九年级数学下册同步学与练（浙教版）-第03讲 解直角三角形（7类题型）（解析版）

第03讲解直角三角形（7类题型）课程标准学习目标1.解直角三角形的应用；1.掌握解直角三角形；2.掌握解直角三角形的应用——仰俯角问题；3、掌握解直角三角形的应用——方位角问题；4、掌握解直角三角形的应用——坡度、坡角问题；5、掌握解直角三角形的综合应用；知识点1：解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）【即学即练1】1．（2023上·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考阶段练习）在中，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查的是锐角三角函数的定义，根据定义解题即可．【详解】解：如图：∵∴故选：C．知识点2：解直角三角形的应用——仰角、俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；【即学即练2】2（2023上·湖南邵阳·九年级统考阶段练习）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，若米，则树高为（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键；过点B作于点C，在中根据，求出的高度．【详解】解：过点B作于点C，在中，．故选B．知识点3：解直角三角形的应用——方位角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．【即学即练3】3．（2023上·山东泰安·九年级校考阶段练习）如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（）

A．12海里 B．6海里 C．12海里 D．24海里【答案】B【分析】过点作，利用，结合锐角三角函数，列式计算即可．【详解】解：如图，过点作，

由题意，得：，在中，，在中，，∴，∴；故选B【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．知识点4：解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．【即学即练4】4．（2023上·山西临汾·九年级校联考阶段练习）汾河水库位于山西省太原市西北娄烦县境内下静游村至下石家庄之间．如图，水库某段横截面迎水坡的坡度（坡度），若坡高，则坡面的长度约为（参考数据：）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是解直角三角形的应用：坡度坡角问题，熟记坡度的概念是解题的关键．根据坡度的概念求出，再根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：∵迎水坡的坡度，由勾股定理得：，故选：C．知识点5:解直角三角形的综合应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．【即学即练5】5．（2023上·山西临汾·九年级校联考阶段练习）为庆祝国庆，某校要在如图所示的五角星中（图中所有线段的长度均相等，且），从顶点A开始，沿边每隔40厘米装一盏闪光灯，如果F，J两点间的距离为米，那么需要安装闪光灯的盏数是（参考数据：）A．30 B．40 C．50 D．60【答案】C【分析】此题考查了等腰三角形三线合一性质，解直角三角形，连接，过点A作，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，然后利用代数求出，然后求出总长度，进而求解即可．解题的关键是正确作出辅助线．【详解】如图所示，连接，过点A作，根据题意可得，，∴是等腰三角形，∵，，∴，，∴，即，解得米，∴米，∴米，∵20米厘米，∴．∴需要安装闪光灯的盏数是50．故选：C．题型01解直角三角形的相关计算1．（22·23下·深圳·模拟预测）如图，在边长为6的等边中，点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接交于点P，连接，在运动过程中，点P的运动路径长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点A作于A，作于，连接，交于，证明，得，再证明，可得，确定点的运动路径是以点为圆心，以为半径的弧，再由弧长公式求解即可．【详解】解：如图，过点A作于A，作于，连接，交于，是等边三角形，，，，，，，是的垂直平分线，，在中，，，，，，，，，，点的运动路径是以点为圆心，以为半径的弧，点P的运动路径长为．故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积，动点的运动轨迹等知识，确定点的运动轨迹是解本题的关键．2．（21·22下·芜湖·自主招生）如图所示，已知，且与的距离为2，与的距离为1，正三角形的三个顶点分别在，，上，则．

【答案】【分析】作于．将绕点逆时针旋转60°到，过作的垂线．显然有为等边三角形，，都是有一个角为30°的直角三角形，所以．勾股定理，即可求解．【详解】解：如图所示作于则，将绕点逆时针旋转60°到，过作的垂线，交分别于点，

∴为等边三角形，则∴∵，∴∴，∴，∵，∴故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．3．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市南山区荔香学校校考期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：

(1)________．(2)对于，的正对值的取值范围是________．(3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如图，,，所以.（2）如图，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近，相应的；当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的；于是．（3）如图，在上截取，过H作于D，设，则,．解，，．【详解】（1）解：如图，,,∵,∴.

（2）解：如图，点A在的中垂线上，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近，相应的；当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的逐渐接近0，；∴

（3）解：如图，在上截取，过H作于D，，设，则，,∴．中，，∴．

【点睛】本题考查新定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质；添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键．题型02解非直角三角形1．（2020·哈尔滨·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点两点的距离为（）千米．A．4 B． C．2 D．6【答案】D【分析】根据题意可知，，千米，则根据三角函数可求、，再根据，利用三角函数可求BC，则．【详解】解：由题意可知，，，∵，∴，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义，正确标注方向角是解题的关键．2．（2019上·成都·期末）如图，在等腰中，于点，则的值（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先由，易得，由可得，进而用勾股定理分别将BD、BC长用AB表示出来，再根据即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，又∵，∴，在中，，∴，故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．3．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）在中，若，，，则．【答案】1或13【分析】过点作于点，分高在三角形内部和三角形外部两种情况进行讨论求解．【详解】解：过点作于点，分两种情况讨论：①当在的外部时，如图：

∵，∴设，则：，∴，∴，∴，∴；②当在的内部时，如图：

同法可得：，∴；综上：1或13；故答案为：1或13．【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解．题型03构造直角三角形求不规则图形的边长或面积1．（22·23下·益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（

）

A．48 B．50 C．52 D．54【答案】A【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果．【详解】解：连接，如图所示

，，，四边形的面积为48故选：A．【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题．2．（22·23下·专题练习）如图，在中，，，，则的长为，的面积为．【答案】【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到．【详解】解：过作，如图所示：在中，，，，在中，，，即，，由勾股定理得；，故答案为：，．【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键．3．（22·23上·西安·阶段练习）如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为．【答案】【分析】延长交于点，过点作于点，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可．【详解】解：如图，延长、相交于点，过点作于点，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，，是等腰直角三角形，设，则，，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是解题的关键．题型04仰角俯角问题1．（22·23下·日照·阶段练习）如图，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到达点，沿坡度（坡度坡面铅直高度与水平宽度的比）斜坡走到点，再继续沿水平方向向左走米到达点、、、、在同一平面内，在处测得建筑物顶端A的仰角为，已知建筑物底端与水平面的距离为米，则建筑物的高度约是参考数据：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】延长交的延长线于，作于，首先根据坡度求出，再根据锐角三角函数构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，延长交的延长线于，作于，

由题意得：米，米，米，在中，：，米，在中，，米，，米，米；即建筑物的高度约为米．故选：．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2．（22·23·一模）安装了软件“”的智能手机可以测量物高．其数学原理是：该软件通过测量手机离地面的高度，物体底端的俯角和顶端的仰角即可得出物体高度．如图，小明测得大树底端点俯角，顶端点的仰角，点离地面的高度米，则大树的为（

）

A．米 B．米C．米 D．米【答案】D【分析】过点作，垂足为，由题意得：，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，

，由题意得：，，，在中，，，在中，，，，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）

【答案】铜像的高度是；【分析】根据题意可得，从而求出，即可求解．【详解】解：由题意得：，，∴，∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴铜像的高度是；【点睛】本题考查解直角三角形的应用，关键是求出．题型05方位角问题1．（23·24上·石家庄·阶段练习）如图，岛位于岛的正西方，两岛间的距离为海里，由岛分别测得船位于南偏东和南偏西方向上，则船到岛的距离为（）

A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【分析】要求的长，需要构造直角三角形，作辅助线，然后根据题目中的条件利用特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：如图，作于点，

海里,，，，，，，，解得：海里，海里，故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用特殊角的三角函数值进行解答．2．（22·23下·清远·三模）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔的处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为．

【答案】【分析】过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，

在中，海里，，（海里），在中，，（海里），处与灯塔的距离为海里，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期末）如图，某渔船向正东方向以10海里/时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向上，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向上，已知该岛周围9海里内有暗礁．

(1)B处离岛C有多远？(2)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？(3)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险（参考数据：、、）【答案】(1)10海里(2)有危险(3)没有危险【分析】（1）过C作垂直，通过证明，即可求出的长；（2）求出点C到的距离是否大于9，如果大于9则无触礁危险，反之则有；（3）过点C作，首先求出，然后根据三角函数求出的长，进而比较求解即可．【详解】（1）过C作垂直，

为渔船向东航行到C道最短距离∵在A处测得岛C在北偏东的∴又∵B处测得岛C在北偏东，∴，，∴，∴（海里）；（2）∵，∴∴（海里）∴（海里）∵∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；（3）如图所示，过点C作，

根据题意可得，∴，即解得（海里）∵∴没有危险．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是根据角度得到，再通过三角函数计算出相关距离．题型06坡度坡比问题1．（22·23下·广州·一模）如图是一个山坡，已知从处沿山坡前进160米到达处，垂直高度同时升高80米，那么山坡的坡度为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而利用坡度的定义得出答案．【详解】解：由题意可得：（米），则山坡的坡度为：，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理、解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题的关键．2．（22·23下·太原·一模）我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如图，建筑物前有一段坡度为的斜坡，用测角仪测得建筑物屋顶的仰角为，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底处，这时测到建筑物屋顶的仰角为，在同一平面内，若测角仪的高度米，则建筑物的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：，，）

A．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米【答案】D【分析】设米，延长交于，作于，于，求出米，米，由矩形的性质得出米，在中，求出米，米，米，在中，由，得出方程，解方程即可．【详解】解：设米，延长交于，作于，于，

，在中，米，，米，米，四边形是矩形，四边形是矩形，米，在中，，米，米，米，在中，，，，米，米，故选：D．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造直角三角形解决问题．3．（21·22下·江门·模拟预测）如图，在距某居民楼楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡的坡度（或坡比），山坡坡底C点到坡顶D点的距离m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼与山坡的剖面在同一平面内，则居民楼的高度约为（参考数据：）

【答案】82.1m【分析】构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出、，进而求出．【详解】如图，由题意得，，在中，∵山坡的坡度，

∴，设则，由勾股定理可得，又，即，∴，∴，∴，在中，，∴，故答案为：．

【点睛】本题考查解直角三角形、坡比；添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．题型07解直角三角形的其他应用1．（2022春·云南红河·八年级统考期末）我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词写得很优美，其大意是：当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步(每一步为五尺)，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋千的绳索有多长？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．无法计算【答案】B【分析】设这个秋千的绳索，得到，求出的值即可．【详解】解：设这个秋千的绳索，则，，，，，，这个秋千的绳索有尺．故选B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2022秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期中）为完成“综合与实践”作业任务，小明和小华利用周末一起去郊外放风筝，小明负责放风筝，小华负责测量相关数据，如图，当小明把风筝放飞到空中到点P处时，小华分别在地面测得，，米，则风筝的高度的长为（

）米（点C在点P的正下方，A、B、C在地面的同一条直线上）（结果保留根号）

A． B． C． D．【答案】D【分析】设的长为x米，根据，，，得出，，最后根据米，列出求解即可．【详解】解：设的长为x米，∵，，，∴，，∵米，∴，解得：，故选：D．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握特殊角度的三角函数值，以及解直角三角形的方法和步骤．3．（2022春·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校联考阶段练习）松花江斜拉桥是哈尔滨绕城高速公路西段（瓦盆窑——秦家）项目的重要组成部分，是我省修建的第一座公路斜拉桥，也是哈尔滨市乃至黑龙江省的标志性工程．主桥采用双塔双索面钢—混凝土结合梁斜拉桥，塔墩固结一体、塔与主梁纵向活动支承，属塔墩固结、塔梁支承式半悬浮体系．大桥索塔为门式塔，桥面以上设一道上横梁．全长．图2是从图1引申出的平面图．假设你站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索与水平桥面的夹角是，两拉索顶端的距离为2米，两拉索底端距离为128米，请求出索塔高的长．（结果精确到0.1米，）

【答案】109.8米【分析】设的长为x米，运用三角函数表示出的长，列出等式算出，即可解答；【详解】解：设的长为x米，在中，，（米），米，在中，米，米，，，解得：，米，（米），答：索塔BH的长约为109.8米．【点睛】该题主要考查了解直角三角形的应用，解答该题的关键是能够熟练地运用三角函数列出等量关系式．A夯实基础1．（2022上·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，是旗杆的一根拉线，测得米，，则的长为（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【分析】利用余弦函数作答即可．【详解】根据题意可知：，即在中，米，，有：（米），故选：A．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解三角函数的定义，是解答本题的关键．2．（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图是河堤的横断面示意图，已知，堤高，则坡面的长度是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，利用求出，再利用勾股定理求出的长度即可．【详解】解：在中，，，∵，∴，∴，故选：A【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数的定义求出是解题的关键．3．（2022上·湖南株洲·九年级校考期中）某堤的横断面如图，堤高是5米，斜坡的坡度是，那么斜坡的长为米．

【答案】10【分析】根据坡度等于铅直高度与水平距离的比，求出的长，再利用勾股定理，求出的长即可．【详解】解：由题意，得：，∴，∴．故答案为：10．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡度等于铅直高度与水平距离的比，是解题的关键．4．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，渔船向东航行，8点到达O处，看到灯塔A在其北偏东方向，距离12海里，10点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行海里．

【答案】【分析】利用锐角三角函数求出的长，利用路程除以时间求出速度即可．【详解】解：由题意，得：海里，∴海里；∴渔船每小时航行海里；故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．5．（2023·安徽合肥·统考三模）数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点处测得河的北岸点在其北偏东方向，然后向西走80米到达点，测得点在点的北偏东方向，求河宽．（结果精确到，参考数据，，，，，）

【答案】米【分析】过作于，设米，则在中得到，在中，得到，则，解得分，即可得到答案．【详解】解：过作于，设米，

在中，即，，在中，，即，，解得分，（米）．答：河宽大约为72.6米．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方向角、准确计算是解题的关键．6．（2023下·天津·九年级专题练习）某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼的高度，如图，小明同学站在点处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线上．沿教学楼向前走7.7米到达点处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线上．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼的高度．（点，，在同一水平线上．结果精确到0.1，参考数据：，）【答案】19.8米【分析】先得出是等腰直角三角形，设米，得，，由得，进而得出方程求解即可进一步得出结论．解：如图，连接并延长，交于点，设米．由题意可知，四边形，四边形是矩形，∴，，．∴．在中，，∴．∴．∴．在中，，，∴．∴．解得，．∴（米）答：教学楼的高约为19.8米．【点睛】本题考查了解三角形的应用---仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．B能力提升1．（2023上·山东济南·九年级统考期中）阅读材料：余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】考查学生类比迁移思想，直接画出题目中描述的三角形，按照题干中的方程代入已知量解方程即可．【详解】由题可知，需要画出满足条件的，如下图所示；∵，；∴，；∴在中；；∵；∴；整理得：；，（舍）；∴；故选．

2．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（

）A． B．2m C．4m D．【答案】C【分析】本题考查了坡度，根据坡度“铅直距离与水平距离的比”及已知水平距离，可求得铅直距离，由勾股定理即可求坡面距离．【详解】解：由题意得：，即，由勾股定理得：，故选：C．3．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）如图，一山坡的坡度为，小辰从山脚出发，沿山坡向上走了200米到达点，则坡角为，小辰上升了米．

【答案】#30度100【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据坡比的定义得到，得到，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．掌握坡度的概念是解答本题的关键．【详解】解：根据题意得，∴，∵沿山坡向上走了200米到达点，∴（米）．故答案为：，．4．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）如图，小红同学用仪器测量一棵大树的高度，在C处知，在E处测得，，仪器高度，这棵树的高度为．

【答案】米【分析】根据直角三角形的边角间关系，可用含的代数式表示出、，由于，得到关于的方程，求解即可．【详解】解：由题意，四边形、四边形、四边形均为矩形，、均为直角三角形，所以米，米．在中，，即，在中，，即，又，，即，，（米），故答案为：米．

【点睛】本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形的边角关系是解决本题的关键．5．（2023上·江苏泰州·九年级校考期中）如图，是的中线，

求：(1)的长；(2)的正弦值．【答案】(1)6(2)【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是：（1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题；（2）在中，求出，即可解决问题．【详解】（1）解：如图，作于．

在中，，，，，在中，，，．（2），，，，在中，．的正弦值为．6．（2023上·山东济南·九年级统考期中）黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”，1855年8月，黄河改道山东大清河入渤海，自此与泉城济南结下了不解之缘．黄河在济南流经7个区县，绵延300余里，哺育了济南儿女，润泽了泉城大地，为落实黄河文化的传承弘扬，某校组织学生到黄河某段流域进行研学旅行．某兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要求出黄河某处的宽度（不能到达对岸）如图，已知该段河对岸岸边有一点A，兴趣小组以A为参照点在河这边沿河边任取两点B、C，测得，量得的长为300m．求河的宽度．（结果精确到1m，参考数据）

【答案】河的宽度约为204m．【分析】此题考查三角函数的应用，过点A作于点D，根据角的正切值求出，由得，得到，即可求出河的宽度，正切掌握角的三角函数计算公式是解题的关键．【详解】解：如图，过点A作于点D，

由图可知，，设，在中，∵，∴，在中，∵，∴，∵，∴，∴，答：河的宽度约为204m．C综合素养1．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，是边长为6的等边三角形，点D，E在边上，若，，则的长度是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由于是等边三角形，还给出，所有考虑直接把转移到一个直角三角形中求解，那么这个角度如何利用，恰好想到过点A作的垂线直接得到了，可求，再利用正切，可求,最后在求．【详解】∵是等边三角形；∴；过点作的垂线，垂足为；∴；∴；∵；∴；∵；；∴；在中，；在中；；∴；∴；∴；∴；∵；∴；故选．

2．（2023上·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考阶段练习）如图，矩形中，，对折矩形使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点的对应点落在上，折痕是，连接，若，则点的长是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由矩形性质和折叠性质可得，，，，可得，从而可得，可得，从而可得的长，，即可求解，进而求出的长．【详解】解：四边形是矩形，，由折叠性质可得：，，，，在中，，，，，，，，，，，在中，，，，故选：．【点睛】本题考查折叠性质，长方形的性质，角的直角三角形等知识点，解题的关键是利用边之间的关系推出．3．（2023·广东深圳·校考模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高米，学生身高米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点处测得摄像头的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点处测得摄像头的仰角为，则体温检测有效识别区域段的长为．【答案】米【分析】由题意得米，分别在和中，利用三角函数求出、，可以得到段的长．【详解】解：由题意得，米，米，在中，，米，在中，，米，米．故答案为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用仰角构建直角三角形是解答本题的关键．在构建的两个直角三角形中，分别利用两个仰角的正切三角函数值，求得相应直角边的长．这里需要熟练掌握特殊角的三角函数值．4．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）如图，一飞机到达A点时，测得观礼台C在飞机前下方，俯角为，此时飞行路线改为沿仰角为方向的直线飞行，飞机飞行了6千米到B处时，居民区D恰好在飞机的正下方，现在的飞行高度为5千米，则观礼台C和居民区D的距离是千米．（，，，，结果精确到0.1）【答案】【分析】过A作于点E，过C作于点F，根据锐角三角函数求出千米，千米，再证四边形为矩形，得出千米，，在中，千米，则千米．【详解】过A作于点E，过C作于点F，∵，∴为直角三角形，，∵，，∴（千米），（