九年级数学下册同步学与练（浙教版）-第02讲 锐角三角函数的计算（11类题型）（解析版）

第02讲锐角三角函数的计算（11类题型）课程标准学习目标1.锐角三角函数的计算；1.掌握特殊角的三角函数值及其计算；知识点1：特殊锐角三角比的值1.特殊锐角的三角比的值30°45°1160°3.通过观察上面的表格，可以总结出：当090，的正弦值随着角度的增大而增大，的余弦值随着角度的增大而减小；的正切值随着角度的增大而增大，的余切值随着角度的增大而减小．【即学即练1】1．（2023上·山西临汾·九年级校联考阶段练习）下列计算不正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而结合二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【详解】解：，故A正确，不符合题意；，故B正确，不符合题意；，故C错误，符合题意；，故D正确，不符合题意；故选：C．【即学即练2】2．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）若是锐角，，则的值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】本题考查了特殊角三角函数的函数值，根据是锐角，，得到，即可求的值．【详解】解：是锐角，，，，故选：B．【即学即练3】3．（2023上·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）观察下列各式：①；②（是锐角）；③，其中成立的有(

)A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值，根据锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．【详解】解：由正弦值随着角度的增大而增大可知，故①正确，符合题意；是锐角，，故②正确，符合题意；，故③错误，不符合题意；综上所述，成立的有①②，共2个，故选：C．【即学即练4】4．（2023上·安徽六安·九年级统考阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可．【详解】解：∵，，∴；故选C．【即学即练5】5．（2022上·安徽淮北·九年级校联考阶段练习）在中，，，的值是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】本题考查了三角形内角和定理，特殊角的余弦值，由题意知，，根据，求解作答即可．【详解】解：由题意知，，∴，故选：B．【即学即练6】6．（2023上·北京东城·九年级北京市第一六六中学校考期中）已知是锐角，，那么的度数是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握角的正切值是是解此题的关键．【详解】解：∵是锐角，，，故选：D．题型01求特殊角的三角函数值1．（22·23·杭州·中考真题）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后运用余切函数即可解答．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∵，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出是解答本题的关键．2．（22·23下·二模）小明在计算时，先对题目进行了分析，请你根据他的思路填空：（1）原式中“”可以转化为，的值为.（2）原式中“”的结果为；（3）原式中“”的结构特征满足某个乘法公式，该公式为；（4）原式的最终结果为1.【答案】22【分析】（1）根据负整数指数幂的运算法则，即可求解；（2）根据求一个数的立方根，即可求解；（3）根据完全平方公式进行运算即可；（4）根据（1）（2）（3）及特殊角的三角函数值，进行运算，即可解答【详解】解：（1），故的值为2，故答案为：2；（2），故答案为：2；（3）；（4）【点睛】本题考查了负整数指数幂的运算法则，求一个数的立方根，完全平方公式，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，熟练掌握和运用各法则是解决本题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）先化简，再求代数式的值，其中；．【答案】；【分析】分别化简代数式和字母的值，再代入计算．【详解】原式，∵；，∴原式．【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，特殊角三角函数值，解题的关键是先化简，然后把给定的值代入求解．题型02特殊角三角函数值的混合运算1．（22·23上·洛阳·期末）下列计算错误的个数是（

）①；；③；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值进行运算，即可一一判定．【详解】解：，，，故①错误；，故②正确；，故③错误；，，，故④正确；综上分析可知，错误的有2个，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的相关运算，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键．2．（2020上·万州·期中）计算：=．【答案】【分析】先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可．【详解】解：===．故答案为．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和实数的运算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．3．（上海市闵行区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）计算：【答案】【分析】直接利用特殊角的三角函数值，分别代入计算得出答案．【详解】解：原式．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．题型03由特殊角的三角函数值判断三角形形状1．（22·23上·盘锦·期末）在中，、均为锐角，且，则是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】先根据非负数的性质求出与的值，再根据特殊角的三角函数值求出、的值即可．【详解】解：，，，，，，，，在中，，且，是直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质．2．（2017下·芜湖·一模）在ABC中，，则ABC一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】解：∵∴，∴，∴，∴，∴，∴ABC一定是等腰直角三角形故选：D．【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解．3．（22·23上·嘉峪关·期末）在中，，则的形状是．【答案】等边三角形【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据三角函数作答．【详解】∵，∴，，即，，∴，，∴，则一定是等边三角形，故答案为:等边三角形．【点睛】本题考查了非负数的性质，三角函数，等边三角形的判定，数量掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．题型04由计算器求锐角三角函数值1．（2022·山东东营·模拟预测）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：2yx3－16＝，按键的结果为m；2ndF64－2x2＝，按键的结果为n；9ab/c

2

－

cos

60＝，按键的结果为k．下列判断正确的是（

）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k【答案】C【分析】分别计算出m，n，k的值即可得出答案．【详解】解：m＝23−＝8−4＝4；n＝−22＝4−4＝0；k＝−cos60°＝−＝4；∴m＝k，故选：C．【点睛】本题考查了计算器的使用，注意二次根式的副功能是立方根．2．（2023秋·九年级课时练习）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．B．用科学计算器计算：13××sin14°≈（结果精确到0.1）【答案】911.3【分析】A、首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数；B、利用科学计算器计算可得．【详解】解：A．∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°-140°=40°，则这个正多边形的边数为：360°÷40°=9．故答案为：9．B.13××sin14°≈13×3.61×0.24≈11.3，故答案为：11.3．【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角和计算器的使用，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．3．（2023秋·九年级课时练习）用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)0.7314(2)0.2164(3)0.9041(4)【分析】利用计算器求出结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【点睛】本题考查计算锐角三角函数值，熟练使用计算器是解题的关键．【经典例题五根据特殊角三角函数值求角的度数】1．（22·23上·西安·阶段练习）如图，点A为反比例函数图像上一点，B、C分别在x、y轴上，连接AB与y轴相交于点D，已知，且的面积为2，则k的值为（

）

A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】先根据，得，根据同底等高可以得到，即可求得k的值．【详解】解：连结

，轴，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，．

(1)求这条抛物线的表达式；(2)联结，求的度数；(3)联结、、，若在坐标轴上存在一点，使，求点的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根据已知条件求出点的坐标，将，的坐标代入，即可求得、，从而求得抛物线的表达式.（2）应用二次函数的性质，求出点的坐标，从而求得，进而求得的大小.（3）根据（2）的结论得出，进而分类讨论，即可求解．【详解】（1）解：∵∴，∵∴，则将，代入得：，解得，∴这条抛物线的表达式为；（2）过点作轴于点，过点作轴于点，∵∴，∴，则∵

∵∴，即，∴，∴.∴.（3）解：∵,∴∵∴，∴，∵∴轴或如图所示，

当轴时，，当时，，则是等边三角形，∴，∴，综上所述，或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，已知特殊角的三角函数值求角度，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型05根据特殊角三角函数值求角的度数1．（2019上·淮北·阶段练习）已知，那么锐角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据当α=45°时sinα=cosα和正弦函数和余弦函数的增减性即可得出答案．【详解】解：∵α=45°时sinα=cosα，当α是锐角时sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小，∴45°＜α＜90°．故选D．【点睛】考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小．2．（2022上·邵阳·期末）下列说法中正确的是（

）A． B．若为锐角，则C．对于锐角，必有 D．若为锐角，则【答案】B【分析】根据锐角三角函数的定义及性质、特殊角三角函数逐项判断即可．【详解】A、，故说法不正确；B、对于任一锐角，这个角的正弦等于它的余角的余弦，即若为锐角，则，故说法正确；C、当β=60°时，，则，故说法不正确；D、当α=45°时，，故说法不正确；故选：B【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及性质、特殊角的三角函数等知识，掌握它们是关键．题型06已知角度比较三角函数值的大小1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）已知，则锐角的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案【详解】解：，，由可得，在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，，故选：D．【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键．题型07根据三角函数值判断锐角的取值范围1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）已知，则锐角的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案【详解】解：，，由可得，在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，，故选：D．【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键．2．（2022春·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，E为AD上一点，若，则AB的最大值为．【答案】4【分析】设，则，根据，，根据正弦的增减性可得，当最大值，取得最大值，进而即可求解．【详解】设，则，则过点，则，当点与点重合时，取得最大值，此时最大，则最大，即取得最大值，此时，的最大值为故答案为：4【点睛】本题考查了矩形的性质，正弦的增减性，掌握三角函数的关系，矩形的性质是解题的关键．题型08利用同角三角函数关系求值1．（22·23·娄底·中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．【详解】解：∵，，∴即，，，故选：A．【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键．2．（2022下·专题练习）已知，关于角的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据三角函数的计算法则以及余弦函数、正弦函数和正切函数的增减性即可作答．【详解】解：由，得，故①正确；，故②错误；由可得，与矛盾，故③错误；，故④正确；故选：B．【点睛】本题主要考查了三角函数的计算，掌握相应的考点知识是解答本题的关键．3．（2022·湖南湘潭·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，；，．例：．(1)试仿照例题，求出的值；(2)若已知锐角α满足条件，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把化为直接代入三角函数公式计算即可；（2）把化为直接代入三角函数公式计算即可．【详解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，，α为锐角，解得，∴．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解答本题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解．题型09求证同角三角函数关系式1．（2021春·九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝.则下列关系式中不成立的是()A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosAC．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1【答案】D【分析】可根据同角三角函数的关系：平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；正切之间的关系进行解答．【详解】解：根据锐角三角函数的定义，得A.tanA•cotA==1，关系式成立；B.sinA=，tanA•cosA==，关系式成立；C.cosA=，cotA•sinA==，关系式成立；D.tan2A+cot2A=≠1，关系式不成立．故选D．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系解题关键是明确三角函数的意义，准确进行推理证明．2．（2022春·全国·九年级专题练习）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是．（填序号）①；②；③当时，；④．【答案】①③④【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可．【详解】解：①如图，在中，∵，，∴，故①正确；②若，则，，∴∴，故②错误；③当时，，∴越大，对边越大，且越接近斜边，∴越大，∴当时，，故③正确；④∵，，，∴，故④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．题型10互余两角三角函数的关系1．（2022秋·广西百色·九年级校考期末）下列式子中，不成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值的运算以及互余两角三角函数的关系对各选项进行判断即可．【详解】解：∵，∴，A中式子成立，故不符合题意；如图，∵，∴∴B中式子成立，故不符合题意；∵，∴∴C中式子成立，故不符合题意；∵，∴，D中式子不成立，故符合题意；故选D．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，互余两角三角函数的关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确的计算．2．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则．【答案】【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可．【详解】解：如图，在中，

∵，∴．∵，∴．∵为锐角，∴．∵∴．故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键．题型11三角函数综合1．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，在矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为（

）

A．3 B． C． D．【答案】D【分析】连接，交于点G，，根据对称的性质，可得垂直平分，，，根据E为中点，可证，通过等边对等角可证明，利用勾股定理求出，再利用三角函数求出，则根据勾股定理计算即可．【详解】解：连接，交于点G，如图所示，

由翻折性质可得：垂直平分，∴，，∵E为的中点，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了折叠对称的性质、解直角三角形，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．2．（2023·上海长宁·统考一模）如图，点在正方形的边上，的平分线交边于点，连接，如果正方形的面积为12，且，那么的值为．【答案】【分析】过点E作交于点G，证明，根据正方形的面积求出，然后求出结果即可．【详解】解：过点E作交于点G，如图所示：∵四边形为正方形，∴，，∵，∴，∴，，∴，∵正方形的面积为12，∴，∵，∴．答案：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行线的性质，三角函数的计算，解题的关键是作出辅助线，求出．A夯实基础1．（2023上·河北邢台·九年级邢台市第七中学校考阶段练习）下列三角函数的值是的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【详解】解：，，，，观察四个选项，选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键．2．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）若（为锐角），则的度数为（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】由即可求解．【详解】解：，为锐角，；故选：B．【点睛】本题考查了特殊角的三角形函数值，掌握特殊角的三角函数是解题的关键．3．（2023上·上海宝山·九年级统考期中）计算：.【答案】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：原式，故答案为．4．（2023下·山东临沂·九年级校考期末）在中，，，则的值为．【答案】【分析】利用特殊角的三角函数值得出，的值，进而得出答案．【详解】解：在中，，，，则．故答案为：．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．5．（2023上·山东东营·九年级东营市东营区实验中学校考阶段练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)3(2)【分析】（1）先算开方，三角函数值，零指数幂和绝对值，再算乘法，最后计算加减法；（2）将特殊角的三角函数值代入，再计算．【详解】（1）解：；（2）【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值，特殊三角函数值等考点的运算．6．（2023上·山东泰安·九年级肥城市实验中学校考期中）（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据特殊角的三角函数值计算即可；（2）根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键．B能力提升1．（2023上·山东潍坊·九年级校考阶段练习）在中，，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用直角三角形的面积可得，再结合锐角的正切可得答案．【详解】解：如图，∵，即，∵，∴，∴，∴，∴，故选A【点睛】本题考查的是利用锐角的正切求解锐角的大小，熟记锐角的正切的含义是解本题的关键．2．（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）已知的半径，弦、的长分别是、，则的度数为（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理逆定理及特殊角三角函数．分两种情况考虑，根据垂径定理及特殊角三角函数即可求解．【详解】解：当弦、在半径的同侧时，如图，过O作于D，则，，∵，∴，∴；∵，∴，∴；当弦、在半径的异侧时，如图，同理可求得，，则，即的度数为或；故选：C．3．（2023上·黑龙江大庆·九年级校联考阶段练习）在中，若，则的度数为．【答案】/75度【分析】由题意知，，，解得，，，根据，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，，解得，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，正弦，余弦，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．4．（2022上·江西抚州·九年级校考期中）定义一种运算：，，则的值为．【答案】【分析】根据题意可得：，然后求解即可．【详解】解：由题意可得：．故答案为：．【点睛】此题考查了三角函数值的计算，解题的关键是理解题意，得到．5．（2023上·山东东营·九年级统考期中）计算(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此题主要考查了二次根式的运算法则，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值：（1）先代入特殊角的三角函数值，再按照二次根式的运算法则计算；（2）代入特殊角的三角函数值，化简负指数幂和绝对值，再按照二次根式的运算法则计算；【详解】（1）解：（1）原式（2）解：原式6．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）先化简，再求代数式的值，其中．【答案】，【分析】运用乘法公式对分式进行化简，再运用特殊值的三角函数计算出的值，代入求解并进行分母有理化即可．【详解】解：，∵，∴原式，∴当时，原式．【点睛】本题主要考查运用乘法公式进行分式的化简，求特殊值的三角形函数，代入求值，掌握以上知识的运算方法是解题的关键．C综合素养1．（2023上·四川广元·九年级校考阶段练习）在中，，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，设，根据正切的定义，即可得答案．【详解】解：由题意，得，故设则，故选：B．【点睛】本题考查三角函数的定义以及勾股定理，设是解题关键．2．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，边在轴正半轴上，，反比例函数的图象经过点A，且交菱形对角线于点D，轴于点，则长为（

）

A．1 B．3