2025年新高考数学复习压轴题讲义：高等背景下概率论的新定义（七大题型）

专题08高等背景下概率论的新定义

【题型归纳目录】

题型一：切比雪夫不等式

题型二：马尔科夫链

题型三：卡特兰数

题型四：概率密度函数

题型五：二维离散型随机变量

题型六：多项式拟合函数

题型七：最大似然估算

【典型例题】

题型一：切比雪夫不等式

【典例1-1】（2024・浙江•二模）某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格

品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：

测试指标[20,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]

元件数（件）121836304

（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；

（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：

若随机变量X具有数学期望E（X）=〃，方差。（X）=〃，则对任意正数£,均有成立.

⑴若X〜d100,g),证明：P(0<X<25)<^;

（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工

厂声称本厂元件合格率为90%,那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合

格率是否可信？（注：当随机事件/发生的概率小于0.05时，可称事件N为小概率事件）

【解析】（1）记事件A为抽到一件合格品，事件5为抽到两个合格品，

尸（/8）=m=詈/。）=C?oo-C；o=301

^100。330

16123

30143

⑵⑴由题：若X〜《100,£|,则E（X）=5O,£＞（X）=25

<1V00

又尸(刀=左)=&。匕)=P(X=100d),

所以P(0VXV25)=：尸(0VX425或75VXW100)=；P(|x-50|225)

OC1

由切比雪夫不等式可知，F(|^-50|>25)<^=—

所以P(0WXW25)$；

(ii)设随机抽取100件产品中合格品的件数为X,

假设厂家关于产品合格率为90%的说法成立，贝1JX:5(100,0.9),

所以£(X)=9O,Z)(X)=9,

由切比雪夫不等式知，P(X=70)4尸(|X-90|>20)<^=0.0225,

即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225,此概率极小，由小概率原理可知，一般来说

在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.

【典例1-2](2024・吉林长春•模拟预测)概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数

学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫(Markov)不等式和切比雪夫(Chebyshev)不等式.马尔科夫不

等式的形式如下：

设X为一个非负随机变量，其数学期望为E(X),则对任意£>0,均有名因，

£

马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期

望间的关系.当X为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：

设X的分布列为P(X=X,)=p”i=1,2,…,〃，其中Ple(0,+00),e[0,+oo)(z=1,2,--•,n迂pt=1,则对任意

i=l

£>o,p^x>-EAE-Pi=-Ex<Pi-ExiP1=>其中符号£4表示对所有满足的指

Xj>£Xj>£&Xj>££i=1£Xi~£

标i所对应的4求和.

切比雪夫不等式的形式如下：

设随机变量X的期望为E(x),方差为。(X),则对任意£>0,均有尸(门-£(幻|泊卜2产

(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立.

(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%.现随机选择了100名患者，经过使用该

药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信.

【解析】(1)法一：对非负离散型随机变量及正数/使用马尔科夫不等式，

2

有尸《X-E(x)|>s^=P([X-E>f)<(X)]=D(x).

法二：设X的分布列为

P（X=匕）=口/=1,2,…,如

其中演€（0,+8）（，=12-，〃）七口=1,记〃=E（X）,则对任意£>0,

Z=1

p（|x-”*）=£PSz£一〃由V垃彳-〃用=*・

\Xj-//|>£卜「42£匕匕书_〃*£i=1匕

（2）设在100名患者中治愈的人数为X.假设药企关于此新药有效率的宣传内容是客观真实的，

那么在此假设下，X-B（100,0.8）,£（X）=100x0.8=80,7?（X）=100x0.8x（1-0.8）=16.

由切比雪夫不等式，有尸（XW60）WP[\X-80|>20）<=0.04.

即在假设下，100名患者中治愈人数不超过60人的概率不超过0.04,此概率很小，

据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信.

【变式1-1]（2024•高三•湖北•阶段练习）随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡

使用的.切比雪夫在数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散

型切比雪夫不等式：设X为离散型随机变量，则尸其中4为任意大于0的实数.

切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件的概率作出估计.

（1）证明离散型切比雪夫不等式；

（2）应用以上结论，回答下面问题：已知正整数.在一次抽奖游戏中，有"个不透明的箱子依次编号为

1,2,•••,«,编号为i（1缶力）的箱子中装有编号为0,1,…，，的7+1个大小、质地均相同的小球.主持人邀请〃位嘉

nV

宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为i的箱子中抽取的小球号码为X,,并记X=、『.对任意的〃，

是否总能保证尸（假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论.

附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量工式,刀2,…,X,满足X=则有

Z=1

E（X）=£E（X）.

j=l

【解析】⑴设x的所有可能取值为x”z，…，%,x取士的概率为

则川X-E（X）怛/）=tPt,

|x,.-£（JT）|>2

•••|y-£,（-¥）1>2，卜厂:]

A2

刊v±町釜邙也一㈤、竽

|xz--E（X）|>2*744i=l4

Li|==n

(2)(2)由参考公式，E(X)=E

i=li=l2

2

D(X)=E((X_£(X))2)=E

Z=1I

、n2、

=£E+2££力

Z=1i2Z=1

717

n

2噌,用到E=O(l^Mz)

」，故D(X)寸

而。j=01Z2

z+1^4+

n

当”=160时,尸(Xnw)<p[X-^^QAnH4,<o.oi，

0.16;i2

因此,不能保证尸(m〃)d.oi.

题型二：马尔科夫链

【典例2-1](2024・高三・全国•专题练习)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智

能的基石,为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质:

下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙两口袋中各装

有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行M〃eN*)次这样

的操作，记口袋甲中黑球的个数为x“，恰有1个黑球的概率为p“.

(1)求P”P2的值;

⑵求2的值(用"表示);

(3)求证：X”的数学期望第X”)为定值.

【解析】⑴设恰有2个黑球的概率为或，则恰有0个黑球的概率为1-％-qn.

上昨上Acic',+cic!5C；C；2

由题意知Pl=一0=念=6,

…c；c；+c：c；

所以PL&C；"+C；C；<"分尸81,

；；；；C©八12

cc+ccv+

(2)因为4="-1+^r(l-P"T-q,Tr~^Pn-\

c；c；

313

所以g

一一15

32I才3是以一上为首项’为公比的等比数歹八

又因为M=-而wo,所以

5

所以％一V/xT，%

「、，C'c!C；C*21

(3)因为纵直q.T①,

_C；C*-射一%）\（i-附一。」②.

所以①-②，得2纵+4-1=；（2/_］+。,_|一1）.

又因为20+R一1=0,所以2q“+p”-l=0.所以纵=号•

所以X.的概率分布列为:

X.012

2-j1-0“

PPn

2

，1P

所以E(X.)=Ox1-%一+lx“+2x"=\.

"2

所以X,的数学期望£（X,J为定值1.

【典例2-2］（2024・高三・贵州黔西•阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德

烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第〃+1次状态的概率分布只跟第"次的状态有关，与第

n-1,n-2,〃-3,…次状态无关，即尸（X/…/心入…七）=尸（刀用户”）.已知甲盒子中装有2个黑球

和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复〃

次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为X”，恰有2个黑球的概率为%，恰有1个黑球的概率为

（1）求生,4和%,均；

（2）证明：［2a"+，一■|>为等比数歹U（〃22且〃eN*）；

⑶求X”的期望（用"表示，«>2>neN*）.

【解析】（1）若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为:，

若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，乙盒为2白，概率为:，

12

所以％=§,

2

①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为4=§,此时：

若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为=3仇，

概率为：4义!=，4，

若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，

326

211

若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为九歹什

211

若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为X—=,

②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为％=；,止匕时:

2

若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，

概率为1外,

若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，

…i,1,1,21,2122151112111

综上可知：b=—b—H———b]H=­x—i—x—=—,——b7yH—ci,——x—i—x—=一.

26x3321323339一3333333

(2)经过〃次这样的操作.记甲盒子恰有2个黑1白的概率为恰有1黑2白的概率为我，3白的概率为

1-。〃一£,

①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为“，此时：

若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为

326

概率为=*

若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，

520

211

若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为I小5=”，

211

若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为1=

②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为%,此时:

2

若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，

概率为;巴，

若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，

③当甲盒中3白，乙盒2黑，概率为1-%-4，此时:

若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为1-%-6〃,

…1,1,2,,,1,1

故"+1=7^,,+~bn+丁氏+1_2=i--bn~^an-

63323

171

2〃〃+i+4+i_g

因此

2%+bn-1。小66

2%+bn

因此12%+〃-胃为等比数列，且公比为:.

(3)由(2)知12%+〃一?为等比数歹ij,且公比为)，首项为2%+4—1=

IJJ6515

故2%+b„-1所以2%+/+24'

""515（6）

£(X“)=Ox(l-%-60)+lx6"+2a“=4+2°“=!+★(1].

J1JV07

【变式2-1](2024•浙江杭州•二模)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基

石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假

设我们的序列状态是…，无一2，X,,Xf+1,那么X小时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X,,

即尸X"2，"，X,)=尺X/X).

现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型.

假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%,且每局赌赢可以赢得1元，每

一局赌徒赌输的概率为50%,且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束

赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的3元，赌徒停止赌博.记赌徒的

本金为赌博过程如下图的数轴所示.

0.50.5

I,2141

077B

0.50.5

当赌徒手中有〃元〃eN)时，最终输光的概率为尸(〃)，请回答下列问题：

(1)请直接写出尸(0)与P(B)的数值.

(2)证明｛尸(")｝是一个等差数列，并写出公差力

(3)当/=100时，分别计算2=200,8=1000时，P(Z)的数值，并结合实际，解释当Bfoo时，尸(/)的

统计含义.

【解析】(1)当〃=0时，赌徒已经输光了，因此尸(O)=L

当〃时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率尸(3)=0.

(2)记M：赌徒有〃元最后输光的事件，N：赌徒有〃元上一场赢的事件，

P(M)=P(N)P(MIN)+P(N)P(MIN),

即尸(〃)=gP(〃-1)+；P(n+1),

所以尸(〃)一尸(〃-1)=尸+

所以｛尸(")｝是一个等差数列，

设尸(")一「("-1)=〃，贝I]尸("一l)-P(w-2)=d,--,P(l)-P(0)=d,

累加得尸⑺-尸(0)=〃d,故P(8)-P(0)=3d,得八一L

B

A

(3)/=100,由尸(〃)-尸(0)="d得尸(/)-P(0)=4Z,即尸(4)=1,

B

当2=200时，尸(4)=50%,

当8=1000时,尸(4)=90%,

当3-00时，尸-因此可知久赌无赢家，

即便是一个这样看似公平的游戏，

只要赌徒一直玩下去就会100%的概率输光.

题型三：卡特兰数

【典例3-1](2024・湖北•二模)五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动

以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨

道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前

行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.

(1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为X步，求X的分布列和期望;

(2)记R(ieN*)为设定机器人一共行走27步时游戏胜利的概率，求R,并判断当i为何值时，游戏胜利的概

率最大；

(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小

明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥

告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将"个0和〃个1排成一排，若对任意的IV左V2〃，在前

九个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有CM-cT种，其中，c;.-cT的结果

被称为卡特兰数.若记々为设定机器人行走2i步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对(2)中的R,有

zeN,

【解析】(1)依题可知，X的可能取值为0,2,4.

P(X=0)=C⑷=|,尸(X=2)=2C曰=1]_

P(X=4)=2C；

8

所以，X的分布列如下:

3113

所以，E(X)=Ox—+2x—+4x—=—.

8282

⑵依题可知口=与，止2时，旦=上1=2[<1，所以，・=1时胜利的概率最大.

1

2Pi4C2/_22I

(3)记事件/="机器人行走万步时恰好第一次回到初始位置"，3="机器人第一步向前行走”，则方="机器人

第一步向后行走”.

下面我们对事件进行分析.

发生时，假设机器人第万步是向前行走，则之前的劣-1步机器人向前走的步数比向后走少一步，而因

为机器人第一步为向前行走，

这说明存在人(2W左V2i-1)使得机器人走了上步时回到了初始位置，这与A的发生矛盾，所以假设不成立.

即机器人第2z•步为向后行走，

从而机器人第2步到第2"1步向前和向后行走的步数均为"1,且从第2步开始，到第2z-l步的这2i-2步，

任意时刻机器人向前走的步数均不少于向后走的步数(否则在这过程中机器人会回到初始位置).

根据卡特兰数，从第2步到第27-1步共有C；二-《工种行走方式.通过上述分析知，

耳=P(A)=P(AB)+P(AB)=2P(AB)=，

所以耳=4o2ctem=C-,o2(C，-C，)=旦.

,2z-l2”(2Z-1)22;Ia2,~2>2z-l

⑵-2)!(2/-2)!l_2；；(2L2)

由于2(C；，-C/)=2x

(z-l)!(z-l)!(z-2)!z!j^--1)/!

(2。2/X(2Z-2)!_2X(2z-2)!

故等式成立.

(2/-Dz!z!(2z-l)(z-l)!z!'

【典例3-2](2024・全国•模拟预测)卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列.以比利时的

数学家欧仁•查理•卡特兰(1814-1894)命名.历史上，清代数学家明安图(1692年-1763年)在其《割圜密率捷

法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰.有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡特兰

数卡特兰数是符合以下公式的一个数列：。"=/。1+%。"_2+~+41%且%=1.如果能把公式化成上面

这种形式的数，就是卡特兰数.卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡

特兰数.比如：在一个无穷网格上，你最开始在(0,0)上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一

格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到(〃,〃)，0力有多少种不同的合法

路径.记合法路径的总数为4

(1)证明4是卡特兰数；

(2)求”的通项公式.

【解析】(1)若先走到(〃-则合法路径="_「1=晨「优，

若先走到(〃-2/-2)且不走到(〃-1,〃-1),

相当于走到(〃-2,〃-2)后向右走到(〃-1,〃-2)再走到(凡为-1),

合法路径=6-心

L

若先走至ll(〃一4,"一左)且不走至!]("—左+1,〃一左+1),…-1,〃一1),

相当于走到(〃一左，〃一人)后再从("一左+1,"-左)走到(",〃T)，

合法路径="_丁初1，

于是bn=她-+姑-+•••+如％,即bn为卡特兰数.

(2)记直线l:y=x+l,则所有不合法路线都会与直线I有交点，

记第一个交点为

将A之后的路径都沿着I对称，

那么这条不合法路径的终点成为了(〃-1,"+1),

于是总路线为G”,不合法路线为,

合法路径为黑“-C祟，

gpz>„=q„-q；'=-^-.

n+1

题型四：概率密度函数

【典例4-1](2024•高二•湖南•课后作业)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车

和骑自行车所花的时间(样本数据)，经数据分析得到如下结果：

坐公交车：平均用时30min,方差为36

骑自行车：平均用时34min,方差为4

(1)根据以上数据，李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由.

(2)分别用X和Y表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间，X和y的概率密度曲线如图(a)所示，如果某天

有38min可用，你应选择哪种交通方式？如果仅有34min可用，又应该选择哪种交通方式？试说明理由.

(提示：(2)中X和¥的概率密度曲线分别反映的是X和¥的取值落在某个区间的随机事件的概率，例如，图

(6)中阴影部分的面积表示的就是X取值不大于38min时的概率.)

【解析】(1)李明平时选择骑自行车更稳妥，

由已知得坐公交车平均用时30min,骑自行车平均用时34min,差距不大；但是坐公交车的方差为36,骑自

行车的方差为4,由于方差越小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小，则坐公交车所花费的时间不稳定,

即李明平时选择骑自行车更稳妥.

(2)由图(a)中可知，X和丫的概率密度曲线可知

产(X>38)>尸(。>38),

由此可知，如果某天有38min可用，那么李明坐公交车迟到的概率大于骑自行车迟到的概率，应选骑自行

车；

由图(。)中可知，X和¥的概率密度曲线可知

P(X>34)〈尸(丫>34),

由此可知，如果某天有34min可用，那么李明坐公交车迟到的概率小于骑自行车迟到的概率，应选坐公交

车.

【典例4-2】(2024・高二・安徽・期末)设随机变量X的概率密度函数为/■&)=则

[0,其匕

尸=若对X的进行三次独立的观测，事件/至少发生一次的概率为[；

(1)对X做«次独立重复的观测，若使得事件/至少发生一次的概率超过95%,求n的最小

值.(In0.05®-2.9958,In0.75=-0.2877)

(2)为满足广大人民群众对接种疫苗的需求，某地区卫生防疫部门为所辖的甲、乙、丙三区提供了批号分别

为1、2、3、4、5的五批次新冠疫苗以供选择，要求每个区只能从中选择一个批号的疫苗接种.由于某些

原因甲区不能选择1、2、4号疫苗，且这三区所选批号互不影响.记“甲区选择3号疫苗”为事件8,且

①求三个区选择的疫苗批号互不相同的概率;

②记甲、乙、丙三个区选择的疫苗批号最大数为K,求K的分布列.

【解析】(1)夕=尸(/)=P(k+Y)xkdx=

371

所以…)--次解得、，所以E

用y表示对x的"次独立重复观察中事件/发生的次数，贝ijy〜

即尸(丫=0)=0力。(1_0)"=(319.05

尸(->0.95,贝!]P(Y=0M-05,

解得f■2.9958

0.2877

n^i,：.对X至少做11次独立重复观测;

2

32

⑵①P(8)=叫<代!]_

^2xdx=x2|f

[33

3

记“三个区选择疫苗批号互不相同”为事件C,12x4$?蓑2x4噬1?

②依题意K的可能取值为3,4,5,

则尸(K=3)[x罢总，W八12x3+17…八12x4+125x559

尸(K=5)=-x——--+-x——=——

7535235275

所以分布列如下:

K345

3759

P

257575

题型五：二维离散型随机变量

【典例5-1】(2024・高三・湖北•阶段练习)设(XJ)的所有可能取值为(％,%),称

%=P(X=x”y=y,)(i=l,2,…,〃,/=1,2,…,〃z)为二维离散随机变量(XJ)的联合分布列，用表格表示为:

YX然Pi.

%ym

PHPnPlkPimPl.

)21P22P2kP2mPl.

XkPklPk2PkkPkmPk.

PnXPnlPnkPmnPn.

PjPlP.2PkPm1

仿照条件概率的定义，有如下离散随机变量的条件分布列：定义尸"=%）=%对于固定的心若

Z=1

P.J>0,则称P"=P（X=Xi\y=y.）=^（/=l,2,■.■,«）为给定Y=为条件下的X条件分布列.

pj

Z=1

离散随机变量的条件分布的数学期望（若存在）定义如下：E[X\Y=#=（X=x^=y）.

n

（1）设二维离散随机变量（x,y）的联合分布列为

YX123Pi.

10.10.30.20.6

20.050.20.150.4

p,i0.150.50.351

求给定x=1条件下的y条件分布列；

⑵设（x,y）为二维离散随机变量，且E（X）存在，证明：E（X）=£E（/

nt

（3）某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开迷宫的道，沿此道走30分钟可走出迷宫；第二个门通

一条迷道，沿此迷道走50分钟又回到原处；第三个门通一条迷道，沿此迷道走70分钟也回到原处.假定

此人总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能走出迷宫.

【解析】（1）因为尸（X=l）=月=0.6,所以用第一行各元素分别除以0.6,可得给定X=1条件下的丫条件分

布列：

yx=i123

J_

p

63

(2)二维离散随机变量(X,y)的概率为尸(x=Xj,Y=yJ)=p..(i=1,2,…,nJ=1,2,■•■,»?),有由ptj=p^-p.j,

“n(A“m〃

£(x)=E*2.=2中£Pa=2E(x>--p<j)=S2•

z=lz=lIj=lyz=lj=lj=lz=l

m(nAmfn、

于是，E(X)=2£毛-PAJ-P-J=E\-pj-

7=1\/=1JJ=1\/=1)

由£XR/=£(x|y=巳)，有E(X)=x|y=不卜p.j.

nm

(3)由(2)知,对于二维离散随机变量(X,y),£(x)=%(x|y=x}p(y=yj

m

设他需要X小时离开迷宫，记y表示第一次所选的门，事件江=讣表示选第i个门，

由题设有尸(y=D=尸(丫=2)=尸(y=3)=；.

因为选第一个门后30分钟可离开迷宫，所以E(X|y=1)=30.

又因为选第二个门后50分钟回到原处，所以E(X|y=2)=50+£(X).

又因为选第三个门后70分钟也回到原处，所以E(X|y=3)=70+E(X).

12

所以E(X)=§x(30+50+E(X)+70+E(X))=50+§£(X).

解得£(X)=150,即他平均要150分钟才能离开迷宫.

【典例5-2】(2024•山东潍坊・一模)若1是样本空间C上的两个离散型随机变量，则称修〃)是。上的二

维离散型随机变量或二维随机向量.设&〃)的一切可能取值为(%也)，U=12…，记P)表示(知与)在。

中出现的概率，其中％=2«=%〃=勺)=尸KJ=q)n(〃=%)].

(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为九2号盒子

中的小球个数为〃，贝！1(4〃)是一个二维随机变量.

①写出该二维离散型随机变量(4〃)的所有可能取值；

②若〃)是①中的值，求=%〃=〃)(结果用加，〃表示)；

了00,

(2)尸6=%)称为二维离散型随机变量c,〃)关于4的边缘分布律或边际分布律，求证：P(4=%)=»,.

7=1

【解析】(1)①该二维离散型随机变量C,〃)的所有可能取值为：

(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).

②依题意，0<m+n<3,尸(4=%〃=〃)=尸(4=切历=〃)•尸(〃=〃)，

显然尸(〃=〃)=C；(1)"(1)3^，则尸C=加历=〃)=《广f=c;_„(1)3--,

所以尸c=%,〃=〃)=CQ(I)3--q(J"4广"=：C£CL=——1-------.

(2)由定义及全概率公式知，

p(』,)=P{C=<O(f)U(〃=62)U…U(f)U…]}

=p{[c=q)n(〃=4)]U[(j=q)n(〃=4)]U…U[(g=%)n

=He=«,)=4)]+Ge=%)n①=%)]+…+w=a,.)n(7=z>y)]+•••

+oo+oo+oo

=E=«,)ri(7=%)]=£p(&=a”〃=bj)=£Py.

j=l7=17=1

【变式5-1](2024•江苏常州•一模)设区丫)是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为师乙)，

其中"eN*,令P"=P(X=a»Y=b),称马(寸eN*)是二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列”与一

现有〃(〃eN*)个球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为X,落入第

2号盒子中的球的个数为y.

(1)当〃=2时，求(X,y)的联合分布列，并写成分布表的形式；

⑵设4=fP(x=左y=加，且心*求$>£的值.

m=0k=0

(参考公式：若X〜巩",0,则-0)""=切

k=0

【解析】(1)

若〃=2,X的取值为0,1,2,y的取值为0,1,2,

则尸(X=o,y=o)=?=：

112

尸(x=o,y=i)=c；x§x§=a,

尸(X=0,y=2)="=g,P(^=l,r=0)=C'x|x|=|,

p(x=i,y=i)=c；x+；=|,尸(x=2,y=o)U,

尸(x=l,y=2)=尸(X=2,y=l)=P(X=2,y=2)=0,

故(X,y)的联合分布列为

012

121

0

999

22

10

99

j_

200

9

(2)当左+加>〃时，P(X=k,Y=喻=0,

_“n-kn-k(i

故PLE尸(x=笈,y=加)=£尸性=左,丫=〃7>£尸C/Q'Z-

m-0m-0m-0\',

所以之电=之由二项分布的期望公式可得力切上=5.

k=o3

题型六：多项式拟合函数

【典例6-1］（2024•甘肃•一模）下表是2017年至2021年连续5年全国研究生在学人数的统计表:

年份序号X12345

人数了（万人）263273286314334

（1）现用模型,=B（x++4作为回归方程对变量x与V的关系进行拟合，发现该模型的拟合度很高.请计算该

模型所表示的回归方程（&与5精确到0.01）；

（2）已知2021年全国硕士研究生在学人数约为267.2万人，某地区在学硕士研究生人数占该地在学研究生的

频率值与全国的数据近似.当年该地区要在本地区在学研究生中进行一项网络问卷调查，每位在学研究生均

可进行问卷填写.某天某时段内有4名在学研究生填写了问卷，X表示填写问卷的这4人中硕士研究生的人

数，求X的分布列及数学期望.

参考公式及数据：对于回归方程

5

，2>,=1470.

Z=1

-11

根据公式可得y=2.29z+252.74，贝I彳=《(4+9+16+25+36)=18,歹=1(263+273+286+314+334)=294,

则

£(z,一7)(%-刃=(4-18)063-294)+(9-18).(273-294)+(16-18).(286-294)

Z=1

+(25-18).(314-294)+(36-18).(334-294)=1499,

£(z,-NJ=(4-18『+(9-18『吊16-1旷425-吗2*36-吟=654,

Z=1

14QQ

所以应=而。2.29,n=y-wx=294-2.29x18=252.74,贝!)/=2.29(尤+1?+252.74.

(2)可求得该地区硕士研究生在学生数占总在学研究生人数的频率值为g,可知因此随机变量

X的分布列如下：

X01234

吗=625

P呜电=卷

4

E(JT)=4x-=3.2(A).

【典例6-2］（2024・安徽•一模）碳中和，是指企业、团体或个人测算在一定时间内，直接或间接产生的温室气

体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放，实现二氧化碳的“零排放”.

碳达峰，是指碳排放进入平台期后，进入平稳下降阶段.简单地说就是让二氧化碳排放量“收支相抵”.中国政

府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化

碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”减少碳排放，实现碳中和，人人都可出

一份力.某中学数学教师组织开展了题为“家庭燃气灶旋钮的最佳角度”的数学建模活动.实验假设：

①烧开一壶水有诸多因素，本建模的变量设定为燃气用量与旋钮的旋转角度，其他因素假设一样；

②由生活常识知，旋转角度很小或很大，一壶水甚至不能烧开或造成燃气浪费，因此旋转角度设定在10。

到90。间，建模实验中选取5个代表性数据：18°,36°,54°,72°,90°.

某支数学建模队收集了“烧开一壶水”的实验数据，如下表:

项目

开始烧水时燃气表计数/dnP水烧开时燃气表计数/dn?

旋转角度

18°9080