2025年中考数学一轮复习：圆 专项训练（含答案）

2025年中考数学一轮复习圆最新模拟题专题训练

2024年最新模拟题一圆专题训练

1.如图，为口。的直径，半径口。的切线CE交A8的延长线于点E,口。的弦CD与A8相交于点

F.(1)求证：EB=EC；(2)若OE=10,且3为EE的中点，求□O的半径长.

BE

2.如图，AACO内接于口O,C。为直径，射线OE_LAC于点E,交口。于点尸，过点A作口O的切线交射线。石

于点2.(1)当/8=25。时，求ZD的度数；(2)当AD=2,——=■!■时，求3尸的长.

EF2

3.如图，是口。的直径，C,。是口。上异于A,8的两点，S.ZABD=2ZBAC,过点C作CEJ.3。交。B的

延长线于点尸，交的延长线于点E,连接BC.

(1)求证：CE是口。的切线；(2)若AB=1。，BF=2,求BE的长.

D

4.已知48为□。的直径，C为口。上一点，A。和过点C的切线互相垂直，垂足为O,AO交口。于点E.

(1)如图①，求证：AC平分ND4B；

(2)如图②，过8作8尸//A£＞交口0于点F,连接CF,若AC=4括，DC=4,求CE的长.

5.如图，A8是口。的直径，C,。都是□。上的点，AO平分NCAB,过点。作AC的垂线交AC的延长线于点

E,交AB的延长线于点尸.

(1)求证：EF是口。的切线；(2)若AB=10,AC=6,求CE的值.

6.如图，□。是AA8C的外接圆，直径AB的长为6,过点C的切线交A3的延长线于点。，连接。C.

(1)若/。=30。，求AO的长；(2)若NA=30。，求证：AC=DC.

7.如图，AB为口。的直径，弦CA与A8交于点E,连接AC、BD,ZC=75°,ZD=45。.

(1)求/AEC的度数；(2)若AC=2娓,求CD的长.

D\/E

8.如图，点8为圆O外一点，过点8作圆。的切线，切点为A,点P为OB上一点，连接AP并延长交圆。于点C,

连接0C,若08与。C垂直.

(1)求证：=；(2)若03=10,圆O的半径为8,求AP的长.

9.如图，AABC为口。的内接三角形，且48为□。的直径，OE与口。相切于点。，交A2的延长线于点连

接。。交3c于点f，连接A。、CD,NE=NADC.

(1)求证：AD平分N8AC；⑵若CF=2DF,AC=8,求口。的半径r.

E

10.如图，已知□。是RtAABC的外接圆，点。是RtAABC的内心，8。的延长线与□O相交于点E,过E作直线

1//AC.(1)求证：/是口。的切线；(2)连接CE,若AB=3,AC=4,求CEr的长.

11.如图，A4BC是□O内接三角形，AC是口。的直径，点E是弦。8上一点，连接CE,CD.

(1)若NDCA=NECB,求证：CELDB-,(2)在(1)的条件下，若AB=6,DE=5,求sin/DBC.

12.如图，A8为口。的直径，点C是口。上一点，过点C的直线交48的延长线于点M.作ADLMC,垂足为点

D,已知AC平分NMAD.(1)求证：MC是口。的切线；(2)若=,MC=4,求口。的半径.

D

13.如图，等腰A4BC内接于口0,AC=BC,直径AB=2血，。是圆上一动点，连接A。，CD,BD,CD交AB

于点G.(1)求证：ADAC=ZAGC；(2)若AD=C。，求AACD的面积.

14.如图，RtAABC的直角顶点C在口。上，口。与斜边AB相切于点E,口。交边AC于点。、交BC于点F,

连接EF,ED,且EF//AC.

(1)求证：四边形CDE尸为矩形；(2)若CD=2,ABAC=30°,求AE的长.

15.如图，已知四边形ABC。内接于口O,直径AC与8。交于E点，8。平分NADC.

(1)若AD=8O,求证：DC=DE；(2)若处=*,求处的值.

CD2AC

16.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，点。在AB上，且AC=A£>,0c=8,弧8C的度数是60。.

(1)求线段OD的长；(2)求图中阴影部分的面积(结果保留根号和万).

17.如图，0A和02是口。的半径，OA_LOB,点尸在OA上，连接8尸并延长交口O于点C,过C作NOCP=NDPC

交。4的延长线于点

(1)求证：DC是口。的切线；(2)若OP=PC,口。的半径。4=6，求的长.

C

18.如图，四边形ABC。内接于□O,AC是□。的直径，AB=BC,延长到点E,使得BE=BD.

(1)若AF平分NC4。，求证：8A=8尸；(2)试探究线段4。，C。与8。之间的数量关系.

19.如图1,4?为口。的直径，BC为弦,过圆心。作OD1.BC于。，点E为A8延长线上一点，CE1是口。的切

线.(1)求证：ZBCE=ZBOD；

(2)如图2,取弧AC的中点尸，连接OP,AP,若AB=13,BC=5,求弦PA的长.

图2

20.如图，在口O中，直径为,正方形A8CD的四个顶点分别在半径OM、OP以及口。上，并且NPOM=45。.

(1)若AB=2,求的长度；(2)若半径是5,求正方形ABCO的边长.

22.如图，AB为口。的直径，E为的延长线上一点，过点E作口。的切线，切点为点C,连接AC、BC,过

点A作A。_!EC交EC延长线于点D.

(1)求证：ZBCE=ZDAC.(2)若BE=2,CE=4,求的长.

21.【问题提出】如图1,为口0的一条弦，点C在弦A3所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道NACB

的度数不变.爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段A8的长度已知，NACB的大小确定，那么点C是不是在某个

确定的圆上运动呢？

【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究.如图2,若AB=4,线段A8上方一点C满

足NAC8=45。，为了画出点C所在的圆，小芳以AB为底边构造了一个RtAAOB,再以点。为圆心，04为半径画

圆，则点C在口。上.后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论.即:若线段A8的长度已知，NACB

的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型.

【模型应用】

(1)若AB=6,平面内一点C满足/AC8=60。，若点C所在圆的圆心为。，则NAO8=_120。劣弧AB的长

为.

(2)如图3,已知正方形A8C。以为腰向正方形内部作等腰AA8E,其中=,过点E作EF_LAB于点尸，

若点P是AAEP的内心.

①求/BPE的度数；②连接CP,若正方形ABCZ＞的边长为4,求C尸的最小值.

c

DC

FB

图1图2图3

23.如图1,已知A3是半圆。的直径，BC是半圆。的切线，0C平行于弦AO.

(1)连接8。，若BD=BC,求NC的度数；

(2)如图2,过。作于E,连接AC与DE交于点尸，求证：PD=PE.

0

81

24.如图，四边形ABC。内接于口。，对角线AC是口。的直径，CE与口。相切于点C,连接交AC于点尸.

(1)求证：ZDCE=ZDBC；(2)若CE=#,AD=4,求tan/ABZ>的值.

25.如图，AABC中，NAC2=90。，点O在边BC上，以点。为圆心，为半径的口。交AB于。，交BC于E,

若Cr>=CA.（1）求证：CD为口。的切线；（2）若AC=3,BC=6V2,求2。的长.

26.如图，在AABC中，ZB=60°,以为直径的圆与8c边交于点。，过点。作。E_LAC,垂足为点E,且。E

是口。的切线.

（1）求证：AA8C为等边三角形；（2）过点E作垂足为点F,连接.若48=2,求EF的长.

27.如图，AA8C内接于半圆O,A8为直径，NA2C的平分线交AC于点/，交半圆。于点。，。£，48于点£,

且交AC于点P,连接A。，求证：（1）NCAD=NAB。；（2）点尸是线段A尸的中点.

D

A

EOB

28.如图，已知AB为□。的直径，过□O上点C的切线交A8的延长线于点E,A3J_EC于点。.且交口O于点

F,连接8C,CF,AC.(1)求证：BC=CF■,(2)若AO=3,DE=4,求BE的长.

29.如图，在A4BC中，AB=AC,以AB为直径作□。交2C于点。.过点。作DE_LAC,垂足为E,延长C4

交口。于点尸.(1)求证：DE是□。的切线；(2)若tanB=，,□。的半径为5,求线段CB的长.

2

30.如图，A8是口。的直径，C是耳。的中点，。£_148于点£,BD交CE于点F.

(1)求证：CF=BF；⑵若BE=OE=2,求弧AO的长度.

31.如图，在口。中，点C是直径AB延长线上的一点，点D是直径AB上方圆上的一点，连接CD，使得ZA=NBDC.

(1)求证：CD是口。的切线；

(2)若CE平分,且分别交A。，BD于点、E,F,当。E=2时，求所的长;

(3)若BD=2,AD=4,求8c的长.

33.如图，点。在的平分线上，口O与尸4相切于点C.

(1)判断尸8与口。的位置关系，并说明理由；

(2)尸。的延长线与□O交于点E.若口。的半径为3,PC=4.求弦CE的长.

34.如图，□。的直径AB垂直于弦C。，垂足为E,AE=2,CD=8.

(1)求口。的半径长；(2)连接BC,作。P_LBC于点B,求。尸的长.

D

35.已知口O中，AB是直径，AC是弦，ABAC=32°.

（1）如图1,连接BC,求NABC的度数；（2）如图2,过点C作弦CD_LAB,X为垂足，求480。的度数.

36.如图，点。在□O的直径A8的延长线上，点C在□O上，AC平分ND4E,4片_18于点£：.

（1）求证：C。是口。的切线.（2）是口。的切线，尸为切点，若80=2,ZADE=30°,求以尸的长.

37.如图，AB是圆。的直径，C,。是圆上的点（在A3同侧），过点D的圆的切线交直线A2于点E.

（1）若A8=2,BC=1,求AC的长；（2）若四边形ACDE是平行四边形，证明：8。平分/A8C.

38.如图，在口。中，点C是直径AB延长线上的一点，点D是直径AB上方圆上的一点，连接CD，使得ZA=NBDC.

(1)求证：C£＞是口。的切线；(2)若CE平分ZACD,且分别交AD,8。于点E,F,当。E=2时，求EF的

长.

39.如图，为口。的直径，AC是口。的一条弦，。为弧8c的中点，过点。作。ELAC,垂足为AC的延长

线上的点E.连接ZM、DB.

(/)求证：OE是口。的切线；(2)延长即交的延长线于尸，若=DE=6,求口。的半径.

40.如图，AB是□O的直径，点C为口。上一点，连接AC,CN与口。相切，OM±AB,分别交AC,CN于

点。，M.(1)试猜想线段与MC的数量关系，并说明理由；(2)连接8C,若AC=6,ZB=60°,求弧AC

的长.

41.如图，AABC内接于口。，AB,C£＞是口。的直径，E是。3延长线上一点，1.ZDEC=ZABC.

(1)求证：CE是口。的切线；(2)若OE=4括，AC=2BC,求线段CE的长.

42.如图，以BC为底的等腰AA8C的三个顶点都在口。上，过点A作AO//8C交20的反向延长线于点。.

(1)求证：AO是口。的切线.(2)若四边形ADBC是平行四边形，且BC=12,求□。的半径.

43.如图，点E是AA8C的内心，AE的延长线和AA2C的外接圆口。相交于点。，与弦BC交于点尸.

(1)求证：DB=DE.⑵若DF=3,AF=5,求AE的长.

A

0-

'B

44.RtAABC中，ZC=90°,。为AB上一点，以O为□心，OA为半径的口与8c相切于点。.

(1)求证：AD平分/BAC；(2)连接。E,若AB=2BD,求cos/CDE的值.

45.如图，AB是口。的直径.四边形ABCO内接于□。，AD=CD,对角线AC与8。交于点E,在BD的延长

线上取一点F,使DF=DE,连接AF.

(1)求证：AF是口。的切线.(2)若AD=5,AC=8,求口。的半径.

46.如图，AB为口。的直径，C为BA延长线上一点，C。是口。的切线，。为切点，。尸，A。于点E,交CD于

点尸.(1)求证：ZADC=ZAOF；(2)若sin。=一，BD=8,求EF的长.

3

CA\~0JB

47.如图，在AABC中，。是内心，点E,歹都在大边上，已知3/=氏4,CE=CA.

(1)求证：。是AAEF的外心；(2)若NB=40。，ZC=30°,求:NEOE的大小.

BEr。

48.问题提出：如图1,在RtAABC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,口C半径为2,尸为圆上一动点，连接AP、

BP,求的最小值.

2

(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2,,连接CP,在C8上取点。，使CD=1,则

CDCP1PD1

有——=——二—,又/PCD=/BCP,APCD^ABCP.——=—,:.PD=-BP,AP+-BP=AP+PD.

CPCB2BP222

请你完成余下的思考，并直接写出答案：尸的最小值为百

AP+1B7_.

2一

(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下,—AP+B尸的最小值为.

3

(3)拓展延伸：已知扇形CO。中，ZCOD=90°,OC=6,OA=3,03=5,点尸是加上一点，求2PA+P5的

最小值.

餐基捻

图1图2图3

2024年最新模拟题一圆专题训练

1.如图，A8为口。的直径，半径OD_LAB,□O的切线CE1交AB的延长线于点E,口O的弦。与A8相交于点

F.(1)求证：£F=EC；(2)若OE=10,且2为斯的中点，求口。的半径长.

【解答】(1)证明：连接。C,^.•口O的切线CE交A8的延长线于点E,.^.OCJ.CE,.^.N。CE=90。，即

NOCF+ZECF=90°,OC=OD,ZOCF=ZODF,OD±AB,ZDOF=90°,ZODF+ZOFD=90°,

ZECF=ZOFD,•••ZOFD=ZEFC,ZECF=ZEFC,EF=EC；(2)解：设□O的半径为r,贝!JOB=OC=r,

OE=10,2为E尸的中点，:.BE=BF=lQ-r,EC=EF=2Q-2r,在RtAOCE中，OC2+CE2=OE2,

：.r2+(20-2r)2-102,解得r=6或r=10(舍去)，.①。的半径长为6.

2.如图，AACD内接于口0,C。为直径，射线OELAC于点E,交口0于点F,过点A作口O的切线交射线OE

CF1

于点3.(1)当48=25。时，求/D的度数；(2)当A0=2,——=—时，求8厂的长.

EF2

【解答】解：(1)连接。A,如图，•.•。。为直径，「./。4。=90。..♦./。+/。=90。，:A5为口O的切线，。4_LA5,

...ZAOB+N5=90°,•・•ZB=25°，.二ZAOB=65°.丁OE1AC,ZOAC+ZAOB=90°,/.ZOAC=25°,OA=OC,

OF1

ZC=ZOAC=25°.ZD=90°-ZC=65°；(2)•.­—=-,.•.设OE=a,贝ijE尸=2a,OF=OE+EF=3a.

EF2

•.•OE_LOC,—EC.•.•OD=OC,.1OE为ACZM的中位线，.•.A£)=2OE=2a,AD=2,:.a=l.OE=1,

OA=OF=3.OALAB,AELOB,/.AOAE^AOBA,,/.-=—,

OEOA13

OB=9.BF=OB-OF=9-3=6.

3.如图，AB是口。的直径，C,。是口。上异于A,2的两点，MZABD=2ZBAC,过点C作CE_L8D交DB的

延长线于点/，交A8的延长线于点E,连接3c.

(1)求证：CE是口O的切线；(2)若AB=10,BF=2,求BE的长.

F

［解答］(1W：连接OC,如图，•••OA=OC,ZOAC=ZOCA,ZBOC=ZA+ZOCA=2ZOAC，:ZABD=2.ZBAC,

ZABD=ZBOC,OC//BD,"CE1BD,OC±CE,CE■为□O的切线；(2)解：vAB=10,BF=2,

.-.OB=OC=5,■：BE//OC,A-=BE,:.BE=—,故BE的长为W.

OCOE5BE+533

4.已知AB为口。的直径，C为口。上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为。，AO交口。于点E.

(1)如图①，求证：AC平分ND4B；

(2)如图②，过3作B尸//AD交口。于点尸，连接C尸，若AC=4百，DC=4,求CE的长.

【解答】(1)证明：连接。C,如图①，•.•(?£)是口O的切线，.•.OCLCD,AD±CD,:.OC//AD,ZDAC=ZACO,

■：OA=OC,ZOAC=ZOCA,ZDAC=ZCAO,ACZDAB；(2)解：连接CE,CB,如图②，在RtAACD

中，AC=445,DC=4,：.AD-sjAC2-CD2=8,•.•四边形ABCE1是口。的内接四边形，NABC+NAEC=180。，

又/DEC+NAEC=180。，ZDEC=ZABC,「AB为口。的直径，ZACB=90°,ZCAB+ZABC=90°,

5LAD1CD,NADC=90°,ZDAC+ZACD=90。，又ZDAC=ZCAO,ZACD=ZABC,ZDEC=ZACD,

ACAD4，/52—

XZADC=ZCDE,\ACD^\CED,—=—,即^-=一，解得CE=2遥.

CECDCE4

5.如图，AB是□。的直径，C,。都是口。上的点，平分NCA8,过点。作AC的垂线交AC的延长线于点

E,交的延长线于点

【解答】（1）证明：如图1,连接。D,•.,AD平分NCAB,ZOAD=ZEAD,/OD=OA,ZODA=ZOAD,

.•.NODA=NEAD,OO//AE,=/=90。且。在□O上，.IEF是□O的切线；（2）连接BC,交OD

于H,•.•AB是口。的直径，:.ZACB=90°,-：AB=IQ,AC=6,BC^ylAB2-AC2=A/102-62-8,

•••ZE=ZACB=90°,BC//EF,ZOHB=ZODF=90°,:.OD1BC,:.CH=-BC=4,CH=BH,OA=OB,

2

:.OH=-AC=3,:.DH=5-3=2,•.­ZE=ZHCE=ZEDH=90°,，四边形ECffl）是矩形，:.ED=CH=4,

2

CE=DH=2.

6.如图，□。是AABC的外接圆，直径A8的长为6,过点C的切线交A8的延长线于点。，连接OC.

（1）若/D=30。，求的长；（2）若/A=30。，求证：AC=DC.

【解答】（1）解：：直径AB的长为6,。4=OC=3,C£>为□O的切线，OCVCD,ZOCD=90°,:ND=30°,

OD=2OC=6,r.AO=OA+OD=3+6=9；（2）证明：:OA=OC,ZOCA=ZA=30°,

ZACD=ZOCA+ZOCD=120°,­.•ZD=1800-ZA-ZACD=180°-30°-120°=30°,ZA=Z£>,AC=DC.

1.如图，AB为口。的直径，弦CD与AB交于点E,连接AC、BD,ZC=75°,40=45。.

(1)求NAEC的度数；(2)若AC=2a,求CO的长.

【解答】解：（1）•••ZD=45°,ZA=ZD=45°,•rNC=75。，在\AEC中，

ZAEC=180°-ZA-ZC=180°-45°-75°=60°.（2）过点O作。尸_LCD于点B,连接OC,•.•44=45。，

ZBOC=2ZA=90°,ZAEC=60°,.•.在AOEC中，ZOCE=180°-ZBOC-ZAEC=30°,;NACE=75°,

r.NACO=75。-30。=45。，-.OA=OC,ZAOC=90°,­.-AC=2屈，/.在RtAAOC中

OC=AC-cosZACO=276COS45°=273,.•.在RtAOFC中，CF=OC-cosZOCF=273cos30°=3,/OFLCD,

:.CD=2CF=6.

8.如图，点8为圆O外一点，过点8作圆。的切线，切点为A,点P为OB上一点，连接AP并延长交圆。于点C,

连接OC,若与。C垂直.

(1)求证：=；(2)若08=10,圆。的半径为8,求AP的长.

【解答】(1)证明：-：OBX.OC,ZPOC=90°,AZC+NCPO=90°,­.•OC=OA,ZC=ZOAC,

:.ZOAC+ZCPO=9Q0,ZBPA=ZCPO,ZOAC+ZBPA=9Q°,:BA与圆切于A,r.半径OA_LAB,

ZOAC+ZBAP=90°,ZBAP=ZBPA,AB=PB；(2)解：作尸于H,/AB=PB,AP=2PH,

•.•08=10,圆O的半径为8,AB=yiOB--O^=A/102-82=6,/.BP=AB=6,OP=OB-PB=10-6=4,

PC=yJOP2+CO2=V42+82=475,vZBHP=ZCOP,ZBPH=ZCPO,NBPH^\CPO,PH:PO=BP:CP,

PH:4=6:475,PH=—,:.AP=2.PH=^^,尸的长是05.

555

9.如图，AABC为口。的内接三角形，且为口。的直径，OE与口O相切于点。，交A8的延长线于点E,连

接。。交BC于点/，连接A。、CD,NE=NADC.

(1)求证：AD平分/BAC；⑵若CF=2DF,AC=8,求口。的半径r.

【解答】(1)证明：由圆周角定理得：ZABC=ZADC,:NE=NADC,ZABC=ZADC,BC//DE,

■：OE与口O相切于点D,ODLDE,ODVBC,耳。=①，/.ABAD=ACAD,AD平分ABAC；

(2)解：ODA.BC,BF=FC,­：BO=OA,OF=1AC=4,:.DF=r-4,BF=CF=2DF=2(r-4),

在RtABOF中，OB?=OF?+BF?,即/=4?+(2厂_8>,解得：r{=y,r2=4(舍去)，答：口。的半径r为弓.

10.如图，已知□。是RtAABC的外接圆，点。是RtAABC的内心，2。的延长线与口。相交于点E,过E作直线

1//AC.

(1)求证：/是口。的切线；(2)连接CE,若AB=3,AC=4,求CE的长.

【解答】（1）证明：连接。E,•.•点。是RtAABC的内心,ZABE=NCBE,OB=OE,NEBC=ZOEB,

:.NABE=NOEB,AB//OE,ABAC=ZOGC=90°,-：l//AC,OE11,为半径，是口0的切线；

（2）解：在RtAABC中，由勾股定理得，BC=732+42=5,OC=-,-.-OGLAC,:.CG=-AC=2,OG=-AB=~,

2222

:.EG=---=1,在RtACEG中，由勾股定理得，CE=〈EG，+CG，=正+2?=后.

22

11.如图，AABC是□O内接三角形，AC是□O的直径，点E是弦。2上一点，连接CE,CD.

（1）若NDCA=NECB,求证：CEX.DB-,（2）在（1）的条件下，若AB=6,DE=5,求sinNDBC.

【解答】（1）证明：连接A。，TAC是口。的直径，ZADC=90°,ZDAC+ZACD=90°,:/DCA=NECB,

NC4O=NC2。，.•.NBCE+NCBE=90°,.•.NBEC=90。，.•.CEJ.BDNZ）解：•.•AC是口。的直径，.•.NA3C=90。,

DFCF

・・•CE工BD,NCED=90。，：.NCED=/ABC,=:.\ABC^\DEC,——=——,•/AB=6,DE=5,

ABBC

sinZDBC=—DE5

BCAB6

12.如图，A2为口。的直径，点C是口。上一点，过点C的直线交A8的延长线于点作ADLMC,垂足为点

D,已知AC平分NK4O.

（1）求证：A/C是口O的切线；（2）若A8=8M,MC=4,求口。的半径.

【解答】（1）证明：:AD1MC,ZD=90°,•・•OA=OC,/OCA=ZOAC，丁AC平分NMAD，.二ZDAC=ZOAC,

AZOCA=ZDAC,/.OC//DA,ZD=ZOCM=90°,TOC是□。的半径，厂.MC是□。的切线；（2）解：设

OA=OB=OC=r.­：BM=AB=2r,OM=3r,■：ZMCO=90°,CM2+OC2=OM2,:A6+r2=9r2,

:.r=41(负根已经舍去)，二口。的半径为力.

13.如图，等腰AABC内接于口0,AC=BC,直径AB=2&,。是圆上一动点，连接A。，CD,BD,CD交AB

于点G.(1)求证：ZDAC=ZAGC；(2)若AD=C。，求AACO的面积.

【解答】(1)证明：由图可得：ZAGC=ZABC+ZBCD,ZDAC=ZCAB+ZBAD,-：AC=BC,ZCAB=ZABC,

ZBCD=ZBAD,ZDAC=ZAGC.(2)解：如图，连接OD并延长交AC于点E,直径AB=272,在RtAACB

中由勾股定理得：AC'+BC1=(2V2)2,AC=2,AD=CD,Ho=fe,z.DE1AC,AE^l,vAC=BC,

AACB是等腰直角三角形，ZCAB=45°,OE=AE=1,­.•OD=OA=42,DE=OE+OD=1+41，

s=-xACxD£=-x2x(l+V2)=l+V2,即AACD的面积是1+0.

22'，

14.如图，RtAABC的直角顶点C在口。上，口O与斜边AB相切于点E,口。交边AC于点。、交BC于点F,

连接所，ED,且斯//AC.

(1)求证：四边形CDEF为矩形；(2)若CO=2,ABAC=30°,求AE的长.

【解答】(1)证明：如图，连接CE,•••NAC8=90。，EF//AC,ZCFE=90°,:.CE^UO/.ZCDE=90°,

四边形C£>EP为矩形.(2)解：；AB是口O的切线，CE是口O的直径，；.CEJ.AB,即NAEC=90。，又；NA=30。，

rr\CD

NACE=90°-NA=6。°,在RtACDE中，ZACE=6。°,CO=2,:cosNACE=—，:.CE=---------=4,在RtAAEC

CEcos60°

中，vtanZACE=—,AE=CE-tan60°=4V3.

CE

15.如图，已知四边形A8CD内接于□O,直径AC与3。交于E点，8。平分NADC.

(1)若AD=BD,求证：DC=DE；(2)若迎=3,求四的值.

CD2AC

BB

/DAE=ZDBC

【解答】(1)证明：•••3。平分ZADCZADB=ZCDB,在MED和\BCD中，\AD=BD

/ADE=ZBDC

\AEDABCD(ASA),:.DE=DC；(2)解：过5点作5尸_L30交D4的延长线于点尸.如图，:AC为口。的

直径，:.ZADC=ZBAC=90°,•/BDZADC,ZADB=ZACB=45°,AA5C和AB/Z)都为等腰直角三角

BF=BD

形，BD=BF,AB=BC,•/ZFBD=ZABC=90°,/.ZFBA=ZDBC,在AA8尸和AC3。中，JZFBA=ZDBC,

BA=BC

4ns

AABF=ACBD(SAS),CD=AF,v—=—,设CD=2k,AD=5k,DF=Ik,在RtAADC中，

CD2

772

AC=Jen?+AD?=J(2女尸+(5%)2=牺k,在RtABDF中，BD=—DF=,...处=_^=拽1.

、22AC区k58

16.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，点。在AB上，且AC=AZ>,0c=8,弧8C的度数是60。.

(1)求线段OD的长；(2)求图中阴影部分的面积(结果保留根号和万).

【解答】解：(1)过C作CE_LAD于E,•.•弧BC的度数是60。，ZBOC=60°,XOA=OC,/.ZOAC=ZOCA=30°,

OC=8,OE=4CE=782-42=4A/3,AC=86,-：AD=AC=873,OA=OC=8,

60

OD=AD-OA=S43-S；(2)=S^BOC-SWCD=-1x(873-8)x473=^-48+1673.

17.如图，OA和OB是口。的半径，OALOB,点尸在OA上，连接8尸并延长交口O于点C,过C作NOCP=NDPC

交OA的延长线于点D.

(1)求证：DC是口。的切线；(2)若。尸=PC,口。的半径。4=6，求8P的长.

［解答］(1)证明：连接0C,贝1JOC=OB,ZOCB=ZB,vZDCP=ZDPC,ZBPO=ZDPC,ZDCP=ZBPO,

OA1OB,ZBOA=90°,ZOCD=ZOCB+ZDCP=ZB+ZBPO=90°,;OC是口O的半径，且DC_LOC,

.1•DC是口。的切线.(2)解：:OP=PC,:.NPOC=NOCB=NB,ZBPO=ZPOC+ZOCB=2ZB,

■：ZBPO+ZB=90°,2NB+ZB=90°，,ZB=30°,—=cosB=cos30°=—,:.OB=OA=yf3,

BP2BP2

.­.BP=2,.1B尸的长是2.

18.如图，四边形ABC。内接于口。，AC是口。的直径，AB=BC,延长ZM到点E,使得BE=2。.

(1)若AF平分NCAO,求证：8A=8