2025年中考数学思想方法复习【转化思想】圆中的转化思想（解析版）

圆中的转化思想

知识方法精讲

1.转化思想

转化不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思

维方式。所谓的转化思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过

变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；

将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题;将未解决的问题通过变换转化为已解决的问

题。总之，转化在数学解题中几乎无处不在，转化的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成

简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，转化的实质就是以运动变化发展的观点，以

及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使

问题得以解决。实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，

由抽象到具体等转化思想。

2.垂径定理的应用

垂径定理的应用很广泛，常见的有：

（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问

题.

这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方

法一定要掌握.

3.圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上.②角的两条边都与圆相交，二者缺一不

可.

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能

技巧一定要掌握.

（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形

的顶点和底角的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角

转化.③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条

件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.

4.点与圆的位置关系

(1)点与圆的位置关系有3种.设。。的半径为r,点尸到圆心的距离。尸=4,则有：

①点P在圆外

②点尸在圆上Qd=r

①点尸在圆内QdO

(2)点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的

关系可以确定该点与圆的位置关系.

(3)符号“Q”读作“等价于”，它表示从符号的左端可以得到右端，从右端也可

以得到左端.

5.切线的性质

(1)切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

(2)切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个,那么它一定满足第三个条件，这三个条件是:

①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直.

(3)切线性质的运用

由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.简记作:

见切点，连半径，见垂直.

6.扇形面积的计算

(1)圆面积公式：S=Tir2

(2)扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

(3)扇形面积计算公式：设圆心角是1,圆的半径为R的扇形面积为S,则

S扇形=———TTR'或S扇形(其中/为扇形的弧长)

3602

(4)求阴影面积常用的方法:

①直接用公式法；

②和差法；

③割补法.

（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.

7.圆锥的计算

（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.连接顶点与底面圆心的

线段叫圆锥的高.

（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于

圆锥的母线长.

（3）圆锥的侧面积：Sfll=JL*2TO-Z=Trz7.

2

（4）圆锥的全面积：S金=$底+5恻=++豆”

（5）圆锥的体积=JLx底面积X高

3

注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等.

②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等.

选择题（共6小题）

1.（2021•枣庄）如图，正方形的边长为2,。为对角线的交点，点E,尸分别为

的中点.以C为圆心，2为半径作圆弧3。，再分别以£,尸为圆心，1为半径作圆弧8。,

OD,则图中阴影部分的面积为（）

A.71—1B.71—3C.71—2D.4—71

【考点】正方形的性质；扇形面积的计算

【分析】连接8。，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利

用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形C8。减去直角三角形C2。的

面积之差.

【解答】解：连接2。，EF,如图，

•.•正方形/BCD的边长为2,。为对角线的交点,

由题意可得：EF,8。经过点。，且EFLCB.

:点、E,尸分别为BC,的中点,

:.FD=FO=EO=EB=l,

OB=OD,OB=OD.

弓形。8=弓形OD.

阴影部分的面积等于弓形的面积.

2

_90^-x2199_0

S阴影=3扇形CBD—、ACBD--而—X.2x2-7T-2.

故选：C.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算.通过添加适当的辅助线将不规则

的阴影部分的面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键.

2.（2021秋•覃塘区期中）如图，一张含有80。的三角形纸片，剪去这个80。角后，得到一

个四边形，则N1+/2的度数是（）

A.200°B.240°C.260°D.300°

【考点】多边形内角与外角；剪纸问题

【分析】利用三角形内角和定理求出N3+N4=100。，再根据四边形内角和定理求解即可.

【解答】解：如图，

Z3+Z4+80°=180°,

Z3+Z4=100°,

•••Zl+Z2+Z3+Z4=360°,

Z1+Z2=360°-100°=260°，

故选：C.

【点评】本题考查剪纸问题，三角形内角和定理，四边形内角和定理等知识，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题.

3.如图，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=8cm,BC=6cm,分别以4,C为圆心，以

止的长为半径作圆，将RtAABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（)cm2.

【考点】勾股定理；扇形面积的计算

【分析】已知RtAABC中，ZABC=90°,AB=Scm,BC=6cm,则根据勾股定理可知

AC=\0cm,阴影部分的面积可以看作是直角三角形/3C的面积减去两个扇形的面积.

【解答】解：•••RtAABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=6,

:.AC=yls2+62=10(cm),

故选：A.

【点评】阴影部分的面积可以看作是直角三角形/2C的面积减去两个扇形的面积，求不规

则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求.

4.（2020•锡山区校级模拟）某数学研究性学习小组制作了如图的三角函数计算图尺：在半

径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CN的0刻度固定在半圆的圆心

。处，刻度尺可以绕点。旋转.图中所示的图尺可读出sin//QB的值是（）

D-W

【考点】圆周角定理；旋转的性质；解直角三角形

24

【分析】如图，连接只要证明4=,可得sin//OB二sin/4ZX）=—=—,

105

【解答】解：如图，把刻度尺与圆的另一个交点记作。，连接

ZOAD=90°,

•/AAOB+AAOD=90°,ZAOD+ZADO=90°,

ZAOB=ZADO，

由刻度尺可知，04=0.8,

84

sinZAOB=sinZADO=—=

105

故选：A.

【点评】本题考查圆周角定理，旋转的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是学会用

转化的思想思考问题，属于中考创新题目.

5.（2020•河北模拟）已知抛物线＞=-2。-1）（工-9）与》轴交于/,B两点,对称轴与抛

物线交于点C,与x轴交于点D,OC的半径为2,G为OC上一动点，尸为/G的中点，

则。尸的最大值为（）

A.-B.2GC.—D.5

22

【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；三角形中

位线定理；点与圆的位置关系

【分析】尸为NG中点，。为48中点，所以尸D是AA8G的中位线，则。尸=！8G,当BG

2

最大时，则DP最大.由圆的性质可知，当G、C、3三点共线时，BG最大.

【解答】解：如图，连接3G.

P为NG中点，。为48中点，所以尸。是AASG的中位线，贝1］。尸=!36,当8G最大时,

2

则DP最大.

由圆的性质可知，当G、C、8三点共线时，8G最大.

VC(5,3),2(9,0),

BC=A/32+42=5,

BG的最大值为2+5=7,

二小的最大值为工.

2

故选：A.

【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、三角形的中位线定理、二次函数的性质以及

点与圆的位置关系等知识点，有一定难度，学会用转化的思想思考问题.

6.如图，在AA8C中，CA=CB,N/C3=90。，=2,点。为48的中点，以点。为圆

心作圆心角为90。的扇形。所，点C恰在弧斯上，则图中阴影部分的面积为()

F

【考点】扇形面积的计算

【分析】连接CD,作。“，3C,DV，NC,证明KDMG=NDNH,则S四边物5Gs=$四边形血侬，

求得扇形EDE的面积，则阴影部分的面积即可求得.

【解答】解：连接CO,作/W_LBC,DNLAC.

■：CA=CB,N4cB=90°,点。为N8的中点，

DC=-AB=l,四边形DWCN是正方形，DM=—.

22

则扇形FOE的面积是：也上上=工.

3604

,;CA=CB,ZACB=90°,点。为45的中点，

CD平分ABCA,

又•・,DM上BC,DNLAC,

DM=DN,

・・•ZGDH=NMDN=90°,

ZGDM=ZHDN,

则在ADMG和\DNH中，

"/GDM=ZHDN

<DM=DN,

ZDMG=/DNH

\DMG=NDNH(ASA),

…S四边形。GC8-S四边形0M0V——,

则阴影部分的面积是：

42

故选：D.

【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明

ADMG=ADNH,得到鼠边加GCH=$四边形WCN是关键•

二.填空题(共9小题)

7.(2020秋•西城区期末)如图，在平面直角坐标系xQy中，尸(4,3),。。经过点P.点N,

点8在y轴上，PA=PB,延长PN,尸3分别交。。于点C,点。，设直线CD与x轴正方

向所夹的锐角为a.

(1)OO的半径为5；

(2)tana=.

【考点】坐标与图形性质；圆周角定理；解直角三角形

【分析】(1)结论。尸，利用勾股定理求解即可.

(2)设C。交x轴于J,过点尸作尸T_L/B交OO于T,交4B于E,连接C7,DT,OT.求

出tanZPOE，再证明ZCJO=ZPOE即可.

【解答】解：(1)连接OP.

;尸(4,3),

8=5/32+42=5,

故答案为：5.

(2)设C。交x轴于J,过点尸作P7_L48交OO于乙交N3于E,连接CT,DT,OT.

/.PE=4,OE—3,

PE4

在RtAOPE中，tan/POE==—,

OE3

OE1PT,OP=OT,

/POE=ZTOE,

.../PDT=-ZPOT=ZPOE,

2

•/PA=PB.PEVAB,

/APT=ZDPT,

:.TC=DT,

ATDC=Z.TCD,

•・•尸T//x轴，

,ACJO二ZCKP,

vZCKP=ZTCK+ZCTK,ZCTP=ZCDP,ZPDT=ZTDC+ZCDP,

:"TDP=/CJO,

/.ZCJO=ZPOE,

4

z.tanZCJO=tanZPOE=—.

3

补充方法：证明ZCJO=ZEOP时，可以这样证明：vZCJO+ZTOJ=90°,

ZTOJ+ZEOT=90°,

ZCJO=/EOT,

•・•/EOT=ZEOB,

ZCJO=ZEOP,可得结论.

故答案为：—.

3

【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的外角的性质，解直角三角形等知识，解

题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

8.如图，直角A4BC中，44=90。，/5=30。，AC=4,以/为圆心，4C长为半径画四

分之一圆，则图中阴影部分的面积是_46-（结果保留；!）.

【考点】扇形面积的计算

【分析】连接ND.根据图中阴影部分的面积=三角形/3C的面积-三角形NCD的面积-扇

形/DE的面积，列出算式即可求解.

【解答】解：连接

•・•直角A45C中，44=90。，/5=30。，AC=4f

/.ZC=60°,AB=45

•・•AD=AC,

三角形是等边三角形,

/CAD=60°，

/DAE=30°,

二.图中阴影部分的面积=4x46+2—4x26・2—3‘义"X'=46—

3603

故答案为：4G----71.

3

【点评】考查了扇形面积的计算，解题的关键是将不规则图形的面积计算转化为规则图形的

面积计算.

9.如图，水平放置的圆柱形油桶的截面半径是R,油面高为3尺，截面上有油的弓形（阴

2

影部分）的面积为立上+逊

34

【考点】勾股定理；垂径定理的应用

【分析】阴影部分面积的计算，可以转化为用圆的面积减去上面没有油的部分的面积，关键

是求上面部分的面积.上面是一个弓形，它的面积可转化为扇形面积减去三角形面积.

【解答】解：设油面所在的弦为N3圆心是。，过点。作。48于点C.

3R

在RtAAOC中N。=R,OC=-R-R=-.

22

AC=^AO--CO-=,

2

AB=y/3R,ZAOC=60°.

/Tp2

.•.^405的面积是当J.

4

-ZAOB=2ZAOC=120°,

1Kl

扇形045的面积是7%J.

3

上面没油的部分的面积是2里-'登，

34

阴影部分的面积是^2--+生外+也匕.

3434

【点评】计算不规则图形的面积，可以转化为几个规则图形面积的和或差的问题.

10.如图，圆锥的母线长是3,底面半径是1,/是底面圆周上一点，从/点出发绕侧面一

周，再回到4点的最短的路线长是_3g_.

【考点】平面展开-最短路径问题；圆锥的计算；特殊角的三角函数值

【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，从/点出发绕侧面一周，再回到N点的最短的路线即

展开得到的扇形的弧所对的弦，转化为求弦长的问题.

【解答】解：•.•图扇形的弧长是2万，根据弧长公式得到2万=包,

180

弧所对的弦长44'=2x3sin60°=3g，

故答案为3g.

【点评】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于

圆锥的母线长.本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决.

11.如图，已知直角扇形的半径。/=2c〃z,以为直径在扇形内作半圆M,过点"

引MP//AO交功于点尸，则病与半圆弧及所围成的阴影部分的面积S阴影=

【考点】扇形面积的计算

【分析】要求的阴影部分的面积显然是不规则图形的面积，不可能直接用公式，只有用“割

补法"，连接。尸，根据S阴影=5扇膝（-S扇形-SAM”-S扇畛p即可得出结论•

【解答】解：如图，连接OP.

•••AO1OB,MPIIOA,

MPVOB.

又•；OM=BM=\,OP=OA=2,

:.OP=2OM,

ZMPO=30°,ZMOP=60°,

:.ZAOP=30°.

Wx2290%xl7i

30〃x22n

SZ.lZMWCnZpr=-2OMOPsin60°二

2AM。尸

故答案为：

122

【点评】本题考查了扇形面积的计算.求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规

则图形的面积.

12.如图，已知口/BCD中，NN=45。，AD=4cm,以为直径的半圆。与8C相切于点

B,则图中阴影部分的面积是4.

【考点】平行四边形的性质；切线的性质；扇形面积的计算

【分析】连接及02,根据直径所对的圆周角为直角得到角为直角，又乙4为45。,

得到三角形为等腰直角三角形，因为。为中点，根据三线合一得到80垂直于

又根据2。为斜边上的中线，等于斜边4D的一半，即可求出2。，根据扇形048与扇形03。

的圆心角及半径相等，得到两扇形面积相等，又三角形NO8与三角形80D全等得到两三角

形面积相等，用扇形减去三角形即可得到弓形与弓形BD的面积相等，则阴影部分面积

可转化为三角形8DC的面积，根据平行四边形的对边相等得到3c与ND相等都等于4,然

后根据三角形的面积公式底乘以高除以2即可求出所求阴影部分的面积.

【解答】解：连接3。，OB,

•••为圆。的直角，

ZABD=90°又乙4=45°,

二AARD为等腰直角三角形，又。为/。的中点，

/.BOLAD,^BO=-AD=2,AB=BD,

2

・・・扇形495与扇形05。的圆心角都为90。，半径都为2,

得到S扇物08=S扇形08D,又S^OB=SM)OB

'S弓形4B二S弓形5。，

由45C。为平行四边形，得到4O=5C,

则S阴影=SA3s=；BC.B0=；/O.03=%X4X2=4・

故答案为4.

【点评】本题考查学生会利用转化的思想把不规则图形的面积转化为规则图形的面积，考查

了数形结合的数学思想，同时要求学生掌握平行四边形及等腰直角三角形的性质，是一道中

档题.

13.已知。。的半径。/为1.弦48的长为及，若在。。上找一点。，使/C=6，则

/BAC=75或15°.

【考点】勾股定理的逆定理；圆周角定理；特殊角的三角函数值

【分析】画出图形，构造出直角三角形，根据勾股定理求得三角形的边长，求得/A4。和

ZCAO,再求出N8/C的度数即可.

【解答】解：如图，过点。作OEL48,OFLAC,垂足分别为E,F,

■：AB=41,AC=s/3,

.•.由垂径定理得，AE=—,AF=—,

22

•••OA=\,

二.由勾股定理得OE=",OF=~,

22

zLBAO=45°,

:.OF=-OA,

2

NCAO=30°,

.-.ABAC=15°,

当4B、/C在半径O/同旁时，ZBAC=15°.

故答案为：75。或15。.

最

【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问

题再进行计算.

14.如图，阴影部分的面积为

aa

aa

【考点】扇形面积的计算

【分析】先根据题意得到扇形BE尸的面积等于扇形C即的面积，即图形1的面积等于图形

3的面积，通过割补的方法可知阴影部分的面积=图形1的面积+图形3的面积=正方形

1厂的面积.

【解答】解：如图，

四边形所和四边形EC。尸为正方形，且边长为a

那么扇形正厅的面积等于扇形CED的面积

所以图形1的面积等于图形3的面积

则阴影部分的面积=图形1的面积+图形3的面积=止方形N3跖的面积=/.

【点评】主要考查了通过割补法把不规则图形转化为规则图形求面积的方法.本题的关键是

利用面积之间的等量代换得到阴影部分的面积=图形1的面积+图形3的面积=正方形

1厂的面积.

15.如图，正方形48。的边48=1,筋和就都是以1为半径的圆弧，则无阴影部分的

两部分的面积之差是--1

一2

【考点】正方形的性质；扇形面积的计算

【分析】无阴影部分的两部分的面积之差，可以由图中的几个部分面积之间的转化求解.

【解答】解：无阴影的两部分可分为1、2两部分，面积之差=岳-邑，如下图所示:

由图形可知,邑=5正方形”8-（2$半圆"3一£），

1TT

由上式可得，s「邑=2S半圆小-S正方物2=2、不%-1=万-1，

所以本题应该填匹-1.

2

【点评】本题考查图形面积之间的转化关系.

三.解答题（共6小题）

16.（2021秋•朝阳区校级期中）如图，在AAB。中，AB=AD,以为直径的圆交于

点交8。于点。，延长NO至点C,使OC=NO,连结CD,BC.

（1）求证：四边形/BCD是菱形；

(2)若NM=3,BO=45,求cosZCUB.

【考点】等腰三角形的性质；菱形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形

【分析】（1）根据圆周角定理求得/CL2D,进而根据等腰三角形的性质得出30=。。，

通过证得ACOOMA4O8得出COO=/8,CD//AB,即可证得结论；

(2)连接W,由圆周角定理得出ZAMB=90°,设菱形的边长为2r,则

DM=AD-AM=2r-1,根据勾股定理歹！J出BD2-DM2AB2-AM2,即

42-(2r-7)2=(2r)2-72,求出r,可得结论.

【解答】(1)证明：•・•/B是直径，

:.ZAOB=90°,

AC±BD,

•••AB=AD,

BO=DO,

在AC。。和A408中，

CO=AO

<NCOD=NAOB,

DO=BO

:.\COD^\AOB(SAS),

;.CD=AB,/DCO=NOAB,

CD11AB,

二.四边形ABCD是平行四边形，

•・,AB=AD,

四边形为菱形；

(2)解：•;BO=5

:.BD=275,

连接BM,则ZAMB=90°,

设菱形的边长为"，贝=—4M=2/一3,

•・・BD2-DM2=AB2-AM?,BP(275)2-(2r-3)2二(2r)2-32

解得尸=9或尸=一1(舍去)，

2

/.AB=5,

,”AM3

cosN4DA,B=-----=—.

AB5

【点评】本题考查了圆周角定理，菱形的判定和性质，勾股定理的应用等，作出辅助线构建

直角三角形是解题的关键.

17.(2021•滨城区一模)如图，在RtAABC中，ZB=90°,ED=DF,点、E在AC上,以NE

为直径的O。经过点。.

(1)求证：①是。。的切线；

②CD2=CE-CA；

(2)若点尸是劣弧的中点，且C£=3,试求阴影部分的面积.

【考点】圆的综合题

【分析】(1)①连接根据圆周角定理推出=并根据平行线的判定得出

DO//AB,从而得到。O_L3C即可证明是。。的切线；

②连接DE,OD,根据同角的余角相等推出=,并得到，再

根据相似三角形的性质即可证明CD2=CE-CA；

(2)连接。。、FO.DE,根据题意由圆心角定理推出ACM歹和AODE是等边三角形，

并得出相关角的大小即边之间的关系，进而根据全等三角形的判定得到AODGTAK4G,将

阴影部分的面积转化为扇形的面积进行求解即可.

【解答】(1)①证明：如图1-

B

连接。O,

ED=DF,

ZFAD=ZDAE=-ZFAE,

2

vZDAE=-ZDOE（圆周角定理）,

2

ZFAE=/DOE,

/.DO11AB,

根据题意可知ABLBC,

DOLBC,

BC是OO的切线.

②如图2,

B

连接。石，OD,

•••45为直径，OA=OD,

ZADO+ZEDO=ZADE=90°,ZADO=ZDAO,

由（1）可知NC7>£+N切0=90。，

.../DAO=ZCDE,

在ACDE和AC4D中,

/DCE=ZACD

ZCDE=ACAD

NCDEs'CAD,

.CD_CE

,~CA~~CDf

故m二CE。.

(2)如图3,

连接。。、FO、DE,4。和。尸交于点G,

则DO=EO=AO.

根据题意点尸是劣弧4。的中点，且筋=万方,

AAOF=ZDOF=ZEOD=-xl80°=60°，

3

/.AOAF和NODE是等边三角形，

.•.“=90。-/。。。=30。，

:.OD=OE=CE=-CO=3

2f

由（1）可知。O//4B，

ZODA=ZDAF,

在AQDG和A/kG中,

ZOGD=ZFGA

<NODG=NFAG,

OD=AF

AODG=AFAG(AAS)，

…S^ODG=S^FAG，

_60-32_3兀

扇形DO尸3602

【点评】本题考查圆的综合运用，解题的关键是证明AODGTAK4G从而将阴影部分的面积

转化为扇形的面积，通常要结合圆周角定理及圆心角定理求解各角、各边之间的关系.

18.(2021•罗平县模拟)如图，48是的直径，/C是弦，点E在圆外，于点

D,BE交OO于点、F,连接3D、BC、CF,ZBFC=ZAED.

(1)求证：/E是OO的切线；

⑵求证：OB'=ODOE；

(3)设A34D的面积为E,A3DE的面积为其，tanZODB=-,求u的值.

123S,

B、-----

【考点】圆的综合题

【分析】(1)由OE_L/C证明即可得到结果；

(2)证明。f即AOADS^OEA即可得证；

7CD

(3)把tanNOD8=—转化为——，设CD=2m,用机表示出半径，再由ASODsAEOB的

3BD

面积比等于相似比平方可得到答案.

【解答】解：(1)证明：・・•/AFC=//ED,

又NBFC=NBAC,

ABAC=ZAED,

OE±AC于点D,

ZADE=ZADO=90°,

ZAED+ZEAD=90°,

ABAC+NEAD=90°,即ZOAE=90°,

OA1AE,

：./E是OO的切线；

(2)ZOAE=ZADO=90°,ZAOD=ZEOA,

,\AOD^\EOA,

OA_OP

…布一方’

OA2=OD•OE,

•・•OB=0A,

OB2=ODOE；

(3)•••48为直径，

:.ZACB=90°,

•・•ZADO=90°,

NACB=ZADO,

:.OE/IBC,

ZODB=ZDBC,

DC2

在RtABCD中，tanZDBC=tanZODB=——=-

BC3

设。。=2%，则8C=3机，

:.OD=-BC=—,

22

OE1AC于点D,

/.AD=DC=21n,

OA=OB=yJOD2+AD2=—,

2

由(2)知。笈=ODOE,

OB_OE

'~OD~~OB"

而/BOD=ZEOB,

/.\BOD^\EOB,

3m

.S\BOD_(OD)2_(2)2_2

•丁一丽-亘-石’

2

二设%⑺=9后，贝1]5.疑=25左，

ABDE的面积为其=SGOB-，旃=16左，

而ABAD的面积为d=2sAs°。=18斤，

S,18^9

"^-16A-8'

【点评】本题考查圆的切线、相似三角形判定及性质，难度较大，解题的关键是将

tanZODB=-转化为—.

3BD

19.（2021•商河县校级模拟）（1）初步思考：

如图1,在APC3中，已知必=2,BC=4,N为3C上一点且8N=1,试证明：PN=-PC

2

（2）问题提出：

如图2,已知正方形/5CD的边长为4,圆3的半径为2,点尸是圆8上的一个动点，求

尸。+工尸。的最小值.

2

（3）推广运用：

如图3,已知菱形/BCD的边长为4,ZS=60°,圆3的半径为2,点尸是圆8上的一个动

【考点】圆的综合题

【分析】（1）通过相似三角形ASPNsA5cp的性质证得结论；

（2）如图2中，在8c上取一点G,使得8G=1.由A/VGSACBP,推出空=也=’,

PCPB2

推出尸G=^pc,推出尸D+Lpc=DP+PG,由。尸+PG/G,当。、G、尸共线时，

22

尸£>+!尸。的值最小，最小值为DG=54?+3?=5.由=_

22

（3）如图3中，在3c上取一点G,使得8G=1,作。尸_L3C于尸.解法类似（2）；

【解答】（1）证明：如图1,

图1

PB=2,BC=4,BN=1,

:.PB2=4,BN・BC=4.

:.PB2=BNBC.

BN_BP

"而一瓦•

又•:NB=NB,

ABPN^ABCP.

PNBN_1

"PC--2•

:.PN=-PC；

2

(2)如图2,在BC上取•点G,使得5G=1,

——二—，/PBG=ZPBC

BGPB

\PBGs\CBP

.PG_BG_1

'PC~PB~2

...PG=-PC

2

:.PD+-PC=DP+PG

2

•:DP+PG⑴G

：，当O,P,G共线时，尸。+工尸。的值最小,

2

最小值为DG=J42+32=5

(3)同(2)中证法，如图3,

D

图3

当点尸在。G的延长线上时，尸。-4尸。的最大值，最大值为。G=A.

2

【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点

之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考

问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题.

20.问题提出

（1）如图1,正方形48CD的对角线交于点。，ACDE是边长为6的等边三角形，则O、E

之间的距离为_3石+3_；

问题探究

（2）如图2,在边长为6的正方形N2C。中，以CD为直径作半圆。，点尸为弧CZ）上一动

点，求N、P之间的最大距离；

问题解决

（3）窑洞是我省陕北农村的主要建筑，窑洞宾馆更是一道靓丽的风景线，是因为窑洞除了

它的坚固性及特有的外在美之外，还具有冬暖夏凉的天然优点家住延安农村的一对即将参加

中考的双胞胎小宝和小贝两兄弟，发现自家的窑洞（如图3所示）的门窗是由矩形N8CD及

弓形组成，AB=2m,8c=3.2加，弓高AW=L2〃?（N为4D的中点，MNLAD）,

小宝说，门角8到门窗弓形弧/D的最大距离是3、M之间的距离.小贝说这不是最大的

距离，你认为谁的说法正确？请通过计算求出门角2到门窗弓形弧ND的最大距离.

【考点】圆的综合题

【分析】（1）如图1，连接/C,BD,对角线交点为O,连接OE交于X,证明OE垂

直平分DC,四边形/BCD为正方形，分别求出。8和解的长度即可；

(2)如图2,补全OO,连接NO并延长交。。右半侧于点尸，则此时/、尸之间的距离

最大，在RtAAOD中，由勾股定理求出/。的长，可进一步求出/P的长；

(3)小贝的说法正确，如图3,补全弓形弧所在的。。，连接ON,OA,过点。作

0£，/3于点£,连接80并延长交O。上端于点尸，则此时8、P之间的距离即为门角B

到门窗弓形弧的最大距离，先求出的半径，再在RtAANO中，由勾股定理求出8。的

长，可进一步求出AP的长.

【解答】解：(1)如图1,连接NC,BD,对角线交点为。，连接OE交CD于〃，

则OD=OC,

ADCE为等边三角形，

ED=EC