2025年中考数学思想方法复习【新定义问题】三角形中的新定义问题（解析版）

三角形中的新定义问题

知识方法精讲

1.解新定义题型的方法：

方法一：从定义知识的新情景问题入手

这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能

力，分析问题和解决问题的能力.因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的

含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。

方法二：从数学理论应用探究问题入手

对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法.即

前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真

阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤.

方法三：从日常生活中的实际问题入手

对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题,那么处理此类问题需要结合生活实际,

再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。

2.解新定义题型的步骤：

(1)理解“新定义”一一明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.

⑵重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解

题方法.归纳“举例”提供的分类情况.

(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.

3.三角形内角和定理

(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且

每个内角均大于0°且小于180°.

(2)三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

(3)三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在

转化中借助平行线.

(4)三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关

系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，己知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

4.线段垂直平分线的性质

(1)定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平

分线(中垂线)垂直平分线，简称“中垂线”.

(2)性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段.—②垂直平分线上任意一点，

到线段两端点的距离相等.③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外

心，并且这一点到三个顶点的距离相等.

5.等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

(3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从

中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

6.等边三角形的性质

(1)等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等

腰三角形.

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形

中，腰和底、顶角和底角是相对而言的.

(2)等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边

的垂直平分线是对称轴.

7.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么。2+b2=c2.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式/+y=C2的变形有：a=J2.2,b=j232及。=\//+卜2.

(4)由于a2+62=c2>/，所以c>°,同理。>从即直角三角形的斜边大于该直角三角形

中的每一条直角边.

8.勾股定理的逆定理

(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长°,6,C满足。2+庐=’2,那么这个三角形就

是直角三角形.

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足

较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断.

(2)运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合

其他已知条件来解决问题.

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两

条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是.

9.三角形的外接圆与外心

(1)外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

(2)外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

(3)概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角

三角形的外心在三角形的外部.

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接

圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个.

10.相似三角形的判定与性质

(1)相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和

对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等.

(2)三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利

用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形

的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作

辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论

是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可.

11.解直角三角形

（1）解直角三角形的定义

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.

（2）解直角三角形要用到的关系

①锐角、直角之间的关系：ZA+ZB=90°；

②三边之间的关系：a?+62=c2；

③边角之间的关系：

NA的对边_aNA的邻边_bNA的对边_a

sinJcosAtanA

雁——丁雁——丁NA的邻边

（a,b,c分别是//、/B、NC的对边）

一.填空题（共5小题）

1.（2021秋•花都区期末）如图，在四边形/2C。中，AB=BC,AD=CD,我们把这种

两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.筝形N8CD的对角线NC、8。相交于点。.已

知/4DC=120。，AABC=60°,小婵同学得到如下结论：①A42c是等边三角形；②

BD=2AD；③端边形加8=/。助；④点M、N分别在线段/B、BC上，且/"DN=60°,

则=+其中正确的结论有①②④.（填写所有正确结论的序号）

【考点】三角形综合题

【分析】由“筝形”的性质可得N3=3C,AD=CD,可证A48C是等边三角形，故①正

确；由"SSS”可证KABD=NCBD,可得ZABD=ZCBD=30°,ZADB=ZBDC=60°,由

直角三角形的性质可得应＞=2/。，故②正确；由面积关系可求S四边如BCO=LX/CX&D,故

③错误；延长8C到E,使CE=4W,连接由“SNS”可证AMLWMAEDN,可得

MN=EN,由线段和差关系可得〃N=4M+CN,故④正确，即可求解.

【解答】解：•.•四边形/5C0是“筝形”四边形，

;.AB=BC,AD=CD,

•・•/ABC=60°，

是等边三角形，故①正确；

ABAC=ABCA=60°,

•;AD=CD,ZADC=120°,

/DAC=/DCA=30。,

/DAB=90°,

•・•AD=CD,AB=BC,BD=BD,

KABD?ACBD(SSS),

NABD=ZCBD=30°,ZADB=ZBDC=60°,

:.BD=2AD,故②正确；

v/DOC=ADAC+AADB=60°+30°=90°,

ACLBD,

•S四边形48c。=S&4co+SMCB,

二•S四边形Me。=^ACXOD+^XACXOB=^XACXBD,故③错误；

延长5C到£,使CE=/M,连接。如图所示：

NDAB=ZDCB=90°,

ZDAB=ZDCE=90°,

又・・,AM二CE,AD=CD,

\ADM=\CDE(SAS),

ZADM=ZCDE,DM=DE,

=120°,

•・•ZMDN=60°，

/ADM+ZCDN=NADC-/MDN=60°,

ZCDE+ZCDN=ZEDN=60°,

/EDN=ZMDN,

又•；DN=DN,

,\MDN=\EDN(SAS),

MN=EN,

•・•EN=CE+CN=AM+CN,

:.AM+CN=MN,故④正确；

故答案为：①②④.

【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，

理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

2.(2021秋•长宁区期末)定义:在A45C中，点。和点£分别在45边、4C边上，且DE1//5C,

点。、点石之间距离与直线。石与直线间的距离之比称为。E关于5C的横纵比.已知，

4

在A43C中，BC=4,3c上的高长为3,DE关于8C的横纵比为2:3,则£>£=___.

—3-

【考点】相似三角形的判定与性质

【分析】先证明,由相似三角形的性质可求解.

【解答】解：•・•£>£关于BC的横纵比为2:3,

二.设点。、点E之间距离为2x,直线与直线BC间的距离为3x,DE/IBC,

AABCSAADE,

2x_3-3x

——-----,

43

2

x=—f

3

4

DE=2x=—9

3

故答案为：—.

3

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解“横纵比”的定义并运用是解题的关键.

3.(2021秋•赣州期中)规定:若C=(再,必)，b=(x2f%),则鼠B=x[x2+yxy2.例如3=(1,3)，

B=(2,4),贝1JNZ=1X2+3X4=2+12=14.已知2=(x+l,x—1),B=(x—3,4),贝的

最小值是_-8_.

【考点】新定义，平面向量

【分析】根据平面向量的新定义运算法则，列出关于x的二次函数，根据二次函数最值的求

法解答即可.

【解答】解：根据题意知:a-(x+l)(x-3)+4(x-l)=(x+1)2-8.

所以当x=-l时，a-6=(-l+l)2-8=-8.

即/3的最小值是-8.

故答案是：-8.

【点评】本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配方法求得二次函数的最值.

4.(2021秋•闵行区校级期中)如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我

们把这条直线称作为这个平面图形的一条优美线.已知AA8C中，AB=AC=5,BC=6,

点。、E在边BC上,且5。=2,E为8C中点，过点。的优美线交过点£的优美线于歹，

那么线段/斤的长等于—史

~7~

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质

【分析】作NGDC使得GD是\ABC的一条优美线，过点G作G/f_L3C于〃，根据EF/IGH,

得ACGHsACAE,ADEL^ADGH,列出比例式，代入数值计算即可求解.

【解答】解：如图，VAB=AC=5,E为8C的中点，

AE1BC,BE=EC=-BC=3,

2

AE7AB2-BE。=4,

•••=-2xBCxAE=-2x6x4=12,

DC=BC—BD=6—2=4,

作\GDC使得GD是\ABC的一条优美线，过点G作G/ZJ_BC于H,

B

DEH

则SXGDC=]S"BC=6,

:.GH=6x2+DC=3,

•・•GHLBC,AELBC,

:.GH//AE,

/.ACGHSACAE,

HCGH

设HC=x,

则二二，

34

Q

解得：x」，

4

93

:.EH=EC-HC=3——二一，

44

•・•\DEF^\DGH,

.EF_ED

,,市一向'

97

又•；DH=BC—BD—HC=6—2，=—,

解得：EF=—

7

AF=AE-EF=4——

7

故答案为：

7

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用

相似三角形求出线段跖的长是解题的关键.

5.（2021秋•邹城市期中）当三角形中一个内角a是另一个内角力的两倍时，我们称此三角

形为“奇妙三角形”，其中c称为“奇妙角”.如果一个“奇妙三角形”的一个内角为60。，

那么这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为_30。-90。或40。-80。_.

【考点】三角形内角和定理

【分析】分两种情况讨论：①当60。的角为“奇妙角”时，有另一个角为30。，由三角形的

内角和可求得第三个内角为90。；②当60。的角不是“奇妙角”时，设另两个内角分别为N1,

Z2,且/1=2/2,由三角形的内角和可求解.

【解答】解：由题意得：

①当60。的角为“奇妙角”时，

有另一个角为30。,

，第三个内角为180。-60。-30。=90。；

②当60。的角不是“奇妙角”时，设另两个内角分别为/I,Z2,且/1=2/2,

有Nl+N2+60°=180°,

即2Z2+Z2=120°,

解得：Z2=40°,

故21=80°.

综上所述：这个''奇妙三角形”的另两个内角的度数为30。，90。或40。，80°.

故答案为：30°,90。或40。，80°.

【点评】本题主要考查三角形的内角和，解答的关键是对已知60。的角进行分类讨论.

二.解答题(共15小题)

6.(2021秋•郸州区期末)【问题提出】

如图1,ZU8C中，线段。E的端点。，E分别在边48和/C上，若位于DE上方的两条线

段AD和AE之积等于DE下方的两条线段BD和CE之积，即ADxAE=BDxCE,则称DE

是AA8C的“友好分割”线段.

(1)如图1,若。£是AA8C的“友好分割”线段，AD=2CE,AB=8,求NC的长；

【发现证明】

(2)如图2,AASC中，点尸在2c边上，FD//AC交AB于D,FE//AB交AC于E,

连结DE,求证：是ZU2C的“友好分割”线段；

【综合运用】

(3)如图3,是A4BC的“友好分割”线段，连结DE并延长交的延长线于尸，过

点/画/G//DE交AADE的外接圆于点G,连结GE,设W2=x,—=y.

DBFB-

①求y关于x的函数表达式；

②连结3G,CG,当y=2时，求四的值.

16CG

【考点】圆的综合题

【分析】(1)设N£=x,利用“友好分割”线段的定义得到等积式，将已知条件代入等积

式中化简求得NE,贝IJ/C=/E+EC,结论可得；

(2)利用平行线分线段成比例定理，通过等量代换即可得出结论；

(3)①过点C作CH//BD交DF于点、H,利用平行线分线段成比例定理，得到比例式

—,将两个等式左右分别相乘，整理后将四=X,生=y代入即可

FBBDCHCEDBFB

得出结论；

②利用①的结论可以得到丝=3；通过证明ABOGSAGEC,利用相似三角形的性质得出

BD4

结论.

【解答】(1)解：设=

是A45c的“友好分割”线段,

...AD•AE=BD•EC.

•/AD=2CE,AB=8,

2EC-AE=(8—AD〉EC.

/.2x=8-2EC.

x=4-EC，

二.AE=4—EC.

:.AC=AE+EC=A.

(2)证明：•：FDIIAC,

BD_BF

,IF-FC*

•••FE//AB,

BF_AE

~FC~^C'

BD_AE

…~AD~^C'

AD,AE=BD,EC.

石是A48c的“友好分割”线段；

（3）解：①・.・QE是A45C的“友好分割”线段,

...AD♦AE=BD•EC.

ADEC

AD

-------=Xf

DB

EC

---二x

AE

过点、C作CH//BD交DF于点H,如图,

•・•CH11BD,

.FCCHAD_AE

…百一访’~CH~~CE

FCAECHAD

•____v___________y_____

…FBCE~BDCH'

FCAEAD

•V___________

•FBEC~BD'

1

：.yx—=x.

x

y关于x的函数表达式为：y=x2；

②连接。G,如图，

BC

>2

•/y=—，y=x,

16

29

..x=—.

16

・二1>0，

3

/.x=­•

4

即丝=3.

BD4

-AG//DE,

AD=EG.

AD=EG.

AD+AG=EG+AG.

DAG=EGA.

AE=DG,/ADE=/GED.

，/BDF=ZGEF.

•：AD=EG,

ZGDE=ZAED.

ZAED=ZCEF,

ZGDE=ZCEF.

.../BDF+ZGDE=NGEF+NCEF.

即/BDG=/GEC.

•・・。£是入43。的“友好分割”线段,

AD•AE=BD•EC.

.ADEC

"访―益•

EG_EC

"访—而•

曲DGsNGEC.

BG_BD

…~CG~~EG'

•・•EG=AD,

BGBD4

"CG~AD~?>'

【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，圆周角定理及其推论，圆心角，弧，弦

的关系定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，过点、C作CH//BD交DF于点、H是

解题的关键也是解决此类问题常添加的辅助线.

7.(2021秋•石鼓区期末)我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(ca〃)，

如图1,在AABC中，AB=AC,底角Z8的邻对记作,这时cm3="辿=处.容易

腰AB

知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题:

(1)CQ〃30°=—V3—,若。=贝!)/5=°.

O

(2)如图2,在AA8C中，AB=AC,canB=~,S^BC=48,求AXBC的周长.

A

【考点】解直角三角形

【分析】(1)根据定义，要求cm3。。的值，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点/

作/DL8C,垂足为。，根据4=30。，可得：BD=^AB,再利用等腰三角形的三线合

2

一性质，求出8c即可解答，

根据定义，ca〃B=l,可得底边与腰相等，所以这个等腰三角形是等边三角形，从而得

ZB=60°；

(2)根据定义，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点/作垂足为

canB=-,所以设BC=8x,AB=5x,然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用

5

S^BC=48,列出关于x的方程即可解答―

【解答】解：(1)如图：过点/作NO_L3C,垂足为。，

BC=2BD,

•・•/B=30°,

/.BD=ABcos30°=生B

BC=2BD=y/3AB,

DZ~,出AB_

/.can300=----

ABAB

若canB=1,

:.canB=^=X,

AB

BC=AB,

vAB=AC,

AB=BC=AC,

\ABC是等边三角形,

二./B=60°,

故答案为：V3,60；

(2)过点4作垂足为。,

A

'：canB=—,

5

BC

J.——9

AB5

/.设BC=8x,AB=5x,

•・•AB=AC,ADLBC,

:.BD=-BC=4x,

2

AD=\IAB2-BD2=3x,

,*'S*BC=48,

-BCAD=4S,

2

—8x,3x-48，

2

/.x2=4J

:.x=±2(负值舍去)，

x=2f

AB=AC=10,BC=16,

AA8C的周长为36,

答：A48c的周长为36.

【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键.

8.(2021秋•丰台区期末)对于平面直角坐标系x切中的线段N3及点P,给出如下定义：

若点P满足尸N=则称尸为线段48的''轴点”，其中，当0。<44尸2<60。时，称尸为

线段N3的“远轴点”；当60。告“尸8<180。时，称尸为线段N8的“近轴点”.

⑴如图1,点4,3的坐标分别为(-2,0),(2,0),则在耳(一1,3),巴(0,2),^(0,-1),乙(0,4)

中，线段的“轴点”是_£一2_;线段的“近轴点”是—.

(2)如图2,点/的坐标为(3,0),点B在y轴正半轴上，ZOAB=3Q°.若P为线段AS的

“远轴点”，请直接写出点P的横坐标/的取值范围—.

图1图2

【考点】坐标与图形性质

【分析】(1)由题意可知/、8关于y轴对称，则线段的“轴点”在y轴上；

(2)分两种情况：①当尸点在线段48上方时，②当尸点在线段48下方时，分别求AP/B

为等边三角形时/的值，即可确定/的取值范围.

【解答】解：⑴•・•/(一2,0),5(2,0),

：.A,8关于y轴对称，

VPA=PB,

・•.尸点在V轴上，

厂.线段45的“轴点”是《，

当£(0,2)时，AP=OP=2,

ZAPO=45°,

NAPB=90°,

.•.巴是线段45的“近轴点”，

故答案为：P2P4；P2；

(2)如图1,-ZBAO=30°,

/ABO=60°,

•：AP=BP,

•.•4(3,0),

/.OB=A/3,

当尸点在丁轴上时，尸(0,-百)，

当，＜0时，尸为线段的“远轴点”;

如图2,当怪尸_Lx轴时,

"40=30。，

/PAB=60°,

•・•PA=PB,

NAPB=60°,

此时。点是线段的“远轴点”，

•.•4(3,0),

OA=3,

=2石，

AP=2右,

.一＞26时尸为线段48的“远轴点”；

综上所述：，＜0或/＞26时尸为线段N3的“远轴点”,

【点评】本题考查坐标与图形，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质是解题

的关键.

9.(2020秋•南沙区期末)新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟

三角形

(1)如图①中，若A45C和AADE互为“兄弟三角形"，AB=AC,4D=AE.写出/BAD,

ZBAC和ZBAE之间的数量关系，并证明.

(2)如图②，zUBC和AXDE互为“兄弟三角形"，AB=AC,AD=AE,点、D、点、E均

在A43C外，连接3D、CE交于点M,连接4W,求证：AM平分NBME.

(3)如图③，若48=/C,ABAC=AADC=60°,试探究和NC的数量关系，并说明

理由.

图①图②图③

【考点】三角形综合题

【分析】(1)根据“兄弟三角形”的定义得到=进而得至UNC/E=，

得到答案；

(2)过点N作NG_LDM于G,AH工EM于H,证明=根据全等三角形的

对应高相等得到=，根据角平分线的判定定理证明结论；

(3)延长DC至点尸，使DP=4D,证明A84D=AC4尸，得到Z8=N/CP,根据邻补角

的定义证明即可.

【解答】(1)解：NBAD+NB4C=NBAE,

理由如下：:AABC和AADE互为“兄弟三角形”，

ABAC=NDAE,

ABAC-ADAC=NDAE-ZDAC,即ACAE=/BAD,

ABAD+ABAC=NCAE+ZBAC=NBAE；

(2)证明：如图②，过点/作/G_LDM于G,4H上EM于H,

A48C和A4DE互为“兄弟三角形”，

ABAC=ZDAE,

ZBAC+ZDAC=ZDAE+ZDAC,即ZCAE=ABAD,

在\BAD和\CAE中，

NAB=AC

</BAD=ZCAE,

AD=AE

ABAD=ACAE(SAS),

AG1DM,AHLEM,

AG=AH,

vAGLDM,AH1EM,

AM平分/BME.

(3)Z5+ZC=180°,

理由如下：如图③，延长。。至点F,使DP=4D,

ZADP=60°,

：，A4QP为等边三角形，

/.AD=AP,ZDAP=60°,

•.・ABAC=60°,

ABAD=/CAP,

在A5AD和AC/P中，

AB=AC

<ABAD=ZCAP,

AD=AP

ABAD=ACAP(SAS),

AB=/ACP,

•：ZACD+ZACP=1^0°,

图③

图②

【点评】本题考查的是“兄弟三角形”的定义、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判

定和性质，正确理解“兄弟三角形”的定义是解题的关键.

10.(2021秋•余姚市月考)定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对

对应角分别对应相等，那么这两个三角形称为邻等三角形.

例如：如图1,AA8C中，AD=AD,AB=AC,ZB=ZC,则AA8D与A4c。是邻等三

角形.

(1)如图2,。。中，点D是数的中点，那么请判断ZUAD与A4co是否为邻等三角形,

并说明理由.

(2)如图3,以点4(2,2)为圆心，为半径的04交x轴于点8(4,0),AO2C是0/的内

接三角形，ZCOB=30°.

①求ZC的度数和OC的长；

②点P在O/上，若与AO2C是邻等三角形时，请直接写出点P的坐标.

【分析】(1)由点。是数的中点，得BD=CD,ABAD=ZCAD,且/。是公共边，可证

明结论；

(2)①作,连接NO,AB,由题意可知AO45是等腰直角三角形，从而得NC=45。，

作3K_LOC,在RtABOK中，05=4,NBOK=30。，可得：BK=2,OK=，在RtABKC

中，ZC=45°,可得：CK=2,BC=2叵,即可求得。。=2+26；

②分类讨论：第一种情况：如图3,连接。4,耳/，过点耳作耳。，。3于点。，AOCPX=30°,

作8M_LOC,PtN±OC,贝|3M=MC=2,P、N=ON=2,在OQ上截取OK=^K,则

/KAO=/qOB=15。,设6Q=x,则OK=6K=2x,KQ=43x,利用勾股定理建立方程

求解即可；

第二种情况，如图4,过点心作轴，ZCOP2=30°,利用解直角三角形即可；

第三种情况，如图5,ZOCP3=30°,先求得C(VJ+3,1+若)，再根据圆的对称性即可求

得答案；

第四种情况，如图6,/OCR=NOCB=45。,求出。/交y轴的交点即可；

第五种情况，如图7,ZCOPS=ZOCB=45°,过点人作心河,〉轴于〃，在上取点N,

使ON=PK,连接AN,T§：P5M=a,则=2a=ON,运用勾股定理即可求得答案.

【解答】解：(1)与A4CD是邻等三角形，理由如下：

•.•点。是数的中点，

BD=CD,ABAD=ACAD,

■：AD=AD,

NABD与KACD是邻等三角形.

(2)①如图2,作N//_LO3,连接NO,AB,

■：OA=OB,

OH=BH,

:点、4的坐标是(2,2),

AH=OH=BH=2,

NOAB=90°,

:.ZC=-ZOAB=45°,

2

作3K_LOC,在RtABOK中，03=4,ZBOK=30°,

BK=2,OK=26,

在RtABKC中，ZC=45°,

:.CK=2,BC=2A/2,

OC=2+273；

②第一种情况：如图3,连接。4,PXA,过点片作耳。，。3于点。，AOCPX=30°,

则AO"与AOBC是邻等三角形，且A。/=\COB,

作BMLOC,P\NLOC,

则3M=MC=2,PXN=ON=2,

•：ZOAPt=2AOCPX=60°,AO=APl,

△APfl是等边三角形，

：.OPI=BC=2五,N：OB=15°,

在OQ上截取OK=P、K,则NKPQ=ZPtOB=15°,

2P\KQ=NKRO+NROB=30°,

OK=P、K=2耳。,

设<Q=x,则OK=<K=2x,KQ=A,

OQ=OK+KQ=(2+0)x,

12

在放中，OQ+PXQ=OP^,

.-.[(2+V3)X]2+X2=(2A^)2,

,/x>0,

X—A/3—1f

百+1,1-73)；

第二种情况，如图4,过点£作轴，ZCOP2=30°,

则NOCP2与NOBC是邻等三角形,

•••AOCP2=NBOC=30°,

ZP2OB=60°,ZP2OH=30°,

■：OP2=OC=2+2V3,

.•/〃=。小出30。=1+5OH=OP2-cos30°=yj3+3,

.•/(l+G，百+3)；

第三种情况，如图5,ZOCP3=30°,

则CP3HOB,

■：C(V3+3,1+G),

，根据圆的对称性可得：鸟(1-百，1+6);

第四种情况，如图6,/OCR=NOCB=45。,

则NOCP4与NOBC是邻等三角形，

此时，04交y轴于点心，

；/(0,4);

第五种情况，如图7,ZCOP5=ZOCB=45°,

则ZOP5C=180°-ZOBC=75°,

ZOCP5=60°,

作A77_LOC于〃，

•••ZCOP5=45°,

OH=PSH,

■：ZOCP5=60°,

ZCP5H=30°,

2CH=CP5,

由勾股定理可得：CH-+P5H~=P5C~,

222

:.CH+P5H=(2CH),

PSH=乖1cH,

OH+CH=2+7.yl3,

CH=2,

:.OH=26

OP5=2^6,

过点月作月轴于在OM上取点N,使ON=PK,连接月N,

则NOAN=NAON=15。，ZP5NM=30°,

设P5M=a,贝!JAN=2a=ON,

MN=43a,OM=ON+MN=(2+V3)a,

22

在用△月OM中，OM+P5M^OPl,

[(2+V3)a]2+a2=(2A/6)2,

a=3—V3,

二月(3-6，3+V3)；

综上所述，AOCP与AO3C是邻等三角形时，点尸的坐标分别是：4(6+1,1-5,

£(1+56+3),^(1-73,1+V3),且(0,4),月(3-6，3+5.

图7

图2

图1

【点评】本题主要考查了含30。直角三角形、等腰直角三角形性质和圆的性质，圆周角定理

等，利用分类讨论和理解邻等三角形的定义是解答此题的关键.

11.(2021秋•岳麓区校级月考)定义:如果一个三角形中有两个内角a,。满足a+2〃=90。，

那我们称这个三角形为“近直角三角形”.

(1)若AA8C是“近直角三角形”，Z5>90°,ZC=50°,则//=20是

(2)如图1,在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4.若8。是NNBC的平分线，

①求证：A5OC是“近直角三角形”；

②在边ZC上是否存在点E(异于点。)，使得A5CE也是“近直角三角形”？若存在，请

求出CE的长；若不存在，请说明理由.

(3)如图2,在RtAABC中，NR4C=90。，点。为/C边上一点，以5〃为直径的圆交8c

于点E,连结/E交BD于点尸，若ASCO为''近直角三角形"，且NB=5,AF=3,求4D

的长.

图1图2

【考点】三角形综合题

【分析】(1)不可能是a或£,当乙4=a时，ZC=/?=50°,a+2/3=90°,不成立;

故ZCa，a+2夕=90°,则夕=20。,答案为20；

(2)①如图1,T5Z=ABDZDBC=/?,ZC=a,则c+2£=90。，故A5DC是“近直角

三角形”;

ARAC44Q

②NABE=NC,则即W_=—,即/_=一，解得：AE=~,即可求解;

AEABAE34

AT7DFAD

如图所示，当。=时,通过证明。尸尸，可得—=—=—,

（3）①2N/5NJD8C=6A/^sA54

BFAFAB

即可求解；

②如图3所示，当ZABD=NC=£时，4F:斯=NG:DE=3:2,则DE=2左，则ZG=3左=尺

（圆的半径）=BG,点〃是BE的中点，则=4,在ABGH中，

BH7BG2-G〃2=J982一）2=2m,由锐角三角函数可求tan//&）=0^=交，即可

AH2

求解.

【解答】解：（1）NB不可能是夕或。，

当NN=a时，NC=£=50。，a+2/3=90°,不成立；

故,ZC=a,a+2/3=90°,则£=20。，

故答案为20；

（2）①如图1,设N4BD=NDBC=。,AC=a,

图1

则c+2£=90。，故A5DC是“近直角三角形”；

②存在，理由：

在边NC上是否存在点E（异于点0,使得A3CE是“近直角三角形”,

48=3,AC=4,贝!|5C=5,

贝|N/8E=NC,则

即理=江，即已_=

解得：AE=~,

AEABAE34

97

贝!JCE=4—3=L；

44

（3）①如图2所示，连接。E,

D

图2

当N/C8+24DBC=90°时,

又；NACB+NABC=90°,

ZABD=NDBC=/3,

AD=DE,

・.•助是直径,

/BAD=/BED=90°,

/ADB=NBDE,

AB=BE,

.•.8。垂直平分

:.BF7AB2-AF?=J25—9=4,

•・•NDAE=ZDBE=/ABD,/AFD=ZAFB=90°,

•.AADF^ABAF,

AF_DF_AD

BF~~AF~AB

3_AD

•“与

②如图3所示，当2NC+NDBC=90。时,

又•••ZDBC+ZC+ZABD=90°,

ZABD=NC=£,

A

图3

过点、A作4H工BE交BE于点H,交3。于点G,则点G是圆的圆心（3E的中垂线与直径

的交点），

ZAEB=ZDAE+ZC=a+P=NABC,

/.AE=AB=5,

:.EF=AE-AF=5-3=2,

•/DEIBC,AH工BC,

ED//AH,则4尸：所=4G:QE=3:2,

则。内=2左，贝l」4G=3左=R（圆的半径）=3G,点H是的中点，贝I」G"=LQ£=左，

2

在中，BH=>JBG2-GH2=y/9k2-k2=242k,

,;AG=3k,GH=k,

/.AH=4k,

-ZC+ZABC=90°,NABC+/BAH=90。,

ZC=/BAH,

RHM

/.tanC=tanNBAH=tan/ABD=——二—,

AH2

AD42

AB2

5也

..A.D------,

2

综上所述：的长为”或逑.

42

【点评】本题是三角形综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理,

直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键.

12.（2021秋•荔城区校级期中）概念学习

规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为

”等角三角形”.

从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把

这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与

原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.

理解概念：

(1)如图1,在RtAABC中，ZACB=90°,CDLAB,请写出图中两对“等角三角形”.

概念应用：

(2)如图2,在ZUBC中，CD为角平分线，44=40。，48=60。.求证：CO为A4BC的

等角分割线.

动手操作：

(3)在AA8C中，若N/=50。，CD是A43c的等角分割线，请求出所有可能的NNC8的

度数.

【考点】三角形综合题

【分析】(1)根据”等角三角形”的定义解答；

(2)根据三角形内角和定理求出ZACB,根据角平分线的定义得到

ZACD=ZDCB=-ZACB=40°,根据“等角三角形”的定义证明；

2

(3)分A4c。是等腰三角形，DA=DC,ZX4=/C和A5CD是等腰三角形，DB=BC、

=四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算.

【解答】解：(1)AABC与"CD,AABC与MCD,A4CO与ASCO是"等角三角形”；

(2)在AA8C中，NN=40。，ZB=60°

ZACB=180°-一NB=80°

••・CO为角平分线，

ZACD=ZDCB=-ZACB=40°,

2

ZACD=N4,ZDCB=/A,

/.CD=DA,

在ADBC中，ZDCB=40°,ZB=60°,

ZBDC=180°-NDCB-ZB=80°,

/BDC=NACB,

•/CD=DA,NBDC=NACB,NDCB=NA,/B=/B,

・•.CD为AABC的等角分割线；

(3)当A4CQ是等腰三角形，如图2,。时，ZACD=ZA=50°,

/ACB=ZBDC=50°+50°=100°,

当A4C。是等腰三角形，如图3,=时，ZACD=ZADC=65°,/BCDN4=50°,

../4。5=50。+65。=115。，

当A4C。是等腰三角形，CO=/C的情况不存在,

_1QA'130。

当ASCD是等腰三角形，如图4,时，ZACD=/BCD=NB=—

~T~

260。

NACB=

-I-

当A3CO是等腰三角形，如图5,=时，NBDC=NBCD,

设ZBDC=ZBCD=x,

则/3=180。一2x,

则N/CD=N8=180°-2x,

由题意得，180。一2》+50。=》,

冷刀汨230°

解得，x=------

3

OQO

:.ZACD=1S00-2x=——

3

310°

/ACB=——

3

综上所述：乙4c5的度数为100。或115。或经£-310。

或------•

33

DB

【点评】本题是三角形综合题，考查了“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形

内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.

13.（2021秋•金安区校级期中）概念学习：已知AA8C,点P为其内部一点，连接