2025年新高考数学一轮复习模拟预测卷2（新高考卷）（解析版）

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2025年新高考数学一轮复习模拟预测卷02

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将

准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位

置上.

1.已知集合/={1,2,3},5={1,3,4},则ZU8=()

A.{1,3}B.{1,2,3}C.{1,3,4}D.{1,2,3,4}

【答案】D

【分析】根据并集的定义直接进行运算即可求出答案.

【详解】解：•"={1,2,3},5={1,3,4},

.•./U8={L2,3,4},

故选：D.

2.已知复数z满足(l+2i)z=-l+3i,则|z|=()

A.V2B.百C.2D.3

【答案】A

【分析】由复数的除法运算和模长运算可得答案.

【详解】依题意，z=^^=l+i,.-.\Z\=^2.

故选：A.

3.已知函数/(x)=2sin(0x+0)[0>O,|d<m的最小正周期为万，将函数/(x)的图象向右

平移器个单位得到函数g⑴的图象，且+=则。的取值为

【答案】C

【分析】通过最小正周期得到。，再通过平移得到g（x）解析式，根据X=（是g（x）的对称

■JTJT

轴可得左"，再根据。的范围确定结果.

【详解】函数“X）的最小正周期为万.-.«=2n〃x）=2sin（2x+0）

将函数〃x）的图象向右平移J个单位得到函数g（x）的图象

6

g（x）=2sin2（1一方]+0=2sin12x+0—

又・・,g[x+g1=g[g-x]（为函数g（x）图象的一条对称轴

.（c乃乃、.（兀、

sinI2xy+-yI=sinIy+^z?I=±I

717171

—cp——Fk兀,左£Z,（p——Fk兀,keZ

326

又=0=?

2o

本题正确选项：c

09

4.已知。=1吗），b=log072,c=O.9,则b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c

【答案】C

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.

09

【详解】因为"logs万>1，0<c=O,9<1,b=log072<0,

所以a>c>6,

故选：C.

5.如图，在矩形/BCD中，AB=2BC=4,£为边48上的任意一点（包含端点），。为

/C的中点，则无.瓦的取值范围是（）

A.[2,10]B.[-2,8]C.[2,8]D.[4,20]

【答案】A

【分析】法一：设冠=九益（六［0,1］）,然后用方，而分别表示出砺，DE，从而由平

面向量的数量积运算并结合彳的范围求得结果；

法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设E（加,0）（04加W4）,然后求出无，DE，

从而由向量的坐标运算并结合m的范围求得结果.

【详解】法一：设荏=彳荔

因为O为AC的中点，所以的=；（方+而）=?-益+而），

所以砺=|■（益-勿5）.又诙=乐一石=2万一而，

所以砺―诙=3（万_诟）・（4方_9）=3（彳而2+赤2）=8/1+2,

因为所以82+2e［2/0］,

所以砺.诙«2,10］；

法二：以A为坐标原点，AB,石的方向分别为X,y轴的正方向，建立如图所示的平面直

角坐标系，

则。（2,1）,0（0,2）,5（4,0）,设E（%0）（04加44）,

所以砺=（2,-1）,DE=（m,-2）,所以丽・瓦=2加+2.

因为04加（4,所以2〃?+2e[2,10],

即无.瓦e[2,10].

故选：A.

6.在正四棱柱N5CD-中，/8=/。=2,//=3,尸为线段CA的中点，一质点从A

点出发，沿长方体表面运动到达P点处，若沿质点A的最短运动路线截该正四棱柱，则所得

截面的面积为（）

拽1576

A.43B.D.376

24

【答案】B

【分析】根据正四棱柱的侧面展开图可得最短距离，进而可得截面与截面面积.

4G

3

A

所以质点从A到P的最短距离为30,

此时质点从A点出发，经过。R上靠近。的三等分点S,再到达尸点,

面/S9截正四棱柱所得截面为五边形/SP0&,如图,

由/S=/R=RS=272,SP=PQ=QR=42,

所以沿质点A的最短运动路线截正四棱柱,

则所得截面的面积为:

S,ARS+$梯MPgRS=2.3+—^―=.

故选：B

7.已知/,N是焦点为歹的抛物线/=以上两个不同点，且线段"N的中点A的横坐标

是3,直线与x轴交于点3,则点8的横坐标的取值范围是

A.(—3,3]B.(—℃,3]C.(~6,—3]D.(一6,3)

【答案】A

【详解】(1)若直线MN的斜率不存在，则点B的坐标为(3,0).

V2——4x

⑵若直线AW的斜率存在，设43,加w0),M(X"3N(X2，%),则由｛，「得，

%=4X2

炉一只=4(%一马)，二"2^%+%)=4，即K.=2直线MV的方程为

国一工2t

2

yt=2(x-3),.••点8的横坐标出=3-二，由「一’=7(”一3),消去x得：

t2丁=4一

产

/-2"+2--12=0,由A>0得〃<12又蜂0,，xB=3-万©(-3,3).综上，点8的横坐标的取

值范围为(-3,3].

8.若函数/(x)为奇函数，当x<0时，/(x)=-lg(-x)+x+3,已知/(x)=0有一个根为

x0,且曲+nsN*，则〃的值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据单调性和根的存在性定理确定函数的负根的©(-3,-2),结合奇偶性可得必有另

一根七田2,3),即可得解.

【详解】由题当x<0时，/(x)=-lg(-x)+x+3,根据基本初等函数性质可得函数在x<0

时单调递增，/(-3)=-lg3<0,/(-2)=-lg2+l>0,

所以函数在x<0时有唯一根xi武-3,-2),

函数f(x)为奇函数，所以必有另一根看«2,3),

所以"的值为2.

故选：B

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的

四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分,

有选错的得0分.

9.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成

绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得

到这100名学生中，成绩位于［80,90）内的学生成绩方差为12,成绩位于［90,100）内的同学成

绩方差为10.贝U（）

A.a=0.004

B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14

C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25

【答案】BCD

【分析】A项，由各组频率之和为1求参数；B项可由频率分布直方图面积与0.5比较，估计

中位数所在区间，利用面积关系建方程求解可得；C项，两组求加权平均数可得；D项，由

分别两组成绩的方差与两组总方差的关系求解即可.

【详解】A项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1,

贝!］（2。+3。+7a+6a+2a）xl0=200a=l,解得。=0.005,故A错误；

B项，前两个矩形的面积之和为（2。+3a）x10=50a=0.25<0.5

前三个矩形的面积之和为（2。+3〃+7a）x10=120a=0.6>0.5.

设该年级学生成绩的中位数为加,则加“70,80）,

根据中位数的定义可得0.25+（加-70）x0.035=0.5,解得77.14,

所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14,故B正确;

C项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为

—^―x85+-^—x95=87.5^,故C正确；

6Q+2Q6Q+2Q

D项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为

'[12+(87.5-85)2]+；[10+(87.5-95月=30.25,故口正确.

故选：BCD.

10.已知等差数列｛七｝的公差dwO,其前〃项和为S“，则下列说法正确的是()

A.是等差数列B.若d<0,则*有最大值

c.S.,S2ll,邑，成等差数列D.若S„,=S“，m乎〃，则与+0=。

【答案】ABD

【分析】根据等差数列前n项和应用对应证明等差判断A,应用数列正负求前n项和的最大

值，特殊值法判断C,结合等差数列性质判断D.

【详解】民=&受籍T—-4故A正确;

n2

若。2<0,则0>出>%>…，H最大；若出=0，0>。3>。4>…，¥=邑最大;

若。2>0,贝lja“=%+("-l)d，则存在掰eN*,am>0,am+l<0,故5戊最大,故B正确;

对数列：1,2,3,…，取〃=1,耳=1,邑=3,邑=6,故C错误；

不妨设〃>加，则S"一鼠=0=>am+l+am+2+---+an=Q,

即%，+；%(n_m)=Q=%"+；%=0,：.Sm+n=%+；+""+

而％+；+"=%；%=0,故Sa+.nO,D正确.

故选:ABD.

11.如图，在正方体/BCD-4月GA中，均为棱的中点，则下列结论错误的是

A.平面/MN//平面BDFE

B.梯形BOFE内存在一点K,使得4Kl平面⑷w

C.过。可作一个平面，使得月，N到这个平面的距离相等

D.梯形BDFE的面积是△㈤w面积的20倍

【答案】ABC

【分析】由面面平行证明判断A,连接NC4G，ACHBD=P,AlClCiEF=O,连接

OP,过点A作/G的垂线，交。尸于K,交CC1于H,证明线面垂直即可判断B,连接

B\N,取用N的中点甲，连接阳一连接用N,取用N的中点少，连接阳「即可判断

FF+RD

C,因为梯形BDFE与A/MN的高分别为OP,/G且。尸=/G,所以面积的比值为-------

MN

即可判断D.

【详解】

在正方体N8S-48C2中，均为棱的中点，

可证EF//MN,跖0平面WW,MNu平面所以M//平面㈤W,

AMHDF,OFu平面/MV,Wu平面㈤W,所以。尸//平面⑷W,

DFC\EF=F,所以平面4W//平面8DFE,故A正确；

连接NC，4G，设=AiClHEF=O,连接。尸,

过点4作/G的垂线，交。尸于K,交eg于H,因为4〃在上底面的射影为4G，

易证。。|，平面4月。1。1，儿Wu平面481ao],

所以CG^MV，/qncCi=G，所以肱V，平面4NCG，4/u平面//cq,

则4〃_LMV,A.H±AG,又/dnACV=G,

所以4〃，平面所以&KL平面故B正确;

连接甲V,取々N的中点少，连接附＞”

所以过直线阳।的平面一定满足5,,N到这个平面的距离相等，故C正确;

因为梯形BDFE与A/A/N的高分别为。尸,NG且。P="G,

EF+BDMN+2MN

所以梯形BDFE的面积与AAMN面积的比值为.二=:;=3,故D错误.

MNMN

故选：ABC

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12."-的展开式中的系数为.

【答案】-105

【分析】根据12-B(x-y)7=2(x-»-：(x-y)7,而二项式(x-y)，的展开式的通项

Jrr

Tr+l=C^x--(-y),所以分别计算，最后合并即可求出答案.

【详解】解：因为12-：(x_»=2(x-»-：(》一»,

而二项式(x-»的展开式的通项&=C；-/T.(_月，r=0,1,2,…,7.

所以12-J(x_y)7

的展开式中//的项为_2仁・/・/一u，/=一105工~3,

其系数为-105,

故答案为：-105.

13.已知/(x)=2x-2+lnx,若实数加，〃满足/(加)+/(±"]=0,则+的最小值为

【答案】4

【分析】利用导数求解函数单调性，由/(x)+/]:j=0得£=1,即可利用不等式求解最

值.

2212

【详解】由/(x)=2x-----nlnx(x>0)可得(x)=2d--H—>0,故/(x)=2x----nlnx在

XXXX

(0,+8)单调递增,

而/（x）+/^―j=^2x--+lnxj+^--2x+ln—j=0,

故/㈣+（1[=0得£=1，

1

4m+-L=4„2+±>ihn―-4,当且仅当41=4，即!时取等号，

nnVnn2

故答案为：4

/\f—x+4,xK3,

14.已知函数/X=,凌（a>0且"1）,若y=/（x）有最小值，则实数a的

[log.x,x>3

取值范围是.

【答案】l<a<3

【分析】利用单调性确定最小值后可得.

【详解】y=-x+4是减函数，在XW3时最小值是>=-3+4=1,

若则y=log.X是减函数，x>3时，y=10gax<0,没有最小值，不合题意，

时，y=lo&x是增函数，因此要使得“X）取得最小值，则10g,3Zl,解得1<口<3,

故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.（13分）在△48。中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c.已知

12cosB

sinC2sinZ+sinB

⑴求c；

⑵若3a+6=2c且a=3,求△NBC的外接圆半径.

【答案】（1）。=§（2）拽

33

【分析】（1）根据sin/=sin（2+C）结合三角恒等变换化简整理即可得结果；

（2）根据题意利用余弦定理可得c=7,进而利用正弦定理求外接圆半径.

12cosR

【详解】（1）因为^---=―；-----；——,BP2sin^+sinB=2sinCcosB,

sinC2sin4+sinB

且sin4=sin（5+C）=sin5cosC+cos5sinC,

即2sinBcosC+2cos3sinC+sin3=2sinCcosB,则2sinBcosC+sinB=0,

且B£（0,兀），贝iJsinBwO,可得cosC=-；,

且。£（0,兀），所以。二宁.

,9

（2）因为3〃+6=2。且4=3,贝！Jb=2c—9>0,可得—,

2

由余弦定理可得/="+/-2仍cosC,即/=9+（2c-9）2-2x3（2c-9）x

整理可得c2-10c+21=0,解得c=7或c=3（舍去），

c7_7^/3

所以△4BC的外接圆半径—2sinC—一忑一3.

2x——

2

16.（15分）如图，在四棱锥S-48CD中，BCY^^SAB,AD//BC,SA=BC=\,SB=41,

⑴求证：SA15pffiABCD­

（2）若求平面SCO与平面的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）,

【分析】（1）根据正弦定理得sin/S/3=l,或者利用余弦定理求解43=1,即可得

SA1AB,结合2。1眼，即可由线面垂直的判定求证，

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角求解，或者利用线面垂直，找到二面角的几

何角，结合三角形的边角关系求解，

【详解】（1）解法一：在AS/B中，

因为”=1/SBA=45°,SB=V2,

由正弦定理，得•..SB,所以一^=母

smZSBAsmZSABsin450smZSAB

所以sin/"8=l,

因为0°</S£8<180°,所以/£48=90。，所以£4_L4B.

因为8C_L平面平面”5,所以BC_L&4,

又BCCAB=B,平面

所以“_L平面/BCD；

方法二：证明：设4B=x,在AS/B中,

因为”=\,ZSBA=45。,S3=V2,

由余弦定理，^SA2=SB2+AB2-2SB-ABcosZSBA,

所以1=2+/-2瓶xcos45°，BPX2-2X+1=0,解得X=1.

所以“2+232=532=2,所以双_L/3.

因为3C_L平面SAB,SAu平面SAB,

所以2c1&4,

又BCCUB=B,8C,/3u平面/BCD

所以“_L平面/BCD；

解法三：设4B=x,在△S4B中，

因为"=1/SBA=45°,SB=V2,

由余弦定理，得SH=SB。+AB?-2SB-ABcosNSBA,

所以1=2+公-2";cos45°，BPX2-2X+1=0,解得X=1.

所以“2+432=*2=2,所以双_LN2.

因为8C，平面SAB,BCu平面ABCD,

所以平面ABCD1平面SAB-

又平面ABCD口平面融3=22,白，山u平面”3,

所以M_L平面/BCD；

(2)解法一：由(1)知&4_L平面/8CO,

又平面48。，所以

因为8C_L平面”8,平面&48,所以8C_LN8,

因为/D〃2C,所以4。148,

所以W,4D,43两两垂直.

以点A为原点，分别以所在直线为x轴，了轴，z轴建立如图所示的空间直角坐

标系，

则s(o,o,i),c(i,i,o)，4g,o,o],所以而而=1,0,-1

设平面SO的法向量为多=(x,y,z),

n-SC=x+y-z=0,

nYSC,1

x即〈—一►1取x=2,则1=(2,T,1),

0,

nxVSD,nx.SD=5X-z=

显然平面的一个法向量限=(1,0,0),

一一九1.%2

所以(^々，内二尸产

.2+(—1)2+F

々・%3

所以平面SCD与平面眼5的夹角的余弦值为史.

3

解法二：由(1)知£4_L平面48。，过8作W〃&1,则平面4BCZ),

又/8,3Cu平面4BCD,所以3M_L/3,8M13C,

因为8C_L平面&45,

又48u平面&43,所以3C_L23,

所以两两垂直.

以点3为原点，分别以848C,8赫所在直线为x轴，了轴，z轴建立如图所示的空间直角坐

标系，

则s(i,o,i),c(o,i,o),qi,go],所以文5=(l,-g,0

设平面SCD的法向量为4=(x,y,z),

n1•SC=—x+y—z=O,

1取V=2,则*=(1,2,1),

nxCD=x--y=0,

显然平面SAB的一个法向量鼠=（0,1,0）,

所以平面SCO与平面”8的夹角的余弦值为Y6.

3

解法三：延长8、34交于点连接

则平面SCD口平面SAB=SM,

在中，

CSB=42,XSBA=45°,BM=2,

由余弦定理，得=SB2+MB2-2SB-MBcos^SBM,

所以SM?=(拒)2+22-2XV^X2X¥=2,所以+

所以SM_LS2,

因为8C，平面SAB,SMu平面SAB,

所以SM13C,又SMLSB,SBcBC=B,

所以SMI平面SBC,

又SCu平面SBC,所以SWLSC,

所以ABSC为平面SCD与平面SAB的夹角,

因为5C_L平面S/g,S5u平面”5,

所以

因为52=亚,2。=1,得sc=VL

所以cos/BSC=些=卫="，

而一耳一行

所以平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为逅.

3

17.(15分)某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包.在一个不透明的袋子中装

有"个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取乙个球(加<«),

摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额.

(1)若〃=4,〃z=2,当袋中的球中有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元时，

在员工所获得的红包数额不低于90元的条件下，求取到面值为60元的球的概率；

⑵若力=5,m=4,当袋中的球中有1个所标面值为10元，2个为20元，1个为30元，1个

为40元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差.

3

【答案】(1)[2)期望为96；方差为104

【分析】(1)记事件A：员工所获得的红包数额不低于90元，事件8：取到面值为60元的

球，根据条件先求P")，P(/B),再利用条件概率公式，即可求解；

(2)由题知X可能取值为80,90,100,110,再求出对应的概率，利用期望和方差的计算公式,

即可求解.

【详解】(1)记事件A：员工所获得的红包数额不低于90元，事件8：取到面值为60元的

球，

因为球中有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元，且

40+50>90,40+60>90,50+60>90,所以玖/)=皇詈&=[,

XP(^)=1=|=I,所以尸(用…焉=§=?

6

(2)设X为员工取得的红包数额，则X可能取值为80,90,100,110,

所以尸(X=80)=表=：,P(X=90)=J=g,

2211

P(X=l00)=—=-9P(X=llO)=-=-9

1121

所以矶丫)=80乂,+90*,+100乂1+110*^=96,

ii?l

D(X)=(80-96)2x-+(90-96)2x-+(100-96)2x-+(110-96)2x-=104.

22

18.(17分)已知双曲线。:三-4=1(“>0,6>0)的离心率为0,右焦点到双曲线C的一

ab

条渐近线的距离为1,两动点43在双曲线C上，线段的中点为河(2机,机)(相力0).

(1)证明：直线的斜率上为定值;

2

（2）。为坐标原点，若△048的面积为1,求直线初的方程.

【答案】⑴证明见解析⑵y=2x±2

【分析】（1）由题意可得6,c的关系，求解即可.

（2）设y=2x+f,求得弦长|42|与原点到直线N3的距离，由面积可求直线48的方程.

土=也

a

\bc\__1

【详解】（1）由已知可得■1解得a=b=l,c=V2,

Ja1"7--+--6--7-'

a2+b2=c2

所以双曲线方程为x2-/=i,

设N（x”必）,B（x2,y2）,

[x,2-y.2=1

所以｛22,，两式相减，可得（国+工2）（再-尤2）-（必+%）（必-%）=0,

[尤2-%=1

又线段的中点为"（27",伍）（7〃NO）,所以X[+z=4机，yt+y2=2m,

所以4加区-马）-2m（yi-y2）=0,解得上（=2,

所以直线45的斜率左为定值；

（2）由（1）设直线48的方程为y=2x+乙

（x2_y2=]

由《,所以一一（2X+。2=1,整理可得3/+4以+产+1=0,

[y=2x+t

所以A=16〃一⑵2一12>0,解得/<6或矮石，

又原点到直线班的距离为八寿,

所以△CM3的面积为

2

化简可得⑶，4/一12=4,解得f=±2,

所以直线初的方程N=2x±2.

19.(17分)已知函数/(x)=巨詈.

(1)求函数“X)的图象在x=e(e为自然对数的底数)处的切线方程;

(2)若对任意的xe。，均有7〃(x),则称沈(x)为"(x)在区间。上的下界函数，"(x)

为加(力在区间