”；

3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，

简称“作垂直，证半径”.

6.切线长定理

定义在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.

切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角

三角形来求解.

一、单选题

1.（2023・吉林・二模）如图，将半径为4的圆形纸片折叠使弧4B经过圆心0,过点。作直径CD14B于点E,

点P是半径。。上一动点，连接4P,贝的长度不可能是（）

D

C.6D.7

2.（2023•湖北武汉•模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘

积等于两组对边乘积之和.如图，O。中有圆内接四边形/BCD,已知BD=8,CD=5,AB=6,

ABDC=60°,贝IJAD=(

8V^I-6C8V^-7D87^-8

-7-

3.（2023・河北保定•二模）嘉嘉与淇淇在讨论下面的问题:

如图，RtaABC中，AB=60,AC=45,^BAC=90°.D,E分别是力C,AB边上的动点，DE=52,以DE

为直径的。。交BC于点P,。两点，求线段PQ的最大值.

嘉嘉：当点。，£分别在AC,4B上移动时，点。到点/的距离为定值;

淇淇：当PQ为圆。的直径时，线段PQ的长最大.

关于上述问题及两人的讨论，下列说法正确的是（）

A.两人的说法都正确，线段PQ的最大值为52

B.嘉嘉的说法正确，淇淇的说法有问题，线段PQ长度的最大值为48

C.淇淇的说法有问题，当DEIIBC时，线段PQ的长度最大

D.这道题目有问题，PQ的长度只有最小值，没有最大值

4.（2023•河北保定•模拟预测）如图，在△力BC中，BC=10,点。为4B上一点，以5为半径作。。分别

与BC,4C相切于。，E两点，OB与。。交于点M,连接OC交。。于点尸，连接ME,FE,若点。为BC的中点,

给出下列结论：①CO平分ZJ1CB；②点E为4C的中点；@^AME=22.5°；④标的长度为疑.其中正确结

论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

5.（2023・四川成都・模拟预测）如图，A,B,。为。。上的三个点，C为通的中点，连接。4OB,AC,

BC,以C为圆心，4C长为半径的弧恰好经过点O,若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的概率

6.（2023•河北石家庄•模拟预测）如图所示，己知在平面直角坐标系xOy中，点力（15,8）,点M是横轴正半

轴