2025年中考数学专项复习：平移、旋转、折叠等操作探究问题（解析版）

突破05平移'旋转'折叠等操作探究问题

目录一览

中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）

重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）

A考向一操作探究型（不含图形变化）

A考向二图形平移型

A考向三图形旋转型

A考向四图形折叠型

^:中考解密

综合与实践题是山西中考的必考题，这类题型属于过程探究题，旨在引导学生动手操作、自主探索、小组

合作、交流共享.通过图形的变化考查学生的动手实践、推理论证、几何直观和数学运算能力.在实践过程

中，学会发现问题、解决问题，培养严谨的逻辑思维、应用意识和创新意识，提高解决问题的能力.

更

E重点考向

A考向一操作探究型（不含图形变化）

1.（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形

纸片4BCD如图所示，点N在边/。上，现将矩形折叠，折痕为点/对应的点记为点若点M

恰好落在边DC上，则图中与ANW一定相似的三角形是4MCB.

ZA=ZD=ZC=90°,

：.ZDNM+ZDMN^90°,由折叠的性质可知，NBMN=NA=90°,

：.ZDMN+ZCMB=90°,

NDNM=NCMB,

:ANDMs4MCB,

故答案为：XMCB.

2.（2023•兰州）综合与实践：

问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9"平分一个已知

角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在

OA和上分别取点C和D,使得OC=OD,连接CD,以CD为边作等边三角形CDE,则就是

NN08的平分线.请写出OE平分的依据：SSS；

类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：ACOE不一定必须是等边三角形，只需即可，

他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3,在的边O/,08上分别取

0M=0N,移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M,N重合，则过角尺顶点C的射线。。是

的平分线，请说明此做法的理由；

拓展实践：（3）小明将研究应用于实践.如图4,校园的两条小路N8和NC,汇聚形成了一个岔路口

A,现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯£,使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路

灯E到岔路口A的距离和休息椅。到岔路口/的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带

刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置.（保留作图痕迹，不写作法）

图1图2

解：(1)：是等边三角形，

：.CE=DE,

XVOC=OD,OE=OE,

:.△OCE空MODE(SSS),

：.ZCOE=ADOE,

.♦.OE是NNO3的平分线，

故答案为：SSS；

(2)'COMMON,CM=CN,OC=OC,

.♦.△OCM四△OCN(SSS),

，ZAOC=ZBOC,

射线OC是N40B的平分线;

图5

点£即为所求的点.

3.(2023•盐城)综合与实践

【问题情境】

如图1,小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点8落在对角线3。上，点8

的对应点记为9，折痕与边ND,8C分别交于点E,F.

【活动猜想】

(1)如图2,当点夕与点。重合时，四边形产是哪种特殊的四边形？答：菱形.

【问题解决】

(2)如图3,当48=4,4D=8,2尸=3时，求证：点B',C在同一条直线上.

【深入探究】

(3)如图4,当N3与8C满足什么关系时，始终有与对角线/C平行？请说明理由.

(4)在(3)的情形下，设NC与2。，即分别交于点。，P,试探究三条线段4P,B'D,斯之间满

足的等量关系，并说明理由.

(1)解：当点夕与点。重合时，四边形尸是菱形.

理由：设跖与8D交于点O,如图,

由折叠得：EFLBD,OB=OD,

：.ZBOF=NDOE=90。,

•.•四边形/BCD是矩形，

：.AD//BC,

：.ZOBF=ZODE,

：.4BF0空XDEOCASA),

：.OE=OF,

...四边形8皮甲是菱形.

故答案为：菱形.

(2)证明：•.•四边形/8CO是矩形，AB=4,AD=8,BF=3,

：.BC=AD=S,CD=AB=4,ZBCD=90°,

：.CF=BC-BF=8-3=5,

：.BD=VBC2<D2=V82+42=4V5,

如图，设M与3。交于点过点夕作夕K_L8C于K,

由折叠得：NA'B'F=NABF=NBMF=NB'MF=90°,B'F=BF=3,BB'=2BM,

NFBM=ZDBC,

.'△BFMsABDC,

BMBFBM3

BC=BD,即8=4^5,

6近

:.BM=5,

:・BB'=5,

•.*/BKB'=ABCD,NB'BK=/DBC,

ABB'KsABDC,

B'KBKBB，B'KBK5

CD=BC=BD,Bp4=8=4V5,

1224

：.B'K=5,BK=5,

2416

：.CK=BC-BK=8-5=5,

：.B，C=W心式1(2=/普产+(当产=4,

丫8产+8'。=32+42=25,。产=52=25,

：.B'F1+B'C1=CF1,

：.ZCB'F=90°,

：.ZA'B'F+ZCB'F=90o+90°=l80°,

...点B,,。在同一条直线上.

(3)解：当BC=丁目时，始终有4夕与对角线NC平行.

理由：如图，设NC、BD交于点、O,

:四边形48CD是矩形，

：.OA=OB,NABC=9Q°,

,:BC=MAB,

BC

/.ianZBAC=AB=V3,

ZBAC=60°,

:.△OAB是等边三角形，

ZABO^ZAOB^60°,

由折叠得：ZA'B'B=ZABO=60°,

：.ZA'B'B=ZAOB,

：.A'B'//AC,

故当3c=近48时，始终有N0与对角线/C平行.

(4)解：MEF=2(AP+B'D),理由如下：

如图，过点E作EG_L8C于G,设EF交BD于H,

由折叠得：EFLBD,B'F=BF,/BFE=/B，FE,

设4E=m,EF=n,

由(3)得：/BAC=60o=/ABD,

：./BB'F=/DBC=3。。,

f

：.ZBFE=ZBFE=60°f

ai_

：.EG=EFsm600=2n,FG=£F«cos60°=2n,

'：NEAB=/ABG=NBGE=90°,

四边形/8GE是矩形，

近

:.AB=EG=2n,BG=AE=m,AD//BC,

2

:.BF=B，F=m+2n,

：.BH=BF,cos3Q°=2(m+2n),

2

：.BB'=2BH=M(m+2n),

,:BD=2AB=6n,

1V3

：.B'D=BD-BB'=y/3n-M(m+2w)=2Mm,

,JAD//BC,

：.ZDEF=ZEFG=60°,

:.NAPE=NDEF-ZDAC=60°-30°=30°=ZDAC,

.,.AP=2AE-cos30o=V3m,

V3V3

.,.AP+B'D=，l/3m+(2w-VS/M)=2n,

a

：.AP+B'D=2EF,

即向E尸=2(AP+B'D).

4.（2023•淮安）综合与实践

定义：将宽与长的比值为2n（"为正整数）的矩形称为〃阶奇妙矩形.

（1）概念理解：

当〃=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1）,这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽CAD）与

炳-1

长（CD）的比值是_2

（2）操作验证：

用正方形纸片进行如下操作（如图（2））：

第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为E凡连接CE；

第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点。的对应点为点展开，折痕为CG；

第三步：过点G折叠纸片，使得点/、3分别落在边40、3c上，展开,折痕为GK.

试说明：矩形GDCX是1阶奇妙矩形.

（3）方法迁移：

用正方形纸片/BCD折叠出一个2阶奇妙矩形.要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注.

（4）探究发现：

小明操作发现任一个〃阶奇妙矩形都可以通过折纸得到.他还发现：如图（4）,点E为正方形4BCD

边48上（不与端点重合）任意一点，连接CE,继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形/G/7E

的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值.请写出这个定值，并说明理由.

（1）解：当n=l时，2n

图I

延长CG,交8/的延长线于点及,

:四边形N2CD是正方形，

：.AB//CD,AB=BC=CD=AD,Z5=90°,

AZR=ZDCG,ACDGs^RAG,

DG_CD

AG-AR,

由折叠得，

/GCH=ZDCG,

：.ZR=ZGCH,

：.ER=CE,

设BE=NE=1,则/2=8C=CZ)=/D=2,ER=CE=YBE2+BC2=遥,

：.AR=ER~AE=4^>-1,

2二DG

/.Vs-12-DG,

.•.DG=V5-1,

DG二代-1

CD~2,

矩形GDCK是1阶奇妙矩形；

(3)解：如图2,

图2

第一步：对折正方形纸片，折痕为血W；

第二步：对折矩形/。及W,折痕为斯，将正方形展开；

第三步：连接CE,折叠纸片，使CO落在CE上，点。落在〃点，折痕为CG；

第四步：过点G折叠纸片，使得点N、8分别落在边ND、上，展开，折痕为GK.

则矩形GDCK是2阶奇妙矩形；

(4)解：如图3,

图3

四边形/GAE的周长与矩形GOCK的周长比值是定值2,理由如下:

延长CG,交84的延长线于点R,

设NZ>=/B=8C=CD=a,设BE=b,则N£=a-b,

------CDDG

I92--=---

同理(2)可得：ER=CE=7a+b,ARAG,

；.AR="a2+b2-(a-b),

丁_a-------DG

.".va2+b2-(a-b)=a-DG,

...DG="+b2一b,

-22

._一一a+b+-b),

Va

I""22

,:EH=CE-CH=CE-CD=、软+b-a,

I~~22/22

:四边形1的周长=后〃+4£+/6+6〃=(Va+b-。)+(«-b)+AG+DG=Na+b-a+a-

I""22

b+a=Na+b+(a-b),

四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值是5.

5.(2023•淄博)在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.

(1)操作判断

小红将两个完全相同的矩形纸片A5CD和CEFG拼成乜”形图案，如图①.试判断：ANC尸的形状为

等腰直角三角形.

(2)深入探究

小红在保持矩形488不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若48=2,ND=4.

探究一;当点尸恰好落在4D的延长线上时，设CG与。尸相交于点如图②.求ACMF的面积.

探究二：连接NE,取/E的中点X,连接如图③.求线段。灯长度的最大值和最小

值.图①图②图③

解：（1）在R3/BC中，^C=VBC2+AB2,

在RtAC尸G中,CF=VCG2-K1F2,

,:AB=GF,BC=CG,

：.AC=CF,

...△/CB是等腰三角形，

\'AB=GF,ZFGC=ZABC=90°.BC=CG,

:.AABCmAFGCCSAS）,

・•・/ACG=NGFC,

VZGCF+ZGFC=90°,

JZACG+ZGCF=90°,

：.ZACF=90°,

•••△4W是等腰直角三角形，

故答案为：等腰直角三角形；

(2)探究一：,:CD=GF,ZFMG=ZDMC,/G=/CDF=90。,

：.ACDM^AFGM(AAS),

JCM=MF,

■:AC=CF,CDLAF,

：.AD=DF,

,:AB=CD=2,AD=DF=4,

：.DM=4-CM,

222

在R3CQM中，CM=CD+DMf

：.CAfi=22+(4-CM)2,

5_

解得CM=2,

_5

：・MF=2,

1xz55

.♦.△CMF的面积=22x2=2；

探究二：连接。E,取DE的中点尸，连接成，取的中点为M、N,连接MN,MH,NH,

：//是NE的中点，

C.MH//DE,S.MH=2DE,

,:CD=CE,

：.CPLDE,DP=PE,

'：MH//DP,且MH=DP,

.,.四边形MHPD是平行四边形，

:.MD=HP,MD//HP,

"JAD//BC,MD=CN,

C.HP//CN,HP=CN,

四边形HNCP是平行四边形，

C.NH//CP,

：.NMHN=90°,

二〃点在以血W为直径的圆上，

设的中点为T,

22

.­.JD7'=V1+2=V5,

的最大值为市+1,最小值为返-1.

方法二：设/C的中点为T,连接87,

是A/CE的中位线，

工

:.HT=2CE=\,

在以T为圆心，1为半径的圆上，

•••07=、F+22=遥,

...D”的最大值为J5+1,最小值为1.

图③

6.（2023•宁夏）综合与实践：

问题背景

数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36。的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展

开探究.

探究发现

如图1,在△/BC中，//=36。，AB=AC.

（1）操作发现：将A/BC折叠，使边BC落在边A4上，点C的对应点是点E,折痕交/C于点。，连

接DE,DB,则48Z）E=72。,设/C=l,BC=x,那么/£=1-x（用含x的式子表示）；

底BC脏-1底BC

（2）进一步探究发现：腰AC=2,这个比值被称为黄金比.在（1）的条件下试证明：腰肥=

h

~1~；

拓展应用

当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形.例如，图1中的A/BC是黄金

三角形.

如k图2,在菱形/BC。中，ZBAD=72°,AB=.1.求这个菱形较长对角线的长.

A

LB

BC二

图I图2

探究发现

(1)解：VZA=36°,AB=AC,

：.ZABC=ZC=72°,

・・•边落在边A4上，点。的对应点是点区

,看NABC=36'

:・/BED=ZC=72°,NEBD=ACBD=2

A

1

BCB

图1图2

AZBDE=\SO°-ABED-NEBD=T2。,

AE=AB-BE=AC-BC=\-x,

故答案为:72,1-x；

(2)证明：由(1)知：ZCBD=ZEBD=36°

：.ZA=ZCBD=ZEBD,

：.AD=BD,

・・・NC=NC,

△ABCs^BDC

ACBC

.1.BC"DC

1二x娓-1

即WTT,解得X=2

底BC遥-i

腰AC=2；

拓展应用

如图，

在NC上截取/£=/。，连接

•.•四边形/5CD是菱形，

^ZBCD=36°

yZDAB=36

AACD=2ZDAC=NBAC=AD=AB=\,CD//AB,

:./ADE=NAED=12°,ZADC=1SO°-ZDAB=\OS°,

Vs-1-1

:.DE=2仙=2,

：.ZCDE=ZADC-ZADE=}OS°-72°=36°,

:.NCDE=NACD,

娓-1

：.CE=DE=2,

遥-1=代+1

：.AC=AE+CE=1+2-2.

7.（2023•兰州）综合与实践：

【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,在矩形N3CD中，£是边上一

点，DFLCE于点F,GDLDF,AGLDG,AG=CF,试猜想四边形/BCD的形状，并说明理由；

【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2,在正方形/BCD中，E是

边45上一点，DF_LCE于点、F,AH_LCE于点H,GD_LDF交AH于点G,可以用等式表示线段

AH,CE的数量关系，请你思考并解答这个问题；

【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3,在正方形

ABCD+,E是边48上一点，于点"点M在CH上，且4H=HM,连接BH,可以用

等式表

示线段CM,由/的数量关系，请你思考并解答这个问

G

题.图I图2图3

解：(1)四边形是正方形，

理由：..•四边形/8co是矩形，

24DC=90。，

'：GD±DF,

：.NFDG=90。,

：.ZADG=ZCDF,

又；AG=CF,NG=NDFC=90。,

：./\ADG^/\CDF(AAS),

：.AD=CD,

四边形/BCD是正方形；

(2)HF^AH+CF,

理由：于点RAH_LCE于点H,GD_LDF交AH于点、G,

四边形HFDG是矩形，

：.ZG=ZDFC=90°,

:四边形43co是正方形，

:.AD=CD,/4DC=90°,

ZADG=ACDF,

:.AADG乌△CDF(AAS),

：.AG=CF,DG=DF,

矩形处‘DG是正方形，

HG=HF=AH+AG=AH+CF；

:四边形N3Cr1是正方形，：.ZBAC=45°,

"：AH±CE,AH=HM,

是等腰直角三角形，

/.ZHAM=45°,

：.NHAB=/MAC,

AH二AB二&

VAM"AC

：.AAHBsAAMC,

BH=AH;&

返.

即88=2CM.

8.(2023•齐齐哈尔)综合与实践：

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数

学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.

(1)发现问题：如图1,在A/BC和中，AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF=30°,连接BE,

CF,延长AE1交C/于点。.则■与CF的数量关系：BE=CF,ZBDC=30°：

(2)类比探究：如图2,在△48C和△/£尸中，4B=AC,AE=AF,/BAC=NE4F=120°,连接

BE,CF,延长3E,RC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及N5DC的度数，并说明理由；

(3)拓展延伸：如图3,A/BC和△/所均为等腰直角三角形，/BAC=NE4F=90。,连接BE,

CF,且点8,E,尸在一条直线上，过点/作NAUBF,垂足为点跖则AF,CF,之间的数量关

系：BF=CF+2AM；

(4)实践应用：正方形中，AB=2,若平面内存在点尸满足NAP。=90。，PD=\,则5双好=

7W77-V7

理由如下：如图1所示：

•/AABC和"DE都是等腰三角形,

：・AB=AC,AE=AF,

又：/BAC=ZEAF=30°,

,△ABE注LACF(SAS),

:・BE=CF,

：.ZABE=ZACDf

•?ZAOE=ZABE+ZBAC,

ZAOE=ZACD+ZBDC,

图I

(2)BE=CF,NBDC=60°,

理由如下：如图2所示：

证明：:NB4C=NE4尸=120°,

：.ZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,

即

又；AABC和AAEF都是等腰三角形,

'.AB=AC,AE=AF,

:.4BAE咨4CAF(SZS)

：.BE=CF,

：.ZAEB=ZAFC,

VZEAF=120°,AE=AF,

：.NAEF=/AFE=30°,

：.ZBDC=ZBEF-ZEFD=ZAEB+300-(ZAFC-30°)=60°；

(3)BF=CF+2AM,

理由如下：如图3所示：

・・•4ABe和LAEF都是等腰三角形，

；・/CAB=NEAF=90。,AB=AC,AE=AF,

：.ZCAB-ZCAE=ZFAE-ZCAE,

即：NBAE=NCAF,

:.LBAE咨ACAE(SAS),

：.BE=CF,

9

：AMLBF,AE=AFfZEAF=90°f

.\EF=2AM,

•：BF=BE+EF,

连接2D,以3。为直径作圆，

由题意，取满足条件的点尸，P',则尸。=PZ»=1.ZBPD=ZBP'D=90°,

:.BD=2近,

22

:.BP=VBD-PD=V(2<2)2-12=V7,

连接p/,作于点尸，在8尸上截取5£=尸£),

:,NPDA=ABE,AD=AB,

：.AADP^AABE(SAS),

：.AP=AE,ZBAE=ZDAP,

：.NPAE=90°,

由(3)可得：PB-PD=2AF,

PB-PD近-1

.\AF=2=2,

:.SXPAB=2PB・AF=4,

同理可得：SWAB=4,

故A/3尸的面积为：4或4.

图4

9.（2023•大连）综合与实践

问题情境

数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片/8C,AB=AC,N8/O90。，要求同学们将

纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论.

问题发现

奋进小组在边/C上取一点。，连接AD,将这个纸片沿AD翻折，点/的对应点为E,如图1所示.

如图2,小明发现，当点£落在边上时，/DEC=2N4CB.

如图3,小红发现，当点。是/C的中点时，连接CE,若已知48和CE的长，则可求8。的长.

问题提出与解决

奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1,请你解答.

问题1：在A/BC中，AB=AC,NA4O90。，点。是边/C上一点，将沿8。翻折得到AEBD

(1)如图2,当点E在边8c上时，求证：NDEC=2/ACB.

(2)如图3,当点。是/C的中点时，连接CE,若48=4,CE=3,求8。的长.

拓展延伸

小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，并提出问题2,请你解答.

问题2：如图4,点。是A/BC外一点，AB=AC=BD=4,CD=\,ZABD=2ZBDC,求8C的

问题1,

(1)证明：•.•将A/AD沿2。翻折得到

NBED=NA,

'：NBED+NDEC=180°,

：.ZA+ZDEC=1SO°,

'：AB=AC,

/ACB=/ABC,

：.ZA+ZACB+ZABC=ZA+2ZACB=18O°,

：.ZDEC=2ZACB；

(2)解:如图1,

作NG_L8D于G,作DELCE于尸，

NAGD=NDFC=90°,

由折叠得，

AD=DE,NADB=NBDE,

:点。是/C的中点，

：.CD=AD,

：.DE=CD,

ZDEC=ZDCE,CF=EF=2CE=2

3_7_

：.DP=CD2-CW=22-(2)2=4,

：ZADB+ZBDE+ZEDC=180°,

2ZADB+ZEDC=180°,

,?ZDEC+ZDCE+ZEDC=1SO°,

：.2ZDCE+ZEDC=180°,

ZADB=ZDCE,

：./\ADG^/\DFC(AAS),

3_

:.AG=DF,DG=CF=2,

在R3ABG中，由勾股定理得，

22

BGJAB-AG=^4^

年+3

:.BD=BG+DG=2；

问题2,

解：如图2,

图2

连接作BE上4Q于E,作8b_LC。，交。。的延长线于月,

•:AB=BD,

1

:・/ABD=2/DBE,DE=AE=2AD,

•・•NABD=2/BDC,

：./BDE=/BDC,

：.CD//BE,

：.CDLAD,

：./BED=ZEDC=ZF=90°,

・••四边形。EB厂是矩形，

：.BF=DE,DF=BE,

在R3ZCQ中，CD=1,AC=4f

:.AD=V^-1^=V15,

715

:.BF=DE=2,

在R32DE中，BD=4,DE=2,

在RtABC尸中，CF=2,BF=2,

••.5C•6）2+（享且.

A考向二图形平移型

1.（2023•德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形CM5C是矩形，点5的坐标为（6,3）,。是04

=ax+b

的中点，AC,BD交于■点、E,函数片X-3的图象过点&E.且经过平移后可得到『•个反比例函数的

图象，则该反比例函数的解析式（）

15943

A.尸-x

解：由题知，

A(6,0),2(6,3),C(0,3),

令直线/C的函数表达式为％=麻+如

，6k]+b[=0

则出=3,

,勺2

解得I?1=3,

所以打等+3

又因为点。为。/的中点，

所以。(3,0),

同理可得，直线3。的函数解析式为芹=犷3,

x=4,

贝！Jy=4-3=1,

所以点E坐标为(4,1).

将'E两点坐标代入函数解析式得,

‘吟=3

O

,4a+b=l,

Ja=4

解得ib=-15.

4x-15

v=-----

所以x-3,

4(x-3)-33

v=--------------+4

则'x-3x-3,

将此函数图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度,

3

y=一

所得图象的函数解析式为：X.

故选：D.

2.(2023•鞍山)如图，在矩形/8C〃中，对角线NC,BD交于点O,AB=4,BC=4j§,垂直于8C的

直线九W从出发，沿8c方向以每秒«个单位长度的速度平移，当直线九W与CD重合时停止运

动，运动过程中分别交矩形的对角线NC,BD于点、E,F,以EF为边在左侧作正方形

EFGH,设正方形跖G8与重叠部分的面积为S,直线aW的运动时间为Zs,则下列图象能大致

反映S与/之间函数关系的是（）

令HE和FG与AB的交点分别为I和K,

因为直线MN沿8c方向以每秒愿个单位长度的速度平移,

则IE=FK=Mt,

又A8=4,BC=473,则/8/O=60°.

所以N/=3K=f,贝!|欣=4-It,即£尸=4-2t.

故5=正f（4-2t）=~2V3t2+4V3t.

据此可以排除掉/和。.

再继续向右运动时，正方形全部在A/OB内，

此时S=（4-2f）2.

据此又可以排除掉C.

故选：B.

3.（2023•潍坊）如图，在直角坐标系中，菱形。N8C的顶点/的坐标为（-2,0）,ZAOC=60°.将

菱形33C沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形049C,其中

点夕的坐标为（）

1）D.（-Vs-1）

・•・ZBEA=90°,

・・,点Z的坐标为（-2,0）,

：.OA=2,

・・•四边形048。是菱形，

：.AB=OA=2,AB//OC,

：.ZEAB=ZAOC=60°,

：.ZABE=30%

.AE-^AB^-X2=1

由勾股定理得BE=VAB2-AE2=V22-12=V3,

：.OE=AE+OA=l+2=?>,

..•点5的坐标是（-3,V3）,

将菱形0/8C沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形（TAEC,

二点9的坐标为Q2,V3-1）,

故选：A.

(0,5),图象的顶点为矩形/8C。的顶点。与原点O重合，顶点4,C分别在x轴，y轴上，顶

点B的坐标为(1,5).

(1)求c的值及顶点M的坐标.

(2)如图2,将矩形沿x轴正方向平移f个单位(0</<3)得到对应的矩形已知边

CD',N0分别与函数4x+c的图象交于点尸，。，连接尸0,过点尸作PGL4®于点G.

①当/=2时，求。G的长；

②当点G与点0不重合时，是否存在这样的3使得△尸G。的面积为1?若存在，求出此时f的值；若

解(1)..•二次函数歹=/-4x+c的图象与丁轴的交点坐标为(0,5),

・•c=5,

.\y=x2-4x+5=(x-2)2+1,

工顶点V的坐标是(2,1).

(2)①如图1,•・1在x轴上，8的坐标为(1,5),

当1=2时，D',"的坐标分别是(2,0),(3,0).

当x=3时，y=32-4、3+5=2,即点。的纵坐标是2.

当x=2时，y=l,即点P的纵坐标是1.

'：PG±A'B',

，点G的纵坐标是1,

：.QG=2-1=1.

②存在.理由如下：

,.•△尸60的面积为1,PG=1,

；.0G=2.

根据题意，得：Pt2-4t+5),Q(f+1,t2-2t+2))

：.G(t+1,t2-4t+5),

如图2,当点G在点。的上方时，

图2

QG=fi—4z+5—(t^~2f+2)=3—2z—2,

此时52(在0</<3的范围内).

如图3,当点G在点0的下方时,

图3

QG=t2-2t+2-Ct2-4f+5）=2t-3=2,

二5

此时52（在0</<3的范围内）.

15_

综上所述，存在使得APG0的面积为1,此时/的值为万或万.

5.（2023•襄阳）【问题背景】

人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形/BCD的对角线相交于点

。，点。又是正方形43C1A。的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形/由Ci。。

1

绕点。怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的想一想，这是为什么？

（此问题不需要作答）

九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点

PA

。，点P落在线段。C上，PC=左"为常数）.

【特例证明】

（1）如图1,将RtAP郎的直角顶点尸与点O重合，两直角边分别与边3C相交于点”，N.

①填空：k=1；

②求证：PM=PN.（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PWgAPBN；也可

过点尸分别作/瓦3c的垂线构造全等三角形证明.请选择其中一种方法解答问题②.）

【类比探究】

（2）如图2,将图1中的沿OC方向平移，判断与PN的数量关系（用含左的式子表示），

并说明理由.

【拓展运用】

（3）如图3,点N在边上，NBPN=45°,延长NP交边CD于点E,若EN=kPN,求左的值.

(1)①解：：将Rt△尸跖的直角顶点尸与点。重合，

PA0A

'.k—PC=0C=1,

故答案为：1;

②证明：

方法一：：四边形Z8CO是正方形，

：.N4PB=NMPN=90°,/PAB=/PBC=45°,PA=PB,

：.ZAPB-ZBPM=ZMPN-/BPM,

即ZAPM=ZBPN,

:APAM沿APBN(ASA),

：.PM=PN.

方法二：过点尸分别作于G,PHLBC于■H,如图1,

图I

则ZPGM=ZPHN=90°,

:四边形N5CD是正方形，

ZABC=90°,BD平分NABC,

：.PG=PH,NHPG=90。,

：.ZMPN-ZGPN=ZGPH-ZGPN,

即NMPG=NNPH,

：APMG94PNH(ASA),

:.PM=PN.

PM

(2)解：PN=h理由如下：

方法…：过点P作PG〃BD交BC于G,如图2⑺,

图26)

ZAOB=ZAPG,ZPGC=ZOBC,

•.•四边形/BCD是正方形，

ZPAM=ZOCB=ZOBC=45°,ZAOB=90°,

：.NAPG=NMPN=/AOB=90°,NPGC=NPCG=ZPAM,

：.PG=PC,

ZAPG-NMPG=/MPN-ZMPG,

即NAPM=ZGPN,

:APAMs丛PGN,

PMPA

.­.PN=PC=^,

方法二：过点尸分别作PG_LNB于G,PHLBC于■H,如图2(z-z),

图2(ii)

则ZPGM=ZPGB=NPHN=90°,

:四边形/BCD是正方形，

?.ZBAC=ZBCA=45°,ZABC=90°,

'：ZPGA=ZCHP=90°,

.MAPGsdCPH,

PGPA

.1.PH=PC,

ZGPH=NMPN=90°,

：.ZMPN-ZGPN=ZGPH-ZGPN,

即NMPG=NNPH,

:APMGSAPNH,

PMPGPA

.,.PN=PH=PC=h

(3)过点尸作交45于"，作尸H_L8C于“，作PG_L/8于G,如图3,

图3

则ZMPN=ZGPH=ZPGM=ZECN=90°,

AZMPN-ZGPN=ZGPH-/GPN,

即NMPG=NM/,

・•・ZPMG=ZPNHf

由(2)和已知条件可得：PM=kPN,EN=kPN,

:.PM=EN,

：.APGM^AECN(AAS),

：.GM=CN,PG=EC,

*.*/BPN=ZPCB=45°,ZPBN=NCBP,

：.ABPN^ABCP,

PBBN

.-.BC-PB,

:.PB?=BC・BN,

同理可得：PB?=BA・BM,

♦；BC=BA,

:・BM=BN,

:・AM=CN,

：.AG=2CN,

NPAB=45。,

：.PG=AG,

:・EC=2CN,

PHEC

tmZENC=HN=CN=2,

令HN=a,则PH=2a,CN=3a,EC=6a,

：.EN=7(3a)2+(6a)2=3aa,

PN=T22+(2a)2

EN3娓a

：.k=PN=V5a=3.

6.(2023•攀枝花)如图1,在A/BC中，AB=BC=2AC=8,△4BC沿3c方向向左平移得到△OCE,/、

C对应点分别是。、£.点尸是线段BE上的一个动点，连接/尸，将线段/尸绕点/逆时针旋转至线段

AG,使得/B4D=NF4G,连接歹G.

(1)当点方与点。重合时，求尸G的长；

(2)如图2,连接BG、DF.在点厂的运动过程中：

①5G和。咒是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由;

②当5尸的长为多少时，△45G能构成等腰三角形？

(1)当尸点与。点重合时，AF=AC,

由平移可知，CD=AB,CD//AB,

・•・四边形四边形4CE。是平行四边形，

：・AD=BC,AD//BC,

ZBAD=ZFAG,

：.ZDAF=/FAG,

♦；AB=BC,

：.ZBAC=ZACBf

・.・ZDAC=ZACB,

：.ZDAC=ZBAC=ABAG,

・・・/5是NC/G的平分线，

VAC=AGf

：.AB±CG,

如图1,过8点作交于〃点，

■:AB=BC=2AC=8,

：.AH=2,

：.BH=2^/15,

2^1CG

/.sinZBAC=8=4,

ACG=FG=2V15；

(2)①DF=BG,理由如下：

如图2,,:AG=AF,ZDAF=ABAG,AB=AD,

:.△ABG%AADF(SAS),

：.DF=BG；

②如图2,过点/作4V_LBC交于N,

由①可知2X4X2V15=2*8AN,

：.AN=4^,

当/G=/5时，

■:AB=BC=8,

・・・/G=8,

9：AG=AF,

•"尸=8,

当厂点与8点重合时，AF=S,此时5月=0,

当5b=25N时，AF=8,在RtA45N中，5N=464T5=7,

：.BF=14；

当4G=5G时，AF=BG,

,:DF=BG,

：.DF=AF,

过点尸作FMLAD交于M,

.\AM=DM=4,

U：FMLAD,ANIBC,

:"M=FN=4,

■:BN=7,

:・CN=\,

:・CF=3,

当氏4=5G时，

,:DF=BG,

:,AB=DF,

•:AB=CD=BC=AD,

:.DC=DF,

当尸点在BE上时，CD=DF,此时C点与尸点重合，

：.BF=BC=8；

综上所述：2尸的长为14或11或8或0.

m

7.(2023•淄博)如图，直线y=fcc+6与双曲线y=x相交于点/(2,3),B(«,1).

(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；

(2)将直线向下平移至CD处，其中点C