2025年中考数学思想方法复习【整体思想】求代数式值中的整体思想（解析版）

求代数式值中的整体思想

知识方法精讲

1.整体思想

从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征,

善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目

的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证

等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何

中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。

2.代数式求值

（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值.

（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简，要

先化简再求值.

题型简单总结以下三种：

①已知条件不化简，所给代数式化简；

②已知条件化简，所给代数式不化简；

③已知条件和所给代数式都要化简.

选择题（共7小题）

1.（2021秋•南充期末）已知〃？，〃是方程f一10X+I=0的两根，则代数式/-9%+〃的

值等于（）

A.0B.-11C.9D.11

【考点】根的判别式；根与系数的关系

【分析】先根据一元二次方程根的定义得到/=10m-1，贝!b/-9根+"可化为他+"-1,

再根据根与系数的关系得到根+〃=10,然后利用整体代入的方法计算.

【解答】解：•加是方程f-10x+l=0的两根,

m2-10w+1=0，

m2=10m-1,

m2-9m+n=10m-l-9m+n=m+n-1，

,/m,〃是方程-—10x+l=0的两根，

...加+〃=10,

m2-9m+〃=10-1=9.

故选：C.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若玉，X2是一元二次方程办2+区+。=0（。7（））的两

根，贝!|西+%=_2,XjX2=—.

一a-a

2.（2021秋•中原区校级期末）已知a-2b=3,则代数式2a-46+1的值是（）

A.-5B.-2C.4D.7

【考点】代数式求值

【分析】原式前两项提取2变形后，将已知等式代入计算即可求出值.

【解答】解：a-26=3,

.一.原式=2（26）+1=6+1=7.

故选：D.

【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关

键.

3.（2021秋•天门期末）如果〃/-机=2,那么代数式用（m+2）+（加-2）2的值为（）

A.-8B.-6C.6D.8

【考点】整式的混合运算一化简求值

【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘方和乘法，然后合并同类项

进行化简，最后利用整体思想代入求值.

【解答】解：原式=冽？+2机+冽2—4加+4

=2m2-2m+4,

m2-m=2,

原式=2（m2-m）+4

=2x2+4

=4+4

=89

故选：D.

【点评】本题考查整式的混合运算，灵活应用整体思想代入求值，掌握完全平方公式

（«±Z＞）2=a2+2ab+b2的结构是解题关键.

4.（2021秋•晋州市期末）若/-4x-l=0,则2f_8x+2020的值为（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【考点】代数式求值

【分析】将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可.

【解答】解：•・•/一4工-1=0,

x2-4x=].

原式=2（/-4x）+2020

=2x1+2020

=2022.

故选：B.

【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答是解

题的关键.

5.（2021秋•长沙期末）已知X2+3X-7=0,贝!J3/+9x-l的值是（）

A.20B.21C.7D.10

【考点】代数式求值

【分析】将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可.

【解答】解："+3X-7=0,

x2+3x=7,

二.原式=3（无2+3x）-1

=3x7-1

=21-1

=20.

故选：A.

【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答是解

题的关键.

6.（2021秋•江油市期末）已知代数式x+2y的值是3,贝打-2x-4y的值是（）

A.-2B.-4C.-5D.-6

【考点】代数式求值

【分析】原式变形后，把已知代数式的值代入计算即可求出值.

【解答】解：•.・代数式x+2y的值是3,

l-2x-4y=1-2(x+2y)=1-2x3=-5.

故选：c.

【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，正确将所求代数式变形是解题关

键.

7.(2021秋•封开县期末)若20+x+y=-2,则20-x-y的值为()

A.-42B.42C.-2D.22

【考点】代数式求值

【分析】由20+x+y=-2可得出x+y的值，又所求式子可变形为20-(x+y),则将x+y整

体的值代入即可.

【解答】解：,•・20+x+y=-2,

x+y=-22,

二.原式=20-(x+>)=20-(-22)=20+22=42.

故选：B.

【点评】此题主要考查了代数式求值，代数式中的字母没有明确告知，而是隐含在题设中，

首先应从题设入手，寻找要求的代数式与题设之间的关系，然后利用“整体代入法”求代数

式的值.

二.填空题(共14小题)

8.(2021•饶平县校级模拟)已知/+3尤+7的值为13,则代数式3-+9x-8的值为10.

【考点】33：代数式求值

【分析】通过己知将代数式化为f+3x=6,再将#+9工-8=312+3》)-8,代入即可求

解；

【解答】解：•••Y+3x+7的值为13,

x~+3x+7=13,

x2+3x=6

.-.3X2+9X-8=3(X2+3X)-8=18-8=10；

故答案为10；

【点评】本题考查代数式求值；熟练运用整体思想是解决本题的关键.

9.（2021•广东模拟）已知f+3x+5的值是7,则式子-3/-9x+2的值是_-4_.

【考点】代数式求值

【分析】首先根据Y+3x+5的值是7,求出f+3x的值是多少；然后代入式子-3--9x+2,

求出算式的值是多少即可.

【解答】解：•.・Y+3X+5=7,

x2+3x=7-5=2，

—3x~—9x+2

=—3（x~+3x）+2

=-3x2+2

=-6+2

=-4.

故答案为：-4.

【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算.如

果给出的代数式可以化简，要先化简再求值.题型简单总结以下三种：①已知条件不化简,

所给代数式化简；②己知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简.

10.（2020•东莞市一模）已知Y+x-3=0,则代数式15-2f-2x的值为9.

【考点】33：代数式求值

【分析】先求得/+x=3,依据等式的性质得到2/+2x=6即可得到结论.

【解答】解：；x?+x-3=0,

.>x+x=3，

2x2+2x=6,

，原式=15-6=9.

故答案为：9.

【点评】本题主要考查的是求代数式的值，熟练掌握相关知识是解题的关键.

11.（2021秋•广丰区期末）若关于x的一元二次方程办2+bx+\=0（。w0）的一个解是x=l,

则2022-a-6的值是2023.

【考点】一元二次方程的解

【分析】先把x=l代入方程ax2+6x+l=0得至IJa+6=-l,再把2022-a-6变形为

2022-(a+6),然后利用整体代入的方法计算.

【解答】解：把％=1代入方程+bx+l=0得Q+6+1=0,

6Z+Z?——1，

2022-a-b=2022一伍+6)=2022-(-1)=2023.

故答案为：2023.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一

元二次方程的解.

12.(2021秋•安居区期末)设冽、〃是一元二次方程/+3x-7=0的两个根，则

m2+5m+2n=1

【考点】根与系数的关系

【分析】先根据一元二次方程根的定义得到加2=_3冽+7,则冽2+5冽+2几可化为

2(冽+〃)+7,再根据根与系数的关系得到冽+〃=-3,然后利用整体代入的方法计算.

【解答】解：・••加是一元二次方程—+3x-7=0的根，

m2+3m—7=0,

m2=-3m+7,

/.m2+5m+2〃=-3m+7+5冽+2〃=2(m+〃)+7,

,；m、n是一元二次方程f+3工_7=o的两个根，

:.m+n=-3，

m2+5m+2«=2x(-3)+7=1.

故答案为：1.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若再，工2是一元二次方程ax?+&r+c=0(〃。0)的两

*艮，贝！JX]+/=9X^2——•

aa

13.(2021秋•南充期末)已知》-1=4,则♦+▲=18.

XX

【考点】完全平方公式；分式的化简求值

【分析】根据完全平方公式将原式进行变形，然后利用整体思想代入求值.

【解答】解：原式=(X-L)2+2,

当了一工=4时，

X

原式=42+2=16+2=18,

故答案为：18.

【点评】本题考查分式的化简求值，掌握完全平方公式3+6)2=Y+2仍+/的结构是解题

关键.

14.(2021秋•渝北区期末)已知2工-3夕=-万，则代数式2021+4x-6v的值为2018.

【考点】代数式求值

【分析】原式后两项提取2变形后，将已知等式代入计算即可求出值.

【解答】解：•••2x-3y=-j,

2021+4x-6y

=2021+2(2%—3y)

=2021+2x(-1)

=2021-3

=2018.

故答案为：2018.

【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关

键.

15.(2021秋•金牛区期末)已知y=2x-3,则式子4x—2v+2021的值为2027.

【考点】代数式求值

【分析】对已知条件进行变形，得到的值，对所求式子进行变形，再把2x-y的值整

体代入即可.

【解答】解：；y=2x-3,

2x-y=3,

4x-2y+2021=2(2x-y)+2021=2x3+2021=2027；

故答案为：2027.

【点评】此题主要考查了代数式求值，代数式中的字母没有明确告知，而是隐含在题设中，

首先应从题设入手，寻找要求的代数式与题设之间的关系，然后利用''整体代入法”求代数

式的值；本题也可以直接把y的值代入所求式子.

16.(2021秋•锦江区校级期末)若/+2仍=1,b2-2ab=2,则一/一6a6+2b2=3.

【考点】整式的加减

【分析】将原式进行变形，然后利用整体思想代入求值.

【解答】解：原式=-/-2仍一4。6+2/

=-（ai+2ab）+2（b2-2ab）,

a2+2ab=1,b~-2ab=2,

原式=-1+2x2=-1+4=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查整式的加减，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号

的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面

是号，去掉“-”号和括号，括号里的各项都变号），利用整体思想代入求值是解题

关键.

17.（2021秋•鼓楼区校级期末）a2+ab=-3,ab-b2=6,则/+3仍-2/=」^.

【考点】整式的加减

【分析】原式进行变形后，利用整体思想代入求值.

【解答】解：原式="+仍+2°6-26。，

a2+ab=3,ab-b2=6,

原式=/+ab+2（ab-Z>2）=3+2x6=3+12=15,

故答案为：15.

【点评】本题考查整式的加减，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号

的运算法则（括号前面是"+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面

是号，去掉号和括号，括号里的各项都变号），利用整体思想代入求值是解题

关键.

18.（2021秋•成华区期末）已知一元二次方程Y-3x+l=0的两根为毛，x2,则X；-5占-2尤2

的值为_-7_.

【考点】根与系数的关系

【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出再2-3芭=-1,毛+3=3,再

整体代入即可求出结论.

【解答】解：,.・一元二次方程--3x+l=0的两根为再，马,

龙;一3玉=—1,%+%=3,

二.尤;一5玉一2X2=X；—3玉一2(X]+工2)=-1—2x3=-1.

故答案为：-7.

【点评】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，解题的关键是得到x；-3占=-1,

X1+x2=3.

19.(2021秋•临江市期末)若机〃=加+3,则3m-3加力+10=1.

【考点】代数式求值

【分析】原式进行化简，然后利用整体思想代入求值.

【解答】解：原式=3〃?-3相〃+10=3(〃?-%")+10,

,/mn=7*+3，

m-mn=—3，

，原式=3x(-3)+10=l,

故答案为：1.

【点评】本题考查代数式求值，利用整体思想代入求值是解题关键.

20.(2021秋•福田区校级期末)已知/_20+1=0,则2022-2/+4。=2024.

【考点】代数式求值

【分析】由已知条件可得/-20=-1,对所求式子进行变形，整体代入即可.

【解答】解：•••/-2°+1=0,

Q~—2a=-1,

二.原式=-2(/-2a)+2022

=-2x(-l)+2022

=2+2022

=2024.

故答案为：2024.

【点评】此题主要考查了代数式求值，代数式中的字母没有明确告知，而是隐含在题设中，

首先应从题设入手，寻找要求的代数式与题设之间的关系，然后利用“整体代入法”求代数

式的值.

21.(2021秋•东城区校级期中)如果代数式2/+3x-4的值为6,那么代数式4—+6x-9的

值是11.

【考点】33：代数式求值

【分析】把已知变形后，整体代入计算即可求出值.

【解答】解：•.・2f+3x-4=6,

2x2+3x=10,

4x?+6x—9

=2(2尤2+3对-9

=20-9

=11.

故为：11.

【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握整体代入计算的方法是解本题的关键.

三.解答题(共9小题)

22.(2021秋•通州区期末)先化简，再求值：

已知cT—a=5,求(3a~-7a)-2(a~—3a+2)的值.

【考点】整式的加减一化简求值

【分析】根据去括号、合并同类项法则把原式化简，整体代入计算得到答案.

【解答】解：原式=31-7a-2/+6a-4

—ci~-a—4,

'：a2-a=5,

原式=5—4=1.

【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键.

23.(2021秋•白云区期末)已知“，b互为倒数，x,y互为相反数.

(1)求式子2x+3a6+2y的值；

(2)若2"=4,b'=8,求式子72/-x"的值.

【考点】有理数的混合运算

【分析】(1)将原式进行变形，根据倒数及相反数的概念求得劭=1，x+y=Q,然后利用

整体思想代入求值；

(2)根据有理数乘方的运算法则求得6和y的值，从而确定。和x的值，代入求值即可.

【解答】解：(1)原式=2(x+y)+3仍，

•・F,b互为倒数，X,＞互为相反数,

/.ab=\,x+＞=0,

二.原式=2x0+3xl

=0+3

=3,

即式子21+3。6+2》的值为3；

(2)•.•2人=4,力歹=8,

:.b=2Jy=3,

又•：a,6互为倒数，x,＞互为相反数,

1。

Q=—，X——3，

2

，原式=72X(；)3-(-3)2

=72x--9

8

=9-9

=0.

【点评】本题考查有理数的混合运算，理解相反数和倒数的概念，注意明确有理数混合运算

顺序(先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果

有括号，要先做括号内的运算)是解题关键.

24.(2021秋•海淀区期末)已知/+2°-1=0,求代数式()且二1-----1—)+/—的值.

【考点】分式的化简求值

【分析】原式小括号内的式子先进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后利用整体思想

代入求值.

【解答】解：原式=严+1)(。［1)+，三(°_1)

(6Z—1)(2—1

/。+11、/

=(—7+—7)-«(«-1)

a-1a-1

—ci+2cl,

/+2Q—1=0,

««ci+2a—1,

原式=1.

【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序(先算乘方，然后算乘除,

最后算加减，有小括号先算小括号里面的)和计算法则，利用整体代入求值是关键.

25.(2021秋•荔湾区期末)已知/+/=3,ab=-2,求代数式

(7a2+3ab+3b2)-2(4/+3ab+2巨)的值.

【考点】整式的加减一化简求值

【分析】原式去括号，合并同类项进行化简，然后利用整体思想代入求值.

【解答】解：＞55=la1+3ab+3b2-8a2-6ab-4b2

=_3ab—b~；

当。2+/=3,仍=一2时，

原式=-(/+b2)-3ab

=-3-3x(-2)

=-3+6

=39

.•.原代数式的值为3.

【点评】本题考查整式的加减一化简求值，掌握合并同类项(系数相加，字母及其指数不变)

和去括号的运算法则(括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；

括号前面是号，去掉号和括号，括号里的各项都变号)，利用整体思想解题是

关键.

26.(2021秋•铁西区期末)利用乘法公式解决下列问题：

(1)若x-y=8,xy=40.则x?+丁=144；

(2)已知，若x满足(25-x)(x—10)=-15,求(25-»+(工-10)2值.

【考点】多项式乘多项式；完全平方公式

【分析】(1)由(x-y)2=/一2盯+/,给等式两边同时加上2孙，再根据已知条件即可得

出答案；

(2)设25-x=a,x-l0=b,则(25-x)?+(x-10)2=/=3+32_2外，再代入计算

即可

【解答】解：(1)：x2+y2=(x-y)2+2中，

把x-y=8,中=40,代入上式,得尤2+J?=8?+2义40=144.

故答案是：144；

(2)设25-x=a,x-10=Z>,

由(a+6)2=a2+2ab+b2进行变形得，

a~+b~=(a+by—2ab，

二.(25—尤)~+(x—1Op

=[(25-x)+(x-l0)]2-2(25-x)(x-10)

=152-2x(-15)

=225+30

=255.

【点评】此题考查了多项式乘多项式，完全平方公式的变式应用能力，属于基础计算题.

27.(2021秋•西城区校级期中)若X*T+5=7,求2(它-x)-3(x-l)+(3x-4)的值，

【考点】整式的加减一化简求值

【分析】先把给出的多项式进行化简，由题意得出的值，再整体代入即可.

【解答】解：原式=2/-2x-3x+3+3x-4

=2X2-2X-1,

*.*-x+5=7,

:.x2-x=2,

原式=2(x2-x)-1=4-1=3.

【点评】此题主要考查了代数式求值，代数式中的字母没有明确告知，而是隐含在题设中，

首先应从题设入手，寻找要求的代数式与题设之间的关系，然后利用“整体代入法”求代数

式的值.

28.(2021秋•思明区校级期中)所谓完全平方式，就是对一个整式如果存在另一个整

式N,使"=锯，则称”是完全平方式，如/=(/)2、x2+2xy+y2^(x+y)2,则称一、

，+2盯+/是完全平方式.

(1)下列各式中是完全平方式的有②⑤⑥.(填写编号)

①/+40+4/；②4犬；③，-初+V；④y270y一25；⑤V+12X+36；⑥5。2-2。+49.

(2)证明：多项式x(x+4)2(x+8)+64是—於完全平方式.

(3)已知a、b、c是A48C的三边长，满足/+"+2c2=2c(a+6),判定AABC的形状.

【考点】幕的乘方与积的乘方；完全平方式；因式分解的应用

【分析】(1)通过题干定义，通过完全平方式(。+6)2=/+2仍+/分别判断求解.

(2)先将x(x+4)2(x+8)+64整理为(x2+8x)(x2+8x+16)+64,然后将(Y+8x)作为整体

求解.

(3)将/+廿+2c?=2c(a+6)整理为(a-c>+(6-cP=0求解.

【解答】解：(1)①/+4a+4/,不是我去苹果是，不符合题意.

②4V=(2x)2,符合题意.

③X?-中+了2=(x-y)2+中，不符合题意.

@/-10y-25=(y-5)2+50,不符合题意.

⑤X?+12x+36=(x+6)2,符合题意.

@—a2-2a+49=(-a-7)2,符合题意.

497

故答案为：②⑤⑥.

(2)•.•X(X+4)2(X+8)+64

—(x2+8x)(x2+8x+16)+64

=(f+8x)2+[6(/+80+64

=(x2+8x+8)2,

多项式x(x+4)2(x+8)+64是一个完全平方式.

(3)a2+b2+2c2—2c(a+b)=lac+2bc,

a~—2ac+c~+b~—2bc+/=0，

(a-c)2+(b-c)2=0,

ci—c—0,b—c—0?

..ci—b—c,

AABC是等边三角形.

【点评】本题考查因式分解的应用，解题关键是掌握完全平方式，通过整体思想求解.

29.(2021秋•六盘水月考)“整体思想”是中学