2025年中考数学思想方法复习【转化思想】函数中的转化思想（解析版）

函数中的转化思想

知识方法精讲

1.转化思想

转化不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思

维方式。所谓的转化思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过

变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题;

将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题;将未解决的问题通过变换转化为已解决的问

题。总之，转化在数学解题中几乎无处不在，转化的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成

简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，转化的实质就是以运动变化发展的观点，以

及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使

问题得以解决。实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静,

由抽象到具体等转化思想。

2.一次函数综合题

(1)一次函数与几何图形的面积问题

首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积.

(2)一次函数的优化问题

通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前

面范围内的前提下求出最值.

(3)用函数图象解决实际问题

从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题.

3.二次函数的图象

(1)二次函数夕二办2(aWO)的图象的画法：

①列表：先取原点(0,0),然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表.

②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点.

③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点.

④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在

顶点的两侧各取三四个点即可.连线成图象时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序

用平滑的曲线连接起来.画抛物线》=仆2QW0)的图象时，还可以根据它的对称性，先用

描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧.

(2)二次函数yMqf+bx+c(aWO)的图象

二次函数^="2+及+。(QWO)的图象看作由二次函数>=办2的图象向右或向左平移|互|

2a

个单位，再向上或向下平移।超」3个单位得到的.

4.二次函数的性质

2

二次函数V=ax2+bx+c(QWO)的顶点坐标是(-一，b),对称轴直线'=-q_,

2a4a2a

二次函数歹=Qf+bx+c(aWO)的图象具有如下性质：

①当Q>0时，抛物线v=Q/+bx+c(QWO)的开口向上，XV--L时，y随X的增大而减小;

2a

2

X>--L时，y随X的增大而增大；x=--L时，y取得最小值纥0一,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最低点.

②当a<0时，抛物线y=a/+6x+c(a¥O)的开口向下，x<-时，/随x的增大而增大;

2a

2

x>-旦时，V随X的增大而减小；x=-_k_时，4取得最大值要0一，即顶点是抛物线

2a2a4a

的最高点.

③抛物线yuaf+fcr+cCaWO)的图象可由抛物线>=办2的图象向右或向左平移|--L|个单

一2a

位，再向上或向下平移|个单位得到的.

5.二次函数图象与几何变换

由于抛物线平移后的形状不变，故。不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方

法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑

平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

6.待定系数法求二次函数解析式

(1)二次函数的解析式有三种常见形式：

①一般式：y—ax2+bx+c(a,b,c是常数，aWO)；②顶点式：y—a(x-/z)~+k(a,h,

左是常数，aWO),其中(h,k)为顶点坐标；③交点式：y=a(x-xi)(x-X2)Ca,b,c

是常数，aWO)；

(2)用待定系数法求二次函数的解析式.

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系

式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列

三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；

当已知抛物线与X轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.

7.抛物线与x轴的交点

求二次函数y=af+6x+c（°,6,c是常数，aWO）与x轴的交点坐标，令y=O,即^^+加什。

=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.

（1）二次函数y=ox2+6x+c（a,b,c是常数，aWO）的交点与一元二次方程ax2+6x+c=0

根之间的关系.

△=启-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.

△=y-4℃>0时，抛物线与x轴有2个交点；

△=房-4℃=0时，抛物线与x轴有1个交点；

△=庐-4℃<0时，抛物线与x轴没有交点.

（2）二次函数的交点式：y=a（x-xi）（x-X2）（a,b,c是常数，aWO）,可直接得到抛

物线与x轴的交点坐标（XI,0）,（X2,0）.

8.图象法求一元二次方程的近似根

利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：

（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；

（2）由图象与夕=〃的交点位置确定交点横坐标的范围；

（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）.

9.二次函数与不等式（组）

二次函数y=ax2+6x+c（a、b、c是常数，aWO）与不等式的关系

①函数值〉与某个数值加之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得

自变量x的取值范围.

②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交

点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解.

10.二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系

式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即

为正确选项.

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键

是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,

并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

(3)二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立

直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的

取值范围要使实际问题有意义.

选择题(共12小题)

1.(2021秋•余杭区月考)某二次函数的图象与函数y=g/-4x+3的图象形状相同、开口

方向一致，且顶点坐标为(-2,1),则该二次函数表达式为()

A.y=-(x-2)2+1B.y=-(x-2)2-1

11,

C.y=-(x+2)2+1D.y=--(x+2)2+1

【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质

【分析】设抛物线的解析式为y=q(x+/z)2+左，由条件可以得出再将顶点坐标代入

解析式就可以求出结论.

【解答】解：设抛物线的解析式为歹=〃(工+力)2+左，且该抛物线的形状与开口方向和抛物

线歹=—X2一4%+3的相同，

2

1

CL——，

2

1

~(x+〃9)+左，

,顶点坐标是(-2,1),

1,

,-.j；=-(x+2)2+1,

这个函数解析式为y=；(尤+2>+1.

故选：C.

【点评】本题考查了根据顶点坐标运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，在解答时运

用抛物线的性质求出。值是关键.

2.(2021•市中区三模)抛物线了=/+法+3的对称轴为直线x=l.若关于x的一元二次方

程/+（6+2K+3-=0（/为实数）在-l<x<4的范围内有实数根，则I的取值范围是（）

A.3-#<19B.2C.6<^<11D.2-#<6

【考点】二次函数的性质；抛物线与X轴的交点

【分析】先利用抛物线的对称轴方程得到6=-2,再利用方程/=-3在-1<X<4的范围

内有实数根，则/-3W且d=<4或/-%笥且-VTb>-1,然后解不等式确定/的范围.

【解答】解：•.•抛物线kf+6x+3的对称轴为直线x=l,

——=1,解得6=—2,

2

二关于x的一元二次方程x?+（6+2）x+3-t=0（/为实数）化为/=/-3,

,关于x的一元二次方程x?+（b+2）x+3-f=0（/为实数）在-1<x<4的范围内有实数根，

t—3To且［t-3<4或t—3co且/-3>—1,

解得3v■<19或<4,

综上所述，，的范围为3vL<19.

故选：A.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数了="2+为+°（。，b,c是常数,

a片0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

3.（2021•榆阳区模拟）抛物线y=f+bx+2的对称轴为直线x=l.若关于x的一元二次方

程/+酗+2-=0”为实数）在-l<x<4的范围内有实数根，则f的取值范围是（）

A.1~#<5B.fdC.5<f<10D.1-#<10

【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点

【分析】先利用抛物线的对称轴方程求出6=-2,则可把关于x的一元二次方程

x2+bx+2-=0«为实数）在-1cx<4的范围内有实数根转化为抛物线了=x2-2x+2-（/

为实数）在-l<x<4的范围与x轴有交点（如图），结合图象和判别式的意义得到^

=（-2>-4（2-且x=4时，y>0,即16-8+2->0,然后求出两不等式的公共部分

即可.

【解答】解：•.■抛物线y=Y+bx+2的对称轴为直线x=l,

—=1,解得6=-2,

2x1

关于x的一元二次方程/+灰+2-/=0变形为--2工+2-/=0,

把关于x的一元二次方程/+云+27=0”为实数）在-l<x<4的范围内有实数根转化为

抛物线y=f-2x+2-9为实数）在-l<x<4的范围与x轴有交点（如图），

A=（-2）2-4（2-/）^Mx=40t,y>Q,即16-8+2-/>0,

解得1-#<10.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数了="2+反+c（a,b,c是常数,

。w0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△="4ac决定抛物线与x

轴的交点个数.也考查了二次函数的性质.

4.（2020秋•郑城县期末）抛物线了=f+bx+2的对称轴为直线x=l.若关于x的一元二

次方程/+法+2-=0”为实数）在T<x<5的范围内有实数根，贝卜的取值范围是（）

A.U0B.<17C.<17D.3~^<19

【考点】二次函数的性质；抛物线与X轴的交点

【分析】一元二次方程/+法+2-=0（，为实数）在-1<X<5的范围内有实数根，则

乂=/-2x+2和〉=f有交点，进而求解.

【解答】解：x=l=--,解得6=-2,

2

设了］=x~+bx+2=x?—2x+2=（x-1）~+11

则该函数的开口向上，顶点坐标为（1,1）,

则x=5比x=-l离函数的对称轴远，

当x=5时，=x2-2x+2=25-10+2=17,

而一元二次方程x2+bx+2-t=Q（t为实数）在-1<工<5的范围内有实数根,

贝!］弘=尤？-2x+2和y=/有交点，

故1十<17,

故选：C.

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生

非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征.

5.（2021•寻乌县模拟）抛物线y=x?+办+3的对称轴为直线x=l.若关于x的方程

尤2+G+3-=0（/为实数）在-2<x<3的范围内有实数根，则f的取值范围是（）

A.6<^<11B.C.<11D.<6

【考点】H3：二次函数的性质；HA：抛物线与x轴的交点

【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为了=V-2x+3,将一元二次方程

/+^+3-/=0的实数根可以看做了=》2-2工+3与函数〉=1的有交点，再由-2<x<3的

范围确定y的取值范围即可求解.

【解答】解：•.•>=/+依+3的对称轴为直线了=1,

u=-2,

y=x2-2x+3,

二.一元二次方程x2+ax+3-t=0的实数根可以看做歹=f—2%+3与函数》的有交点，

・・・方程在-2<x<3的范围内有实数根，

当x=-2时，>=11;

当％=3时，y=6；

函数>=2x+3在时有最小值2；

2_#,<11.

故选：C.

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线

的交点问题，借助数形结合解题是关键.

6.（2021•启东市模拟）抛物线了=-》2+bx+3的对称轴为直线x=-l,若关于x的一元二次

方程-2+法+3-1=0。为实数）在-2<x<3的范围内有实数根，贝野的取值范围是（）

A.-12WB.-12<Z<4C.-12<pD.-12<?<3

【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点

【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为了=-f_2x+3，将一元二次方程

-x2+to+3-Z=0的实数根可以看作了=-Y-2x+3与函数y=f的图象有交点，再由

-2<x<3的范围确定〉的取值范围即可求解.

【解答】解：•.•抛物线、=-/+反+3的对称轴为直线》=-1,

b=-2,

y=-x~—2x+3,

J一元二次方程-Y++3-f=0的实数根可以看作了=-》2-2工+3与函数〉=/的图象有

交点，

•.■方程在-2<x<3的范围内有实数根，

当x=-2时，了=3；

当x=3时，y=-12；

函数y=-x?-2x+3在x=T时有最大值4；

/,—12<才-^4.

故选：C.

【点评】本题考查抛物线与X轴的交点，二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题

转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键.

7.二次函数了=/+法的对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程X?+6无-/=0«为

实数）在-l<x<4的范围内有解，贝!1/的取值范围是（）

A.0</<5B.—4世<5C.—4y<0D.

【考点】根的判别式；二次函数的性质；抛物线与X轴的交点

【分析】先求出6,确定二次函数解析式，关于X的一元二次方程/+为-才=0的解可以看

成二次函数y=f-4x与直线y=f的交点，-l<x<4时-4守<5,进而求解.

【解答】解：•.•对称轴为直线x=2,

/.b=—4,

y=无？-4尤,

关于x的一元二次方程x2+bx-t=0的解可以看成二次函数y=x2-4x与直线y=f的交点，

----1<x<4,

，二次函数y的取值为-4守<5,

-4^^<5；

故选：B.

【点评】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二

次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键.

8.二次函数了=Y+6x—的对称轴为x=2.若关于x的一元二次方程/=0在

-l<x<3的范围内有实数解，贝I"的取值范围是（）

A.—<5B.—<—3C.t^=~4D.—3<f<5

【考点】H3：二次函数的性质；HA：抛物线与x轴的交点

【分析】根据对称轴求出6的值，从而得到x=-l、3时的函数y=f-4x值，再根据一元

二次方程f=0（/为实数）在-1<x<3的范围内有解相当于y=x,+6%与y=/在x的

范围内有交点解答.

【解答】解：•••抛物线的对称轴x=-。=2,

2

b=-4,

则方程/=0,BPx2-4x-^=0的解相当于y=f一4%与直线y=/的交点的横坐标,

•・・方程/+及-，=0在-1<%<3的范围内有实数解，

.•.当x=—1时，>=1+4=5,

当％=3时，y=9-n=-3,

X=x2-4x=（x-2）2-4,

.•.抛物线歹—4x的对称轴为x=2,最小值为>=—4,

.•.当一l<x<3时，贝4寸<5,

.•.当-4V<5时，直线y=f与抛物线了=/-4无在-l<x<3的范围内有交点,

即当-4世<5时，方程/+乐T=0在-l<x<3的范围内有实数解，

:/的取值范围是+f<5,

故选：A.

【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关

键.难点是把一元二次方程/+笈7=0在-l<x<3的范围内有实数解，转化为函数

y=x2+6x与直线y=f在-1<x<3的范围内有交点的问题进行解答.

9.二次函数了=x2+bx-l的图象如图，对称轴为直线x=l,若关于x的一元二次方程

尤2-2》-1-/=0。为实数）在-l<x<4的范围内有实数解，贝！k的取值范围是（）

【考点】H3：二次函数的性质；HA：抛物线与x轴的交点

【分析】利用对称性方程求出6得到抛物线解析式为y=f-2尤-1,则顶点坐标为（1,-2）,

再计算当-l<x<4时对应的函数值的范围为-2守<7,由于关于x的一元二次方程

x2-2x-l-t^0（t为实数）在-l<x<4的范围内有实数解可看作二次函数y=f-2x-1

与直线y=t有交点，然后利用函数图象可得到/的范围.

【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=-2=l,解得6=-2,

2

.•.抛物线解析式为y=x2-2x-l,则顶点坐标为（1,-2）,

当x=-1时，y=x2—2x—1=2；当x=4时，y=x2—2x—1=7,

当-l<x<4时，一2寸<7,

而关于x的一元二次方程x2-2x-l-t^0（f为实数）在-l<x<4的范围内有实数解可看作

二次函数y=f-2工-1与直线>=:有交点,

<7.

故选：B.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数了="2+法+或0,b,c是常数，

。*0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

10.（2020•日照二模）抛物线y=f+笈+3的对称轴为直线x=2.若关于x的一元二次方

程尤2+乐+3-=0。为实数）在l<x<5的范围内只有一个实数根，则/的取值范围是（

）

A.（M"<8或f=-lB.XC.0<?<8D.

【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点

【分析】根据二次函数的对称轴求得6值，从而得出函数的解析式，将一元二次方程

/+加+3-/=0。为实数）在-l<x<5的范围内有实数根可以看作>=/一4工+3与函数

y=t有交点，再由-1<x<5时的临界函数值及对称轴处的函数值得出/的取值范围即可.

【解答】解：•.■抛物线了=Y+6x+3的对称轴为直线x=2.

——=2,解得：b=—4）

2

y=x2-4x+3,

J一元二次方程x2+bx+3-t=0有实数根可以看作了=尤2-4%+3与函数》=/只有一个交

点，

V方程x2-4x+3-t^0（t为实数）在l<x<5的范围内只有一个实数根，

当x=1时，y=0；

当x=5时，y=8；

当x=2时，y=-l；

当/=一1时，就是过顶点时也是一个实数根.

：.t的取值范围是（>m<8或者f=-i.

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点及交点与一元二次方程的实数根的关系，明确二

次函数的相关性质是解题的关键.

11.（2020春•越秀区校级月考）抛物线了=/+乐+3的对称轴为直线x=2.若关于》的一

元二次方程/+法+3-=0（，为实数）在-l<x<4的范围内有实数根，则/的取值范围是（

）

A.-1-#<3B.3</<8C.-1-#<8D.—1<Z<4

【考点】二次函数的性质；抛物线与X轴的交点

【分析】根据二次函数的对称轴求得6值，从而得出函数的解析式，将一元二次方程

x2+bx+3-t=O（t为实数）在-1<x<4的范围内有实数根可以看做了=f-4x+3与函数

y=，有交点，再由-1<x<4时的临界函数值及对称轴处的函数值得出力的取值范围即可.

【解答】解：•.•抛物线>=尤2+乐+3的对称轴为直线苫=2.

——=2,解得：6=-4,

2

y——4x+3,

.1一元二次方程/+加+3-=0有实数根可以看做y=f-4x+3与函数y=/有交点，

•.■方程--4x+3-1=0”为实数）在-l<x<4的范围内有实数根，

当x=-l时，y=8；

当x=4时，y=3；

当x=2时，y=-l；

.•/的取值范围是-1H<8.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点及交点与一元二次方程的实数根的关系，明确二

次函数的相关性质是解题的关键.

12.（2020•泉州模拟）二次函数y=尤2+及的对称轴为直线》=1,若关于x的一元二次方程

尤2+法一=0（/为实数）在-3<x<4的范围内有解，则,的取值范围是（）

A.0</<8B.—l-^<15C•—<8D.8</<15

【考点】二次函数的性质；抛物线与X轴的交点

【分析】先利用抛物线的对称轴方程求出6=-2,则可把关于X的一元二次方程

尤2+反7=0（/为实数）在-3<工<4的范围内有实数根转化为抛物线v=V-2x-9为实数）

在-3<x<4的范围与x轴有交点（如图），结合图象和判别式的意义得到△=（-2）2-4（T）T0

且x=-3时，y>0,即9+6->0,然后求出两不等式的公共部分即可.

【解答】解：•••抛物线7=/+区的对称轴为直线x=l,

——=1,解得6=-2,

2x1

关于x的一元二次方程/+bx-t=0变形为x2-2x-t=0,

把关于x的一元二次方程x2-2x-t=0（,为实数）在-3<x<4的范围内有实数根转化为抛物

线了=x2-2x-9为实数）在-3<x<4的范围与x轴有交点（如图），

.•.△=（-2）2-4（T）何且x=-3时，y>0,即9+6—/>0,

解得-1V<15.

故选：B.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数了="2+法+或0,b,c是常数,

“R0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△=〃-4“c决定抛物线与x

轴的交点个数.也考查了二次函数的性质.

二.填空题（共6小题）

13.如图是，二次函数了=-f+4x的图象，若关于x的一元二次方程-/+4》-=0«为实

数）在l<x<5的范围内有解，贝!k的取值范围是_-5<曰_.

【考点】根的判别式；抛物线与X轴的交点

【分析】先利用二次函数的性质得到x=2时，y有最大值4,再计算出x=5时，y=-5,

由于关于x的一元二次方程-尤2+4尤-1=0（/为实数）在1<x<5的范围内有解可看作抛物线

了=一^+4无与〉=/在1<》<5内有公共点，然后利用函数图象可得到/的范围.

【解答】解：y=-x2+4x=-（x-2）2+4,

当x=2时，y有最大值4,

当x=5时，y--x1+4x=-5,

关于x的一元二次方程-公+4》7=00为实数）在l<x<5的范围内有解可看作抛物线

y=-x2+4%与夕=/在1Vx<5内有公共点，

所以t的范围为-5<p.

故答案为-5<0.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y="2+bx+c（a,b,c是常数，

与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

14.（2021•南关区校级二模）如图，二次函数了=-x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4,0）,

若关于x的方程尤2-加x+f=0”为实数）在l<x<4的范围内有解，则Z的取值范围是

0<

【考点】二次函数的性质；抛物线与X轴的交点

【分析】先利用抛物线的对称轴求出加得到抛物线解析式为y=-f+4x,再计算出自变量

为1和4对应的函数值，然后利用函数图象写出直线>=/与抛物线歹=-/+4》在l<x<4时

有公共点时，t的范围即可.

【解答】解：••・抛物线的对称轴为直线x=—=2,解得加=4,

2x(-1)

，抛物线解析式为了=-^+4尤，

抛物线的顶点坐标为(2,4),

当x=l时，y=-x?+4x=-1+4=3；

当x=4时，y--x2+4x=-16+16=0,

当x=2时，y=4,

在l<x<4时有公共点时

当直线y=/与抛物线V=-x2+4x在l<x<4时有公共点时，0<p,

故答案为0<.

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生

非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征.

15.(2020秋•长春期末)在平面直角坐标系中，抛物线了=1+队+5的对称轴为直线

x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+5-t=0(t为实数)在-1<x<4的范围内有实数根,

则/的取值范围为

【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点

【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为了=/-2x+5,将一元二次方程

/+笈+5-/=0的实数根可以看做了=/-2%+5与函数〉=/的有交点，再由-l<x<4的

范围确定〉的取值范围即可求解.

【解答】解：■「y=V+加+5的对称轴为直线x=1,

b=-2,

y=x2-2x+5,

.1一元二次方程f+乐+5-f=0的实数根可以看做了=/一2》+5与函数/=/的有交点，

V方程在T<x<4的范围内有实数根，

当x=-l时，y=8；

当尤=4时，>=13；

函数y=f-2x+5在x=l时有最小值4；

4-^<13«

故答案为4V<13.

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线

的交点问题，借助数形结合解题是关键.

16.（2020•立山区二模）抛物线>=/+区+3的对称轴为直线x=l,若关于x的一元二次

方程工2+笈+3-/=0。为实数）在-l<x<4的范围内有实数根，贝心的取值范围是

2V<11一

【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点

【分析】根据抛物线>=/+加+3的对称轴为直线x=l,可以求得6的值，然后即可得到

该函数的解析式，再根据二次函数的性质，即可得到当-l<x<4时，y的取值范围，然后

令>=/,即可转化为方程/+6尤+3-?=0,从而可以得到f的取值范围.

【解答】解：•.•抛物线昨尤2+乐+3的对称轴为直线x=i,

——=1,得b=-2,

2x1

y=x—2x+3=（x—1）~+2,

当-l<x<4时，》的取值范围是2守<11,

当y=/时，f=X2-2x+3,即/+6x+3—f=0,

•.・关于X的一元二次方程f+法+3-/=0«为实数）在-1<X<4的范围内有实数根，

：工的取值范围是2宣<11,

故答案为：2-#<11.

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利

用二次函数的性质解答.

17.（2020•浙江自主招生）已知了=/+蛆-6,当EW时，y<0恒成立，那么实数x的

取值范围是_-3<x<-3+后

2

【考点】HB：图象法求一元二次方程的近似根

【分析】根据1/7,得出两个不等式：当加=3时，、2+3、一6<0；当冽=1时，x2+x-6<0；

分别解不等式-+3x-6<0,X2+X-6<0,可求实数x的取值范围.

【解答】解：»<0,

当加=3时，X2+3X-6<0,

由y=%2+3x-6<0,

ZH—3—,33—3+<33

得-------<%<--------;

22

当冽=1时，x2+x-6<0,

由）=f+x—6<0,—3<x<2.

实数X的取值范围为：-3<x<士叵.

2

故答案为：一3Vxe-"后.

2

【点评】本题考查了用二次函数的方法求自变量x的取值范围.关键是分类列不等式，分别

解不等式.

18.二次函数y的图象如图，对称轴为直线x=l.若关于x的一元二次方程

/+aT=0。为实数）在-l<x<4的范围内有解，贝心的取值范围是_-旧<8^.

【考点】二次函数的图象；二次函数与不等式（组）

【分析】根据对称轴求出6的值，从而得到x=-l、4时的函数值，再根据一元二次方程

x2+bx-t=0（/为实数）在-l<x<4的范围内有解相当于了=x?+bx与>=/在-l<x<4内

有交点，依此求解即可得出结论.

【解答】解：•・•对称轴为直线x=-2=l,

2x1

b=-2,

二次函数解析式为y=x2-2x.

当x=-l时，>=1+2=3；

当x=4时，>=16-2x4=8；

当x=l时，y=l-2=-l.

x2+6x-/=0相当于y=+6x与直线y=?的交点的横坐标，

二.当-k#<8时，在-l<x<4的范围内有解.

故答案为：-1^<8.

【点评】本题考查了二次函数的图象以及二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图

象的交点的问题求解是解题的关键.

三.解答题（共5小题）

19.（2021秋•槐荫区期末）请阅读下列解题过程：

解一元二次不等式：x2-5%>0.

解：设f-5x=0,解得：玉=0,马=5,则抛物线了=x2-5x与x轴的交点坐标为（0,0）和

（5,0）.画出二次函数y=x2-5x的大致图象（如图所示）.由图象可知：当x<0,或当x>5

时函数图象位于x轴上方，止匕时y>0,即X2-5X>0.

所以一元二次不等式/-5x>0的解集为：x<0,或x>5.

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和—.（只填序号）

①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想.

（2）用类似的方法解一元二次不等式：X2-2X-3<0.

【考点】抛物线与X轴的交点；二次函数与不等式(组)

【分析】(1)解答过程将求一元二次不等式解集的问题转化成一元二次方程与二次函数的问

题，并结合函数草图判断自变量的取值范围，所以涉及的数学思想有转化思想与数形结合的

思想；

(2)先求方程Y-2x-3=0的解，再结合二次函数了=Y-2x-3的大致图象，根据图象在

x轴下方的部分确定x的取值范围即可得不等式的解集.

【解答】解：(1)根据示例可知，将一元二次不等式解集的问题转化成一元二次方程与二次

函数的问题，并结合函数草图判断自变量的取值范围，所以涉及的数学思想有转化思想与数

形结合的思想，

故答案为①，③

(2)解一元二次不等式：x2-2x-3<0.

解：设--2》-3=0,解得：%=-1,%=3，则抛物线>=/一2彳-3与x轴的交点坐标

为(-1,0)和(3,0).画出二次函数了=/-2丫-3的大致图象(如下图所示).由图象可知：当

-l<x<3时函数图象位于x轴下方，此时y<0,即f一2X-3<0.

【点评】本题考查的二次函数与一元二次不等式的关系，根据转化思想将一元二次不等式解

集的问题转化成一元二次方程与二次函数的问题，再根据数形结合的思想求解集是本题的关

键.

20.（2020秋•历下区期末）如图，直线，：y=fcc+6与y轴交于点8（0,3）,直线/z：y=-2x-l

交y轴于点N,交直线4于点尸（一口）.

（1）求左、6和f的值；

（2）求A4Ap的面积；

（3）过动点。伍,0）作x轴的垂线与直线4、12,分别交于“、N两点，且MN<4.

①求°的取值范围；

②当A4MP的面积是AO四的面积的！时，求如V的长度.

2

【考点】一次函数综合题

【分析】(1)可先求得尸点坐标，再由2、P两点的坐标，解方程组可得出答案；

(2)由三角形面积公式可得出答案；

(3)①用a可分别表示出河、N的坐标，则可表示出的长，由条件可得到关于a的不

等式，则可求得“的取值范围；

②由条件可知点”应在7轴左侧，当点"在线段尸8上时，则可知=|^^，则可求

得M点到y轴的距离；当点”在线段8P的延长线上时则可知S.w=$用8,可求得“到N

轴的距离；再利用①中MN的长可求得答案.

【解答】解：(1)•.•点尸(-1J)在直线直线「上，

.•./=-2x(-l)-l=l,

即尸(一1,1)，

把3、P的坐标代入可得

\-k+b=\

\b=3'

解得[：=2,

[b=3

t=1Jk=2,6=3；

(2)•.•直线>=-2工-1交y轴于点/,

4(0,—1)，

•・•尸(一1,1),5(0,3),

=；/3xl=gx4=2；

(3)①•.•AW//〉轴，

:.M、N的横坐标为a,

设V、N的纵坐标分别为加和6，由(1)可知直线4的函数表达式为y=2x+3,

加=2。+3，yN=-2a-1，

当AW在点尸左侧时，此时a<-1,

贝！J有MN=yN-yM=一2a-1一(2Q+3)=-4tz-4,

•:MN<4,

.•.-4a-4<4,解得。>-2,

止匕时-2<。<-1；

当ACV在点尸的右侧时，此时°>-1,

则有MN=yM-yN=2a+3-(-la-1)=4tz+4,

■.■MN<4,

.-.4a+4<4,解得a<0,

止匕时-1<a<0；

当a=-l时，也符合题意,

综上可知当-2<a<0时，MN<4；

②由（2）可知也匹=2,

由题意可知点M只能在y轴的左侧，

当点”在线段AP上时，过点M作MCLy轴于点C,如图1

144

:.—ABMC=—,BP2MC=~,

233

解得MC=—,

3

.•.点"的横坐标为-4,即〃=-4，

33

84

.\MN=4a+4=——+4=一；

33

当点M在线段8尸的延长线上时，过点M作轴于点。，如图2,

一S\ABM-2sA24PB—4f

-ABMD=4,BP2MD=4,

2

解得〃0=2,

.•.点M的横坐标为-2,

,-.ACV=-4a-4=8-4=4（不合题意舍去），

4

综上可知MN的长度为-.

3

【点评】本题是一次函数综合题，涉及待定系数法、函数图象的交点、三角形的面积、分类

讨论思想等知识.熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.

21.（2021秋•惠民县月考）小刚在用描点法画抛物线》=亦2+bx+c时，列出了下面的表格:

X-2-101234

y-3023320

3

（1）请根据表格中的信息，写出抛物线的一条性质：抛物线的对称轴是x='（答案不

2

唯一）；

（2）求抛物线的解析式；

（3）抛物线与x轴的交点分别为/、8（/在3的左侧）与y轴的交点为C,其对称轴与x轴

的交点为。，在抛物线的对称轴上存在点P,使APCA是以CD为腰的等腰三角形，求出尸

点的坐标；

（4）在（3）的条件下，抛物线上有一点0,使A3C。的内心在x轴上，直接写出点0的坐

标.

备用图1备用图2

【考点】二次函数综合题

【分析】（1）根据表格中给出点的坐标可得出答案；

（2）由待定系数法可求出答案；

（3）根据勾股定理求出CD的长，由等腰三角形的性质可求出答案；

（4）先作出点C关于x轴的对称点C',然后连接3C'并延长交抛物线于点。，根据对称性

可知。为所求的点.

【解答】解：（1）•.・抛物线经过（-1,0）,（4,0）,

...抛物线的对称轴是x=士乌=-；

22

故答案为：抛物线的对称轴是（答案不唯f

(2)•.•抛物线经过(-1,0),(0,2),(1,3),

解得\b=—

2

抛物线的解析式为j=~x2+jx+2；

(3)如图1,

图1

•••抛物线y」x2+3x+2」(xU)2+生,

22228

.•.抛物线的对称轴x=-3,

2

3

:.OD=~,

2

•・•C(0,2),

二.OC=2,

在RtAOCD中，由勾股定理得CO=9,

2

VACZ)尸是以为腰的等腰三角形，

/.CPX=DP2-DP3=CD,

如图所示，作CEL对称轴于E,

/.EP、=ED=2,

DPX—4,

(4)如图2.作点C关于x轴的对称点。，则C(0,-2),连接BC'并延长与抛物线交于点Q,

由图形的对称性可知。为所求的点，

设直线BC'的解析式为y=加工+几,

，口=+/口

由题思得：\[4m+n=0,

[n=-2

.1

e,口m=—

解得：,2，

n=-2

，直线8C'的解析式为y=；x-2,

将直线和抛物线的解析式联立得：

-1、

y=-x-2

2

13c

y——x2H—x+2

122

解得[%=4（舍去）或卜=一2,

Vi=。1%=-3

2（-2,-3）.

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象

上点的坐标特征以及二次函数的性质，三角形内心的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握

等腰三角形的性质是解题的关键.

22.（2021秋•泗水县期中）如图,抛物线y=/+6x-4a（a）0）经过4-1,0）,2（0,4）两点,

与x轴交于另一点3,连接ZC,BC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）平行于x轴的直线＞=-14与抛物线分别交于点。、E,求线段的长.

（3）点P是线段03上一点（不与点8、。重合），过点尸作尸”，工轴交抛物线于点

连接CM、BM,求A3CW面积的最