2025年中考数学专项复习：几何图形中求线段线段和面积等最值问题（4题型）（原卷版）

抢分秘籍11几何图形中求线段，线段和，面积等最值问题

（压轴通关）

目录

【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）

中考预测

几何图形中求线段、线段和、面积最值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都

有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看，几何图形中的性质综合问题，是高频考点、也是必考点。

2.从题型角度看，以解答题的最后一题或最后二题为主，分值12分左右，着实不少！

抢分通关

题型一线段最值问题

典例精讲

【例1X2024•四川成都•一模）如图1,在四边形48FE中，/b=90。，点C为线段E尸上一点，使得ZC/8C,

AC=2BC^4,此时防=CF,连接BE,BE1AE,S.AE=BE.

图1图2图3

⑴求CE的长度；

⑵如图2,点。为线段/C上一动点（点。不与A,C重合），连接50,以为斜边向右侧作等腰直角三

角形8GD.

①当DG〃/B时，试求/。的长度；

②如图3,点H为的中点，连接〃G,试问用是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在,

请说明理由.

通关指导

本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三

角形.

【例2】（2024・天津红桥•一模）在平面直角坐标系中，点0（0,0）,2（2,0）,川2,28））,C,。分别为04,

08的中点.以点。为中心，逆时针旋转AOCD,得AOC'D',点C,。的对应点分别为点C',DM

⑴填空：如图①，当点步落在y轴上时，点。，的坐标为，点C的坐标为

⑵如图②，当点C'落在05上时，求点步的坐标和的长；

⑶若M为C'。'的中点，求四的最大值和最小值（直接写出结果即可）.

名校模拟

1.（2024•山东济宁•模拟预测）已知，四边形48co是正方形，由EF绕点、D旋转（DE<4B）,ZEDF=90°,

DE=DF,连接CF.

⑴如图1,求证：AADE*CDF；

⑵直线ZE与C尸相交于点G.

①如图2,于点M,BN1CF于点、N,求证：四边形8WGN是正方形；

②如图3,连接8G,若48=6,DE=3,直接写出在力防旋转的过程中，线段8G长度的最小值为

2.（2024・重庆,一模）在AABC中,点。为线段8C上一动点，点£为射线/C上一动点，连接AD,BE.

点尸为8E中点.

①如图1,若BF=历,BD=3,AD=1，求NE的长度;

②如图2,点G为线段外上一点，连接GE并延长交的延长线于点H.若点£为G”中点,

ZB/C=60°,NDAC=2NEBC,求证：AG+DF=-AB.

2

⑵如图3,若ZC=48=3,NBAC=60。.当点£在线段/C的延长线上时，连接将△口?£沿DC所

在直线翻折至AABC所在平面内得到△DCN,连接当取得最小值时，AABC内存在点K,使得

AABK=ZCAK,当KE取得最小值时，请直接写出NK?的值.

3.(2024•陕西西安•一模)问题提出：

(1)如图①，在AA8C中，点M,N分别是48,ZC的中点，若BC=2在,则儿W的长为.

问题探究：

(2)如图②，在正方形/BCD中，/。=6,点E为AD上的靠近点A的三等分点，点下为N5上的动点，

将△/跖折叠，点A的对应点为点G,求CG的最小值.

问题解决：

(3)如图③，某地要规划一个五边形艺术中心/3CDE,已知/48C=120。，ABCD=60°,AB=AE=40m,

8C=CD=80m,点C处为参观入口，的中点尸处规划为“优秀"作品展台，求点C与点P之间的最小距

离.

4.（2024•陕西西安・一模）【问题提出】

（1）如图1,点。为的边8C上一点，连接=丝=|■，若△/血的面积为4,则ANCD

AB3

的面积为;

【问题探究】

RF6

（2）如图2,在矩形/BCD中，AB=6,BC=5,在射线3c和射线CO上分别取点E、F,使得亍=凄，

Cr5

连接/£、AF相交于点P,连接C尸，求C尸的最小值；

【问题解决】

（3）如图3,菱形是某社区的一块空地，经测量，48=120米，ZABC=60°.社区管委会计划对该

空地进行重新规划利用，在射线上取一点E,沿BE、CE修两条小路，并在小路BE上取点”，将S段

铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，2BHC=NBCE,为了节

省铺设成本，要求休闲通道”的长度尽可能小，问S的长度是否存在最小值？若存在，求出CH长度的

最小值；若不存在，请说明理由.

题型二线段和的最小值问题

典例精讲.

【例11（2024•四川达州•模拟预测）【问题发现】

（1）如图1,在AOAB中，08=3,若将AOAB绕点。逆时针旋转120。得OA'B',连接BB'，则BB'=.

【问题探究】

（2）如图2,已知是边长为4人的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD,P为AABC内一点、,

连接4P,BP,CP,将△BPC绕点。逆时针旋转60。，得△D0C,求尸N+P5+尸。的最小值；

【实际应用】

（3）如图3,在长方形Z3CD中，边48=10,40=20,尸是8C边上一动点，。为尸内的任意一点，

是否存在一点尸和一点。，使得/。+。。+尸。有最小值？若存在，请求出此时P。的长，若不存在，请说

明理由.

图1图2图3

通关指导

本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30

度角的直角三角形的性质，解题的关键在于利用旋转构造等边三角形，从而把三条不在一条直线的线段

之和的问题，转换成几点共线求线段的最值问题是解题的关键.

L_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

【例2】（2024•贵州毕节•一模）在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进

行探究.已知“8C是边长为2的等边三角形.

图1图3

(1)【动手操作】如图1,若。为线段3c上靠近点B的三等分点，将线段绕点A逆时针旋转60。得到线

段NE,连接CE,则CE的长为；

⑵【探究应用】如图2,。为“3C内一点，将线段ND绕点A逆时针旋转60。得到线段/E，连接CE,若民RE

三点共线，求证：EB平分/4EC；

(3)［拓展提升］如图3,若。是线段8C上的动点,将线段绕点。顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE.请

求出点。在运动过程中，ADEC的周长的最小值.

名校模拟

1.(2024・陕西・二模)在平面直角坐标系中，/为y轴正半轴上一点，2为x轴正半轴上一点，且。4=OB=4,

连接.

⑴如图1,C为线段AB上一点，连接OC,将0c绕点。逆时针旋转90。得到OD,连接4D,求NC+4D

的值.

⑵如图2,当点。在x轴上，点。位于第二象限时，NADC=90°,且ND=CD,£为A8的中点，连接。£,

试探究线段是否存在最小值？若存在，求出4D+DE的最小值；若不存在，请说明理由.

2.(2024•陕西西安・二模)(1)如图1,半径为4的。。外有一点尸，且PO=7,点A在。。上，则尸/的最

大值和最小值分别是和；

(2)如图2,在矩形ZBCD中，48=4,/。=6,点P在/。上，点。在8c上，且4P=C0,连接CP、

QD,求PC+QD最小时4P的长；

(3)如图3,在Y/BCD中，/3=10,40=20,点。到48的距离为loG，动点、E、尸在/。边上运动,

始终保持跖=3,在8c边上有一个直径为四的半圆O,连接与半圆。交于点N,连接CE、FN,求

CE+EF+FN的最小值.

3.（2024・陕西西安•三模）【问题提出】

（1）如图①，N5为半圆。的直径，点尸为半圆O的筋上一点，8c切半圆。于点B,若=10,BC=12,

则CP的最小值为二

【问题探究】

（2）如图②，在矩形/8CD中，AB=3,BC=5,点尸为矩形48CD内一点，连接尸3、PC,若矩形/8CD

的面积是APBC面积的3倍，求尸3+尸。的最小值；

【问题解决】

（3）如图③，平面图形NBCDM为某校园内的一片空地，经测量，AB=BC=20拒米,23=60。，

ZBAF=ZBCD=150P,DELDC,CD=20米，劣弧防所对的圆心角为90。，防所在圆的圆心在"的延

长线上，AF=10米.某天活动课上，九（1）班的同学准备在这块空地上玩游戏，每位同学在游戏开始前,

在8C上选取一点P,在弧而上选取一点。，并在点尸和点。处各插上一面小旗，从点A出发，先到点尸处

拔下小旗，再到点。处拔下小旗，用时最短者获胜.已知晓雯和晓静的跑步速度相同，要使用时最短，则

所跑的总路程（/尸+尸0）应最短，问/尸+P。是否存在最小值？若存在，请你求出/P+尸。的最小值；若不

存在，请说明理由.

4.（2024•江西一模）如图1,在矩形N3CD中，CD=4^BC=金,点E,G分别是40,48上的中点，过点

E,G分别作EF1AD,FG1AB,FG与E尸交于点尸，连接CF.

特例感知

（1）以下结论中正确的序号有;

①四边形ZGFE是矩形；②矩形/3CD与四边形月GFE位似；③以ED,CE,5G为边围成的三角形不是直

角三角形；

类比发现

（2）如图2,将图1中的四边形4GFE绕着点A旋转，连接3G,观察CF与BG之间的数量关系和位置关

系，并证明你的发现；

拓展应用

（3）连接CE,当CE的长度最大时，

①求8G的长度；

②连接尸，若在内存在一点尸，使CP+4P+后户的值最小，求。尸+/尸+回尸的最小

值.

题型三面积的最小值问题

典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（2024・陕西西安•一模）【问题提出】

（1）如图1,已知在边长为5的等边AA8C中，点。在边3C上，BD=3,连接N。，贝UANCA的面积为二

【问题探究】

（2）如图2,已知在边长为6的正方形ABCD中，点£在边BC上，点F在边CD上，且NEAF=45。，若EF=5,

求△4EP的面积；

【问题解决】

（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在/8=4米，米的矩形区域内

开挖一个△/£下的工作面，其中3、尸分别在8C、CD边上（不与2、C、D重合），且4&4尸=60。，为了减

少对该路段的拥堵影响，要求△/所面积最小，那么是否存在一个面积最小的△/£/"?若存在，请求出

△/£尸面积的最小值；若不存在，请说明理由.

B

图1图3

通关指导

本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，等边三角

形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，通过作出辅助线构造直角三角形，

i全等三角形是解题的关键.

I_________________________________________________________________________________________________

【例2】（2024・陕西西安・二模）图形旋转是解决几何问题的一种重要方法.如图1,正方形/BCD中，E、F

分别在边/3、3C上，且NEO尸=45。，连接"，试探究NE、CF、跖之间的数量关系.解决这个问题可将

V4DE绕点。逆时针旋转90。到△CDH的位置（易得出点打在3c的延长线上），进一步证明9E尸与

⑴如图1,正方形48CD中，ZEDF=45°,AE=3,CF=2,则防=；

（2）如图2,正方形N8CD中，若NEDF=30°,过点石作EN〃8C交。B于W点，请计算4E+CF与的

比值，写出解答过程；

（3）如图3,若NEDF=60°,正方形ZBCD的边长N8=8,试探究SE尸面积的最小值.

名校模拟

1.（2023•陕西西安•一模）问题发现

(1)在“3C中，48=2,ZC=60°,则“3C面积的最大值为二

(2)如图1,在四边形/BCD中，AB=AD=6,ZBCD=ZBAD=90°,AC=8,求8C+CD的值.

问题解决

(3)有一个直径为60cm的圆形配件。。，如图2所示.现需在该配件上切割出一个四边形孔洞CU3C,要

求NO=NB=60。，OA=OC,并使切割出的四边形孔洞。43c的面积尽可能小.试问，是否存在符合要求的

面积最小的四边形。4BC?若存在，请求出四边形CM3C面积的最小值及此时0/的长；若不存在，请说明

理由.

2.问题提出：

(1)如图①，已知是面积为4G的等边三角形，是/A4c的平分线，则2B的长为.

问题探究：

(2)如图②，在中，ZC=90°,4C=BC,48=4,点。为N3的中点，点、E,尸分别在边/C,

8C上，且/即/=90。.证明：DE=DF.

问题解决：

(3)如图③，李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园/BCD,然后将其分割种植三种不同的花卉.按

照他的分割方案，点P,。分别在4。，BC上，连接尸。、PB、PC,NBPC=60。,E、尸分别在尸8、PC

上，连接0E、QF,QE=QF,Z£0F=12O。，其中四边形尸骸下种植玫瑰，乂行和△尸CD种植郁金香，

剩下的区域种植康乃馨，根据实际需要，要求种植玫瑰的四边形尸£。尸的面积为64Gm%为了节约成本，

矩形花园/BCD的面积是否存在最小值？若存在，请求出矩形/BCD的最小面积，若不存在，请说明理由.

图①图③

3.（2024・陕西榆林•二模）（1）如图1,AB//CD,AB=\,CD=2,AD,交于点E,若NO=4,则/E=_；

（2）如图2,矩形N8C。内接于O。，AB=2,BC=2d尸在而上运动，求APBC的面积的最大

值;

（3）为了提高居民的生活品质，市政部门计划把一块边长为120米的正方形荒地4BCD（如图3）改造成一

个户外休闲区，计划在边3C上分别取点P,。，修建一条笔直的通道尸。，要求CQ=2AP,过点B

作5£，2。于点£,在点E处修建一个应急处理中心，再修建三条笔直的道路BE,CE,DE,并计划在

△CDE内种植花卉，&DEP内修建老年活动区，ABCE内修建休息区，在四边形/建P内修建儿童游乐园.问

种植花卉的ACDE的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

图1图2

题型四面积的最大值问题

典例精讲：

【例1】（新考法，拓视野）（2024•陕西咸阳•一模）问题提出：

（1）如图①，OO的半径为4,弦48=4。，则点。到NB的距离是

问题探究：

（2）如图②，的半径为5,点/、B、C都在O。上，4B=6,求面积的最大值.

问题解决：

（3）如图③，是一圆形景观区示意图，。。的直径为60m,等边尸的边A8是O。的弦，顶点尸在。。

内，延长/P交。O于点C,延长BP交。。于点。，连接5.现准备在APNB和△尸。区域内种植花卉，

圆内其余区域为草坪.按照预算，草坪的面积尽可能大，求草坪的最大面积.（提示：花卉种植面积尽可能

小，即花卉种植面积（%/B+S/CD）的最小值）

通关指导

此题是圆的综合题，考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、二次

函数的性质等知识，灵活运用这些知识并数形结合是解题的关键.

【例2】（2024•陕西咸阳•一模）

⑴.【问题情境】（1）点/是。。外一点，点尸是。。上一动点.若。。的半径为2,且。4=5,则点尸到

点A的最长距离为；

⑵.【直接运用】（2）如图2,在RtA4BC中，ZACB=90。,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交N8于点

D,尸是弧CD上的一个动点，连接AP,求/P的最小值；

⑶.【灵活运用】（3）如图3,。。的直径为8,弦/8=4百，点C为优弧N3上的一动点，AMLAC,交

直线C2于点求ANBM面积的最大值.

M

图1图2图3

名校模拟

1.（2024•陕西宝鸡•一模）提出问题:

图3

6,则3c边上的高/。的长为.

问题探究:

（2）如图2,“3C内接于O。，弦3C=10,半径为6,求“3C面积的最大值;

问题解决:

（3）如图3,某园区内有一块直角三角形48c的空地，在空地边3C的中点。处修建了一个儿童游乐场,

为了吸引更多人来园区，在空地外E处修建一个大型商场，且满足游乐场。到商场£的路线与商场E到点

C处的路线垂直（即。ELCE）,连接NE,在VNDE处种植绿植，其中N4BC=90。，测得48=300米,

3c=800匹米，请问绿植面积能否取到最大？若能，请求出VNDE面积的最大值，若不能，请说明理由.

2.（2024•广东深圳•一模）如图1,在等腰三角形4BC中，乙4=90。，AB=AC,点、D、E分别在边48,AC

上，AD=AE,连接BE,点"，N,P分别为DE,BE,3c的中点.