2025年中考数学一轮复习：二次函数的新定义问题VIP

二次期数的新定义题型

2

1.定义：如果代数式A=Q逆2+biX+5（&W0,Qi，瓦,Ci是常数）与B=a2x-\-b2x+c2（a20,。2,匕2,。2是

常数），满足出=。2，仇+匕2=0，5=S，贝1J称这两个代数式人与8互为“同构式”，下列四个结论:①代数

式2d+力—3的“同构式”为2力2—x—3；②若代数式2nz比2+侬+5与6nx2+36+5互为“同构式”，则

山十九=6；③若A、B互为“同构式”，且方程/+B=0有两个不相等的实数根，则QiC］＞0；④若A、B

互为“同构式"，"4=/2—2%+8,函数g=|A—2B|的图象与直线y=m宿4个交点，则0＜小＜1.其

中，正确的结论有（）个.

A.4B.3C.2D.1

2

【解答】解:①代数式2/+力—3的“同构式”为2力之—%—3,故①正确；②若代数式2nu：2+nx+5与6nrr4-3劣

+5互为“同构式”，则12馆：6;，解得恒=一以九=一3,...m+九=一12,故②不正确；③若4B互为“同构

式”，则4+8=2QR2+2q,,・•4+B=0有两个不相等的实数根，.・・一4・2ax・2cA0，，-16QR＞0,

・・・Qi5V0,故③不正确；④互为“同构式"，人="一2勿+8,则石="+2/+8,・・.函数|4-28=|

222

—x—6a;—8|,Vy=—x—Gx—8=—（T+3）+1,顶点为（—3,1），,函数y=\A-2B\的图象与直线g=

772有4个交点，则0VmV1.故④不正确.故选：。.

2.新定义：［Q,b］为一次函数g=QN+b（QW0,Q,b为实数）的“关联数”.若“关联数”为［3,馆—2］的一

次函数是正比例函数，则点（1—馆,1+馆）在第象限.

【解答】解：•・,“关联数”为［3,m-2］的一次函数是正比例函数，.・.g=3/+小一2是正比例函数，

m—2=0,解得：m=2,则1—m=—1,1+m=3,故点（1—Tn,1+m）在第二象限.故答案为：二.

3.新定义：［a,b,c］为二次函数q=a62+b力+c（aW0,a,b,c为实数）的“图象数"，如：^=4—2/+3的

“图象数”为［1,-2,3］,若“图象数”是［m,2m+4,2m+4］的二次函数的图象与力轴只有一个交点，

则m的值为（）

A.-2B.4-C.-2或2D.2

4

【解答】解：二次函数的解析式为g=mx2+（2m+4）c+2m+4,根据题意得△=（2m+4）2—4m（2m+4）=

0,

解得mi=—2,m2=2,故选：C.

4.如果二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为：4="+收+q,我们称［p,q］为此函数的“特

征数”，如二次函数2/="+2必+3的特征数为［2,3］.

（1）若一个函数的特征数为［-2,1］,该函数图象的顶点坐标为.

（2）探究以下问题：

①若一个函数的特征数为［4,-1］,将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到

的图象对应函数的特征数.

②若一个函数的特征数为［2,3］,将此函数的图象经过的怎样平移，才能使得到的图象对应函数的特征

数为［3,4］?

【解答】解：（1）由题意可得出：y=/一2,+1=（①一1），此函数图象的顶点坐标为：（1,0）.故答案为：（1,

0).(2)①由题意可得出：g=〃+4/-1=(%+2)2-5,・,・将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平

移1个单位后得到：g=(2+2—I)?-5+1=(力+I/-4=〃+2/—3,二图象对应的函数的特征数为：［2,

-3］;(2)V一个函数的特征数为［2,3］,/.函数解析式为：="+2/+3=(/+1>+2.,/一个函数的特征

数为［3,4］,函数解析式为：g=〃+3力+4=(6+卷?+子..,•原函数的图象向左平移-j-个单位，再向

下平移十个单位得到.

5.定义［a,b,c］为函数,=(2d+版+。的特征数，下面给出特征数为［m-1,nz+1,-2m］的函数的一

些结论，其中不正确的是()

A.当m=2时，函数图象的顶点坐标为(—!■,—?)

B.当m>1时，函数图象截①轴所得的线段长大于3

C.当771<0时，函数在力〈:时，9随C的增大而增大

D.不论7n取何值，函数图象经过两个定点

【解答】解：因为函数。=ax2-\-bx-\-c的特征数为—1,m+1,—2m］;4、当？72=2时，9=/2+3力一4二

(力+1)—，顶点坐标是(一，—?■卜此结论正确；_8、当？?2>1时，令g=0,有(m—l)x2+(1+rri)x—

2m=0,解得，/i=1,力2=2n1］,\x—Xi\=7n>3,所以当馆>1时，函数图象截x轴所得的线段长

m—123m—1

度大于3,此结论正确；。、当mV0时，夕=(m-1)62+(1+m)x—2m是一•个开口向下的抛物线，其对称轴

是：x-...7+1，在对称轴的左边g随力的增大而增大，因为当nzVO时，7”=—乌一_L

2(馆一1)2(m-l)2(m-l)2

----^―->―1，即对称轴在x=-E右边，可能大于4■，所以在力>《时，g随力的增大而减小，此结论错

m—12222

误；D、因为g=(m—1)/+(1+m)x—2m=0即("+力一2)m—d+/=0,当/？+%—2=0时，6=1或

一2,・••抛物线经过定点(1,0)或(一2,—6),此结论正确，故选：C.

6.定义［a,b,c］为函数g=be+c的特征数，下面给出特征数为［2m,1-m,-1-m］的函数的一

些结论，其中不正确的是()

A.当m=—3时，函数图象的顶点坐标是(„

B.当TH>0时，函数图象截①轴所得的线段长度大于V

C.当MW0时，函数图象经过同一个点

D.当mVO时，函数在力>4时，g随力的增大而减小

4

【解答】解：因为函数g=ax2-\-bx-\-c的特征数为［2m,1—m,—1—m］;人、当m=-3时，y=—6x2+46+2

=-6,—J)+标，顶点坐标是，卷)；此结论正确；反当小>0时,令沙=0,有2m62+(1—m)x+(―1—

m)=0,解得：的=1,x2——■—［一,\x2—x^=■，所以当m>0时，函数图象截x轴所得的线

22m22m2

段长度大于,此结论正确；C、当力=1时，g=2mx2+(1—m)x+(―1—m)=2m+(1—m)+(—1—m)=，

0即对任意?n,函数图象都经过点(1,0),函数图象经过力轴上一•个定点此结论正确._D、当nzVO时，g=

2mx2+(1—m)x+(―1—m)是一^个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x————,在对称轴的右边y随

4m

_________0

力的增大而减小.因为当mV0时，坐——=3----，即对称轴在力=右边，因此函数在力二右

边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误;根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的.故选：ZZ

7.对于一个函数，自变量/取Q时，函数值g也等于Q,则称Q是这个函数的不动点.已知二次函数g=d

+3x+m.

(1)若2是此函数的不动点，则m的值为.

(2)若此函数有两个相异的不动点Q、b,且QV1Vb,则馆的取值范围为.

【解答】解：(1)若2是此函数的不动点，则抛物线经过(2,2),将(2,2)代入g=/+3力+小得2=4+6+m,

解得7n=—8,故答案为：一8.(2)V(a,a),(b,b)在直线g=力上，令/2+3劣+771=/，整理得炉+2x+m=0,

函数有2个不动点，.，・△=2之一4m>0,解得mVl,设g="+26+nz,*.*a<1<b,——3+m

<0,

解得771V—3,故答案为：772V—3.

8.定义:两个二次项系数之和为1,对称轴相同，且图象与g轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函

数.例如：y=2x2+4：x—5的友好同轴二次函数为9=一为2—26一5.

(1)函数g=[炉—2/+3的友好同轴二次函数为.

(2)当—1&/<4时，函数g=(1—a)为2—2(1—Q)N+3(QW0且aW1)的友好同轴二次函数有最大值为

5,求a的值.

(3)已知点(m,q)分别在二次函数%=。炉+4Q6+C(Q>方且aW1)及其友好同轴二次函数统

的图象上，比较的大小，并说明理由.

【解答】解：⑴•••沙=占/—2力+3中a=：,对称轴为直线力=----=4,c=3,，g=4■力之—2力+3的友

442X14

好同轴二次函数中a=~|■，对称轴为直线力=4,c=4,I.g=1■/—6/+3,故答案为：y=-^x2—6x-\-3;

22

(2)Vg=(1—a)x—2(1—a)x+3的对称轴为直线x=l9函数g=(1—a)x—2(1—a)x+3的友好同轴二

次函数为y—ax2—2ax+3=a(x—l)2—a+3,/.其顶点坐标为(1,—a+3),当aV0,函数最大值为一a+3

=5,解得a=-2;当a>0时，抛物线开口向上，:1—(―1)V4—1,・••力=4时，g=16a—8a+3=8a+3为

最大值，

8a+3=5,解得a=[;综上所述：a的值为一2或，；⑶由%=ax2+4：ax+c(a>且QW1)可得其友

好同轴二次函数加二(1—a)x2+4(1—a)x+c,:抛物线阴，改与g轴交于点(0,c)且对称轴为直线x=—2,

/.抛物线ylf纺的另一交点坐标为(一4,c),当VaV1时，抛物线仍开口向上,抛物线纺开口向上，

当m<—4或??1>0时，p>q,7?i=—4或nz=0时，p=q,—4VznVO时，pVq;当Q>1时，1—aVO,抛

物线切开口向上，抛物线纺开口向下，・,・馆<—4或771>0时，p>q,nz=-4或nz=O时，p=q,—4V?72Vo

时，pVq;综上所述，当£VQV1时，771<—4或m>0时，p>q,?72=—4或？n=0时，p=q,—4<m<0

时，pVq;当a>l时，mV—4或nz>0时，p>q,m=—4或?n=0时，p=q,—4<m<0时，pVq.

9.【阅读理解】已知关于劣、y的二次函数g=〃—2QC+a2+2a=(x—a)2+2Q,它的顶点坐标为(Q,2Q),故

不论a取何值时，对应的二次函数的顶点都在直线g=2/上，我们称顶点位于同一条直线上且形状相同

的抛物线为同源二次函数,该条直线为根函数.

【问题解决】（1）若二次函数g=〃+2/—3和g=—d―46—3是同源二次函数，求它们的根函数；

（2）已知关于2、y的二次函数C:y—x1—4mx+4：m?—4m+1,完成下列问题：

①求满足二次函数。的所有二次函数的根函数；

②若二次函数。与直线力=—3交于点P,求点P到力轴的最小距离，请求出此时加为何值？并求出点

P到力轴的最小距离.

【解答】解：（1）<y=d+2力-3=（6+I）?—4,・\该抛物线的顶点为（―1,—4）;*.*y——x1—4：x—3=—（6+2）

2+1,

・,•该抛物线的顶点坐标为（一2,1）.设经过点（一1,—4）和点（一2,1）的直线的解析式为y-kx-\-b,：.

f—+4

\-2k+b=l'

k—_5

解得:.y=—5x—9.工它们的根函数为直线g=-56-9.(2)①:g="—&侬；+4?苏—4m,十

b——9

1=(冗一2m)2—4m+1,该抛物线的顶点坐标为(2m,—4m+1),设顶点(2M,—4m+1)在直线y=ax

,k,A—4m+1=2ma+1.解得：a=—2,/.顶点(2m,—4m+1)在直线y=—2x+1上，满足二次函数C

的所有二次函数的根函数为y=—26+1.②Y二次函数C与直线)=—3交于点P,工g=(―3)2—4mx(

—3)+4m2—4m+1=4m2+8m+10.F(—3,4m2+8m+10).4m2+8m+10=4(m+l)2+6,

・••点P的纵坐标当m=—l时，最小值为6..••点P到力轴的最小距离为6,此时m=—l.

10.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.

（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数.

⑵已知关于x的二次函数%=2〃—4：mx+2m2+1和例=+取+~|■，其中%的图象经过点F（l,

1），统与纳为“同簇二次函数”，

①求小的值及函数m的表达式.

②如图点A和点。是函数%上的点，点B和点。是函数例上的点，且都在对称轴右侧，若CD〃/

轴，AB,求第的值（只需直接答案）.

A.JD

【解答】解：（l）・・・g="和g=2"的顶点均为（0,0）,且开口向上，"和为“同簇二次函数”.

（2）①把F（l,l）代入%=2x2—4mx+2m2+1,得：1=2—4m+2m2+1,解得：馆=1,・\%=2x2—4rc+3=

2

2（%—1）+1.y2与%为“同簇二次函数”，，顶点一样为（1,1）,即统二a（力一1尸+1,

a+1—.a=,/.函数功的表达式为y?=（力-1）2+1—~~x2—1x+.②设点B的坐标为

(ri,；(n—iy+l)(7i>1),*.*AB〃力轴，.••点A的坐标为,AB//CD//x

4

轴，BC，AB,

・••点。的坐标为(n，2(n-I)?+1),点。的坐标为(2V2(n-1)+1,2(n-l)2+l).AB=n-

口—1)+1]=(n—1)(1--,CD—2A/2(n—1)+1—n=(n—1)(2V2—1),/.=

(7i-l)(2A/^-1)_2A/^—1_2y/2

11.已知一系列具备负整数系数形式规律的''负倍数二次函数"：幼=—〃_22，％=—2炉一4工，窝=一3"一

6x,•••

(1)探索发现，所有“负倍数二次函数”都有同一条对称轴直线必=.

(2)求二次函数物的解析式及其顶点坐标.

⑶点(-1,10)是否是“负倍数二次函数”中某一抛物线的顶点，若是，请求出它所在的抛物线解析式，并

求出—2W*41对应的沙的取值范围;若不是,请说明理由.

122

【解答】解：(1)V抛物线对称轴为直线x=—~^-,抛物线yx——X—2力，y2=—2x—4xfy3=—3x—6力的对

2a

2222

称轴为直线/=—1,故答案为：一1.(2)Vyi=—x—2x=—x—2Xx,y2=—2x—4/=—2x—2x2/,

1

m=-3/—6力=—3/2—2x3力，yn——nx—2nx.把力=-1代入川=—71工2—2nc得备=n，二二次函数

2

yn的解析式为yn=—nx—2"6，顶点坐标为(―l,n).(3)是，理由如下：把力=—1代入勿=—九"—2n岔得yn

二71,

当？2=10时，72=10,满足题意，，点(一1,10)是“负倍数二次函数"%o=—10力2—20力的顶点.当X^—1时，

"随力的增大而增大；当力>一1时，g随力的增大而减小；当力=-2时，g=—10x(—2)2—20x(—2)=0;

当x=-l时，g=-10X(—1)2—20x(-1)=10;当力=1时，g=-10xI2-20x1=-30;・••当-2《力41对

应的。的取值范围为一30<g<10.

12.在平面直角坐标系中，对于函数%=Q/2+五+c,其中Q、b、c为常数，QWc,定义：函数%=ex2+bx+

Q2

Q是勿=匕/+c的衍生函数，点M(a,c)是函数%=/2+匕/+0的衍生点，设函数yr=ax+bx+

c与其衍生函数的图象交于4、B两点(点力在点B的左侧).

(1)若函数幼=ax2-\-bx-\-c的图象过点C(—1,3)、。(1,—5),其衍生点M(l,c)，求函数%=ax1-\-bx-\-c

的解析式；

2

(2)①若函数yx=ax+bx+c的衍生函数为纳=2力—1,求A、8两点的坐标；

②函数%=。〃+比+。的图象如图所示,请在图中标出点4、6两点的位置；

(3)是否存在常数b,使得无论a为何值，函数％=a/+就+c的衍生点河始终在直线AB上,若存在,

请求出b的值;若不存在,请说明理由.

【解答】解：(1)二，函数%=ax2-\-bx-\-c的衍生点M(l,c),a=1,函数%=ax2+仅r+c的图象过点C(—1,

3)、0(1,—5)°,**.\\,二胡="一4力一2.(2)①函数yi=ax2-\-bx+c的衍生函数

[J>十。十C—o(c—/

为纺=2比一1,

:.yi=—x2+2x,：.—x2+2x=2x—l,：.x=—1或％=1,71(—1,—3)、,②由图象结合(1)得yi=x2—

4劣一2,

纺=—2"—4%+1,・,•比之一4比一2=—262—4rc+1,：.x=—1或力=1,A(—1,3)、B(l,—5)，见图所示：

2222

(3)二•点M(a,c),%=ax+b力+c,y2—ex-\-bx-\-a,ax-\-bx+c—ex+bx+a,

x=—1或力=1,.,・?!(—l,a—b+c)、_B(l,a+b+c),设直线AB的表达式为g=k/+nz,则/.

{-k-\-m—a—b+c

\k-\-m=a+b-\-c'

(ok=b

/.<,：.y—bx+a+c,代入M(Q,C)得，c=ab+a+c,/.a(b+1)=0,Va是任意实数，b+1=0,

/.b=-1.

13.九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数9=。1/2+仇力+。1（。1¥0,Q1，仇，5是常数）与♦=。2d+626+。2（。2W0,。2,优，。2

是常数）满足电+。2=0，仇=戾“1+。2=0,则这两个函数互为“旋转函数"求函数g=2/2—3/+1的

“旋转函数”.

小组同学是这样思考的，由函数g=2%2—3c+1可知，a1=2,bi=—3,5=1,根据Qi+电=0,仇=①，

Ci+C2=0,求出电"2,6就能确定这个函数的“旋转函数”.

请参照小组同学的方法解决下面问题：

⑴函数g=/—4/+3的“旋转函数”是；

⑵若函数g=5力2+（m—l）x+n与n=—5x2—nx—3互为“旋转函数”，求（m+九严2的值；

（3）已知函数g=2（力一1）（2+3）的图象与力轴交于A,B两点，与g轴交于点。，点A,B,。关于原点的

对称点分别是4,四，G，试求证:经过点4，马，G的二次函数与g=2（c—1）（力+3）互为“旋转函

数”.

【解答】（1）解：由函数沙=42-4/+3知，Qi=1,仇=—4,C1=3,丁Q1+电=0,仇=匕2,。1+。2=0,

22

a2=—1,b2=—4,c2=—3,/.y=—x—4/一3,故答案为：y=—x—4力一3;（2）解：根据题意得：

mn1

[~o-n，解得I"r12,（m+九）2022=（3—2产22=1；（3）证明：化简9=2（。-1）3+3）得?/=2/+4x

[九—3—U[71=J

一6,则A,B,C三点的坐标分别为41，。），石（一3,0）,C（0,一6）,工44C三点关于原点对称的点坐标分别

为41（-1,0）,61（3,0）,6（0,6）,・••经过4、3、。1三点的函数解析式为0=-2d+4力+6,・・・沙=一2/+46+

6与原函数g=2（力一1）（力+3）是旋转函数.

14.如果一个点的横纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点.比如点（1,2）就是一

个定点.在一次函数y=kx—k+2（fc是常数）的图象中，由于g=kr—k+2=k（x-1）+2,当力一1=

。即/=1时，无论k为何值，g一定等于2,我们就说直线g=far—k+2一定经过定点（1,2）.

（1）已知抛物线y=ax2-l（a是常数）,无论a取何值,该抛物线都经过定点4直接写出点A的坐标.

（2）已知抛物线g=加砂+（2—2m）/+馆—2（馆是常数）.

①无论m取何值,该抛物线都经过定点D.直接写出点。的坐标.

②若在的范围内，至少存在一个二的值，使g>0,求小的取值范围.

【解答】解：（1）抛物线y=ax2—1,当力=0时，g=—1，此时，无论a为何值n一•定等于一1,二抛物线y=ax2

—1一,定经过定点（0,—1）,/.A（0,—1）.（2）①;g=mx2+（2—2m）x+m—2=m{x—l）2+2（力一1）,・••当力

—1=0时，g=0,此时力=1,・\当力=1时，无论771为何值，g一定等于0,・•・抛物线经过定点（1,0）,

.,.£）（1,0）.②由①可知，该抛物线与力轴的一个交点为（1,0）,,:y=mx2+（2—2m）a?+m—2=

（772—1\21

mlx---------------------,

\m7m

该抛物线的对称轴为直线力=―—―，即直线力=1——;当m>0时，如图1,设抛物线交g轴于点_8,

mm

当力=0时，g=nz—2,,B（0,m—2），:抛物线的开口向上，且1——L〈l,・,•点。在抛物线的对称轴的右

m

侧，由图象可知，只需满足点石在/轴的上方，则在的范围内，至少存在一个力的值，使g>0,

.•.小一2>0,.♦.?«>2;当小V0时，如图2,此时抛物线开口向下，且1一」->1,.•.点。在抛物线的对称轴

m

的左侧，,抛物线与力轴的另一个交点在点D的右侧，由图象可知，在的范围内，不存在使g>0的

x值,综上所述，M的取值范围是7n>2.

y

15.在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数，y=a〃+E+

c（a¥0）图象上的点A（c,y）的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点

2

Ax（x,X+y）.他们把这个点人：定义为点A的“简朴”点.他们发现:二次函数"=ax+bx+c（a¥0）所

有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y=ax2+bx+c（a丰0）的“简朴曲线”.

例如，二次函数夕="+3；+1的“简朴曲线"就是4=〃+/+1+a;=x2+2a;+1,请按照定义完成：

⑴点P（1⑵的“简朴”点是；

（2）如果抛物线y=a/—7c+3（aW0）经过点M（l,-3）,求该抛物线的“简朴曲线”；

（3）已知抛物线y=x^+bx+c图象上的点B（x,y）的“简朴点”是马（一1,1）,若该抛物线的“简朴曲线”的

顶点坐标为（771,72），当0WCW3时，求71的取值范围.

【解答】解:（1）由题意得点尸（1,2）的“简朴”点是（1,1+2）,即（1,3）,故答案为：（1,3）.

（2）将（1,—3）代入y=a/—7c+3得—3=a—7+3,解得a=1,：.y=x2—7x+3,抛物线y=x2—7x+

(x=­l

的"简朴曲线"为。+（）；点B（x,y）的''简朴点”是（）

39=—7c+3+c=/—63.3B—1,1,[x+y^l

（7=-1

解得＜_，,点B坐标为（一1,2）,工1—b+c=2,即b=c-1,・\g="十亿—1）力+c,该抛物线的“简

1沙=2

朴曲线”为g=〃+cc+°=（力+）+c—?,•该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（?n,n）,工m=

—,n=c—?=―:（。-2）2+1,・\c=2时，九=1为最大值，把c=0代入7i=c一4-得几=0,把c=3代

入n=c———得n=3,工当0＜c43时，0＜九＜1.

2

16.已知抛物线Lx:y=ax+b力一3与c轴交于点A（—3,0）,B（l,0）.

（1）求抛物线的表达式；

（2）若两个抛物线的交点在力轴上,且顶点关于力轴对称,则称这两个抛物线为“对称抛物线”,求抛物线

，对称抛物线心的解析式；

（3）在⑵的条件下，点河是名轴上方的抛物线L2上一动点，过点M作MN.Lx轴于点M设河的横坐

标为馆，记W=MN-2ON,求W的最大值.

【解答】解：（1）将点4（—3,0）,_B（L0）代入g=a/般—3,（9。3b一。，解得,：.y=x2-\-2x—3;

[a+匕-3—U\b—2।

（2）令g=0,则/+2力-3=0,解得力=-3或1=1,・,・抛物线与力轴的交点为（一3,0）或（1,0）,・・・g="+2力;

—3=（6+I）?—4,・,•顶点为（一1,—4）,顶点关于力轴的对称点为（一1,4）,设抛物线L2的解析式为y—n{x\

+1）2+4,V抛物线经过点（一3,0）或（1,0）,n=—1,y=—x2—2/+3;（3）。.•点M'是力轴上方的抛物线L；

♦2

上一■动点，；.一3<1,：M'的横坐标为m,,M(m,—m2—2m+3),N(m,O),MN=—m2—2m+3,ON

=\m\,当一3V，40时，W—MN—2ON——m?—2m+3+2m——m?+3,/.当？n=0时，W有最大值3;

当04，<l时，W—MN—2ON——m2—2m+3—2m——m2—4m+3=—(m+2)2+7,当=0时，W

有最大值3;

综上所述：W的最大值为3.

17.设二次函数阴，统的图象的顶点分别为（a,b）、（c,d）,当a=—2c,b=—2d,且开口方向相同时，则称％是

统的“反倍顶二次函数”.

（1）请写出二次函数?/="+力+1的一个“反倍顶二次函数”；

（2）已知关于x的二次函数%=d+侬c和二次函数仍=-2nx+1,若函数%恰是%+y2的“反倍顶

二次函数"，求"的值.

【解答】解：⑴+/+1,二9=二次函数/=4+工+1的顶点坐标为（一，年），

二次函数?/=d+/+1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（1,—日），反倍顶二次函数的解析式为

9=（①一1）2一卷="一2工——；（2）%+九工=（工+5）一霍，顶点坐标为（一］,―乎），yi+y2=X2+

22

nx+x—2nx+1=2x—na:+l=2（c—个）+1—受，顶点坐标为（弓，1—受），由于函数加恰是%+y2的

'4，o'4

“反倍顶二次函数”，则一半=一2x（1—M）,解得：n=±2.

4'8/

18.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数，

（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；

222

（2）已知关于x的二次函数%=2x—4mx+2m+1和y2=ax+bx+5,其中仍的图象经过点A（l,l）,

若依+改与%为“同簇二次函数”，求函数统的表达式，并求出当04力<3时，统的最大值.

【解答】解：（1）设顶点为仇,k）的二次函数的关系式为y—a（x—/z）2+k,当a=2,h=3,k=4时，二次函数的

关系式为g=2Q—3y+4.・.,2>0,・,•该二次函数图象的开口向上.当。=3,九=3,k=4时，二次函数的

关系式为g=3Q—3y+4.・・,3>0,・,•该二次函数图象的开口向上.;两个函数g=2（力一3了+4与y=3

（力一3）2+4顶点相同，开口都向上，，两个函数g=2（力一3y+4与沙=3（/一3丫+4是“同簇二次函数”..・.

符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：沙=2（力-3）2+4与沙=3（力-3）2+4（答案不唯一）・（2）・・・切的图

象经过点4（1,1）,上2x—4xm,义1+2馆2+1=1.整理得：m?—2m,+1=0.解得：馆］=7n?=1.，%=

2x2—4力+3=2（力—1）2+1.

/.7/1+7/2—2/—4力+3+ax2+b力+5=（a+2）d+（6—4）/+8:为+仍与仍为“同簇二次函数“，六%+统

b—4=-2(a+2)

=（Q+2）（力—1）2+1=（Q+2）步2—2（a+2）n+（Q+2）+1.其中a+2>0,即（>-2.

8=(a+2)+1

(a=5

解得:，函数统的表达式为：例二5〃-10力+5.，缈=5〃-10力+5=5(力一1)，函数例的

[b=-W

图象的对称轴为力=1.・・,5>0,・,.函数统的图象开口向上.①当04/&1时，•・,函数统的图象开口向上，

・・・g2随力的增大而减小，・・・当力=0时，02取最大值，最大值为5x(0—l)2=5,②当l&力43时，・・・函数改

的图象开口向上，・・・92随力的增大而增大，当力=3时，统取最大值，最大值为5(3—1)2=20.综上所述：当

04/43时，仍的最大值为20.

19.在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为平衡点.例如：点(1,1),(―2,

-V2),都是平衡点.

(1)判断函数沙=22+1的图象上是否存在平衡点,若存在，求出其平衡点的坐标；

①求Q,C的值；

②若加时，函数g=ax2+66+c+1(QW0)的最小值为—1,最大值为3,求实数m的取值范

围.

【解答】解：(1)存在和谐点，理由如下，设函数g=2rr+1的和谐点为｛x,x),/.2/+1=/,解得⑦=—1,

和谐点为(—1,—1);(2)①，・,点)是二次函数y—ax2+6x+c(aW0)的和谐点，.二~~—+15+

c，

c~~^~a—，:二次函数g=Q/+6/+C(QW0)的图象上有且只有一个和谐点，.=ax2+6力+c=/有

且只有一个根，，△=25—4QC=0,，a=—1,c——?;②由①可知y——x1+6N—6=—(x—3)2+3,工抛

物线的对称轴为直线力=3,当力=1时，g=—1，当力=3时，g=3,当力=5时，g=—1，=函数的最大值为3,

最小值为-1;当3&nz45时，函数的最大值为3,最小值为一1.

20.定义:在平面直角坐标系忒加中，当点N在图形M的内部，或在图形河上，且点N的横坐标和纵坐标相

等时，则称点N为图形河的“梦之点”.

⑴如图①，矩形4BCD的顶点坐标分别是4—L2),B(—1,—1)，。⑶一1),0⑶2),在点监⑵

2),峪(3,3)中,是矩形488"梦之点”的是；

(2)点G⑵2)是反比例函数阴=巨图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐

X

标是，直线GH的解析式是统=,%>统时，力的取值范围是；

(3)如图②，已知点入，口是抛物线y=-1x2+2+3上的“梦之点”，点。是抛物线的顶点.连接AC,

判断A4BC的形状，并说明理由.

______________即

图①图②

【解答】解：⑴•.•矩形ABCD的顶点坐标分别是4—1,2),8(—1,-1),0(3,一1),。(3,2),.♦.矩形ABCD的

“梦之点”Q,沙)满足一14公W3,一144《2,.♦.点⑵2)是矩形48co的"梦之点”，点峪(3,3)

不是矩形ABCD的“梦之点”，故答案为：M,此；⑵•・•点G(2,2)是反比例函数仍=总图象上的一个“梦之

X

点”，.•.把G(2,2)代入%=k得％=4,.•.%=屋，•.•“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，“梦之点”都在"=

XX

C的图象上，联立("1=3,解得卜片或产:U，.•.〃(一2,—2),.•.直线GH的解析式为纺=2,.♦.阴>统时，

\y—xly—2[y—2

加的取值范围是,<-2或0<rc<2,故答案为：H(-2,—2),①，rc<-2或0<a;<2;(3)AABC是直角三角

形，理由：•.•点45是抛物线沙=—[/+/+得上的“梦之点”，...[-Ti+c+l■，解得「或

22\y—x〔g—J

1_；,・二4(3,3),B(—3,—3),*.*y—―^-x2+c+曰=——l)2+5,顶点C(l,5),AC2=(3—I)2+

(g—o2NN

(3—5产=8,AB-=(-3-3)2+(-3-3)2=72,BC2=(-3-I)2+(-3-5)2=80，,BC2=AC2+AB2,：.

AABC是直角三角形.

21.数和形是数学研究客观物体的两个方面，数(代数)侧重研究物体数量方面，具有精确性,形(几何)侧重

研究物体形的方面,具有直观性.数和形相互联系，可用数来反映空间形式,也可用形来说明数量关系.

数形结合就是把两者结合起来考虑问题,充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题.

同学们，请你结合所学的数学解决下列问题.

在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点.设函数y=(4a+2)〃+

(9-Qa)x-4a+4(实数a为常数)的图象为图象T.

(1)求证：无论a取什么实数，图象T与2轴总有公共点；

(2)是否存在整数a,使图象T与刀轴的公共点中有整点？若存在,求所有整数a的值；若不存在,请说明

理由.

【解答】(1)证明：当a=—■时，函数表达式为沙=12x+6,令9=0