2025年中考数学思想方法复习【数学模型】建立函数模型解决实际问题（解析版）

建立函数模型解决实际问题

知识方法精讲

1.一次函数的应用

1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科

学合理，又要符合实际.

2、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根

据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.

3、概括整合

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用.

（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键.

2.二次函数的性质

二次函数歹="2+&+。（QWO）的顶点坐标是（-上二，4dC-b）,对称轴直线％=-上_,

2a4a2a

二次函数歹="2+加什。（QWO）的图象具有如下性质：

①当。＞0时，抛物线ynaf+bx+c（QWO）的开口向上，xV-M时，y随x的增大而减小;

2a

2

x＞时，夕随X的增大而增大；x=时，y取得最小值.4a.匚？一,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最低点.

②当（2＜0时，抛物线yuqf+fcv+c（QWO）的开口向下，x＜-时，＞随％的增大而增大;

2a

2

X＞-旦时，y随X的增大而减小；X=--L时，3取得最大值..0一,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最高点.

③抛物线ynaf+bx+cCaWO）的图象可由抛物线＞=依2的图象向右或向左平移|-上_|个单

'2a

位，再向上或向下平移隹号给个单位得到的.

3.二次函数图象与几何变换

由于抛物线平移后的形状不变，故。不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方

法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑

平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

4.二次函数的最值

（1）当。>0时，抛物线在对称轴左侧，了随x的增大而减少；在对称轴右侧，〉随x的增

2

大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当苫=上时，尸在匕旦.

2a4a

（2）当a<0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增

2

大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当X=」_时，尸细匕旦.

2a4a

（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最

值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函

数值，比较这些函数值，从而获得最值.

5.抛物线与x轴的交点

求二次函数y=a/+6x+c（a,b,c是常数，aWO）与x轴的交点坐标，令y=O,即af+bx+c

=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.

（1）二次函数y=ax2+6x+c（a,b,c是常数，aWO）的交点与一元二次方程ax2+6x+c=0

根之间的关系.

△=庐-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.

△=庐-4℃>0时，抛物线与x轴有2个交点；

△=庐-4℃=0时，抛物线与x轴有1个交点；

△=启-4℃<0时，抛物线与x轴没有交点.

（2）二次函数的交点式：y=a（x-xi）（x-X2）（a,b,c是常数，aNO）,可直接得到抛

物线与x轴的交点坐标（XI,0）,（X2,0）.

6.根据实际问题列二次函数关系式

根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问

题.需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定.

①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函

数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题.

②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握

数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几

何知识建立量与量的等式.

7.二次函数的应用

（1）利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意,

确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量X的取值要使实际问题有

意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量X的取值范围.

（2）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几

何中的最值的讨论.

（3）构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中

的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决

一些测量问题或其他问题.

选择题（共1小题）

1.（2021秋•梁溪区校级期中）如图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分

（如图1）,画2条直线，最多能把白纸分成4部分（如图2）,画3条直线，最多能把白纸

分成7部分（如图3）,当在一张白纸上画15条直线，最多能把白纸分成的部分是（）

(1)(3)

A.120B.121C.122D.123

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】设直线的条数为x,最多能把白纸分成了y部分，当x=l时，y=2,当x=2时,

y=4,当x=3时，y=7,所以y与x满足了二次函数，然后进行计算即可.

【解答】解：设直线的条数为x,最多能把白纸分成了y部分,

由题意得：y-ax2+bx+c,

a+b+c=2

贝＜4a+26+c=4,

9。+3b+c=7

解得:

y——x4—x+

.,.当尤=15时，代入y=一x2+—x+l得,

故选：B.

【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据数据判断它们满足的是什么函数是解题的

关键.

二.填空题（共2小题）

2.（2021秋•鹿城区校级期中）如图，在RtAABC中，已知N/=90。，AB=6,SC=10,D

是线段2C上的一点，以。为圆心，CD为半径的半圆交/C边于点E,交BC的延长线于

点、F,射线3E交应'于点G,则3E-EG的最大值为32.

【考点】圆周角定理；勾股定理

（分析】如图，过点C作C//LEG于点利用相似三角形的性质证明EBEG=2AE-EC,

设EC=x,在RtAABC中,AC=^BC1-AB2=V102-62=8,推出

乐ZG=2x-（8-x）=-2（x-4y+32,利用二次函数的性质求解即可.

【解答】解：如图，过点C作C〃_L£G于点

•••CHLEG,

EH=GH,

■：=ACHE=90°,AAEB=ACEH,

\ABE^AHCE,

AE_BE

:.BEEH=AE・EC,

BE•2EH=2.AE*EC,

EB•EG=2AE-EC,

设EC=x,

在RtAABC中，AC^y/BC2-AB2=A/102-62-8,

:.EB-EG=2x-(S-x)=-2(x-4)2+32,

—2<0,

.•.x=4时，的值最大，最大值为32,

故答案为：32.

【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的

关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题.

3.(2021秋•蜀山区校级月考)如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的

长、宽分别为5c〃z,3cm,其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xc",小球滚

动的区域(空白区域)面积为yc病.则y关于x的函数关系式为：_>=/一"+15_(化

简为一般式).

【考点】根据实际问题列二次函数关系式

【分析】通过平移将空白区域转化为长为(5-x)c加，宽为(3-x)c加的长方形的面积即可.

【解答】解：由题意得,

y=(5—x)(3—x)=X?—8x+]5,

故答案为：>-8x+15.

【点评】本题考查函数关系式，掌握矩形面积、空白区域面积、阴影部分面积之间的关系是

解决问题的前提，通过平移将空白区域转化为长为(5-x)c%,宽为(3-x)ca的长方形是解

决问题的关键.

三.解答题（共17小题）

4.（2021秋•泗水县期中）某商店以每件80元的价格购进一批商品，现以单价100元销售,

每月可售出300件.经市场调查发现：每件商品销售单价每上涨1元，该商品平均每月的销

售量就减少10件，设每件商品销售单价上涨了x元.

（1）若在顾客得实惠的前提下，当每件商品销售单价上涨多少元时，该商店每月的销售利

润为6210元？

（2）写出月销售该商品的利润y（元）与每件商品销售单价上涨x（元）之间的函数关系式;

当销售单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？

【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用

【分析】（1）根据题意列出一元二次方程求得答案即可；

（2）把得到的函数关系式进行配方得到>=-10（》-5）2+6250,然后根据二次函数的最值问

题易得到单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大.

【解答】解：（1）设销售单价上涨。元时利润为6210,根据题意得：

（100-80+a）（300-10a）=6210,

解得：。=7或a=3,

・•・在顾客得实惠的前提下，

「.4=3,

答：当每件商品销售单价上涨3元时利润为6210元；

（2）y=（100-80+x）（300-10x）

=-10X2+100X+6000

=-10（x-5f+6250,

a=-10<0,

.•.当x=5时，y有最大值，其最大值为6250,

此时100+x=105（元）,

...单价定为105元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元.

【点评】本题考查了利用二次函数的最值问题，解决实际问题中的最大或最小值问题，关键

是先根据题意得到二次函数关系式，然后配成顶点式，根据二次函数的性质求出最值.

5.（2021秋•禅城区校级期中）在AABC中，它的边3c=120,高/。=80.

(1)如图1,正方形的一边在3c上，其余两个顶点分别在48,NC上.问正方形

的边长是多少？

(2)如图2,点尸、G分别在/B,AC±,且尸G//2C,点尸为BC上一点，连接尸尸、

GP,则当-G=60时,AFG尸的面积最大值=.

【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；二次函数的最值

【分析】(1)先证明A4PNSA48C,利用相似三角形的性质即可求出正方形的边长；

(2)设尸G=x,先证明AAFGsAABC,根据相似三角形的性质用x表示。E的长，进而用

x表示AFG尸的面积，最后利用二次函数的性质即可得出答案.

【解答】解：,四边形尸QVGV为正方形，

:.PNI/BC,

ZAPN=ZB,ZANP=ZC,

AAPNS^ABC,

■：ADBC,

.PN_AE

"^C~7D'

设正方形的边长为x,

VBC=120,AD=80,

x_80-x

,,120-80

解得：x=48,

.•.正方形的边长是48；

(2)-：FG//BC,

:.NAFG=/B,NAGF=/C,

\AFG^\ABC,

ADLBC,

.FG_AE

.・正一而‘

设FG=x,

X80—DE

"120"80'

DE=80—x>

3

:•S.GP=，FG-DE

=；x(80-gx)

1,，八

=—x~+40x

3

1,

=--(%-60)-+1200,

.•.当x=60时，S.GP有最大值为1200,

故答案为：60,1200.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质及二次函数的性质，利用相似三角形的性质求

出。£的长度是解题的关键.

6.(2021秋•哪城区期中)下面是小丽同学根据学习函数的经验，对函数'=-/+3|刈+2的

图象与性质进行的探究过程.

(1)函数了=-f+3|尤|+2的自变量x的取值范围是全体实数.

(2)列表

X-4-3-2-1.5-1011.5234

y-2244.25424m42-2

表格中m的值为

(3)如图，在平面直角坐标系中，画出了函数了=-x?+3|x|+2的部分图象，用描点

法将这个函数的图象补充完整;

(4>对于上面的函数y=-\+3|x|+2,

下列四个结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x>l时,

y随x的增大而减小；④函数图象与x轴有2个公共点.所有正确结论的序号是：—.

(5)结合函数图象，解决问题：

关于x的方程-X?+31x|+2=3有一个不相等的实数根.

【考点】二次函数的性质；根的判别式；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；二次函数

图象与几何变换

【分析】(1)由绝对值的定义得到x的取值范围；

(2)将x=1.5代入函数解析式求得的值；

(3)根据已有函数图象得到当x>0时的几个点的坐标，然后描点连线；

(4)结合函数图象得到正确的选项；

(5)结合函数图象与x轴的交点个数得到方程的实数根个数.

【解答】解：(1)由题意得，自变量x取值范围是任意实数；

故答案为：全体实数.

17

(2)当x=1.5时，m=—；

4

故答案为：

4

(3)函数图象如图所示;

（4）由图象可知，函数图象关于y轴对称，故①正确;

函数既有最大值，没有最小值，故②错误；

当x>l时，y随x的增大先增大后减小，故③错误；

函数图象与X轴有2个公共点，故④正确；

故答案为：①④.

（5）由图象可知，函数歹=-/+3|刈+2的图象与直线y=3有4个交点,

方程-V+31x|+2=3有4个不相等的实数根，

故答案为：4.

【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数与方程间的关系，解题的关键是熟知

函数图象与x轴的交点与对应一元二次方程间的关系.

7.某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话

1分钟，再付话费0.4元；''神州行”不缴月租费，每通话1加〃付费0.6元.若一个月内通话

xmin,两种方式的费用分别为弘元和％元.

（1）写出乂、%与x之间的函数关系式；

（2）一个月内通话多少分钟，两种移动通讯费用相同；

（3）某人估计一个月内通话300加〃，应选择哪种移动通讯合算些.

【考点】一次函数的应用

【分析】（1）因为移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月租费，

然后每通话1分钟，再付话费0.4元；“神州行”不缴月租费，每通话加加付费0.6元.若

一个月内通话x加〃，两种方式的费用分别为弘元和％元，则M=50+0.4X,y2=0.6x；

(2)令%=%，解方程即可；

(3)令x=300,分别求出切、力的值，再做比较即可.

【解答】解：(1)M=50+0.4X；y2=0.6x；

(2)令%=%，则50+0.4x=0.6x,

解之，得x=250

所以通话250分钟两种费用相同；

(3)令x=300

则必=50+0.4x300=170；y2=0.6x300=180

所以选择全球通合算.

【点评】本题需仔细分析题意，建立函数解析式，利用方程或简单计算即可解决问题.

8.(2021秋•肃州区期末)喜迎元旦，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60

元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件.

(1)假设设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每星期销售该商品的利润为p元，求y

与x之间的函数关系式.

(2)每件商品的售价上涨多少元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润？此时，

该商品的定价为多少元？获得的最大利润为多少？

【考点】二次函数的应用

【分析】(1)根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出〉与x的函数关

系式；

(2)根据二次函数的性质健康得到结论.

【解答】解：(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，

则每件商品的利润为：(60-50+x)元，

总销量为：(200-10x)件，

商品利润为：

j=(60-50+x)(200-10x),

=(10+x)(200-10x)，

=-10x2+100%+2000(0<x<20)；

2

（2）根据题意得了=-10尤2+100X+2000=-10（X-5）+2250,

所以，当x=5时，y取得最大值为2250.

答：每件商品的售价上涨5元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商

品的定价为65元，获得的最大利润为2250元.

【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据每天的利润=一件的利润x

销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键.

9.（2021秋•黔西南州期末）某服装批发市场销售一种衬衫，每件衬衫的进货价为50元，

规定每件的售价不低于进货价.经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满

足一次函数关系，部分数据如表：

售价X（元/件）556065

销售量y（件）700600500

（1）求出y与x之间的函数关系式；（不需要求自变量x的取值范围）

（2）物价部门规定，该衬衫每件的利润不允许高于进货价的50%,设销售这种衬衫每月的

总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，当每件衬衫的售价定为多少时，可获得最

大利润？最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用

【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；

（2）根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售

价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少.

【解答】解：（1）设/与x之间的函数关系式为了=履+6,

/55后+6=700

\60k+b=600'

即y与x之间的函数表达式是y=-20x+1800；

（2）由题意可得:w=（x-50）（-20x4-1800）

=一20(尤一70>+8ooo.

•.•该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%,每件售价不低于进货价，

JgO

"t（x-50）-50^50%'

解得：5CMT5,

•l-tz=-20<0,抛物线开口向下，

.•.当x=70时，w取得最大值，此时卬=8000,

答：售价定为70元时，可获得最大利润，最大利润是8000元.

【点评】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意,

利用二次函数的性质和方程的知识解答.

10.我国是世界上淡水资源匮乏国家之一，北方地区的缺水现象更为严重，有些地方甚至连

人畜饮水都得不到保障，为了节约用水，不少城市作出了对用水大户限制用水的规定.北方

某市规定：每一个用水大户，月用水量不超过规定标准。吨时，按每吨1.6元的价格交费，

如果超过了标准，超标部分每吨还要加收—元的附加费用.据统计，某户7、8两月的用

100

水量和交费情况如下表:

月份用水量（吨）交费总数（元）

7140264

895152

（1）求出该市规定标准用水量•的值；

（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式.

【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用

【分析】（1）根据七月份用水量为140吨，若按每吨1.6元的价格交费，求得交费总数应是

224元，从而结合表格获得信息，七月份用水量超过了标准，再根据超过了标准，超标部分

每吨还要加收」-元的附加费用，得到关于。的方程，求得。值，再进一步结合8月份的用

100

水量和交费数之间的关系进行取舍；

（2）根据（1）中求得的■值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式.

【解答】解：（1）因七月份用水量为140吨，

1.6x140=224<264,（2分）

（140-4/）—=264-224=40（4分）

2

BPa-1400+4000=0,得％=100,a2=40,（6分）

又8月份用水量为95吨，1.6x95=152,故取。=100；（7分）

（2）当时，贝！|y=1.6x；

当x>100时，贝Uy=1.6x+x-100=2.6x-100.

1.6x（0袅C00）

即V=.（10分）

2.6x-100（x>100）

【点评】此题考查了一次函数在实际中的运用，能够从表格中获得正确信息，能够结合表格

建立分段函数关系式.

11.(2021秋•前进区期末)小明一家利用元旦三天驾车到某景点旅游.小汽车出发前油箱

有油36Z,行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量。(切与行驶时间;(〃)

之间的关系.如图所示.根据图象回答下列问题：

(1)小汽车行驶3〃后加油,中途加油L；

(2)求加油前油箱余油量。与行驶时间/的函数关系式；

(3)如果小汽车在行驶过程中耗油量速度不变，加油站距景点300碗，车速为80标//z,

要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由.

【分析】(1)根据函数图象中的数据可以直接得到小汽车行驶几小时后加油，中途的加油量

是多少；

(2)根据函数图象中的数据可以求得小汽车每小时的耗油量，从而可以得到加油前油箱余

油量。与行驶时间，的函数关系式；

(3)根据函数图象中的数据可以的计算出油箱中的油最多可以行使多少千米，然后与300

比较大小即可解答本题.

【解答】解：（1）由图可得，

小汽车行驶3%后加油,中途加油30-6=24/,

故答案为：3,24；

（2）由图可得，

小汽车每小时耗油：（36-6）+3=10£,

贝U0=36-10/（0^5）；

（3）油箱中的油不够用，

理由：-.-80x（30-10）=80x3=240<300,

,油箱中的油不够用.

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件,

利用数形结合的思想解答.

12.（2021秋•任城区期末）杆秤是我国传统的计重工具，如图，秤钩上所挂的不同重量的

物体使得秤蛇到秤纽的水平距离不同.称重时，秤钩所挂物重为x（斤）时，秤杆上秤泥到

秤纽的水平距离为y（厘米）.如表中为若干次称重时所记录的一些数据，且y是x的一次

函数.

X（斤）00.751.001.502.253.25

7（厘米）-21247—

注：秤杆上秤死在秤纽左侧时，水平距离y（厘米）为正，在右侧时为负.

（1）根据题意，完成上表；

（2）请求出y与x的关系式；

（3）当秤杆上秤坨到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？

秤纽

,工o5,

秤坨秤钩

【考点】一次函数的应用

【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现每增加1厘米，重物增加0.25斤，从而可以计

算出当y=4对应的x的值和当x=3.25时对应的y的值；

（2）根据题意和表格中的数据，可以求出〉与x的关系式;

(3)将y=15代入(2)中的关系式，即可得到当秤杆上秤坨到秤纽的水平距离为15厘米

时，秤钩所挂物重是多少斤.

【解答】解：(1)由表格中的数据可得，

每增加1厘米，重物增加0.25斤，

故当>=4时，x=l.00+(4-2)x0.25=1.50,

当x=3.25时，/=7+(3.25—2.25)+0.25=11,

故答案为：1.50,11；

(2)设y与x的关系式为y=Ax+6,

;点、(0,-2),(0.75,1)在该函数图象上，

,jb=-2

一10.75斤+6=1'

..[k=4

解得，

=-2

即y与x的关系式为y=4x-2；

(3)当y=15时，15=4x-2,

解得x=4.25,

即当秤杆上秤坨到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是4.25斤.

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式.

13.(2021秋•锦江区校级期末)元旦节期间，某天小王和小明都乘车从成都到重庆，成都、

重庆两地相距约为300千米，小王先乘车从成都出发，小明坐动车先以80千米/小时速度

追赶小王.如图，线段CU表示小王离成都的距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数

关系；折线表示小明离成都的距离y(千米)与x(小时)之间的函数关系.请根据

图象解答下列问题：

(1)小明到达重庆后，小王距重庆还剩多少千米？

(2)求线段CD和。/对应的函数解析式；

(3)求小明从成都出发后多长时间与小王相遇.

【分析】(1)根据函数的图象可得小王的速度，进而得出小明到达重庆后，小王距重庆的路

程；

(2)求得直线ON和。C的解析式，求得交点坐标即可；

(3)根据(2)的结论列方程组解答即可.

【解答】解：(1)由题意可得，小王的速度为：300+5=60(千米/时)，

故小明到达重庆后，小王距重庆还剩：60x(5-4.5)=30(千米)；

(2)设线段CD的解析式是＞=丘+6,

2.5左+6=80

根据题意得:

4.5k+b=300

4=110

解得:

Z>=-195

则线段CD的解析式是：y=110x-195(2.5yp.5),

设04的解析式是：y=mx,

根据题意得：=300,

解得：m=60,

则函数解析式是：y=60x(0E5)；

y=110x-195

(3)根据题意得:

y=60x

解得：x=3.9，

3.9-(2.5-80+80)=2.4(小时),

即小明从成都出发2.4小时后与小王相遇.

【点评】此题为一次函数的应用，解答一•次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还

必须使实际问题有意义.

14.（2021秋•武汉期末）个体户小陈新进一种时令水果，成本为20元/彷，经过市场调研

发现，这种水果在未来40天内的日销售量加（彷）与时间£（天）的关系如表：

时间/（天）1351036

日销售量9490867624

m（kg）

未来40天内，前20天每天的价格必（元/饭）与时间，（天）的函数关系式为

%=；，+25（1管？0且，为整数），后20天每天的价格为（元/彷）与时间，（天）的函数关系

式为%=-5+40（21W0且/为整数）.

（1）直接写出皿彷）与时间f（天）之间的关系式；

（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，个体户小陈决定每销售1kg水果就捐赠a元利润9<4且。为

整数）给贫困户，通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间/（天

）的增大而增大，求前20天中个体户小陈共捐赠给贫困户多少钱？

【考点】二次函数的应用

【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；

（2）日利润=日销售量x每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数

性质求最大值后比较得结论；

（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围，确

定a的值，算出总的销量可得答案.

【解答】解：（1）设一次函数为加=〃+6,

[I=.\什=3

将和代入一次函数加=k+6中，

m=94m=90

+94=k+b

[90=3左+6

，尸.

[b=96

m=-2t+96.

经检验，其它点的坐标均适合以上解析式,

故所求函数解析式为机=-2f+96；

(2)设前20天日销售利润为百元，后20天日销售利润为0元.

由百=(-21+96)(?+25-20)

=(-2/+96)(5+5)

1,

=——/+1勤+480

2

1,

=-#-14)2+578,

.•.当/=14时，口有最大值578(元).

由2=(-2Z+96)(-+40-20)

=(-2?+96)(-|?+20)

=t2-88/+1920

=(”44)2-16.

；21缶40,此函数对称轴是f=44,

二.函数P2在21WF0上，在对称轴左侧，随I的增大而减小.

.•.当f=21时，小有最大值为(21-44)2-16=529-16=513(元).

••-578>513,故第14天时，销售利润最大,为578元；

(3)月=(-2/+96)(；/+25-20-a)=+([4+24)/+480-96°

对称轴为7=14+2。.

.•.当Ta+14时，尸随I的增大而增大，

又每天扣除捐赠后的日利润随时间，的增大而增大，

19.5<2〃+14,

2.75<«<4.

又为整数，

「.4=3,

40天的总销量

=(-2x1+96)+(-2x2+96)+...+(-2x20+96)=-2x(1+2+...+20)+96x20=-2x^i2212Sr2+1920=-420+1920=1500

，小陈共捐赠给贫困户=1500x3=4500元.

答：前20天中个体户小陈共捐赠给贫困户4500元.

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条

件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关

键.

15.（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运

动的相关数据.无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射

器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是

35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同.其中无人机离地面高度乂（米）与小钢球运

动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度％（米）与它的运动时间x（秒

）之间的函数关系如图中抛物线所示.

（1）直接写出必与x之间的函数关系式；

（2）求出％与x之间的函数关系式；

（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？

3米）

35

30

【考点】二次函数的应用

【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；

（2）用待定系数法求函数解析式即可；

（3）当1<"时小钢球在无人机上方，因此求％-“，当6<xg时，无人机在小钢球的

上方，因此求必-力，然后进行比较判断即可.

【解答】解：(1)设“与X之间的函数关系式为弘=依+6,

・••函数图象过点(0,30)和(1,35)，

左+6=35

则

6=30

k=5

解得:

6=30,

必与x之间的函数关系式为必=5x+30；

(2)・.・%=6时，％=5义6+30=60,

•••丹的图象是过原点的抛物线,

设%=ax2+bx，

.•.点(1.35),(6.60)在抛物线必=o?+班上,

JQ+b=35

*|366Z+6ZJ=60,

a=-5

解得:

6=40'

2

/.y2=-5x+40x,

答：%与工的函数关系式为%=-5工2+40x；

(3)设小钢球和无人机的高度差为y米，

由-5Y+40%=0得，x=0或x=8,

①时，

2°n2712125

y=y2-yi=-5x+40x-5x-30=-5x+35x-30=-5(x--)+

a=-5<0,

二.抛物线开口向下，

又,

.•.当x=N时，y的最大值为也；

24

7195

②6<时，>=y一％=5X+30+5x2-40x=5x2-35x+30=5(x——)2———,

•「。=5>0,

，抛物线开口向上，

又•••对称轴是直线x=N,

2

.•.当时，y随％的增大而增大，

2

6<，

.,.当x=8时，y的最大值为70,

125”

——<70,

4

高度差的最大值为70米.

【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据实际情况判断无人机和小钢

球的高度差.

16.（2021•广西模拟）新冠疫情期间，某网店销售的消毒用紫外线灯很畅销，该网店店主结

合店铺数据发现，日销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、日销售量、日

销售纯利润少（元）的四组对应值如表：

售价X（元/件）150160170180

日销售量y（件）200180160140

日销售纯利润水（元）8000880092009200

另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元.

注：日销售纯利润=日销售量x（售价-进价）-每日固定成本

（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

②该商品进价是100元/件,当售价是一元/件时，日销售纯利润最大，最大纯利润是

元.

（2）由于疫情期间，每件紫外线灯的进价提高了元（别>0）,且每日固定成本增加了100

元，但该店主为响应政府号召，落实防疫用品限价规定，按售价不高于170元/件销售，若

此时的日销售纯利润最高为7500元，求加的值.

【考点】二次函数的应用

【分析】（1）①用待定系数法即可求解；

②根据日销售纯利润=日销售量x（售价-进价）-每日固定成本，求出进价；由题意得：

=100）-2000,利用函数的性质，求出函数的最大值；

(2)由题意得少=(-2》+500)(》-100-加)-2000-100,函数的对称轴为x=-2=175+,

2a2

%=170时，%大值=7500,即可求解.

【解答】解：(1)①设一次函数的表达式为了=履+6,

.八、、I口〔200=150左+6.-[k=-2

将点(150,200)、(160,180)代入上式得1,解得zi=t1,

1180=160左+6[6=500

故y关于x的函数解析式为y=-2x+500；

②•.•日销售纯利润=日销售量x(售价-进价)-每日固定成本，

将第一组数值150,200,8000代入上式得，

8000=200x(150-进价)-2000,解得：进价=100(元/件)，

由题意得：沙=y(x-100)-2000=(-2%+500)(尤-100)-2000=-2尤？+700%-52000,

■：-2<0,故沙有最大值,

当X=-2=175(元/件)时，平的最大值为9250(元)；

2a

故答案为100,175,9250；

(2)由题意得：

W=(-2尤+500)(%-100-ZH)-2000-100=-2x2+(700+2m)x-(52100+500m),

-2<0,故少有最大值，

函数的对称轴为x=-2=175+!机，当X<175+L”时，少随x的增大而增大，

2a22

而770,故当x=170时，少有最大值，

即x=170时,少=-2x17()2+(700+2m)x170-(52100+500加)=7500,

解得m=10.

【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题.注意：数学

应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和

利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值.

17.(2021秋•朝阳区期末)如图，某矩形花园/BCD一边靠墙，墙长35加，另外三边用长

为69加的篱笆围成，其中一边开有一扇宽为加的门(不包括篱笆).设矩形花园N8CD垂

直于墙的一边AB长为xm,面积为Sm2.

(1)8c的长为―70-2%—m(用含％的代数式表示).

(2)求S与x之间的函数关系式，并写出工的取值范围.

(3)求花园面积S的最大值.

【考点】二次函数的应用

【分析】(1)根据垂直于墙的一边长为x冽时，则另一边的长度为(69+1-2%)冽；

(2)根据矩形的面积公式写出S关于'的函数解析式，并根据题意写出自变量的取值范围;

(3)根据二次函数的性质以及自变量的取值求函数最值.

【解答】解：(1),/45=%加，

BC=69-2x+1=(70-2x)m,

故答案为：70-2x；

(2)由题意得：S=x(70—2x)=—2x2+70x>

x>1

<70-2x>0,

70—2p5

，S与x之间的函数关系式为S=-2x2+<35)；

451995

(3)vS=-2x2+70x=-2(x-y)2+,

35

-2<0,——天才<35,

2

.•.当x=生时，S有最大值，最大值为"

22

...花园面积S的最大值为上空疗.

2

【点评】本题考查的是二次函数的实际应用，关键是根据矩形面积写出函数解析式.

18.小明大学毕业后积极响应政府号召回乡创业，准备经营水果生意，他在批发市场了解到

某种水果的批发单价与批发量有如下关系：

批发量m（kg）批发单价（元/馅）

406.1006

m>1005

（1）写出批发该种水果的资金金额W（元）与批发量皿馆）之间的函数关系式：并在下图

的坐标系网格中画出该函数图象：指出资金金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较

个金额W（元）

800

720

640

560

480

400

320

240

160

80

2040608010012014016018(^tt^S?n^g/

多数量的该种水果.~6

（2）经市场调查，销售该种水果的日最高销量"（奴）与零售价x（元/馆）之间满足函数关系

〃=440-40x,小明同学拟每日售出100炫以上该种水果（不考虑损耗），且当日零售价不

变，请向他批发多少千克该种水果，零售价定为多少元时，能使当日获得的利润最大，最大

利润是多少？

【考点】