2025年新高考数学复习压轴题讲义：高等数学定理背景命题（六大题型）（学生版）

专题04高等数学定理背景命题

【题型归纳目录】

题型一：泰勒公式

题型二：极大值点的第二充分条件定理

题型三：帕德逼近

题型四：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理

题型五：伯努利、琴生不等式

题型六：微积分、洛必达

【方法技巧与总结】

1、泰勒公式有如下特殊形式：当/(X)在x=o处的阶导数都存在时，

〃x)=/(O)+/(O)x+q^fV+../*84.注：/"(x)表示“X)的2阶导数，即为

/(x)的导数，23)表示“X)的"阶导数，该公式也称麦克劳林公式.

2、【极值点第二充分条件】已知函数/(x)在x=/处二阶可导，且/'(%)=0,/"(%)/0

⑴若f"(%)＞0，则/(x)在/处取得极小值；

(2)若f"(%)＜0，则/(%)在X。处取得极大值.

3、帕德近似是法国数学家亨利.帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数机，

R(x)=%+—x+…

n,函数在尤=0处的阿，阶帕德近似定义为：1+外+…+3”,且满足：/(0)=7?(0)；

"0)=R(0),r(0)=及"(0)…，/""(0)=胪+")(0).(注：/(无)="'(刈'，_r(x)=[/〃(x)L

/(4)(x)=[/"(x)]',/⑸(X)=[/4)(x)L/⑺⑴为了…⑴的导数).

4、拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数/(X)在上连续,且在(°力)上可导，则必有&e(a，b),

使得了‘图伍-。)=/伍)-/(“).

5、罗尔定理描述如下：如果R上的函数〃x)满足以下条件：①在闭区间&句上连续，②在开区间⑷切

内可导,③"a)=f(b),则至少存在一个“(生明使得了")=°.

6、微积分

知识卡片1：—般地，如果函数/(无)在区间可上连续，用分点。=/＜再＜…＜知＜匕＜…＜x“=6将区

间[a,H等分成〃个小区间，在每个小区间上一,X』上任取一点。(i=1,2,…,同，作和式

=£」/&)(其中心为小区间长度)，当〃-s时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫

i=li=ln

做函数/(X)在区间桢回上的定积分，记作f/(x)dx即j7(x)dx=!吧£勺巴/(4.这里，。与b分别叫做积

分下限与积分上限，区间可叫做积分区间，函数/'(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，/(x)dr叫做被

积式.从几何上看，如果在区间[。回上函数“X)连续且恒有/'(x"。，那么定积分f〃x)dx表示由直线

x=a,x=6(awb)/=0和曲线y=/(x)所围成的曲边梯形的面积.

知识卡片2一般地；如果/'(x)是区间可上的连续函数,并且尸(x)=/(x),那么

a

J/(x)<k=F(x)|；=尸3)-尸(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.

b

知识卡片3：在微积分中，求极限有一种重要的数学工具一洛必达法则，法则中有结论：若函数“X),g(x)

的导函数分别为了'(x),g'(x),且蚓/(x)=^g(x)=O,则

f(x)f(X)

r=lim,.

g(x)3g(x)

7、伯努利不等式(Bernoulli，sinequality),又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等

式，由瑞士数学家雅各布・伯努利提出：对实数xe(T,+s),在〃e[l,+s)时，有不等式(l+x)Fl+«x成立;

在时，有不等式(1+x)"Vl+〃x成立.

8、设连续函数/(x)的定义域为如果对于“内任意两数外,三，都有土手]4也?

则称〃x)为目上的凹函数；若(号1卜,则称/⑴为凸函数,若/(x)是区间[见句上

的凹函数，则对任意的国,马，…,x“e[a,b],有琴生不等式/仔+>+…+x,]J(xj+)(X2)+…+/(x,)恒

\nJn

成立(当且仅当士=%=…=X”时等号成立).

【典型例题】

题型一：泰勒公式

【典例1-1】(2024・湖北・一模)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当/(X)在x=0处的

阶导数都存在时，/(x)=/(O)+/(O)x+q^f上学£+.•q*i共.注：/〃⑺表

示“X)的2阶导数，即为r(x)的导数，/(")(x)(“23)表示“X)的〃阶导数，该公式也称麦克劳林公式.

(1)根据该公式估算sin；的值，精确到小数点后两位；

2462

(2)由该公式可得：cosx=l-—r+y当xNO时，试比较cosx与1—二的大小，并给出证明;

2!4!6!2

§1____

(3)设〃EN*,证明：J(以、1>〃4/7+2-

—(n+k)tan------

n+k

fv3一

【典例1-2】(2024・贵州贵阳•一模)英国数学家泰勒发现了如下公式：e*=l+x+二+工+…+土+…其中

2!3!n\

疝=1X2X3X4X…x〃,e为自然对数的底数，e=2.71828…….以上公式称为泰勒公式.设

/'(x)=q二,g(x)=ff，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.

(1)证明:C>l+x;

(2)设xe(O,+⑹，证明："^<g(x)；

⑶设尸(x)=g(x)-+若x=0是尸(x)的极小值点，求实数。的取值范围.

【变式1-1](202+高一一四川成都一期末)已知函数/3=5由卜：-j+5亩卜：+3+<：0$》+4的最小值为-3.

⑴求函数〃x)的单调递减区间;

246

(2)英国数学家泰勒(B.Taylor,1685/731)发现了如下公式：cosx=l-^y+^y--^-+---,其中

〃!=〃x(〃-1)x(〃-2)x…x3x2x1,该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的

准确性.运用上述思想，计算/(g-1的值：(结果精确到小数点后4位，参考数据:02.5x10-5,

8!

1

——x2.8x107)

10!)

题型二：极大值点的第二充分条件定理

【典例2-1](2024・高二•陕西咸阳•阶段练习)给出定义：设/(x)是函数y=的导函数，/〃(x)是函数

尸⑺的导函数，若方程/"(x)=0有实数解》=尤。，则称(％,〃/))为函数y=/(x)的“拐点”.经研究发现所

有的三次函数/(X)=+6尤2+“+d(a片0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数了=/(无)图象的对称中心.

⑴若函数/(x)=d+3x2-9x-l,求函数/(x)图象的对称中心；

185

(2)已知函数g(x)=2my3+[61n(mx)-15]x2+一x----+\,其中冽〉0.

(i)求8(力的拐点；

(ii)若g(xJ+g(X2)=2(0<Xi<%2)，求证：0<^!<—<x2.

m

【典例2-2】(2024・高二・广东东莞•阶段练习)记广(%)=(/(以，/'(%)为/⑺的导函数.若对VXE。,

/〃(x)>0,则称函数了=/(x)为。上的“凸函数”.已知函数〃x)=e「；x3一依2_],aeR.

(1)若函数/(x)为R上的凸函数，求。的取值范围；

(2)若函数了=/(无)在(1,+⑹上有极值，求a的取值范围.

【变式2-1](2024•上海普陀一模)若函数y=〃x)(xe。)同时满足下列两个条件，则称了=/(x)在。上具

有性质M.

①V=f(x)在。上的导数尸⑺存在；

②y=/(x)在。上的导数/"(X)存在，且/"⑺>0(其中/-(xX/M)]')恒成立.

⑴判断函数V=1g!在区间(0,+8)上是否具有性质M?并说明理由.

X

⑵设。、6均为实常数，若奇函数g(x)=2x3+af+g在尤=1处取得极值，是否存在实数c,使得了=g(x)在

区间[c,+s)上具有性质M?若存在，求出。的取值范围；若不存在，请说明理由.

(3)设左eZ且左>0,对于任意的xe(0,+8),不等式匕蛆出>上成立，求上的最大值.

XX+1

题型三：帕德逼近

【典例3-1](2024•山东荷泽・一模)帕德近似是法国数学家亨利.帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方

法.给定两个正整数勿，n,函数在x=0处的阶帕德近似定义为：法…,且

满足：/(0)=7?(0),八0)=R(0),r(0)=火"(0),…，""")(0)=卵…(0).(注：/(外=[八刈'，

f"\x)=[f\x)\，/4)(x)=[r(x)f，/⑸(x)=F)(x)J，…；/⑺⑴为八/)的导数)已知〃x)=ln(x+l)

在x=0处的[1,1]阶帕德近似为R(x)=>

v+bx

(1)求实数。，6的值；

(2)比较〃x)与灭(x)的大小;

⑶若在(0,m)上存在极值，求机的取值范围.

【典例3-2】(2024・高二・山东济南・期中)帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数

的方法.给定两个正整数加，”,函数AM在x=0处的阿，川阶帕德近似定义为：尺⑴次+丁+…+了：

且满足：/(0)=7?(0),r(0)=R(0),旦(0)=A"(0)…,/(E)(0)=邳…(0).已知/(x)=ln(x+l)在％=0处

的[1,1]阶帕德近似为Wx)=:.注：

/(无)=D(x)=[r(x)]\/(4)(x)=[尸⑹'j⑸(X)=[/(4)(x)]\-

⑴求实数。，6的值；

(2)求证：(x+b)d£|>l；

⑶求不等式(1+[，<6<1+工，2的解集，其中e=2.71828….

【变式3-1］(2024・高三•重庆•阶段练习)帕德近似(Pade叩proximation)是有理函数逼近的一种方法.已知函数

〃(x)=ln(x+l)在x=0处的［15阶帕德近似定义为：=且满足：A(0)=G(0),〃(0)=G(0),

"(O)=G"(O),.…又函数/■(x)="ln尤-bex+2(a>0),其中e=2.71828….

⑴求实数6,。，d的值；

⑵若函数/(x)的图象与x轴交于(国,0),(%,0)两点，Xj<x2,且"］<侬生+学恒成立，求实数加的取值

范围.

题型四：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理

【典例4-1】(2024・高一•四川内江•阶段练习)已知函数〃x)=1-1(^>0).

⑴当0<°<6,且/(。)=/(6)时，求工+?的值；

⑵若存在区间(。为函数定义域)，使/⑺在区间［凡可上的值域也为［。,用，则称/(x)为。上的精

彩函数，［应目为函数/(x)的精彩区间.求/(x)是否存在精彩区间?如不存在，说明理由；

(3)若存在实数。、6m<6)使得函数了=/(无)的定义域为［a用时，值域为在迎，机6］(加W0),则称区间［。力］为

/(x)的一个“罗尔”区间.已知函数/(x)存在“罗尔”区间，求实数小的范围.

【典例4-2】(2024・高三・全国・专题练习)拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数/(x)在6］上连续，

且在(凡6)上可导,则必有欠(a,6),使得了")上-。)=〃6)-〃。).证明不等式：士<ln(l+x)〈x(x〉0).

【变式4-1］(2024・高三•黑龙江哈尔滨•阶段练习)拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在［a,6］上

连续,且在(。,为上可导，则必有公(。,6),使得/'(4(6-。)=〃6)-已知函数

/(x)=于^V。］e［0,2］(a*6),2=,求实数2的最大值

1-1八

A.1B.—C.-D.0

ee

【变式4-2］（2024•安徽六安・模拟预测）罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一,

其他两个分别为：拉格朗日中值定理、柯西中值定理.罗尔定理描述如下：如果R上的函数"X）满足以下

条件：①在闭区间口,句上连续，②在开区间（。涉）内可导，③=则至少存在一个Jw（。,6）,使得

/仔）=0.据此，解决以下问题：

（1）证明方程4ax3+3加+2cx-（a+6+c）=0在（0,1）内至少有一个实根，其中a,b,ceR；

⑵已知函数/（x）=e，-"2_仁_"1）尤一i,qeR在区间（0,1）内有零点，求。的取值范围.

题型五：伯努利、琴生不等式

【典例5-1】（2024•高三・贵州•阶段练习）伯努利不等式又称贝努力不等式，由著名数学家伯努利发现并提出.

伯努利不等式在证明数列极限、函数的单调性以及在其他不等式的证明等方面都有着极其广泛的应用.伯努

利不等式的一种常见形式为：

当x＞-l,aNl时，（l+x）"»l+ax,当且仅当a=l或x=0时取等号.

（1）假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为1.2%,以此增长率为依据，试判断6年后该地区

人口的估计值是否能超过107万？

（2）数学上常用n%表示生，?，L,。”的乘积，口卬=。/。2…%,weN,.

i=\z=l

（i）证明:+1；

（ii）已知直线＞=/（%）与函数＞=ln（x+l）的图象在坐标原点处相切，数列｛〃〃｝，低｝满足:1=/（〃）,

_4].-3.......°2〃-1

L证明：+b<y/2n+l.

"——W1+4+Z?2H—n

【典例5-2］（2024•高一・江苏苏州•期末）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.1691

CXxA

年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为了=9守+守，其中C为参数.当C=1时，该方程就是双曲余弦

函数cosh（X）=《詈，类似的我们有双曲正弦函数sinh（X）=£丁.

⑴从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数〉=311(2可+41±⑺的最小值;

①[cosh(%)丁_[sinh⑴]?=Q

②sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)；

③cosh(2%)=[cosh(x)]2+[sinh(%)了.

(2)求证：Vxe一乐工,cosh(cosx)>sinh(sinx).

【变式5-1](2024•高一・湖南长沙•阶段练习)设连续函数/(x)的定义域为,如果对于内任意两数

和三，都有;■(土产]V小与g,则称“X)为[a,”上的凹函数；若1专十小)；仆2),则

称/(x)为凸函数.若/(x)是区间[a,句上的凹函数，则对任意的西,々,…,x,e[a,6],有琴生不等式

/f*+/+…+乙]<…+/(x.)恒成立(当且仅当再=%=…=x”时等号成立).

⑴证明：〃x)=4在(0,1)上为凹函数；

1-X

(2)设项,％2,…，X”>°，〃之2,且再+々+…+%〃=1,求沙=」—+：—二+…的最小值；

1_X]1_91一天

111n

⑶设4,々…名为大于或等于1的实数，证明：后T+/T+…+不我也勺二十1•(提示:可设〃=炉)

题型六：微积分、洛必达

【典例6-1](2024・湖北,二模)微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学

过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数/(尤)=：(x>0),/(尤)在区间上

的图像连续不断，从几何上看，定积分J,”■d尤便是由直线x=a,x=6/=0和曲线y=L所围成的区域(称为曲

aXX

边梯形/砥尸)的面积，根据微积分基本定理可得f况=正也，因为曲边梯形.尸的面积小于梯形

a-b2

------->-i——r

物0尸的面积，即时边梯形皿?梯物眦，代入数据，进一步可以推导出不等式:\na-\nb11.

—।—

ab

(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：,〈安

]na-\nb2

(2)已知函数/卜)="2+6x+xlnx,其中a,beR.

①证明：对任意两个不相等的正数为何，曲线y=/(x)在(xj(xJ)和值,/6))处的切线均不重合;

②当6=T时，若不等式/(无”2sin(x-l)恒成立，求实数。的取值范围.

【典例6-2](2024・浙江・二模)①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论:

若函数〃x),g(x)的导函数分别为广(力,g，(x),且1吧以琦=|i^g(x)=0,则

]./(X)/(X)

fg(x)fg(x)

②设。>0,左是大于1的正整数，若函数〃X)满足：对任意xe[0,a],均有/(X)”成立，且!5/卜)=0,

则称函数/(无)为区间[0,4]上的k阶无穷递降函数.

结合以上两个信息，回答下列问题：

⑴试判断/'(x)=x3-3尤是否为区间[0,3]上的2阶无穷递降函数；

2

(2)计算：lim(l+%产；

x->0

sinxY<cos.xep4

(3)证明:.

X-71)I2J

【过关测试】

1.(2024•湖南永州•三模)已知函数/'(x)=xeT-ln(z,g(x)=sinx.

(1)若尤=0是函数〃(x)=/(x)+ag(x)的极小值点，讨论〃(x)在区间(-8,兀)上的零点个数.

(2)英国数学家泰勒发现了如下公式：

一+」..+R

*eN*)

白(2«)!2!4!6!你)

这个公式被编入计算工具，计算足够多的项时就可以确保显示值的精确性.

%1

利用上述知识，试峙下的直

2.(2024•辽宁沈阳•模拟预测)给出以下三个材料：①若函数/(尤)可导，我们通常把导函数尸(x)的导数叫

做“X)的二阶导数，记作/"(x).类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作尸'(x),三阶导数的导数叫

做四阶导数……一般地，n-1阶导数的导数叫做〃阶导数，记作/(")(力=[/7)(耳],"“②若〃三叶,定

义疝-2*..x3x2xl.③若函数〃x)在包含%的某个开区间(见。上具有〃阶的导数,那么对

于任一⑼有g3=/d)+牛(xy°)+竽好/丫+^^-/户…)"，

我们将g(x)称为函数“X)在点X=七处的”阶泰勒展开式.例如，%e、在点X=0处的〃阶泰勒展开式为

l+x+[/+…+[x".根据以上三段材料，完成下面的题目：

2n\

⑴求出力(x)=sin尤在点x=0处的3阶泰勒展开式4(x),并直接写出f2⑺=cosx在点x=0处的3阶泰勒

展开式gz。);

(2)比较⑴中八(x)与刍(x)的大小.

(3)证明：e"+sinx+cosx>2+2x.

3.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）在高等数学中，我们将＞=/（'）在'=为处可以用一个多项式函数近似表

示，具体形式为：〃力=/（%）+/，（对（尤―引乜受（》一步+...乜苧（行必+..（其中/叫力表

示/（X）的n次导数），以上公式我们称为函数/（X）在尤=/处的泰勒展开式.

（1）分别求e*,sinx,cosx在x=0处的泰勒展开式；

（2）若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：e，"+1=0.（其中i为虚数单位）；

（3）若e"皿＞x+l恒成立，求。的范围.（参考数据ln|。0.9）

x

4.（2024•高一•江苏•课时练习）计算器是如何计算sinx,cosx,e,Inx,五等函数值的？计算器使用的

是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函

数的值，如

.X3X5X7

smx=X-----H-------------F…，

3!5!7!

X2X4X6

COSX=]----------|-----------|—•••

2!4!6!

其中w!=1-2-3......n.

英国数学家泰勒（B.Taylor,1685—1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得到的sinx

和cos尤的值也就越精确.例如，我们用前三项计算sin0.9,就得到sin0.9x0,9-世史+世艺。0.78342075.

3!5!

像这些公式已被编入计算器内，计算器利用足够多的项就可确保其显示值是精确的.

试用你的计算器计算sin0.9,并与上述结果进行比较.

/v5v7

5.(2024・高一•福建福州・期末)英国数学家泰勒发现了如下公式：sinx=x*+„+…，其中

«!=1X2X3X4XLxn,此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当总时，

sinx<x,smx>x---，sinx<x----1---,•••.

3!3!5!

ysr,(八兀)r।sinx1

⑴证明：当xe|0,f时，——>-；

VX2

⑵设/(无)=加sinx,若区间［。回满足当/(x)定义域为［a,6］时，值域也为［a,司,则称为/(x)的“和谐区间”.

⑴加=1时，/(x)是否存在“和谐区间”？若存在，求出/(x)的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；

(ii)%=-2时，"X)是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.

6.(2024•湖南邵阳三模)给出定义：设/'(X)是函数了=/(无)的导函数，/〃⑺是函数广⑴的导函数，若方

程/'"(x)=0有实数解％,则称点伉为函数y=/(x)拐点.已知/(同="+百sinx-cosx.

⑴求证：函数y=/(x)的拐点m(%,/伉))在直线片⑪上;

(2)工«0,2万)时,讨论/(x)的极值点的个数.

7.(2024•甘肃•二模)已知函数〃刈=6'+上？-1(。€及且。为常数).

(1)当。=-1时，讨论函数/(X)在(T,+8)的单调性;

(2)设y=f(x)可求导数，且它的导函数/(X)仍可求导数，则/(X)再次求导所得函数称为原函数y=f(x)的二

阶函数，记为"(X),利用二阶导函数可以判断一个函数的凹凸性.一个二阶可导的函数在区间［凡句上是凸

函数的充要条件是这个函数在(。，切的二阶导函数非负.

若g(x)=(X+l)［/(x)+l］+(t7-JN)/在(-00,-1)不是凸函数，求。的取值范围.

8.(2024・高三・安徽淮南•阶段练习)帕德近似是法国数学家亨利・帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方

法.给定两个正整数机，n,函数在x=0处的［〃?,〃］阶帕德近似定义为：及口)=?+丁+…+了；,且

满足：/(0)=/?(0),八0)=〃(0),/〃(0)=R'(0)…,/(i(0)=胪+〃)(0).己知"X)=ln(%+1)在％=0处的［1,1］

阶帕德近似为R(x)=注：,(x)="'(X)］'/"(X)=［尸(X)］'，/⑷⑺="1切'J⑸(x)=［尸⑺］'，…

⑴求实数。，6的值；

⑵求证：(x+6)，J>l.

33

9.(2024・高一・湖南郴州・期末)若函数y=/(x)自变量的取值区间为k,可时，函数值的取值区间恰为

就称区间［凡句为V=/(x)的「一个“罗尔区间”.已知函数g(x)是定义在R上的奇函数，当xe(0,+oo)时，

g(x)=-x+4.

⑴求g(x)的解析式；

(2)求函数g(x)在(0,+8)内的“罗尔区间”；

(3)若以函数g(x)在定义域所有“罗尔区间”上的图像作为函数y=〃(x)的图像，是否存在实数加，使集合

{(xMly=〃(x)}c{(xj)|y=x2+对恰含有2个元素.若存在，求出实数机的取值集合；若不存在，说明理由.

10.(2024・高三•北京・强基计划)已知罗尔中值定理：若函数/(x)满足：①/(x)在［凡6］上连续；②/⑴在⑷为

上可异；③可。)=/3),则存在“(a,b),使得/V)=0.

(1)试证明拉格朗日中值定理：若函数/&)满足：①/⑴在回句们上连续；②/(x)在(。,为上可导，则存在

火(a,b),使得/(a)-/(/>)=("6)/G).

(2)设/(x)的定义域与值域均为［0」］J(0)=0,/(1)=1且/⑴在其定义域上连续且可导.求证：对任意正整数

〃，存在互不相同的占x“e［0,l］,使得/(国)+/'(W)-…+/'(x“)=〃.

11.(2024・高三•全国•专题练习)已知函数/(》)=加？+小2(加、MeR,刃30)的图象在(2,/(2)处的切线与x轴

平行.

(1)求“，〃2的关系式并求/(X)的单调减区间；

(2)证明：对任意实数。〈玉〈三〈1,关于x的方程：在(2)恒有实数解;

(3)结合(2)的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数”X)是在闭区间仅网上连续不断的函数，且在区

间(a,6)内导数都存在，则在(a,6)内至少存在一点七,使得八%)="?一/⑷.如我们所学过的指、对数函

数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件.试用拉格朗日中值定理证明：

当0<。<6时，j<ln2<j(可不用证明函数的连续性和可导性).

baa

2

12.(2024・高三•全国•专题练习)已知/。)=丁3-2/+”+4,g(x)=e=e"+/(x),

⑴若/(x)在x=1+0处取得极值，试求c的值和“X)的单调增区间；

(2)如图所示，若函数y=的图象在口连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在ce(a,6),

使得/⑹=〃?一〃"),利用这条性质证明：函数V=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4.

b-a

13.(2024•全国•模拟预测)“让式子丢掉次数”：伯努利不等式

伯努利不等式(BemoulliHnequality),又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式,

由瑞士数学家雅各布・伯努利提出：对实数xe(-l,+8),在〃e[L+s)时，有不等式(l+x)"21+nr成立；在

时，有不等式(1+x)"Vl+〃x成立.

(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件;

（2）当“21时，对伯努利不等式进行证明；

（3）考虑对多个变量的不等式问题.已知心出，…，4是大于-1的实数（全部同号），证明

（1+a］）（1+a2）…（1+a,）W［+%+a2+…+%

14.（2024•河北石家庄•一模）伯努利不等式，又称贝努利不等式，由数学家伯努利提出：对于实数x>T且

xwO,正整数"不小于2,那么（1+x）”21+内.研究发现，伯努利不等式可以推广，请证明以下问题.

（1）证明：当ae［l,+8）时，（l+x）“21+ax对任意x>—l恒成立；

（2）证明:对任意〃eN*,1"+2"+3"+-+/<（"+1）"恒成立.

15.（2024•高一・山东临沂・期末）临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的

单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数>=lnx和>=/,虽然它们都是增

函数，但是图像上却有很大的差异.通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念.

已知定义:设连续函数加）的定义域为团可，如果对于［例句内任意两数X，三,都有〃当选）4小吟3,

则称/（x）为上的凹函数；若则/（x）为凸函数.对于函数的凹凸性，通过

查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若人x）是区间［。力］上的凹函数，则对任意的

x1=x2=.•.=%„e［a,b］，有不等式/（*+%+-•+”</（西）+/（%）+…+/（居）恒成立（当且仅当

nn

=•••=当时等号成立）.小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运

用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数/（无）=3和对数函数

g（x）=logax,研究函数的凹凸性.

（1）设玉,％2,…，％n>2,且玉+%2+…+%〃=1,求W=~—■—？-+•••+'—J的最小值.

—

］一再1%2―X”

111n

（2）设八,々,…/“为大于或等于1的实数，证明词+=+…+不2也公+「（提示:可设1铲）

⑶若0>1,且当xe（O,l］时，不等式g（小2+x）«0恒成立，求实数〃?的取值范围.

16.（2024・高一・北京・期中）无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年、建党百年天安门广场

三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严……171金帆合唱团，这绝

不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典

礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1就是金帆排练厅，大家都亲切的

称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3）,正

六棱柱