2025年中考数学思想方法复习【转化思想】方程中的转化思想（原卷版）

方程中的转化思想

知识方法精讲

1.转化思想

转化不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思

维方式。所谓的转化思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过

变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；

将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题;将未解决的问题通过变换转化为已解决的问

题。总之，转化在数学解题中几乎无处不在，转化的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成

简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，转化的实质就是以运动变化发展的观点，以

及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使

问题得以解决。实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，

由抽象到具体等转化思想。

2.一元一次方程的解

定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.

把方程的解代入原方程，等式左右两边相等.

3.二元一次方程组的解

（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的.数学概念是数学的基础与出发点，当遇到

有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程

组，这种方法主要用在求方程中的字母系数.

4.解二元一次方程组

（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，

将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.②将变形后的关系式

代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程，求

出或y）的值.④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值.⑤

把求得的X、＞的值用“{”联立起来，就是方程组的解.

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数

的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相

等或互为相反数.②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元

一次方程.③解这个一元一次方程，求得未知数的值.④将求出的未知数的值代入原方程

组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值.⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，

就得到原方程组的解，用［x=a的形式表示.

Iy=b

5.解三元一次方程组

（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都

是1,并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.

（2）解三元一次方程组的一般步骤：

①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组

中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组.②然后解这个二元一次

方程组，求出这两个未知数的值.③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系

数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程.④解这个一元一次方程,

求出第三个未知数的值.⑤最后将求得的三个未知数的值用合写在一起即可.

6.解一元二次方程-直接开平方法

形如d=p或（"X+加）2=p520）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方

程.

如果方程化成/=〃的形式，那么可得了=土丘；

如果方程能化成（〃x+%）2=p（020）的形式，那么〃x+m=±、后.

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.

②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.

③方法是根据平方根的意义开平方.

7.解一元二次方程-配方法

（1）将一元二次方程配成（x+m）2=〃的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二

次方程的方法叫配方法.

（2）用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为"（a#0）的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负

数，则判定此方程无实数解.

8.解一元二次方程-公式法

（1）把苫=.V（户-4℃20）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（aWO）的求根

2a

公式.

（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式，进而确定a,b,c的值（注意符号）；

②求出庐-4ac的值（若庐-4℃<0,方程无实数根）；

③在庐-4℃20的前提下，把°、6、c的值代入公式进行计算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①aWO；②房-4ac20.

9.解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形

式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把

原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）.

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因

式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程

的解.

10.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△=户-4℃）判断方程的根的情况.

一元二次方程ad+bx+cn。（aWO）的根与△=6?-4ac有如下关系：

①当△>◊时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=（）时，方程有两个相等的两个实数根；

③当AVO时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

11.根与系数的关系

(1)若二次项系数为1,常用以下关系：XI,X2是方程，如+4=0的两根时，Xl+X2=-P，

xiX2=q,反过来可得p=-(X1+X2),«=X1X2,前者是已知系数确定根的相关问题，后者

是已知两根确定方程中未知系数.

(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系：xi,X2是一元二次方程。x2+bx+c=0(aWO)

的两根时，Xl+X2=—殳，X1X2=—,反过来也成立，即2=-(X1+X2),——X\X2.

aaaa

(3)常用根与系数的关系解决以下问题：

①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根，求

另一个根及未知数.③不解方程求关于根的式子的值，如求，X/+X22等等.④判断两根的

符号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值.这类问题比较综合,

解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑aWO,△》()这两个前提条件.

12.分式方程的解

求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解.

注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范

围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

13.分式方程的增根

(1)增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后

分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做

原方程的增根.

(2)增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式

方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条

件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围

扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现

增根.

(3)检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母

是否为0,如果为0,则是增根；如果不是0,则是原分式方程的根.

选择题(共11小题)

1.(2021春•松江区期末)下列方程中，有实数解的是()

1y2

A.x2+1=0B.x+-=lC.yj2x+3=-xD.—..........=0

xx+2x

2.（2021•盂县一模）将关于x的一元二次方程——px+q=o变形为炉="一^,就可以将

f表示为关于X的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3=xf2=x（px-4）=~,

我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”,

己知：x2-x-l=0,且x>0,则d+l的值为（）

A.1+V5B.1-V5C.3-75D.3+75

3.（2020•高青县二模）己知〃是方程Y+2020x+l=0的两个根，则

（1+20221+22）（奶+62）的值为（）

A.-4040B.4044C.-2022D.2020

4.方程组+'="的解为1,则被遮盖的两个数M、N分别为（）

[x+y=3[>=N

A.4,2B.1,3C.2,3D.2,4

5.设再，/是方程-—3x+l=0的两根，则+）

A.0B.s/5C.3D.5

6.（2021秋•宣化区期末）一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（）

A•x——1B•x=2C.Xj—1,%2=2D•玉——1,x2=2

7.（2020•浙江自主招生）方程&x+l）（x-4）+式x+2）（5-x）=6的实数解的个数为（）

A.0B.1C.2D.大于2

8.下列无理方程中，有实数解的方程是（）

A.y/x-10—J1-x=1B.y/x—l=-2

C.J3x+2+J2x-1+1=0D.Jx-1=2

9.用代入法解方程组=时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（）

[3x+2y=8

A.3x+4j-3=8B.3x+4x-6=8C.3x—2x—3=8D.3x+2x—6=8

------------＜"Y+4

10.（2021•元阳县模拟）若关于X的一元一次不等式组2的解集为9,且关

于y的分式方程2W-殳9=2有正数解，则所有满足条件的整数a的值为（）

y-l1-y

A.6.7,8,9B.6,7,8C.7,8D.6,8

xx+x2+x3=ax(1)

x2+x3+x4=a2(2)

11.〈X3+%+/=%(3),其中外,a2fa3f%,%是常数，且可>%>〃3>%>%，贝U再，

%+/+玉=。4G)

x5+x1+x2=a5(5)

x2,x3,x4,x5的大小顺序是（）

A.>x2>x3>x4>x5B.x4>x2>^>x3>x5

C.x3>x1>x4>x2>x5D.%5>X3>玉>%4>%2

二.填空题（共3小题）

a

12.（2021秋•鼓楼区校级期中）已知关于工的一元一次方？一x+l=2x+冽的解为1=-4,

19

那么关于V的一元一次方程一（y-2）+1=2（y-2）+m的解为.

y=x2+bx+c

13.（2021秋•虹口区校级月考）无论左取何值，关于X、＞方程组＜,左2都只有

kx—y=----Fk

4

——组角军，贝！J6+c二.

14.已知等式（2Z—7B）x+（34—85）=8x+10对一切实数x都成立，则/=,B=.

三.解答题（共4小题）

15.（2021秋•三元区期中）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖

决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”.假定从一个人开始号召，每一个人

每周能够号召相同的加个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121

人被号召成为“传递正能量志愿服务者”.

（1）求出m的值；

（2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，她们就发现了同题,

实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而她们三人的成功率也各不相同，已知小红

的成功率比小颖的两倍少10%,第一周后小丽比小颖多号召成功4人，三人一共号召成功

19人，其中小颖号召成功了〃人.求出〃值，并分别求出她们三人号召的成功率.

16.（2021秋•介休市期中）（1）解方程：3（x-2）2=2-x.

（2）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务.

解：2x2+4x-8=0

二次系数化为1,得/+2x-4=0…第一步

移项，得x?+2x=4…第二步

配方，得/+2x+4=4+4,即（x+2）2=8…第三步

由此，可得x+2=±2^/2…第四步

所以，%=2+2亚，Z=-2-20…第五步

任务：

①上面小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程,

体现的数学思想是—，其中“配方法”所依据的一个数学公式是—；

②“第二步”变形的依据是—；

③上面小明同学解题过程中，从第一步开始出现错误，请直接写出正确的解是—；

④请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条意见.

17.（2021秋•南京期中）【阅读材料】

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为苫=■的形式.求解二元一次方程

组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次

方程组；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化

为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解

法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知.

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程/-6/+8X=0,

可以通过因式分解把它转化为M--6x+8）=0,解方程x=0和/-6x+8=0,可得方程

x3-6x2+8x=0的解.

【直