2025年中考数学专项复习：圆中证切线、求弧长、求面积、新定义探究问题（8题型）（原卷版）

抢分秘籍10圆中证切线、求弧长、求面积、新定义探究问题

（压轴通关）

目录

【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）

«I中考预测

圆中证切线、求弧长、求扇形面积问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有

一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看，证明切线是数学的基础，也是高频考点、必考点，圆通常还会和其他几何图形及函

数结合一起考查。

2.从题型角度看，以解答题的第六题或第七题为主，分值8~10分左右，着实不少！

抢分通关

题型一证切线'求面积

典例精讲

【例1】（2024•湖北襄阳•一模）A3是。。的直径，NABT=45。，AT^AB,3T与。。相交于点C.

图1图2

⑴如图1,求证：AT是。。的切线；

（2）如图2,连接AC,过点。作ODLAC分别交AT,AC于点D,E,交AC于点八若AB=2垃,求图

中阴影部分的面积.

通关指导

本题考查切线的判定，圆周角定理、垂径定理以及扇形面积；根据等腰三角形的性质切线的判定

方法进行解答即可；根据垂径定理，平行线的性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可.

【例2】（2024•湖北十堰・一模）如图，。是。。的直径，点8在。。上，点A为DC延长线上一点，过点。

作交AB的延长线于点E,且ND=NE.

⑴求证：AE1是。。的切线；

⑵若线段OE与。。的交点厂是OE的中点，的半径为6,求阴影部分的面积.

名校模拟

1.（2024・广东佛山•一模）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且AC=CE,连接AE交CO

于点。，以点。为圆心，0。为半径作。0,。0交线段AO于点厂.

⑴求证：AC是。。的切线；

（2）若43=20+2，求阴影部分的面积.

2.（2024・辽宁沈阳•一模）如图，直线/与。。相切于点点尸为直线/上一点，直线尸。交。。于点48,

点C在线段上，连接BC,且CA/=3C.

⑴判断直线BC与。。的位置关系，并说明理由；

（2）若=。。的半径为6cm,求图中阴影部分的面积.

题型二证切线、求线段或半径

典例精讲”

【例1】（新考法，拓视野）（2024•广东深圳•一模）如图，已知是。。的直径.点尸在54的延长线上，

点。是。。上一点.连接PD,过点8作BE垂直于PD,交尸£）的延长线于点C、连接AD并延长，交BE于

点、E,且AB=BE

⑴求证：是。。的切线；

4

（2）若PA=2,tanB=-,求。。半径的长.

通关指导

本题考查切线的判定，圆周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的边角关系，

圆周角定理以及切线的判定方法是正确解答的关键.

【例2】（2024•辽宁沈阳•模拟预测）如图，在AABC中，ZACB=90°,点。是AB上一点，S.ZBCD=-ZA,

2

点。在上，以点。为圆心的圆经过C,。两点.

3

⑵若sinB=m，的半径为3,求AC的长.

名校模拟

1.（2024•广东珠海•一模）如图，是。。的直径，AC=BC,E是。8的中点，连结CE并延长到点孔

使EF=CE.连结AF交。。于点。，连结BF.

⑴求证：直线8尸是。。的切线.

（2）若AF=5,求3D的长.

⑴求证：CE是。。的切线;

(2)若BC=6,AC=8,求CE,OE的长.

题型三圆与（特殊）平行四边形综合问题

典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（2024•广东江门•一模）如图，矩形ABCD中，AB=16,AD=6.E是。的中

点，以AE为直径的。。与交于R过尸作FGLBE于G.

^\EC

B

⑴求证：FG是。。的切线.

⑵求cosNEBA的值.

通关指导

本题主要考查了圆，矩形，三角形综合.熟练掌握圆的基本性质和圆周角定理推论，矩形的判

定和性质，三角形中位线的判定和性质，切线的判定，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数等知识,

是解题的关键.

【例2】（2024•安徽马鞍山•一模）如图，四边形ABCD是。。的内接四边形，直径DE平分N3DC.

AF

B

E

⑴求证：BD=CD；

(2)过点A向圆外作NZMF=NACB,且AF=CD,求证：四边形ABZ邛为平行四边形.

名校模拟

1.(2024•云南•模拟预测)如图，线段A3与。。相切于点B,4。交。。于点其延长线交。。于点C,

连接BC,ABC=120°,。为。。上一点且弧的中点为连接AD,CD.

⑴求—ACB的度数；

⑵四边形A5CD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由;

(3)若AC=6,求弧CD的长.

2.(2024•河南平顶山•一模)如图，A3为。。的直径，点C是a。的中点，过点C作。。的切线CE,与BD

的延长线交于点E,连接BC.

⑴求证：ZCEB=90°

⑵连接CD,当CD〃AB时：

①连接OC,判断四边形O3DC的形状，并说明理由.

②若3E=3,图中阴影部分的面积为------（用含有兀的式子表示）.

3.（2024•江苏南京•一模）如图,四边形ABCD是平行四边形，AB=AC；

⑴如图①，当CO与。。相切时，求证：四边形A3CD是菱形.

（2）如图②，当8与。。相交于点E时.

(EI)若AD=6,CE=5,求O。的半径.

（团）连接8E,交AC于点凡若灰-4台二。^,则/£＞的度数是_。.

题型四圆内接三角形和四边形

典例精讲

【例1】（2024•湖南•模拟预测）如图，Rt^ABC内接于eO,NACB=90。，过点C作CF/AB交A3于点E,

交。。于点。，连接AF交。。于点G,连接CG,£»G,yW,设tanZDGF：”（根为常数）.

⑴求证：ZAGC=ZDGF；

(2)设NGDC-ZGCD=a,ZF=0,求证：a=1p.

⑶求4（7萨-AF的值（用含机的代数式表示）.

通关指导

本题主要考查圆内接三角形的性质及相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，垂

径定理等，熟练掌握圆内接三角形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

【例2】（2024•天津滨海新•一模）如图，A3是。。的直径，弦。与相交于点尸，若NADC=24。.

⑴如图①，求NC4B的度数;

（2）如图②，过点C作。。的切线，与54的延长线交于点E,若EP=EC,求NZMP的度数.

名校模拟

1.（2024•安徽芜湖•一模）四边形内接于。O,AB^AC.

⑴如图1,若NBAC=（z,求/ADC的度数;

⑵如图2.连接交AC于点E.

①求证：AE2=AEAB-BEDE^

②若NE4c=2NZMC,AB=5,BC=6,求CD的长.

2.(2024•黑龙江哈尔滨•一模)如图1,在。。中，直径AB垂直弦CO于点G,连接AD,过点C作CFLAD

图1图2图3

⑴如图1,求证：ZE=2ZC；

(2)如图2,求证：DE=CH；

(3汝口图3,连接BE,分别交AD、CD于点M、N,当OH=2OG,HF=5,求线段EN的长.

3.(2024•黑龙江哈尔滨•一模)如图1,在。。中，BD为直径,和3C为弦，=且ABI3c.

⑴求的度数；

(2)如图2,E为。。上一点，连接AE,作EF工AE于E交BC于P,连接EC,求证：EF=EC；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接OC交收于G,过P作引VLEF于F,交EC延长线于N,若EG=1,CN=2,

求CP的长.

4.(2024•河北沧州•一模)如图，珍珍利用一张直径A2为8c相的半圆形纸片探究圆的知识，将半圆形纸片

沿弦AP折叠.

⑵如图2,当ZPAB=30。时，通过计算比较AP与弧3P哪个长度更长.（%取3.14,括B1.73）

（3）如图3,〃为4尸的中点，"'为点M关于弦AP的对称点，当/上48=15。时，直接写出点〃'与点"之

间的距离约为cm.（结果保留两位小数，参考数据：sinl5°»0.26,tanl5°~0.27）

题型五生活中的实物抽象出圆的综合问题

典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（2024•河南洛阳•一模）中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前

考古发现最早的双轮马车始见年代为商代晚期（河南安阳殷城）.小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车

厢模型，他绘制了如图2的车轮侧面图.如图2,当过圆心。的车架AC的一端A落在地面上时，AC与。。

的另一个交点为点水平地面A2切。。于点朋

⑴求证：ZA+2ZC=90°；

(2)若AD=2m,AB=3m,求。。的直径.

通关指导

本题主要考查了切线的性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理等等.

【例2】（2024•广东珠海•一模）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏"滚铁环”列入了校运动会的比赛

项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环。。与

水平地面相切于点C,推杆与铅垂线AD的夹角为/54D点。，A,B,C,。在同一平面内.当推杆A8

与铁环。。相切于点B时，手上的力量通过切点8传递到铁环上，会有较好的启动效果.

⑴求证：ZBOC+ZBAD^90°.

（2）实践中发现，切点8只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动.图中点8是该区域内最低位

置,此时点A距地面的距离AD最小,测得ABAD=60°.已知铁环QO的半径为30cm,推杆AB的长为70cm,

求此时AD的长.

名校模拟

1.（2024•河北石家庄•一模）图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨

盘半径。。=2dm,用长为11dm的连杆将点。与动力装置P相连（NOOP大小可变），点P在轨道A3上滑

动，带动点。使磨盘绕点O转动，OA±AB,O4=5dm.

⑴当点。、尸、Q三点共线的时候，AP的长为:

（2）点P由轨道最远处向A滑动，使磨盘转动不超过180。的过程中:

①PQ与。。相切于点Q,如图3,求4°的长；

②从①中相切的位置开始，点尸继续向点A方向滑动2.4dm至点片，点。随之逆时针运动至点。1，此时

W/PQ,求点Q运动的路径长（结果保留兀）.（参考数据：5吊37。g0.60,8537。。。80,tan37OyQ75）

2.（2024•河北石家庄•一模）如图1,某玩具风车的支撑杆OE垂直于桌面MN,点。为风车中心，OE=26cm,

风车在风吹动下绕着中心。旋转，叶片端点A,B,C,。将。。四等分，已知。。的半径为10cm.

⑴风车在转动过程中，当/AOE=45。时，点A在OE左侧，如图2所示，求点A到桌面的距离（结果

保留根号）;

⑵在风车转动一周的过程中，求点A到桌面的距离不超过21cm时，点A所经过的路径长（结果保留万）;

⑶连接CE,当CE与。。相切时，求切线长CE的值，并直接写出A,C两点到桌面MN的距离的差.

题型六圆中动点问题

典例精讲

【例1】（2024•江苏淮安•一模）如图，A3是。。的直径，AB=18,延长至点C,使AC=Q4.动点P

从点A出发，沿圆周按顺时针方向以每秒万个单位的速度向终点8运动，设运动时间为f秒，连接。尸，作

点C关于直线OP的对称点。，连接0。、BD、PC、PD.

D

⑴当f=3时.

①求NAOP的度数；

②判断直线PC与。。的位置关系，并说明理由;

（2）若2。=96，求f的值.

通关指导

本题考查切线的判定，圆的相关性质，勾股定理的逆定理，弧长公式等知识，熟练掌握相关图形

的性质是解决问题的关键.

【例2】（2024•云南昆明•一模）如图，AB,8是。。的两条直径，且,点E是3。上一动点（不

与点8,。重合），连接DE并延长交AB的延长线于点R点尸在AF上，且NPEF=NDCE,连接AE,CE

分别交。。，。3于点M,N,连接AC,设。。的半径为八

⑴求证：PE是。。的切线；

⑵当"CE=15。时，求证：AM=2ME；

（3）在点E的移动过程中，判断4V是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

名校模拟

1.（2024・吉林长春•模拟预测）如图①，在中，/4。3=90。,。4=。3=4,以点。为圆心，以2为

半径画圆，。。交于点C,交0B于点D.点P从点C出发，沿。。按顺时针方向运动，当点P再次经过

点C时停止运动.

⑴co的长为;

(2)在点尸运动的过程中，点P到AB距离的最大值为；

(3)延长CO交0O于点E,连接PD,交CE于点、M.

①当APQA/为等腰三角形时，连结接DE,求AMDE的面积：

②如图②，连接CZ),当点M在线段OC上时，作NPOC的角平分线交尸”于点尸.点F的位置随着点尸

的运动而发生改变，则点尸形成的轨迹路径长为.

题型七圆中新定义探究综合问题

典例精讲

【例1】(新考法，拓视野)(2024•湖南长沙•一模)定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的"奇妙四

边形

①矩形；②菱形；③正方形

(2)如图1,已知。。的半径为R,四边形ABC。是。。的“奇妙四边形求证：AB2+CD2=4R2；

⑶如图2,四边形ABCD是"奇妙四边形”，尸为圆内一点，ZAPD=ZBPC=90。,ZADP=ZPBC,BD=4,

且A8=®C.当DC的长度最小时，求芸的值.

通关指导

本题是圆的综合题，考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，一元二次方程的解法，熟练

的建立数学模型并灵活应用是解本题的关键.

【例2】（2024・浙江台州•一模）【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90

度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角.

【概念理解】（1）当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数.

【性质探究】（2）如图1,A/RC是和美三角形，23是钝角，/A是和美角，

-P*人BC

求证：tanA=.

AC

【拓展应用】（3）如图2,AB是。。的直径，且AB=13,点C,。是圆上的两点，弦C£）与交于点E,

连接AD,BD,△ACE是和美三角形.

①当5c=5时，求AD的长.

②当△BCD是和美三角形时，直接写出笠的值.

ED

xC

D

图2备用图

名校模拟

1.（2024・山东济宁,二模）【初步感知】

图1图2

(1)如图1,点A,B,P均在。。上，若NAO3=90。,度;

【深入探究】

（2）如图2,小明遇到这样一个问题：。。是等边三角形A3C的外接圆，点尸在AC上（点P不与点A,C

重合），连接B4,PB,PC.求证：PB=PA+PC；小明发现，延长上4至点E,使AE=PC,连接BE,

通过证明△PBC公△£»4.可推得△P3E是等边三角形，进而得证.请根据小明的分析思路完成证明过程.

【启发应用】

（3）如图3,是"RC的外接圆，ZABC=90°,AB=3C,点P在。O上，且点尸与点B在AC的两

PB

侧，连接B4,PB,PC,若PB=2应PA,则=;的值为-

题型八圆与函数的综合问题

典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（2024・湖南长沙•一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=+法+。

与x轴交于A8两点，与y轴交于C点，且O3=OC=2OA.

⑴求该抛物线的解析式;

⑵抛物线上是否存在点使NABC=/3QW,如果存在，求点M的坐标，如果不存在，说明理由；

⑶若点。是抛物线第二象限上一动点，过点。作。轴于点E过点A3,。的圆与。尸交于点E,连接

AE,BE,求1的面积.

通关指导

本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求出函数解析式，抛物线上的点的坐标特征

以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键.

【例2】(2024•江苏淮安•一模)在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1.对于。。的弦A2和点C给出如

下定义：若直线C4,CB都是。。的切线，则称点C是弦A2的"关联点”.

⑴如图，点A(-LO),环打分别为过A