2025年中考数学专项复习：二次函数新定义型综合问题（3题型）（原卷版）

抢分秘籍15二次函数新定义型综合问题（压轴通关）

目录

【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）

中考预测

二次函数新定义型综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因

为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

i.从考点频率看，二次函数新定义型综合问题是数学的基础，也是高频考点、必考点。

2.从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少!

・（抢分通关

题型一新定义型二次函数之共生或伴随抛物线

典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（2024•江西九江•一模）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，二次函数的

二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为"共生抛物线”，如抛物线j=0.5%2与y=lx?是共生抛物

线，已知抛物线G：y=-g（x+2Y+l的顶点是点尸，它的共生抛物线C?的顶点是Q

⑴点尸的坐标是—，点。的坐标是，抛物线C?的函数关系式是

⑵直线y=机与抛物线C］、C2均有两个交点，这些交点从左到右分别是/、B、C、D.

①求加的取值范围二

②若4B=CD,求加的值;

通关指导

本题考查了二次函数的新定义，正确利用二次函数的图像与性质是解决问题的关键.

【例2】(2023•江苏泰州•二模)在平面直角坐标系中，对于函数弘=af+6x+c,其中。、b、c为常数，a^c,

定义：函数%=3?+云+。是必=a/+6x+c的衍生函数，点M(a,c)是函数%=#+6x+c的衍生点，设函

数弘=a/+6x+c与其衍生函数的图象交于/、8两点(点/在点3的左侧).

⑴若函数%=。尤2+&X+C的图象过点c(-l,3)、£>(1)-5),其衍生点v(l,C),求函数弘=a/+6x+c的解

析式；

⑵①若函数必=a/+bx+c的衍生函数为%=2x-l,求/、2两点的坐标；

②函数%=。/+法+£?的图象如图所示，请在图中标出点/、3两点的位置；

⑶是否存在常数6,使得无论。为何值，函数乂="2+法+。的衍生点M始终在直线43上，若存在，请求

出6的值；若不存在，请说明理由.

名校模拟

1.新定义：我们把抛物线>=62+区+。(其中m力0与抛物线夕=区2+°尤+。称为"关联抛物线"，例如，

抛物线y=2/+3x+l的“关联抛物线”为>=3J?+2x+l已知抛物线G：y-Aax1+ax+4a-3(a>0)的“关联

抛物线"为C2,。与y轴交于点E.

⑴若点E的坐标为（0,-1）,求G的解析式；

⑵设G的顶点为R若△。即是以。尸为底的等腰三角形，求点E的坐标;

⑶过x轴上一点P,作x轴的垂线分别交抛物线。，Q,于点“，N.

①当MV=6时，求点尸的坐标；

②当"44x4a-2时，G的最大值与最小值的差为2°,求。的值.

2.（2023•广东广州•一模）定义：在平面直角坐标系中，直线V=a（x-〃）+左称为抛物线y=左的

伴随直线，如直线y=-卜+1）-2为抛物线y=-（x+1）2-2的伴随直线.

⑴求抛物线＞=2/-4x+5的伴随直线；

⑵无论。取何值，抛物线G］：了二办？-2（a-l）x+a-2总会经过某定点，抛物线&：y=m（x-l）（x-m-3）

的伴随直线经过该定点，求加的值；

⑶顶点在第一象限的抛物线＞=-°（》-1）2+4°与它的伴随直线交于点人，B（点A在点8的左侧），与x轴

负半轴交于点C,当NB4C=90。时，V轴上存在点尸，使得N4PS取得最大值，求此时点尸的坐标.

题型二新定义型二次函数之特殊形状问题

典例精讲；

【例1】（新考法，拓视野）（23-24九年级上•浙江杭州•期末）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口

方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”.

【概念理解】

（1）抛物线M=2（x-1）（尤-2）与抛物线%=/-3x+2是否围成"月牙线"？说明理由.

【尝试应用】

（2）抛物线％=g（x-l）2-2与抛物线%="2+法+。，＞；］组成一个如图所示的“月牙线"，与x轴有相同

的交点M,N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为42.

①求a:6:c的值.

②已知点尸（为,能）和点。（％,〃）在“月牙线"上，m＞n,且〃的值始终不大于2,求线段NB长的取值范

围.

通关指导

本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理

解“月牙线”的概念.

【例2】二次函数＞=--2小的图象交x轴于原点。及点A.

感知特例

（1）当机=1时，如图1,抛物线£:y=/-2x上的点8,O,C,A,。分别关于点A中心对称的点为",

O',C,A',D，,如下表：

B（T，3）0(0,0)C（『l）A(一,—)0(3,3)

9(5,-3)0(4,0)C'(3,l)4(2。

①补全表格;

②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为

形成概念

我们发现形如（1）中的图象〃上的点和抛物线工上的点关于点A中心对称，则称〃是上的"孔像抛物线例

如，当机=-2时，图2中的抛物线/是抛物线上的“孔像抛物线

探究问题

（2）①当m=-l时，若抛物线乙与它的“孔像抛物线"少的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围

为;

②在同一平面直角坐标系中，当相取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y=f-2加x的所

有“孔像抛物线，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是_（填"了=江+6无+c"或"y=ax2+bx"

或"y="/+c"或“夕="2"，其中°6cw0）；

③若二次函数7=x2-2mx及它的"孔像抛物线"与直线N=m有且只有三个交点，求用的值.

名校模拟

1.（2023•江西赣州•一模）定义：若直线＞=-1与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离

叫做这条抛物线的"反碟长”.如图，已知抛物线右：了=-》2与直线＞=-1相交于p,Q.

⑴抛物线4的“反碟长”尸。=.

⑵抛物线随其顶点沿直线y=；X向上平移，得到抛物线4.

①当抛物线4的顶点平移到点（6,3）,抛物线右的解析式是.抛物线"的“反碟长"是

②若抛物线4的"反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是.（填写所有正确的选项）

A.15B.16C,24D.25

③当抛物线右的顶点A和抛物线右与直线>=-1的两个交点5,。构成一个等边三角形时（点8在点。左

右），求点A的坐标.

题型三新定义型二次函数与其他函数的综合问题

典例精讲：

【例1】（新考法，拓视野）（2024•湖南长沙•三模）对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量x与函

数值V满足：当（X-加）&-"）40时，（y-加）。）40（%，"为实数，且优<"）,我们称这个函数在加一"上

是“民主函数比如：函数y=-x+l在一1->2上是“民主函数理由：,由［x-（-l）］（x-2）V0,得

-l<x<2.x=l-y,:.-l<l-y<2,解得一1V〉V2,.,.［j-（-l）］（y-2）<0,...是"民主函数

⑴反比例函数y=e是2-3上的“民主函数"吗？请判断并说明理由：

X

⑵若一次函数>=履+占在加一"上是"民主函数"，求此函数的解析式（可用含外”的代数式表示）；

⑶若抛物线了="2+乐+。（“>0,。+6>0）在1-3上是“民主函数"，且在1VXV3上的最小值为4°,设抛物

线与直线y=3交于48点，与V轴相交于C点.若“3C的内心为G,外心为试求MG的长.

通关指导

本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内

心的性质等知识，理解新定义，得出抛物线的解析式从而得出的顶点坐标是解题的关键.

【例2】（2023•江苏南通•一模）定义：若函数图象上存在点M（加，哈，M\m+l叼）,且满足%-々=/，

则称，为该函数的“域差值".例如：函数>=2x+3,当％=加时，々=2冽+3；当％=加+1时，

n2=2m+5,n2-n1=2则函数y=2x+3的〃域差值〃为2

4

⑴点"（加，勺），MXm+1,%）在歹=一的图象上，〃域差值",=-4,求冽的值；

x

⑵已知函数y=-2x\x>0）,求证该函数的“域差值"/<-2；

⑶点A（a,b）为函数y=-2/图象上的一点，将函数y=-2x2（x>a）的图象记为跖，将函数y=-2/（》40）的

图象沿直线V=6翻折后的图象记为/当%,%两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值"/VI时，求。

的取值范围.

名校模拟

1.（2023•江苏南通•一模）定义：若函数G1的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数&的

图象上，则称函数G1,G为关联函数，这两个点称为函数G-&的一对关联点.例如，函数y=2x与函数

y=x-3为关联函数，点（1,2）和点（1,-2）是这两个函数的一对关联点.

⑴判断函数y=x+2与函数>是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明

X

理由；

⑵若对于任意实数左，函数y=2x+b与夕=丘+左+5始终为关联函数，求6的值；

⑶若函数y=x?-加X+1与函数y=2x-J（加，"为常数）为关联函数，且只存在一对关联点，求2疗+〃2一6机

的取值范围.

2.（2024•浙江湖州•一模）定义：对于y关于x的函数，函数在网4x4%（占<3）范围内的最大值，记作

〃■[内,々]如函数V=2x,在-14尤43范围内，该函数的最大值是6,即，M[-l,3]=6.

请根据以上信息，完成以下问题：

已知函数y=（a-l）x2-4x+a2-I（a为常数）

⑴若a=2.

①直接写出该函数的表达式，并求/[1,4]的值；

②已知Mp,"1=3,求夕的值.

⑵若该函数的图象经过点(0,0),且=M求4的值.

题型四新定义型二次函数与几何图形的综合问题

典例精讲：

【例1】(新考法，拓视野)(2023•江苏南通•二模)定义：在平面直角坐标系中，点尸(西,必)是图形上的

任意一点，点0(%，力)是图形G2上的任意一点，若存在直线l:y=kx+b(k^0)满足yx<kxx+b§Ly1>kx1+b

(或满足必Ng+b且％4心+6)，则称直线/：>=履+贴*0)是图形G］与&的“界线

例如：直线>=-%+4是函数y=—4(x>0)的图象与抛物线>=-V的一条,，界线〃.

x

已知点2),C(m+4,-2),D(m+4,2).

⑴若加=-2,在直线①y=x+3,②y=r+4,③y=-2x+7中，是函数y=9(x>0)的图象与正方形

x

48co的"界线"的有(填序号)；

⑵若点E的坐标是(0,4),OE的半径为2近,。£与正方形/BCD的"界线"有且只有一条，求"界线"/的函数关

系式；

⑶若存在直线了=2尤+6是函数〉=》2+2彳+3(-24x42)的图象与正方形ABCD的"界线"，求加的取值范围.

通关指导

本题考查二次函数的图象及性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图

象及性质，弄清"界线"的定义与图形之间的关系，数形结合、分类讨论是解题的关键.

【例2】（2024•江苏常州•模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy中，P、。为平面内不重合的两个点，其

中尸（%,％）,。（如卫）.若：xl+y1=x2+y2,则称点0为点尸的"等和点".

⑴如图1,已知点尸（2,1）,求点P在直线y=x+l上"等和点”的坐标；

⑵如图2,。/的半径为1,圆心N坐标为（2,0）.若点尸（0,加）在。/上有且只有一个"等和点"，求他的值;

⑶若函数了=-/+2（尤4能）的图像记为％,将其沿直线"翻折后的图像记为啊.当％,%两部分组成

的图像上恰有点P（0,〃?）的两个"等和点"，请直接写出机的取值范围.

1名校模拟J

1.（2023•江苏扬州•一模）对于二次函数给出如下定义:在平面直角坐标系xQy中，二次函数+,

b,c为常数，且。=0）的图象顶点为P（不与坐标原点重合），以。尸为边构造正方形0PMN,则称正方形

0PMN为二次函数了=ax2+bx+c的关联正方形，称二次函数了=ax2+6尤+c为正方形OPMN的关联二次函

数.若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点.

⑴如图，直接写出二次函数＞=。+以-2的关联正方形OPMN顶点N的坐标并验证点N是否为伴随点

—（填"是"或"否"）：

⑵当二次函数y=-X?+4x+c的关联正方形OPMN的顶点P与N位于无轴的两侧时，请解答下列问题：

①若关联正方形0P儿W的顶点V、N在x轴的异侧时，求c的取值范围：

②当关联正方形OP儿W的顶点W是伴随点时，求关联函数y=-f+4x+c的解析式；

③关联正方形。尸儿W被二次函数y=-/+4x+c图象的对称轴分成的两部分的面积分别为H与邑，若

邑，请直接写出。的取值范围.

2.（2024•江西九江•一模）定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线＞=ax-“为抛物线了=办2+瓜+。

的"衍生直线如图1,抛物线了=-尤2+岳；+。与其"衍生直线"交于/,&两点（点8在x轴上，点N在点3

⑴求抛物线和"衍生直线”的表达式及点N的坐标；

2

⑵如图2，抛物线y^-x+bx+c的"衍生直线”与j