2025年中考数学专项复习：特殊三角形（13类重点考向）（解析版）

专题15特殊三角形

目录一览

知识目标（新课程标准提炼）

中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）

重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）

A考向一等腰三角形的性质与判定

A考向二三角形的内角和

A考向三全等三角形的判定与性质

A考向四含30。角的直角三角形

A考向五直角三角形斜边上的中线

A考向六勾股定理

A考向七勾股定理的证明

A考向八勾股数

A考向九勾股定理的应用

A考向十勾股定理一最短路径问题

A考向十一等腰直角三角形

A考向十二三角形中位线定理

A考向十三三角形的综合题

最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）

H知识目标

i,了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、

中线及顶角平分线互相重合；探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形；

2,探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60。，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的

三角形（或有一个角是60。的等腰三角形）是等边三角形.

3,了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形

斜边上的中线等于斜边的一半；掌握有两个角互余的三角形是直角三角形；

4.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.

中考解密

该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计

2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形和勾股定理与中位线性质、三

角形全等、三角形内外角性质、尺规作图等知识点结合考察，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且

会灵活运用.在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定,这部分知识主要考查基础。

生重点考向

A考向一等腰三角形的性质与判定

1.等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴.

2.等腰直角三角形的两个底角相等且等于45。.

3.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

4.等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则2<a.

2

]80°—//

5.等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为NA,底角为NB、NC,则/A=180O-2/B,NB=/C=------------.

2

6.等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等

关系的重要依据.

7.底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形.

河北5一西遗形7万三的预正如囱厮示「对鬲分7万的飞度施国造形布获曲西奏而斐花厂ifim

为等腰三角形时，对角线的长为（）

【思路点拨】分两种情况，由三角形的三边关系定理：三角形两边的和大于第三边，即可解决问题.

【规范解答】解：：△/BC为等腰三角形，

二AB=ZC或NC=5C,

当NC=3C=4时，AD+CD=AC=4,此时不满足三角形三边关系定理，

当4C=/5=3时.满足三角形三边关系定理，

：.AC=3.

故选：B.

【真题点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，关键是掌握三角形的三边关系定理.

2.（2023•大庆）某建筑物的窗户如图所示，上半部分A/BC是等腰三角形，AB^AC,AF：BF=3：4,点

G、H、尸分别是边/2、AC.3c的中点；下半部分四边形8cDE是矩形，BE//IJ//MN//CD,制造窗户

框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，3E=y米.

（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（2）当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积.

【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质求出CF的长，即可求出的长，根据N尸：BF=3：4即可

求出//的长，再根据勾股定理求出N8的长，NC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半求出尸G、尸X的长，根据矩形的性质求出即=2C=2x米，BE=IJ=MN=CD=y米,最后根据制造

窗户框的材料总长为16米列出方程即可得到y与x之间的函数关系式；

（2）根据窗户的面积等于A/BC的面积加上矩形8CDE的面积计算，再根据配方法求二次函数的顶点坐

标即可.

【规范解答】解：（1）：△NBC是等腰三角形，尸是3c的中点，

：.BF=CF,AFLBC,4B=AC,

■：BF=x（米），

ACF^x（米），BC=2BF=2x（米），

\'AF：BF=3：4,

AF^yx（米），

4

在RtMFB中，由勾股定理得AB=7AF2+BF2^（jx）2+x2=^x（米），

AC=AB=-T-X（米），

4

:点G、〃分别是边/8、/C的中点，NAFB=NAFC=9Q°,

FG^ABJX（米），FHAAO^X（米），

z.oNN

;四边形3C£>E是矩形，

：.ED=BC=2x（米），BE=CD=y（米），

'：BE//IJ//MN//CD,

：.BE=IJ=MN=CD=y（米），

•••制造窗户框的材料总长为16米，

AB+AC+FG+FH+AF+BC+ED+BE+IJ+MN+CD=16（米），

\>0

由题意得|17

.丁x"

解得0<x<罢;

（2）72S^=BC'BE=2X-（^-X+4）=-^X2+8X-

SAABC-|BC'AF=y-2x-1x-|x'BCDE

设窗户的面积为印平方米,

则沙=S"Bc+S矩形5cQE

万7z吃8s）2亍32

少有最大值，

当X总米时，少最大，最大值为丝平方米.

77

【真题点拨】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，二次函数的应用，根据材料总长用含X的式

子表示乃从而运用函数性质求最大值是解题的关键.

3.（2023•潍坊）如图，在A/BC中，CD平分/4C5,AELCD,垂足为点£,过点、E作EF〃BC,交/C

于点RG为8C的中点，连接bG.求证：FG=^AB.

【思路点拨】由角平分线的定义及平行线的性质可得N/CD=/EEC,即可证明仍=CR再利用直角三

角形的性质可证明/P=CF,即可得G尸是A/BC的中位线，进而可证明结论.

【规范解答】证明：平分//C2,

/ACD=NBCD,

'：EF//BC,

：.AFEC=Z.BCD,

：.NACD=NFEC,

：.EF=CF,

'：AELCD,

：.ZAEC^9Q0,

：.ZEAC+ZACD=90°,ZAEF+ZFEC=90°,

：.NEAC=ZAEF,

:.AF=EF,

：.AF=CF,

：G是3C的中点，

；.G尸是△4BC的中位线，

:.FG=LAB.

2

【真题点拨】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，

三角形的中位线等知识的综合运用，证明GF是A/BC的中位线是解题的关键.

A考向二三角形的内角和

幡技可1错易港

1.等边三角形具有等腰三角形的一切性质.

2.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.

3.等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合.

4.在等腰三角形中，只要有一个角是60。，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形.

5.等腰（等边）三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底

边上的高重合.

4.（2023面雨）血卤,在尊扬A/BC市,30是/C应王鬲市殡,正塞舌E,便C£=CD,若。E=4而,

贝()

【思路点拨】先由等边三角形的性质，^BDLAC,AD=CD=LC,NABD=NCBD=30°,再根据CE

2

=CD,得NE=NCDE,进而得NC3D=NE=30。，则然后在R348D中，由勾股定

理求出48即可.

【规范解答】解：：△NBC为等边三角形，

：.AC=AC=BC,ZABC=ZACB=60°,

是NC边上的中线，

C.BDLAC,AD=CD=—AC,ZABD=ZCBD=30°,

2

；.AB=2AD,

,:CE=CD,

：./E=NCDE,

•；/ACB=/E+/CDE=2NE,

：.60°=2ZE,

：./E=30。，

NCBD=NE=30°,

：.BD=DE=4M，

在RtA/B。中，由勾股定理得：AB?-AD』BD2,

即(2AD)2-AD2=(473)2,

解得：AD=4,

.'.AB=2AD=S.

故选：C.

【真题点拨】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握等

边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键.

5.(2023•凉山州)如图，边长为2的等边A/BC的两个顶点/、3分别在两条射线。M、ON上滑动，若

OMLON,则OC的最大值是1+6.

【思路点拨】取42的中点D,连接0D及。。，根据三角形的三边关系得到。。小于等于O0+DC,只

有当。、。及C共线时，。。取得最大值，最大值为O0+CD,由等边三角形的边长为2,根据。为N8

中点，得到5。为1,根据三线合一得到CD垂直于在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD

的长，在直角三角形4。8中，。。为斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

可得OD等于的一半，由的长求出OD的长，进而求出DC+OD,即为OC的最大值.

【规范解答】解：取中点连OD,DC,

当。、D、C共线时，0C有最大值，最大值是。D+CD,

•.•△45C为等边三角形，。为A3中点，

；.BD=l,BC=2,

'CD=VBC2-BD2=a，

:△/OB为直角三角形，。为斜边的中点，

：.OD=—AB=\,

2

：.OD+CD^l+y/3,即0C的最大值为1+V3.

故答案为：1+J^.

【真题点拨】本题考查了等边三角形的性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理,

其中找出0C最大时的长为CD+OD是解本题的关键.

6.（2023•雅安）如图，四边形/BCD中，AB=AD,BC=DC,ZC=60°,AE〃CD交BC于点、E,BC=8,

AE=6,则AB的长为2yH.

A

【思路点拨】连接/C、AD交于点。，过点E作跳U/C,交4c于点F,先证明△BCD是等边三角形，

AC垂直平分BD,求得/E/C=NACD=N4CB=30o,4E=EC=6,再解三角形求出40=4C-CO=2

最后运用勾股定理求得42即可.

【规范解答】解：如图：连接NC、AD交于点O,过点E作即，4C,交AC于点、F,

又,：BC=DC,ZC=60°,

△BCD是等边三角形，

:.BD=BC=CD=8,

；AB=AD,BC=DC,

：.ACLBD,BO=DO=—BD=4,

2

：.ZACD^ZACB^—ZBCD^30°,

2

又，：AE〃CD,

：.NEAC=ZACD=ZACB=30°.

：.AE=EC=6,

过点E作斯，/C,交/C于点凡

返

CF=CE.C0s300=6x=3我,

2

/尸=/E・COS300=6XK

2

CO=8C.cos30o=8x返

=4强,

2

：.AC=CF+AF=6-/j,

：.AO=AC-CO=6V3-4a=2愿.

在Rt^BOA中，AB=7BO2+AO2=7（2V3）2+42=2VV-

故答案为：2曲.

A

C

【真题点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质、平行线的性质、垂直平分

线、勾股定理、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键.

A考向三全等三角形的判定与性质

7.（2023•衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Co"角/O的大小，需将N。转化

为与它相等的角，则图中与N。相等的角是（）

A.ZBEAB.ZDEBC.ZECAD.ZADO

【思路点拨】根据直角三角形的性质可知：与N/。。互余，匹与N/DO互余，根据同角的余

角相等可得结论.

【规范解答】解：由示意图可知：和ADBE都是直角三角形，

：.ZO+ZADO^90°,NDEB+/ADO=90°,

：.ZDEB=ZO,

故选：B.

【真题点拨】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键.

8.（2023•攀枝花）如图，在A/BC中，ZA=40°,NC=90。，线段43的垂直平分线交于点。，交4c

于点E,则/£3C=10。.

【思路点拨】由NC=90。，ZA=40°,求得N/3C=50。，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三

角形的两锐角互余求得.

【规范解答】解：：/C=90。，4=40。,

/.ZABC=90°-ZA=50°,

是线段的垂直平分线，

:.AE=BE,

：./E8/=N/=40。，

/.ZEBC=ZABC-N£2/=50°-40°=10°,

故答案为：10。.

【真题点拨】此题考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线性质，熟记直角三角形的性质、线段垂直

平分线性质是解题的关键.

A考向四含30。角的直角三角形

在直角三角形中，30。的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明

一边（30。角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据.当题目中已知的条件或结论倾向于该

性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题.

156天•贾丽）-二月一26一百「与6西甲国国际天双搪声亚甯宽荟”茬贯而弁落「茬■"百动花豆标库;洋宥许塞

几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120。，腰长为12m，则底边上

的高是（）

C

A.4mB.6mC.10mD.12m

【思路点拨】作/DLBC于点D,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得乙8=NC=*1（180。

2

-/BAC）=30°,再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案.

【规范解答】解：如图，作于点£）,

AZ5=ZC=A(180°-/BAC)=30°,

2

5L'：AD.LBC,

.,.AD=—AB=—x12=6(m),

22

故选：B.

【真题点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题

关键是掌握30度角所对的直角边是斜边的一半.

10.（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形/BCD中，AB=AD,N3+ND=180。，点E,歹分别在8C,

CD上,若/B4D=2/EAF,则£9=2£+£）尸.

【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形/BCD.已知Cr）=C3=100w,

ZD=60°,ZABC=nQ°,ZBCD=150°,道路4D,N8上分别有景点M,N,且。M=100"?,BN=50

（愿-1）m,若在M,N之间修一条直路，则路线N的长比路线M-必7N的长少370m（结

果取整数，参考数据：百M.7）.

分别计算CG,AG,3G的长，由线段的和与差可得和NN的长，最后由勾股定理可得的长,

计算AM+AN-MN可得答案.

解法二：构建【阅读材料】的图形，根据结论可得的长，从而得结论.

【规范解答】解：解法一：如图，延长。C,AB交于点、G,过点N作。于

VZZ)=60°,ZABC=120°fZBCD=150°9

：.乙4=360。-60°-120°-150°=30°,

・・・NG=90。,

：.AD=2DGf

R3CG5中，Z5CG=180°-150°=30°,

.".BG=^BC=5Q,CG=50我，

/.DG=CD+CG=100+50百，

/.AD=2DG=200+10073>AG=43DG=150+100V3,

'：DM=100,

J.AM^AD-DM=200+100V3-100=I00+100«，

：8G=50,BN=5Q（禽-1）,

：.AN=AG-BG-8N=150+100百-50-50（%-1）=150+50日,

RtA/NH中，：N/=30°,

NH=75+2573-AH=MNH=75M+75,

由勾股定理得：MN=VNH2+MH2=V（75+25V3）2+（25V3+25）2=50（、后+1）,

W=100+100V3+l50+5073-50（百+1）=200+100我叼70（加.

答：路线M—N的长比路线M—A—N的长少370〃?.

解法二：如图，延长。C,N8交于点G,连接CMCM,则NG=90。,

,:CD=DM,ZZ）=60°,

**•丛DCM是等边三角形，

・•・ZDCM=60°f

由解法一可知：CG=50«,GN=BG+BN=50+50（5/3-1）=50百,

.♦.△CGN是等腰直角三角形，

：.ZGCN=45°,

：.ZBCN=45°-30°=15°,

ZMCN=150°-60°-15。=75。=上/BCD,

2

由【阅读材料】的结论得：MN=DM+BN=100+50（«-1）=50愿+50,

W=100+100百+150+50我-50（强+1）=200+100V3-370（加）.

答：路线MTN的长比路线MTATN的长少310m.

故答案为：370.

【真题点拨】此题重点考查了含30。的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识与方

法，解题的关键是作出所需要的辅助线，构造含30。的直角三角形，再利用线段的和与差进行计算即可.

A考向五直角三角形斜边上的中线

11.（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知//CZ?=

90。，点。为边Z5的中点，点4、8对应的刻度为1、7,则CQ=()

b/D/\B

A.3.5cmB.3cmC.4.5cmD.6cm

【思路点拨】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长.

【规范解答】解：由图可得，

N/C8=90。，AB=7-1=6(cm),点。为线段48的中点，

：.CD=^AB=3cm,

2

故选：B.

【真题点拨】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解

答.

12.(2022•杭州)如图，在RtA/CB中，ZACB=90°,点"为边48的中点，点E在线段上，EF±

/C于点R连接CM,CE.已知//=50。，ZACE=30°.

(1)求证：CE=CM.

(2)若4B=4,求线段FC的长.

【思路点拨】(1)根据直角三角形的性质可得根据外角的性质可得ZA+ZACE,

/EMC=/B+NMCB,根据等角对等边即可得证；

(2)根据CE=CW先求出CE的长，再解直角三角形即可求出PC的长.

【规范解答】(1)证明：•.•NZC2=90。，点”为边43的中点，

：.MC=MA=MB,

：.ZMCA^ZA,/MCB=/B,

;ZA=50°,

：.ZMCA=50°,ZMCB=ZB=40°,

/./EMC=ZMCB+AB=^°,

'：N4CE=30。,

：.NMEC=ZA+ZACE=SO0,

：.ZMEC=NEMC,

：.CE=CM-,

(2)解：,：AB=4,

：.CE=CM=^-AB=2,

2

:EFLAC,/ACE=30。,

.-.FC=CE«cos30°=V3.

【真题点拨】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵

活运用直角三角形的性质是解题的关键.

A考向六勾股定理

解题技再易错易温

1.应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是C.若b为斜边，则关系

式是a2+c2=b2；若a为斜边,则关系式是b2+c2=a2.

2.如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解

时必须进行分类讨论，以免漏解.

13.(2023•苧夏5落一副直南三箱板和一把葡度为2c冽的直尺接如囱方式函版：先把60。而45。鬲的顶点及

它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜

边分别交直尺上沿于4,5两点，则45的长是()

【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论.

【规范解答】解：在R34C。中，ZACD=45°,

：.ZCAD=450=ZACDf

AD=CD=2cm,

在RtABCD中,/BCD=60°,

；・/CBD=30。,

：.BC=2CD=4cm,

•*-BD=gc-CD~yl4^-2^~V3(cm),

：.AB=BD-AD=(2V3-2)(cm).

【真题点拨】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

14.（2023•淮安）在四边形/2C。中，4B=BC=2,NNBC=120。，AH■为内部的任一条射线（N

C3”不等于60。），点C关于班/的对称点为（7,直线4。与BH交于点、尸,连接CC、CF,则ACCE

面积的最大值是4\/?..

【思路点拨】连接8。，根据圆的定义可知/、。、。在以8点为圆心，为半径的圆上，再判断△CCF

是等边三角形，则当CO是圆的直径时，ACC尸面积的最大，此时。。=4,由此可求解.

【规范解答】解：连接8。，

由轴对称性可知，BC=BC,

:AB=BC=B。,

：.A.C、。在以2点为圆心，为半径的圆上，

ZABC^120°,

：.N/CC=120°,

AZFCC=180°-120°=60°,

,:CF=CF,

...△CO厂是等边三角形，

...要使ACCE面积的最大，只需co最大即可，

...当CO是圆的直径时，ACCF面积的最大，

：.CC=4,

△CCE面积的最大值为£x4x4xsin60。=4百,

故答案为：

D

A

B‘C

【真题点拨】本题考查轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质，圆的性质，能确定CC是圆

的直径时，ACC厂面积的最大是解题的关键.

A考向七勾股定理的证明

15.（2023•湖北）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是

由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中DF=b,连接NE,BE,

,22

若△/£>£与的面积相等，则旦-uJ—=3.

2,2

ab

【思路点拨】根据题意得出/=〃-仍，即日一且_1=0,解方程得到旦=逗包（负值舍去）代入进

21ua2

aa

行计算即可得到结论.

【规范解答】解：方法一：：图中DF=b,

：.ED=AF=a,EH=EF=DF-DE=b-a,

•/LADE马ABEH的面积相等，

•■•yDE-AF=yEH-BH>

a2=b2-ab,

/.1=（互）2-上

aa

解得电=小包（负值舍去），

a2

22

-ba_fV5+1x2,/2、2_q.

下审Y〒…印）一3’

方法二：'：a2^b2-ab,

・•扶-。2=。6,

（.b2-（22）2=a2b2f

：.b4+a4=3a2b2,

,22

•ba—&

>•----4---....-3，

2,2

ab

故答案为：3.

【真题点拨】本题考查了勾股定理的证明,一元二次方程的解法，根据题意得出关于少的方程是解题的

a

关键.

16.（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股

定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图图②由弦图变化得到，它是由八个全

等的直角三角形拼接而成.记图中正方形/BCD、正方形EFGH、正方形"W的面积分别为Si、S2>

S3.若正方形跖G8的边长为4,则S+Sz+S-48.

【思路点拨】由勾股定理和乘法公式完成计算即可.

【规范解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为。，短直角边是b,贝!1：

Si=（。+6）2,$2=42=16,$3=（a-b）2,

且：/+62=£严=16,

S1+S2+S3—（。+6）2+16+（。-6）2=2（a2+b2）+16

=2x16+16

=48.

故答案为：48.

【真题点拨】本题考查勾股定理的应用，应用勾股定理和乘法公式表示三个正方形的面积是求解本题的

关键.

A考向八勾股数

17.（2023•南通）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的

22

是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数。，b,c,其中a,6均小于c,a=lm-1,c=lm

222

m是大于1的奇数，则b—m（用含m的式子表示）.

【思路点拨】根据勾股数的定义解答即可.

【规范解答】解：b,。是勾股数，其中a,6均小于c,a=^m2-1,

彳2$

22

b2=c2-a2

=(—m2+—)2-2

2222

=工冽4+工+工用2,（工优4+工_L/）

442442

=—ZM4+—+—m2-—m4-—+—m2

442442

m是大于1的奇数,

••b=rn.

故答案为：如

【真题点拨】本题考查的是勾股数，熟知满足。2+62=/的三个正整数，称为勾股数是解题的关键.

18.（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”.观察下列勾股

数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图

研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6,8,10；8,15,17；若此类勾股数的勾为

2m（m>3,为正整数），则其弦是"於+i（结果用含加的式子表示）.

【思路点拨】根据题意得2〃?为偶数，设其股是a,则弦为a+2,根据勾股定理列方程即可得到结论.

【规范解答】解：为正整数，

；,2m为偶数,设其股是则弦为a+2,

根据勾股定理得，（2/77）2+层=（。+2）2,

解得a=m--1,

♦,•弦是。+2=源-1+2=7712+],

故答案为：机2+1.

【真题点拨】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

A考向九勾股定理的应用

19.（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”.书中记载：“今有户不知高、

广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，

不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门

对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是8,

6,10尺.

DC

J~7

A广B

【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三

角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长.

【规范解答】解：设门对角线的长为x尺，则门高为G-2）尺，门宽为G-4）尺，

根据勾股定理可得：

X2—（x-4）2+（%-2）2,即尤2=r-8x+16+N-4x+4,

解得：xi=2（不合题意舍去），》2=10,

10-2=8（尺），

10-4=6（尺）.

答：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺.

故答案为：8,6,10.

【真题点拨】本题考查勾股定理的应用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题

的关键，难度一般.

20.（2023•东营）一艘船由/港沿北偏东60。方向航行303?至3港，然后再沿北偏西30。方向航行40袖

至C港，贝1J/,。两港之间的距离为50km.

【思路点拨】根据题意可得：/DAB=60。,NFBC=30°,AD//EF,从而可得40/8=//2E=60。，然

后利用平角定义可得N/8C=90。，从而在RtA48。中，利用勾股定理进行计算即可解答.

【规范解答】解：如图：

AD//EF,

?.ZDAB=ZABE=60°,

：.ZABC=1SO°-ZABE-ZFBC=90°,

在RS/2C中，AB=30km,BC=40km,

^C=VAB2+BC2=V302+402=5°L,

・•・/,。两港之间的距离为50初i,

故答案为：50.

【真题点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键.

21.（2022•常州）如图，将一个边长为20c〃?的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形/BCD,

对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36c加时才会断裂.若/8/。=60。，则橡皮筋/C不会断裂

（填“会”或“不会”,参考数据：V3-1.732）.

【思路点拨】设/C与8。相交于点O,根据菱形的性质可得AC=2AO,OD=^BD,AD

2

AB=20cm,从而可得△/次）是等边三角形，进而可得8D=20c机,然后再在Rt/UZX?中，利用勾股定理

求出/。，从而求出NC的长，即可解答.

【规范解答】解：设ZC与相交于点O,

・・•四边形/BCD是菱形,

C.ACLBD,AC=1AO,OD=—BD,AD=AB=2(km,

2

:ZBAD=60°,

是等边三角形,

BD=AB=20cm,

：.DO=—BD=1Q(cm),

2

在Rt^ADO中，AO=«AD2-DO2=20^-10^=1(cm),

.,./C=2/O=20百=34.64(cm),

34.64cm<36cm,

..•橡皮筋/c不会断裂，

故答案为：不会.

D-----------------”

【真题点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

A考向十勾股定理一最短路径问题

22.（2022•金华）如图，圆柱的底面直径为/瓦高为NC,一只蚂蚁在。处，沿圆柱的侧面爬到8处，现

将圆柱侧面沿NC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）

【思路点拨】利用圆柱的侧面展开图是矩形，而点8是展开图的一边的中点，再利用蚂蚁爬行的最近路

线为线段可以得出结论.

【规范解答】解：将圆柱侧面沿NC“剪开”，侧面展开图为矩形，

:圆柱的底面直径为/瓦

...点2是展开图的一边的中点，

•••蚂蚁爬行的最近路线为线段，

选项符合题意，

故选：C.

【真题点拨】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，最短路径问题，掌握两点之间线段最短是解题的关键.

23.（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9c〃z,底面周长为160”，在杯内壁离杯底的点/处

有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1”?,且与蜂蜜相对的点3处，则蚂蚁从

外壁2处到内壁/处所走的最短路程为10cm.（杯壁厚度不计）

A

「一」

【思路点拨】将杯子侧面展开，建立B关于EF的对称点夕，根据两点之间线段最短可知B'A的长度即

为所求.

【规范解答】解：如图：

将杯子侧面展开，作3关于斯的对称点夕，

连接用4则9/即为最短距离，

B'A=VB/D2+AD2=7S2+62=10（。加）•

故答案为：10.

【真题点拨】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进

行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.

A考向H■一等腰直角三角形

24.（2023•丽水）如图，在四边形N8CD中，ZC=45°,以为腰作等腰直角三角形

顶点£恰好落在CD边上，若40=1,则CE的长是（

【思路点拨】如图，过点4作4bLsc于R过点E作GHJ_5c于交40的延长线于G,则N4必

=/CHE=90。,证明四边形4WG是正方形，则4G=G7/,再证明花和△》否是等腰直角三角形，

则。G=EG,CH=EH,最后根据勾股定理可得结论.

【规范解答】解：如图，过点4作4尸，5c于尸，过点E作G//，5c于X,交4。的延长线于G,则N

：.AF//GHf

■:AD//BC,NAFH=90。,

・•・四边形4厂"G是矩形，

工ZG=ZAFH=ZFHG=NE4G=90。,

・・・AABE是等腰直角三角形，

：.AB=AEfZBAE=90°,

'：NE4G=NBAE,

：.NBAF=NEAG,

ZAFB=ZG=90°,

:•△AFBm/\AGECAAS),

：.AF=AG,

・•・矩形4"ZG是正方形，

:・AG=GH,

,:AG〃BC,

：.ZC=ZEDG=45°,

：.ACHE和△QGE是等腰直角三角形，

:・DG=EG,CH=EH,

:・AD=EH=\,

・・・CH=1,

由勾股定理得：CE=+1=A/2•

解法二：如图2,过点E作跖，CZ）,交BC于F,

图2

VZC=45°,

・・・丛EFC是等腰直角三角形，

:,EF=CE,/CFE=45。,

：.NBFE=180。-45°=135°,

ZCFE=ZFBE+ZBEF=45°,ZAED+ZBEF=90°-45°=45°,

・・・NAED=NFBE,

・・•丛ABE是等腰直角三角形，

.AE_1

.・瓦—7T

9：AD//BC,

AZC+Z£>=180°,

・•・/。=180。-45。=135。，

・・・ZD=ZBFE,

：.LADEsAEFB,

.AD=AE=1

•下BE7F

'：AD=lf

.*.£F=V2，

：.CE=EF=42-

故选：A.

【真题点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，矩形和正方形的性质和判

定等知识，正确作辅助线构建△/必和ZUGE全等是解本题的关键.

25.（2023•苏州）如图，/BAC=90。,AB=AC=3如,过点。作CD_LBC,延长C5到区使8E=5C。,

3

连接4B,ED.若ED=2AE,则BE=1+J7.（结果保留根号）

【思路点拨】如图，过E作于点Q,设AE=y,可得CD=3x,DE=2y,证明BC=42AB

=6,CE=6+x,4CQE为等

腰直角三角形，Q£=C0=*_C£=隼(6+x)=3圾+冬x,AQ=^-x,由勾股定理可得:

（2y）2=（6+x）2+（3x）2

y2=（与,）2+（3收当x）2再解方程组可得答案.

【规范解答】解：如图，过E作E0LC4于点。,

•：BE^—CD,ED=2AE,

3

••CD--3x9Z）E=2y，

VZBAC=90°,AB=AC=3瓜

：.BC=42AB=6,CE=6+X,AC0E为等腰直角三角形,

：.QE-CQ-近CE-近（6+x）=3y[2+^-x,

：.AQ=^-X,

，（2y）2=（6+x）2+（3x）2

由勾股定理可得：。后DL赤啜

y2=（$）2+（3正专乂产

整理得：x2-2x-6=0,

解得：x=1iV7»

经检验X=1-正不符合题意；

.,.BE=x=l+y/7;

故答案为：

【真题点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适

的辅助线构建直角三角形是解本题的关键.

A考向十二三角形中位线定理

26.(2023•陕西)如图，是A/BC的中位线，点尸在。3上，DF=2BF.连接环并延长，与C8的延

长线相交于点若BC=6,则线段CM的长为()

22

【思路点拨】根据三角形中中位线定理证得求出。E,进而证得△DEFSBMF,根据相似三角

形的性质求出8”,即可求出结论.

【规范解答】解：是2U2C的中位线，

C.DE//BC,£>£,=—5C=—x6=3,

22

△DEFs^BMF,

.DE_DF_2BF_2

"BMBF-BF-，

:.BM=3,

2

15

CM=BC+BM=—.

2

故选：C.

【真题点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定

理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键.

27.（2023•湖州）如图，在A/BC中，AB=AC,4D_L3c于点。，点£为48的中点，连结DE.已知3c

=10,40=12,求BD,的长.

【思路点拨】根据等腰三角形的性质求出BD-|BC，根据勾股定理求出/8=13,

【规范解答】解4DL2C于点。，

BD=1BC>

：2C=10,

:,BD=5,

,・ZQ_L5C于点。，

・・・N4DB=90。,

在RtAABD中，AB2=AD2+BD2,

U：AD=12,

AB=VAD2+BD2=V122+52=13'

为48的中点，