2025年中考数学专项突破：整式和分式化简求值（解析版）

通关秘籍03整式和分式化简求值

目录

【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）

・I中考预测

化简求值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基

础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看，加减乘除运算是数学的基础，也是高频考点、必考点，所以必须提高运算能力。

2.从题型角度看，以解答题的第一题或第二题为主，分值8分左右，着实不少！

■（误区点拨

易错点一整式化简中整体代入求值

【例1】（23-24八年级上•四川巴中•期末）先化简，再求值：［。（。-29+（。+26）（-。+26）-66卜26,其中

a—2b+1—0.

【答案】2b-a-3,-2.

【分析】

本题考查了整式的运算，先进行括号内的单项式乘以多项式，平方差公式和合并同类项运算，再多项式除

以单项式运算即可，把26+1=0变形为26-。=1,然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整

体代入是解题的关键.

【详解】

解：原式=（/-2。6+462-/-66）+26,

=（462-2.6-66）+26,

—2b—〃—3,

:"26+1=0,

2b-a=l,

原式=1-3=-2.

易错点拨

利用整式的运算法则，乘法公式进行化简，再整体代入求值.

【例2】(2024•江苏盐城•模拟预测)已知尤2-2X-3=0,求代数式(》-1)2+工口-4)+@-3)(尤+3)的值.

【答案】1

【分析】

本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键.

由X?-2x-3=0可得V-2x=3,然后再运用整式的混合运算法则化简原式，然后将/-2x=3整体代入计

算即可.

【详解】

解：X2-2x-3=0>

•*-x2-2x=3-

(x—I)-+x(尤一4)+(x—3)(尤+3)

=x~-2x+1+x~-4x+x2-9

=3x~—6x-8

=3(/-2x)-8

=3x3-8

=1.

【例3】(2024•浙江宁波•模拟预测)(1)计算：2tan60°-V27+^1j+卜-回；

(2)已知/一4x-l=0,求代数式(2》一3丫一(x+l)(x-l)的值.

【答案】(1)3；(2)13.

【分析】

本题考查了实数的运算，整式的混合运算.

(1)根据负整指数幕的性质，化简绝对值，特殊角的锐角三角函数值计算即可；

(2)由已知求得V-4x=l,再对所求式子利用乘法公式化简，再整体代入求解即可.

【详解】解：(1)2tan60°-厉+［；)+卜一码

=2百-3百+4+百-1

=3；

(2),：X2-4X-1=0,

x2-4x=1，

・，・(2x-3)_(x+l)(x-1)

=4X2-12X+9-X2+1

=3x2-12x+10

=3(X2-4X)+10

=3x1+10

易错点二分式化简后取值要使分式有意义

【例1】（2024•陕西榆林•一模）先化简：（1一二,2X：2再在t,1,2中选择一个合适的数代入求

%?—2x+1

值.

【答案x=2时，原式g

【分析】

本题考查了分式的化简求值.原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则

变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值.

2x+2

【详解】解:

——2x+1

_-2x(xT)

1-x2(x+1)

_x2-x

x+1

•/x取1和T时分式无意义，

72-??

二・x取2,当x=2时，原式=-----=—

2+13

利用分式运算法则进行化简，注意分式最后要约分得到最简结果，选择自己喜欢的数代入求值事，一

定要注意使分式有意义.

【例2】（2024•浙江宁波•模拟预测）先化简，再求值：fl-一二〕一,，并从-1,0,1选一个合适

Im+1）m+2m+1

的数代再求值.

【答案】m+1,2

【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.根据分式的混合运算法

则把原式化简，根据分式有意义的条件选择合适的整数代入计算，得到答案.

【详解】解：原式=（生土1-r

I加+1m+\Jm+2m+l

m（m+1）2

m+1m

=m+1,

•・,加不能取-1,0,

m=\

当加=1时，原式=1+1=2.

【例3】（2024,湖北黄冈,模拟预测）先化简，再求值：1+厂=一/F不，化简后从-2<。<3的范围内

L（"1）」（。一-1）

选一个你喜欢的数作为。的值代入求值.

【答案】a+1,3

【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内再进行除法计算，然后-2<〃<3以及分式有意义中选a

的值，代入求值，即可作答.

aa

ci—1a—1

aa?—1

=-----x--------

a-\a

=a+1,

*.*-2<«<3,aw±1

a=2

把a=2代入a+1,得原式=2+1=3

・I抢分通关

题型一整式的运算

典例精讲：

【例1】（2024•江苏宿迁•一模）计算：+（2024-^-）°-V27xtan30°.

【答案】3-V3

【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握负指数幕，非零数的零次幕，求一个数的立方根，特殊角的

三角函数值的方法是解题的关键.

先算负指数幕，零次幕，立方根，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可求解.

【详解】解：+（2024-^-）°-V27xtan30°

=2+l-3x—

3

=3-V3•

通关指导

负指数塞，零次幕，立方根，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可求解.

【例2】（2024•广东深圳•一模）计算：出一2卜（一£|+（2024-^-）°-6cos300.

【答案】7-473

【分析】本题考查了锐角三角函数的运算，实数的运算，解题的关键是掌握特殊的锐角三角函数值.先算

锐角三角函数、绝对值、零指数幕和负整数指数幕，再算加减即可.

【详解】解：原式=2-6+4+l-6x@

2

=2-石+4+1-36

=7-473.

名校模拟

1.（2024•四川内江•一模）计算：（-1）2025+II+3tan30°-(2024-^)°+|V3-2022I.

【答案】2024

【分析】

本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，根据负整数指数幕，零指数塞，特殊角的三角函数值进行计算

即可求解.

0

【详解】解：（一1严5+［；］+3tan30°-（2024-^）+1>/3-2022）

巧

--l+4+3x---1+2022-6

3

=2024.

2.（2024・甘肃白银•一模）计算：272-sin45°-（-2024）°-11-V21+j.

【答案】6-V2

【分析】

分别计算特殊角的三角函数值，零次幕，绝对值，负整数次幕运算，即可得到答案.

【详解】解：2A/2.sin45°-（-2024）°-11-V21+

=2岳孝（存1）+4

=6—V2•

【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，零次幕，绝对值，负整数次黑运算，掌握相关运算法则是解

题的关键.

题型二整式化简后直接代入求值

典例精讲

【例1】（2024•广西一模）先化简，再求值：（x+3）（x-3）+（2f-q+x,其中x=4.

【答案】2x-9,-1

【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.根据平方差公式及多项式

除以单项式法则分别计算乘除，再相加即可.

【详解】解：（x+3）（x—3）+（2f—三）+x

=犷-9+（2尤-x?）

—2x—9,

把x=4代入，2x—9=2x4—9=—1.

通关指导

整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.根据平方差公式及多项式除以单项式法则

分别计算乘除，再相加求解.

【例2】(2024•广西南宁•一模)先化简，再求值：[(x+2y『-(x+2y)(x-2y)卜4y,其中x=l,y=T.

【答案】x+2y,-l

【分析】

本题考查整式的混合运算及因式分解的应用，熟知乘法公式、整式的四则运算法则和因式分解的方法是正

确解决本题的关键.

按整式运算法则或先运用因式分解化简再代入计算即可.

【详解】解：

化简方法一：[(x+2y7一(%+2y)(x-2y)卜4y

=[(x+2〉)(x+2y-x+2y)]+4y

=x+2y

化简方法二:

[(X+2>)2-(x+2>)(x—2〉)卜4》

=[(x2+4xy+4y2)-(x2-4y2)]+4y

二(%2+4孙+4)2_%2+4)2/4)

二(4盯+8力+4歹

=4初+4>+8>2+4)

=x+2y

当％=1,y=-1时，

原式=1+2x(—1)=7.

名校模拟

1.(2024・湖南长沙■一模)先化简，再求值：(a-+(a+b)(a-6)-24a-2@,其中a=2024,b=-\.

【答案】2ab,-4048

【分析】

本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式，平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括

号，然后合并同类项即可.

【详解】解：（〃一勾2+（〃+加〃一6）-244一29

——2ab+〃+Q2—扶-2/+4。/?

=2ab,

当。=2024,b=1时，原式=2x2024x（-l）=-4088.

2.（2024・湖南娄底•一模）先化简，再求值：卜-2a+（2x-y）（2x+y）-乂x-4j）,其中x=-l,V=2.

【答案】4x2+3y2,16

【分析】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知整式的混合运算法则.先根据完全平方公式、

平方差公式将多项式展开，再去括号、合并同类项，最后代入值计算即可.

【详解】解：（尤-2才+（2x-y）（2x+y）x-45

原式=x2-4xy+4y2+4x2-y2-x2+4xy

当x=-l,尸2时,

原式=4x(-l)2+3x2?

=4+12

题型三分式中化简后直接代入求值

典例精讲：

丫2_£_|_9（y2,—

【例1】（2024•广东湛江•一模）先化简，再求值：.....-———,其中x=^-3.

x-3Ix+3）

【答案】x+3,V3

【分析】此题考查了分式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.同时还考查了分母有

理化.原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，同时利用除法法则变形，约分得到最简结

果，把x的值代入计算即可求出值.

(x-3)2x(x+3)x2+2x+3

x-3x+3x+3

=x+3.

当尤=百一3时，

原式=0_3+3=百.

通关指导

利用分式运算法则进行化简，注意分式最后要约分得到最简结果，再把x值代入求值.

【例2】(2024•安徽合肥•一模)先化简，再求值：其中x=-2.

Vx)x+x

【答案】——，一；

x-l3

【分析】本题考查了分式的化简求值，先对分式进行化简，再把x=-2代入到化简后的结果中计算即可求解,

掌握分式的性质和运算法则是解题的关键.

x(x+l)

【详解】解:原式=

1X

=—X----------,

Xx-1

1

当x=—2时,

原式=士£

—2—13

名校模拟J

1.(2024•湖北孝感•一模)先化简，再求值：［m+2--'+四-其中〃-3+2后.

Im-2)m-2

【答案】等，V2

【分析】

本题主要考查了分式的化简求值，先把括号内的分式通分，再把除法变成乘法，接着约分化简，最后代值

计算即可.

【详解】W：(m+2一一三］+网不

1m-2Jm-2

(m+2)(m-2)-5m-2

m-22m-6

m2-9m-2

m-22(m-3)

_(m+3)(m-3)m-2

m-22(m—3)

_m+3

2

当加=一3+2行时，原式=-3+2亚+3=底.

2

2.（2024•江苏淮安•模拟预测）先化简，再求值：«］二"+9,其中》=3+四.

Vx+1）x-1

【答案】—―-0+1

x-3

【分析】

此题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，先利用分式的运算法则和混合运算顺序得到化简结果,

再把字母的值代入计算即可.

【详解】解：匕x2-6x+9

(XT?

(x+l)(x-1)

x-3(x+l)(x—1)

x+1(x-3)2

x-1

1^3

当％=3+V2时，

3+收-1

原式=

3+V2-3

2+V2

=A/2+1-

题型四分式中化简后整体代入求值

例精市

【例1】（2024•江苏宿迁•一模）先化简，再求值：旦+上——3,其中x,y满足2x+y-l=0.

（x-yx+y）%-y

【答案】2（2x+y）,2

【分析】本题主要考查分式的混合运算，代入求值，掌握分式的混合运算方法是解题的关键.

根据分式的性质，分式的混合运算法则进行化简，再将2x+y-l=0变形代入即可求解.

--3--x--+---x---x

【详解】解:22

x-yx+y尤一y

_3x(x+y)।x(x_y)Jx+j)(x-j)

_(x-y)(x+y)(x-y)(x+y)Jx

_3x2+3xy+x2-xy(x+^)(x-y)

(x+y)(x-y)x

_4/+2初>(x+y)(尤-y)

(x+y)(x-y)x

=2(2无+力，

*.*2x+y—1=0,贝ij2x+y=1,

・,・原式=2x1=2.

通关指导

利用分式运算法则进行化简，注意分式最后要约分得到最简结果，整体代入求值.

I_____________________________________________________________________________________________

3xx—2

【例2】（2024•广东东莞•一模）先化简，再求值：（x-弋）+2。।，其中%满足J+x—2018=0.

x+1x+2x+1

【答案】x2+x2018

【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.

根据分式的运算法则进行化简，然后将V+x=2018代入原式即可求出答案.

【详解】解：原式

x+1x-2

=x(x+l)

2

=X+X，

当/+工=2018时,

，原式=2018.

名校模拟

1.(2024,浙江宁波•一模)(1)计算：V2sin45°+tan600-2cos30°tan30°+(^-

已知求“(2“5)a2a2-1611

(2)a-'=1,的值.

aQ—2a2—4。+44+4

【答案】（1）1+V3;（2）

【分析】

（1）直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可；

（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果,

再对已知整理成/=1+a,然后整体代入计算即可求出值.

【详解】

解：(1)V2sin450+tan60O-2cos30°tan30°+(^-3)°

二限包52仓也—+1

223

=1+y/3—V3X+1

3

-1+V3-1+1

=1+V3;

〃(2Q-5)1―16_y

(2)--------------Q-2

Q—2Q?—4Q+4Q+4

”(2a—5)/_4("2)2ll

Q—2Q—2(Q+4)(〃—4)Q+4

2a2-5a-a2+4(a-2)211

a—2(a+4)(〃—4)a+4

a2-5a+4(a-2)211

a—2(a+4)(a—4)a+4

(a—1)("4)(a-2)211

a—2(a+4)(〃—4)a+4

_{a-l)(tz-2)11

a+4a+4

Q?-3Q+2—11

Q+4

Q2—3。—9

二■,

Q+4

11

Q----=I,

a

.a?—。=I,BPQ2=i+Q,

.旧#3Q—9I+Q—3Q—9—2Q—8—2(Q+4)

••原式=---------=-----------=------=——------=-2.

a+4。+4。+4Q+4

题型五分式中化简与三角函数值求值

典例精讲

【例I】(新考法，拓视野)⑵24・辽宁盘锦・模拟预测)先化简，再求值：£^^三)

,其中

+2cos60°.

【答案】—；4

X4

【分析】

本题主要考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键.先根据分式的混合计算

法则化简，然后代值计算即可.

(x+3)(x-3)x+3-3

(x+3)*2.x+3

(x+3)(x-3)x

(x+3)~x+3

(x+3)(x-3)x+3

(x+3)2x

+2cos60°=3+2x'=4时,

2

44

利用分式运算法则进行化简，注意分式最后要约分得到最简结果，再根据负指数幕，零次幕，立

方根，特殊角的三角函数值，代入求值.

【例2】(2024•新疆伊犁•一模)先化简，再求值：--I1+—其中加=3tan3()o+l.

m—2m+1

【答案】

【分析】

本题主要考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确

计算.先根据分式混合运算法则进行计算，然后再利用特殊角的三角函数值，求出加的值，再代入求值即

可.

【详解】解:

m-2m+1

-m-—-\+一1

,2m

m-1

m2m-1

(m-1)2m

m

二,

m-1

ffl=3tan30°+l=3x—+1=6+1，

3

把心=用1代入得：原式=庶^=鲁=1+^

名校模拟

1.（2。24•黑龙江哈尔滨•一模）先化简,再求代数式1总上仔的值,其中”233。。+1•

3

【答案】二7，V3

a-\

【分析】本题考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值的混合运算，先根据分式的混合运算法则，进行

化简，再根据特殊角的三角函数值求出〃的值，再代入化简后的式子计算即可.掌握分式的混合运算法则,

熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键.

【详解】解：原式=一.六M

4+3（Q—1）

_a-13（〃+3）

Q+3—

3

ci—1

V（z=2cos30°+l=2x—+1=73+1，

2

3

.•.原式=

用1-1

题型六分式中化简与不等式（方程）组求值

典例精讲：，

【例1】（新考法，拓视野）（2024•四川达州•模拟预测）先化简，再求值：fj£±1._llfl2+2q+1,从不等

\ci—1uja+q

3x-15x+1<]

式组工厂的整数解中选择一个适当的数作为a的值代入求值.

5x-K3x+4

【答案】一工，i

a-\

【分析】本题考查分式化简求值，求不等式组的整理数解.熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键,

注意分式求值，字母取值一定要使原分式有意义.

根据分式的运算法则化简，再解不等式组求出不等式组的整数解，由分式有意义，得到。的值，再代入化

简式计算即可.

2(a+l)1a(a+l)

【详解】解：原式=

(a+l)(a-1)a(a+1)2

a+\a

a(a-1)a+1

1

a—1

3x-l5%+l<]

解不等式组工厂一

5x-K3x+4

115

得zn---<x<—,

92

・・・不等式组的整数解为-1,0,1,2；

;QW±1和0,

・•・当Q=2时，原式==1.

通关指导

利用分式运算法则进行化简，注意分式最后要约分得到最简结果，再求出新的数值，代入求值.

【例2】(2024•四川达州•一模)先化简，再求值：ZOTM,其中。，6满足

a-ab(a-lab+bb-a)

J2a-b+2+(Q+b-3)=0j

【答案】8

a

【分析】

本题考查分式的化简求值问题，算术平方根的非负性，建议二元一次方程组方程组求解等知识点，先化简

qjL2+，再根据而二y适+(a+6-3)2=0列出二元一次方程方程组求出°、b,从

a—ab\a-lab+bb-a

而代入求解.

Z?2.(a2-b2+Q

【详解】解:

a2-abI,a2-lab+b1b-a

b1((a+b)(a-b)a、

a2—ab、(4-6)2a-b,

b2(a+ba

a2-ab\a-ba-b

b2a+b-a

-9*

a-aba-b

/b

a(a-b)a-b

___b_?___x_a_-_b_

a^a-Z?)b

b_

a

・・・j2a-b+2+(a+6-3『=0,

]2a-6+2=0

[a+6-3=0

1

a=一

3

解得：,

3

〃/J—b?Ia]_6_8,1

a2-abIa2-2ab+b2b-aja33

名校模拟

a-],＜-2

正八小小分居(8八/+2。+1甘＞口力欲一如

1.先化简，再求值：一~+a-3h--------------------a--其中。为不等式组＜一2二」的整数解・

[〃+3)a+3a+1

【答案】----;1

。+1

【分析】先通分，利用平方差公式，完全平方公式计算，然后进行除法运算，最后进行减法运算可得化简

结果，解一元一次不等式组得整数解，根据分式有意义的条件确定Q值，最后代入求解即可.

8A/+2。+1a

【详解】解:+。-3+-----------------------

〃+3)〃+3Q+1

_8+(a-3)(a+3)(a+1)2a

a+3a+3a+\

+1)Q+3a

。+3(4+1)2〃+l

a—\a

Q+1Q+1

-----1---•

a+1

a-\<-2

I24

解o—1V—2,得，a«—1,

角单一2V------，得，a2—3.5,

24

*••—3.54a4—1,

，整式解为-3,-2,-1,

:。+3w0,a+1w0,

・・qw-3,aw—1,

••d-—2,

11

当。=一2时，原式=-(_2)+1=)

【点睛】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，一元一次不等式组的整数解，分式有

意义的条件等知识.熟练掌握分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，一元一次不等式组的整数解,

分式有意义的条件是解题的关键.

题型七分式中化简过程正误的问题

典例精讲

14

【例1】(新考法，拓视野)(2024•浙江宁波•一模)先化简，再求值：一二+=三，其中〃=6+2.

。+2a-4

小明解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程.

原式=--4)+]/,(/-4)①

a+2''〃-4'7

=Q-2+4……②

=a+2.....(3)

当a=G+2时，原式=G

【答案】小明的解答中步骤①开始出现错误，正确解答见解析

【分析】

此题考查了分式的化简求值，先利用分式的加法法则计算，得到化简结果，再把字母的值代入计算即可.

【详解】

小明的解答中步骤①开始出现错误，正确解答如下：

14

----------1----7-----7

。+2a—4

a-24

=-7------------------------F----------------------

(Q+2)(Q—2)(Q+2)(Q—2)

6Z+2

(a+2)(a-2)

1

ci—2

当a=6+2时，

原式=耳上

_1

=心

通关指导

利用分式运算法则进行化简，注意分式最后要约分得到最简结果.

【例2】(2024•山西临汾•一模)(1)计算：|-8|x^-1J-(-3+5)x2-1；

(2)下面是小明同学化简分式［"?的过程，请认真阅读.完成下列任务:

Ia-9a+3/a+3

解：原式=”^±1…第一步

=f-2£±1］一£±1……第二步

(a+3a+3)a+3

=—■—......第三步

a+3a+1

=1……第四步

任务：①第一步变形用的数学方法是;

②第二步运算的依据是;

③第步开始出错，错误的原因是：