2025年新高考数学复习压轴题讲义：高等解析几何背景新定义（七大题型）（学生版）

专题06高等解析几何背景新定义

【题型归纳目录】

题型一：特殊空间几何体新定义

题型二：空间斜坐标系新定义

题型三：结合解析几何距离新定义

题型四：空间直线方程

题型五：空间平面方程

题型六：立体几何与解析几何结合新定义

题型七：解析几何概念新定义

【方法技巧与总结】

空间立体几何与解析几何新定义试题呈现的结构通常为“给出图形的新定义一探索图形的新性质一运

用图形的新性质解决问题”，设问的层次通常为从简单到复杂、从特殊到一般.理解概念重要的不仅是概念

如何定义，而且是概念能够引出哪些性质(具有哪些表征)；研究图形重要的不仅是发现了什么结论，而且是

采用了怎样的思想方法.这正是数学课程性质中的抽象结构思想和数学课程目标中的核心素养导向的体现.

【典型例题】

题型一：特殊几何体新定义

【典例1-1】(2024・高三•河北•阶段练习)已知“=(尤”[/J,b={x2,y2,z1),c=(x3,y3,z3),定义一种运算：

(ax9Jc=x{y2z3+x2y3zx+x3y{z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2zt,在平行六面体48co-4BC中，48=(1,1,0),

25=(0,2,2),Z4；=(l,-l,l).

(1)证明：平行六面体ABCD-/EGA是直四棱柱；

(2)计算|(万乂而卜五可，并求该平行六面体的体积，说明|(万x45).无可的值与平行六面体

48co-4与GO体积的关系.

【典例1-2】(2024・高二•上海徐汇・期中)设尸为多面体M的一个顶点，定义多面体"在点尸处的离散曲率

为1一，-亿。/。2+/。2尸。3+~+/。1尸&+/&尸。)，其中2(，=1，2,k,左23)为多面体M的所有

2兀

与点尸相邻的顶点，且平面Q，平面022。3,…，平面。和平面&尸。为多面体M的所有以尸为

公共点的面.已知在直四棱柱/BCD-/4G2中，底面/BQ)为菱形，且N4=/8=l.

(1)求直四棱柱用G2在各个顶点的离散曲率之和；

（2）若直四棱柱/BCD-43C2在点/处的离散曲率为x,直四棱柱/3CD-/3C2体积为/（x）,求函数

》=/（力的解析式及单调区间.

【变式1-1］（2024•辽宁沈阳•二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱

截去三个相等的三棱锥〃-/3C,J-CDE,K-EE4,再分别以/C,CE,E/为轴将“CH,KEJ,AE4K

分别向上翻转180。，使H,J,K三点重合为点S所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶

空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点

的曲率规定等于2兀减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表

示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是玄7T，所以正四面体在各顶点的曲率为2兀-3、§7T=兀.

图1

（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；

（2）若正六棱柱底面边长为1,侧棱长为2,没BH=x

⑴用x表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积S（x）；

（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值.

题型二：斜坐标系新定义

【典例2-1［（2024・高二•湖北•阶段练习）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如

果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条

数轴的夹角均为60。，我们将这种坐标系称为“斜60。坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60。坐

标系”下向量的斜60。坐标：7,，》分别为“斜60。坐标系”下三条数轴（x轴，了轴，z轴）正方向上的单位向量,

若向量力=/+/+双，则万与有序实数组对应，称向量力的斜60。坐标为卜,八二］,记作

n=[x,y,z].

⑴若@=[1,2,3],3=[-1,1,2],求3+B的斜60。坐标；

⑵在平行六面体4SCD-43CQ中，AB=AD=2,AAt=3,ABAD=ABAAX=ADAAX=60°,建立“空间斜60。

坐标系”如下图所示.

①若砺=瓯，求向量两的斜60。坐标；

②若与7=[3,f,0],且而_1蔺，求|而

【典例2-2]（2024・高二・四川绵阳•阶段练习）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标

系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任

意两条数轴的夹角均为60。，我们将这种坐标系称为“斜60。坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间

斜60。坐标系”下向量的斜60。坐标：月分别为“斜60。坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位

向量，若向量万=行+百+/,则万与有序实数组（x/,z）相对应，称向量力的斜60。坐标为[x,y,z],记作

ii=[x,y,z].

(1)^5=[1,2,3],5=[-1,1,2],求&+B的斜60。坐标；

(2)在平行六面体N8CD-N8G2中，AB=AD=2,AAt=3,ABAD=ZBAA{=ADAAX=60°,N为线段DG

的中点.如图，以｛函而，五。为基底建立“空间斜60。坐标系”.

①求丽的斜60。坐标；

②若而=[2,-2,0],求翔与丽夹角的余弦值.

【变式2-1](2024・高二・山东潍坊・期中)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，

如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两

条数轴的夹角均为60。，我们将这种坐标系称为“斜60。坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60。

坐标系”下向量的斜60。坐标：分别为“斜60。坐标系”下三条数轴(X轴、了轴、,轴)正方向的单位向量，

若向量元=6+犷+zG,则为与有序实数组(x,Nz)相对应，称向量力的斜60°坐标为[Ky,z],记作n=[x,y,z].

(1)若N=[1,2,3],b=[-1,1,2],求9+B的斜60°坐标；

(2)在平行六面体/BCD-/BGA中，AB=AD=2.,AAl=3,ZBAD=ZBAAt=ZDAA[=60°,如图，以

｛丽亚，石｝为基底建立“空间斜60。坐标系”.若方7=[2J,O],且而_L布，求|五可

【变式2-2](2024•高二•江苏常州・期中)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，

如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两

条数轴的夹角均为60°,我们将这种坐标系称为“斜60。坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°

坐标系”下向量的斜60。坐标：i,j,k分别为“斜60。坐标系”下三条数轴(x轴j轴、z轴)正方向的单位向量，

若向量万=6+行+zA,则万与有序实数组(%,y,z)相对应，称向量力的斜60。坐标为[x,y,刁，记作n-[x,y,z].

(1)若N=[l,2,3],ft=[-1,1,2],求9+5的斜60。坐标；

(2)在平行六面体ABCD-ABCXDX中,48=40=2,44尸3,/.BAD=Z.BAAX=Z.DAAX=60°，如图，以AD,因｝

为基底建立“空间斜60。坐标系”.

①若屉=而「求向量丽1的斜60°坐标；

②若刀7=[2j,0],且商工布，求|押

题型三：结合解析几何距离新定义

【典例3-1]（2024・高二・北京・期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼・闵可夫斯基提出

来的.如图是抽象的城市路网，其中线段“倒是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们

只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用"（43）表示，又称“曼哈

顿距离”，即d（4B）=MC|+|C同，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若省国,必），B（x2,y2）,则

〃（43）=忖2-莓|+|%-必|

⑴①点/（3,5）,5（2-1）,求“48）的值.

②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程.

（2）已知点2（1,0）,直线2x-y+2=0,求2点到直线的“曼哈顿距离”最小值；

⑶设三维空间4个点为4=（x”％zJ,；1,2,3,4,且4％,Z,.G{0,1}.设其中所有两点“曼哈顿距离”的

平均值即2,求2最大值，并列举最值成立时的一组坐标.

【典例3-2】(2024•高三•上海青浦・开学考试)我们称点P到图形C上任意一点距离的最小值为点P到图形C

的距离，记作d(RC).

(1)求点网3,0)到抛物线C:y2=4x的距离d(P,C)；

(2)设/是长为2的线段，求点集。=｛尸卜(尸,/)<1｝所表示图形的面积.

22

【变式3-1](2024•江苏南通•二模)在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆「：'+鼻=1(.>b>0)的离心率为

g,直线/与4目切，与圆。：工2+y=3/相交于/,8两点.当/垂直于x轴时，|/刃=2指.

(1)求「的方程；

(2)对于给定的点集M,N,若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，

则记此最大值为d(M,N).

(1)若“，N分别为线段与圆。上任意一点，尸为圆。上一点，当的面积最大时，求d(M,N)；

(ii)若d(M,N),d(N,M)均存在，记两者中的较大者为"(MN).已知"(X,Y),H(Y,Z),〃(X,Z)均存在,

证明：H(X,Z)+H(Y,Z^H(X,Y).

【变式3-2](2024•高二・山东青岛・期中)中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统

装饰的审美观念，广受中国人喜爱.它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字

结''对应着数学曲线中的伯努利双纽线.在xQy平面上，我们把与定点片(-结0),外(a,0)(a>0)距离之积等

于/的动点的轨迹称为伯努利双纽线，耳，心为该曲线的两个焦点.数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为

椭圆的一种类比开展研究.已知曲线C:(x2+/)2=9(x2-是一条伯努利双纽线.

⑴求曲线C的焦点耳，耳的坐标；

(2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A,8(异于坐标原点O),使得以AB为直径的圆过坐标原点。.如

果存在，求出8坐标；如果不存在，请说明理由.

【变式3-3](2024•高三•全国・专题练习)在平面直角坐标系xOy中，对于直线I:办+勿+c=0和点耳(国,必)，

5包,%)，记〃=(。再+加+<?)(酩+奶+<?),若〃<0,则称点耳，鸟被直线/分离，若曲线c与直线/没

有公共点，且曲线c上存在点耳，鸟被直线/分隔，则称直线/为曲线c的一条分隔线.

⑴求证：点/(L2),*-1,0)被直线工+夕—1=0分隔；

(2)若直线y=息是曲线/-4/=1的分隔线，求实数k的取值范围；

⑶动点M到点。(0,2)的距离与到了轴的距离之积为1,设点M的轨迹为曲线E,求证：通过原点的直线中,

有且仅有一条直线是£的分隔线.

题型四：空间直线方程

____kUUUI

【典例4-1](2024・高二•宁夏银川・期中)在空间直角坐标系中，三棱锥尸-4BC,=(2,-1,3),NC=(-2,1,0),

AP=(3,-1,4).

(1)求三棱锥P-4BC的体积

(2)用求轨迹方程的思想方法，试求在空间直角坐标系中，以在=(2,-1,3)为方向向量，过点M(W)的直

线方程

【典例4-2](2024・高二・浙江台州•期末)我们知道，在平面中，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.如

点/(1,2)在直线/上，d=(1,3)为直线/的一个方向向量，则直线/上任意一点3(x,y)满足：ABHa，化简可

得3x-y-l=0,即为直线/的方程.类似地，在空间中，给定一点和一个平面的法向量可以唯一确定一个

平面.

(1)若在空间直角坐标系中，尸(l,3,T),M(2,l,0),N(3,2,T),请利用平面丽的法向量求出平面丽的方程;

(2)试写出平面小+为+&+尸=0(4,B,C不同时为0)的一个法向量(无需证明)，并证明点(%,外,%)到平

+By。+Cz。+E)\

面/尤+为+Cz=0的距离为I/,,,I.

yJA2+B2+C2

题型五：空间平面方程

【典例5-1】（2024・高二・上海杨浦・期中）在平面直角坐标系内，我们知道ax+力+c=0（a、6不全为0）是直

线的一般式方程.而在空间直角坐标系内，我们称ax+6y+cz+d=0（a、b、c不全为0）为平面的一般式方

程.

（1）求由点/（2,0,0）,5（0,3,0）,"0,0,4）确定的平面的一般式方程;

（2）证明：”=4c）为平面ax+by+cz+d=0（a、b、c不全为0）的一个法向量；

⑶若平面a的一般式方程为ax+6y+cz+d=0（a、6、c不全为0）,z。）为平面a外*—点，求点尸到

平面。的距离.

【典例5-2］（2024・高二・湖南•课时练习）阅读“多知道一点：平面方程”，并解答下列问题：

⑴建立空间直角坐标系，已知41,0,0）,5（0,1,0）,C（0,0,l）三点，而尸（尤J,z）是空间任意一点，求/,B,

C,P四点共面的充要条件.

（2）试求过点0,0）,8（0,仇0）,C（0,0,c）的平面N3C的方程，其中a,6,c都不等于0.

⑶已知平面1有法向量3=（1,1,1）,并且经过点2（1,0,0）,求平面0的方程.

（4）已知平面C的方程为4x+为+Cz+D=0,证明：E=（43,C）是平面a的法向量.

（5）①求点（W）至IJ平面x+y+z=1的距离；

…\—+By,+Cz,+D\

②求证：点＜再,％4到平面/x+平+Cz+£＞=0的距离d」；'I并将这个公式与“平面解

SIA2+B2+C2

析几何初步”中介绍的点到直线的距离公式进行比较.

题型六：立体几何与解析几何结合新定义

22

【典例6-1】（2024•高三・浙江宁波・期末）已知椭圆C：=+4=1（。＞0,6＞0）的左、右焦点分别为£、F2,

ab

离心率为:，经过点耳且倾斜角为。（0＜。＜当的直线/与椭圆交于43两点（其中点/在x轴上方），

22

的周长为8.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，将平面xOy沿x轴折叠，使j轴正半轴和x轴所确定的半平面(平面AFXF,)与》轴负半轴和x轴所

确定的半平面(平面Bg)互相垂直.

①若。=]，求三棱锥4^的体积，

②若。=：,异面直线/月和3月所成角的余弦值；

③是否存在8(0<6<g71),使得a/台与折叠后的周长为与折叠前的周长之比为1£5?若存在，求tan。的值；

216

若不存在，请说明理由.

【典例6-2】(2024•高二・山东青岛•阶段练习)学习几何体结构素描是学习素描的重要一步.如图所示，这是一

个用来练习几何体结构素描的石膏几何体，它是由一个圆柱OO'和一个正三棱锥P-/3C穿插而成的对称组

合体.棱尸B和面P/C与圆柱侧而相切，点G是棱尸B与圆柱侧而的切点.直线0(7分别与面PAB,面PBC交

于点q,Q，圆柱OO'在面尸48,面尸3C上分别截得椭圆月,4.在平面PNC和平面尸8C中，椭圆月,马上

分别有两组不重合的两点可2，生和M”N2(图中未画出).且满足关系

ZM.GO,=ZM2GO2=a,/NQ=NN2Go?=氏风。<0,2碘.已知三棱锥的外接球表面积为32乃，

圆柱的底面直径为2百,/5=2逐，请问平面P48,平面P8C上是否分别存在点2，Q，使得对于满足

tan(a+£)=*走的直线监乂,弧小分别恒过定点Q],Q2.若存在，试求BQ和BQ2夹角的余弦值：若

不存在，请说明理由.

p

【变式6-1］（2024・高三・浙江杭州•阶段练习）如图，4M为圆柱。02的一条母线，且。。2=244.过点4且

不与圆柱底面平行的平面。与平面垂直，轴。。2与。交于点O,平面夕截圆柱的侧面得到一条闭

合截线，截线与平面。14Mo2的另一交点为4.已知该截线为一椭圆，且44和尾当分别为其长轴和短轴，O

为其中心.N为名在上底面内的射影.记椭圆的离心率为e.

（1）求e的取值范围；

（2）当e="时，求直线与平面。所成的角的正弦值.

5

【变式6-2］（2024•安徽合肥・模拟预测）已知顶点为S的圆锥面（以下简称圆锥5）与不经过顶点S的平面a相交,

记交线为C,圆锥S的轴线/与平面a所成角。是圆锥S顶角（圆S轴截面上两条母线所成角。的一半，为探究

曲线C的形状，我们构建球7,使球7与圆锥S和平面a都相切，记球T与平面a的切点为R直线/与平面

a交点为4直线NF与圆锥S交点为。，圆锥S的母线OS与球T的切点为M,\OM\=a,\MS\=b.

(1)求证：平面SO/_L平面a,并指出a,b,。关系式;

(2)求证：曲线C是抛物线.

题型七：解析几何概念新定义

【典例7-1](2024•新疆乌鲁木齐•二模)在平面直角坐标系丫⑪中，重新定义两点/(西,/),8(马，力)之间的“距

离"为|阴=|x2-x1|+|y2-y,|,我们把到两定点耳(-C⑼(c,O)(c>0)的“距离”之和为常数2as>。)的点的

轨迹叫“椭圆

⑴求“椭圆”的方程；

⑵根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；

⑶设c=l,a=2,作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A,过乙作直线交C于河,N

两点，A4W的外心为0,求证：直线与九W的斜率之积为定值.

【典例7-2](2024・湖南•二模)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如》=卬+1表示过点(1,0)的直

线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处

的切线都是该直线族中的某条直线.

⑴若圆G:x2+y2=1是直线族加x+町=1(加,〃eR)的包络曲线，求私〃满足的关系式；

(2)若点尸(%,%)不在直线族：Q(2a-4)尤+4了+(“-2)2=0(℃1<)的任意一条直线上，求为的取值范围和直

线族Q的包络曲线E;

（3）在⑵的条件下，过曲线E上48两点作曲线E的切线4，，其交点为P.已知点若43,C三点不

共线，探究/尸=是否成立？请说明理由.

【过关测试】

1.（2024・高三・江苏•开学考试）在平面直角坐标系》。夕中，若在曲线耳的方程F（尤,田=0中，以（4尤,勿）«为

非零的正实数）代替（xj）得到曲线外的方程尸（双"）=0,则称曲线£、区关于原点“伸缩”,变换

力称为“伸缩变换”，儿称为伸缩比.

⑴已知曲线耳的方程为=1,伸缩比％=g,求耳关于原点“伸缩变换”后所得曲线外的方程；

L2

⑵射线/的方程y=缶卜20）,如果椭圆用：?+/=1经“伸缩变换”后得到椭圆E2,若射线/与椭圆片、

玛分别交于两点43,且|/却=［，求椭圆外的方程；

2

（3）对抛物线&：x=2Ply,作变换（4苍勿）,得抛物线与：*2=2°2力对当作变换

2

得抛物线Jx=2p3y；如此进行下去，对抛物线与：/=2p,j作变换

（尤得抛物线纥hf=20,+j,....若百=1,4=2",求数列｛"｝的通项公式

2.（2024・高二・贵州贵阳•期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，若点河（龙/）与定点尸（。,0）（或/（-。,0）的

2x-c+

/ac7（）y_c

距离和它到定直线/：》=幺（或尤=-幺）的距离之比是常数£（0<c<。），则—U~a>化简可得

cca----x

c

2222

三+Fr=L设/=/-2（6>0）,则得到方程=+4=1（a>6>0）,所以点”的轨迹是一个椭圆，这

aa-cab

2

是从另一个角度给出了椭圆的定义.这里定点尸（c,0）是椭圆的一个焦点，直线/"=?称为相应于焦点厂的

2

准线；定点/（-。,0）是椭圆的另一个焦点，直线/':》=-幺称为相应于焦点厂'的准线.

C

根据椭圆的这个定义，我们可以把到焦点的距离转化为到准线的距离.若点M（x,y）在椭圆

222

二+4=1(.>6>0)上，尸(。,0)是椭圆的右焦点，椭圆的离心率e=£,则点M(x,y)到准线=*的距离

ub4c

为《-尤，所以|MR|=£x仁-X=。-£x=a-夕，我们把这个公式称为椭圆的焦半径公式.

cayeJa

结合阅读材料回答下面的问题：

22

已知椭圆。:5+与=1(。>6>0)的右焦点为尸，点尸是该椭圆上第一象限的点，且尸尸，尤轴，若直线/:x=9

ab

是椭圆右准线方程，点尸到直线/的距离为8.

(1)求点P的坐标；

⑵若点MN也在椭圆C上且尸的重心为尸，判断但闾万I，3M是否能构成等差数列？如果能，求出

该等差数列的公差，如果不能，说明理由.

22

3.(2024・高三・上海黄浦•开学考试淀义：若椭圆C:j+右=1(°>6>0)上的两个点/(网,弘),2卜,力)满足

ab

呼+普=0,则称48为该椭圆的一个“共轨点对”，记作[4司.已知椭圆C的一个焦点坐标为

片卜2板,0),且椭圆C过点/(3,1).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求“共辗点对”[4团中点8所在直线/的方程；

(3)设。为坐标原点，点在椭圆C上，且PQ//CM,(2)中的直线/与椭圆C交于两点与，当，且四点的纵

坐标大于0,设四点练R%,。在椭圆C上逆时针排列.证明：四边形2丁层。的面积小于8百.

丫22

4.(2024・高三・贵州・开学考试)定义：若椭圆会+=力⑺乂叫上的两个点/(4/)，8(%,%)满足

22

学+等=0,则称/,8为该椭圆的一个，共辄点对，，，记作[4司.已知椭圆c：*2=1上一点/(3,1).

⑴求“共辗点对”[4用中点3所在直线I的方程.

(2)设。为坐标原点，点尸，。在椭圆C上，且尸。//。/,(1)中的直线/与椭圆C交于两点瓦,2.

①求点与，。的坐标;

②设四点4,p,B2,。在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形片依2。的面积小于

22

5.(2024・高二・湖南•阶段练习)已知曲线C:=+方=(a>b>0),当〃/>0)变化时得到一系列的椭圆，我

们把它称为“"6椭圆群”.

(1)求“2-1椭圆群''中椭圆的离心率；

⑵若椭圆群”中的两个椭圆。、C2对应的:分别为4、%且e2fz&>0),则称。、Q为“和谐椭

圆对”.已知。、G为“和谐椭圆对”，尸是C2上的任意一点，过点尸作。2的切线交G于45两点，Q为3

上异于48的任意一点，且满足而=夕而+〃砺，问：a?+皮是否为定值？若为定值，求出该定值；否

则，说明理由.

22

6.(2024・高三•上海虹口•阶段练习)已知椭圆［小+方=1(a>6>0)的左、右焦点分别为《、8,直线/的

斜率为左，在了轴上的截距为九

(1)设左=1,若「的焦距为2,/过点£,求/的方程；

(2)设m=0,若尸是「上的一点，且|丽|+|而|=4,/与「交于不同的两点/、B,。为「的上顶点，

求A/80面积的最大值；

(3)设万是/的一个法向量，M是/上一点，对于坐标平面内的定点N,定义/=土丝”用。、b、k、加表示

'\n\

丹•Sg,并利用丹.生与〃的大小关系，提出一个关于/与「位置关系的真命题，给出该命题的证明.

7.(2024・高二•上海青浦•期末)在平面直角坐标系xQv中，对于点尸(5,%)、直线/:ax+力+c=0,我们称

ax+by+c

8=00

yja2+b2为点尸(%，比)到直线/：〃X+"+。=0的方向距离.

⑴设双曲线上-/=1上的任意一点尸(X/)到直线(：x—2y=0,/z：x+2y=0的方向距离分别为心电，求

4'

5血的值;

(2)设点E(T,O)、尸«设)、到直线/：xcosa+2ysin—-2=0的方向距离分别为九名，试问是否存在实数乙

对任意的g都有7%=1成立？说明理由；

(3)已知直线/：机x-y+"=0和椭圆3+乌=1(。>6>0),设椭圆E的两个焦点4、瓦到直线/的方向距离分

别为4、4满足44>/,且直线/与X轴的交点为A、与V轴的交点为B,试比较的长与的大小.

8.(2024•高二・北京・期中)已知集合及"={(占,％,…，怎)|可e火,i=1,2,…，4(〃剂，定义尺"上两点

A(aI,a2,---,all),

2(4也,…,6“)的距离4(43)=-b\.

Z=1

(1)当〃=2时，以下命题正确的有(不需证明)：

①若，(1,2),5(4,6),则"(48)=7；

②在A/2C中,若NC=90。,则[d(4C)r+[d(CC)]2=[d(48)T；

③在“BC中，若d(45)=/(4C),则NB=NC;

(2)当〃=2时，证明火2中任意三点/,B,C满足关系"(4B)4d(4C)+d(C,5)；

⑶当〃=3时，设/(0,0,0),3(4,4,4),P(x,y,z),其中x,y,zeZ,

"(4尸)+〃(尸,B)=d(43).求满足尸点的个数〃，并证明从这"个点中任取11个点，其中必存在4个点,

Q

它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于I.

9.(2024・高二•广东东莞・期中)(1)在空间直角坐标系中，已知平面a的法向量Z=(a,6©(ab"0),且平面a

经过点片(%,%,Z。)，设点尸(XJ,Z)是平面内a任意一点.求证：a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=O.

(2)我们称(1)中结论。。-/)+6(>>-%)+以2-20)=0为平面7的点法式方程，若平面a过点

M(2,-1,4),%(-1，3,-2),M(。，2,3),求平面a的点法式方程.

10.（2024•高一・福建泉州・期末）球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形（特别是三角形）的

角、边、面积等问题，其在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端点称为球的

一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A,B,C,

过任意两点的大圆上的劣弧勿，BC，B所组成的图形称为球面”3C,记其面积为S球面△放,•易知：球的

任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A和4；若球面上A,B,C的对径点分别为"，"，C,

则球面人48。与球面"BC全等.如图2,已知球。的半径为五,圆弧标和就所在平面交成的锐二面角

3-4O-C的大小为二，圆弧血和病所在平面、圆弧B和在所在平面交成的锐二面角的大小分别为广，

了己S（a）=S球面△/lac+$球面+S球面+S球面•

⑴请写出s⑺，sg的值，并猜测函数S（c）的表达式;

⑵求S球面△/sc（用1，A，7，尺表示）.

11.（2024・高一・四川成都・期末）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1,

由射线尸/,PB,尸C构成的三面角尸一48C,ZAPC=a,NBPC=/3,NAPB=y,二面角/一尸C一8的大

小为。，贝卜cosy=cosacos尸+sinasinpcos0.

（1）当a、夕e时，证明以上三面角余弦定理;

（2）如图2,平行六面体48cz）-43C中，平面44]C]C_1_平面48cZ）,ZAtAC=60°,ABAC=45°,

①求N//3的余弦值；

②在直线cq上是否存在点p,使3尸〃平面D4G?若存在，求出点尸的位置；若不存在，说明理由.

12.（2024・全国•模拟预测）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三

个相等的三棱锥48C,J-CDE,K-EFA,再分别以/C,CE,£/为轴将A4C”,NCEJ,AEAK

分别向上翻转180。，使H,J,K三点重合为点S所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲

顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶

点的曲率规定等于2万减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制

表示）.

图1

（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；

（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值.

13.（2024•高三・全国•专题练习）设尸为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为

1-4（NQFQz+NQ，P03+…+NQIPQK+，其中Qi（，=l，2,k,心3）为多面体M的所有与点

尸相邻的顶点，且平面QPQ,平面0尸。3,…，平面Qk/PQk和平面QkPQi遍历多面体阴■的所有以尸为

公共点的面.

图1图2

(1)如图1,已知长方体48C/D/-48CD,48=2C=1,皿=三，点尸为底面N/BG。/内的一个动点，

则求四棱锥P-ABCD在点P处的离散曲率的最小值；

(2)图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后

用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格.区域a和区域£中点的离散曲率的平均值更大的是哪

个区域？(确定“区域a”还是“区域£”)

14.(2024・高二・上海浦东新•期末)(1)如图，对于任一给定的四面体4444,找出依次排列的四个相互平行

的平面必，%，%，a」使得4e%(i=l,2,3,4),且其中每相邻两个平面间的距离都相等；

(2)给定依次排列的四个相互平行的平面名，%,%，%，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四

面体4444的四个顶点满足：4e«,.(/=1,2,3,4),求该正四面体4444的体积.

15.(2024・高三•上海徐汇・期末)已知@=(网,必,zj,b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定义一种运算：

(axb)-c=