九年级数学下册同步学与练（浙教版）-第01讲 锐角三角函数（7类题型）（解析版）

第01讲锐角三角函数（7类题型）课程标准学习目标1.正弦、余弦与正切的概念；2.正弦、余弦与正切的意义；1.掌握正弦、余弦、正切的概念与意义；知识点1：正切与余切1.正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tanA．．2.余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cotA．．aacABCb【即学即练1】1．（2023上·江苏淮安·九年级校考期中）的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了特殊角的正切值，熟记相关结果即可作答．【详解】，故选：D．【即学即练2】2．（2023下·河北石家庄·九年级校考开学考试）如图，在的正方形网格图中，，，均为格点，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，根据正切的定义计算即可．【详解】解：如图，在的正方形网格图中，

在中，，．故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．知识点2：正弦与余弦1.正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sinA．．2.余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cosA．．aacABCb【即学即练3】3．（2023下·江苏淮安·九年级校考阶段练习）在中，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用锐角三角函数关系得出的值．【详解】如图，

∵在中，，，∴．故选：D．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．【即学即练4】4．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据余弦的定义可直接进行求解．【详解】解：由题意得：；故选C．【点睛】本题主要考查余弦，熟练掌握求一个角的余弦值是解题的关键．题型01正弦、余弦与正切的概念辨析1．（22·23下·泉州·一模）在中，，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的定义得到，设，，利用勾股定理得到，即可求出的值．【详解】解：如图，中，，，，设，，由勾股定理得：，，故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．2．（2020上·西安·阶段练习）在中，分别为所对的边则下列等式中不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据锐角三角函数的定义判断即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则sin，即，故A正确，不符合题意；，即，故B不正确，符合题意；，即，故C正确，不符合题意；，即，故D正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦；锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦；锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切．3．（2021上·吉林·阶段练习）如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是．【答案】【分析】利用勾股定理求出AO、BO的长，再由=AB×2=AO⋅BC，得出BC，sin∠AOB可得答案．【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，过点B作BC⊥OA于点C．由勾股定理，得AO=，BO=，∵=AB×OE=AO×BC，∴BC==，∴sin∠AOB==．故答案为：．【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，熟练掌握正弦函数的意义、勾股定理的应用及三角形的面积求法是解题的关键．4．（2021秋·河北石家庄·九年级校考阶段练习）如图，在中，，为的中点，，．

(1)求的长；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）分别在和中用勾股定理求解即可；（2）过点作，根据求出，再利用面积相等求出，进而求出答案．【详解】（1）解：∵，，，∴，∵是的中点，∴.∴；（2）解：过点作，垂足为，如图，

∵为的中点，，，∴，∵，∴.，∴；【点睛】本题考查勾股定理及锐角三角函数，掌握相关计算是解题关键．题型02求角的正弦值1．（22·23下·沈阳·开学考试）如图，是的直径，点C和点D在上，若的半径是4，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用直径所对的圆周角为得到是直角三角形，然后利用勾股定理求得边的长，然后求得的正弦即可求得答案．【详解】是直径，，的半径是4，，由勾股定理得：，，，，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大．2．（22·23上·青岛·期末）如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过B作于点D，根据勾股定理得出的值，再利用面积公式求出的值，由可得角的正弦值．【详解】解：如图，过B作于点D根据勾股定理得：∴∴∴故选：B．【点睛】本题考查了正弦值，勾股定理与网格,三角形的面积等知识点，解题的关键在于构造直角三角形．3．（22·23·杭州·二模）点E为正方形的边上一点，连接，且与相交于点M．若，则．

【答案】【分析】由，推出，得到,则，令，，由勾股定理得到，即可求出．由，得到．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，令，，∴，∴．∴．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，正方形的性质，关键是由得到．题型03已知正弦值求边长1．（22·23下·深圳·阶段练习）如图，，，若，，则点到的距离是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用等腰直角三角形的性质可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据的面积的面积的面积的面积进行计算即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，，，，，，，，，，，，在中，，，的面积的面积的面积的面积，，，，点到的距离是，故选：B．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，点到直线的距离，利用了勾股定理，锐角三角函数，根据题目的已知条件结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．2．（22·23下·绵阳·阶段练习）如图，在中，，点D在边上，，点E在边上，，点F为上一点，，若，则的长为．【答案】4【分析】过点作交于点，设，，，根据等边对等角可推出，从而证出，然后等角的正弦值相等即可求出，从而求出，再根据等角对等边可得，最后根据勾股定理列出方程即可求出结论．【详解】解：过点作交于点，设，，，则，，，，，，，整理可得：，在中，，即，，，，解得：，，，，，，在中，，即，整理，得，，整理，得，解得：（不符合实际，舍去），即，故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的性质和勾股定理，掌握等边对等角，等角对等边，等角的锐角三角函数相等和勾股定理是解决本题的关键．3．（22·23下·合肥·三模）在中，，，，是边的中点，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处．请完成下列问题：（1）；（2）当时，的长为．【答案】【分析】（1）在中，，，利用，即可求出的值，即可求出的长度；（2）交于，过点作交的延长线于，因为是边的中点，，利用勾股定理求出，将沿直线翻折得到，可得到，可得到，结合，求出的长，即可得到最后结果．【详解】解：（1）在中，，，设，，，解得：，；故答案为：10．（2）如图，交于，过点作交的延长线于，，，是边的中点，，，，，将沿直线翻折得到，，，，，，，，，，，，．故答案为：8．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，也考查了折叠的性质和解直角三角形，勾股定理，三角函数，正确作出辅助线构造成比例线段是解答本题的关键．题型04求角的余弦值1．（2023秋·山东潍坊·九年级昌乐二中校考阶段练习）如图，矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，且，则的值为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据折叠的性质可得出、，由、、可得出，根据全等三角形的性质可得出、，设，则、、，进而可得出，在中，利用勾股定理可求出的值，再利用余弦的定义即可求出的值．【详解】解：根据折叠，可知：，，．在和中，，∴，，．设，则，，，，．在中，，即，解得：，，．故选C【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合，求出的长度是解题的关键．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，点F为其重心，连接、并延长分别交、于点D、E，且，，则．【答案】/【分析】先根据三角形重心的性质得到为的中线，，再根据等腰三角形的性质得到，，则利用勾股定理得到，所以，接着计算出，然后根据余弦的定义求解．【详解】解：∵点F为的重心，∴为的中线，，∵，，∴，，在中，，∴，在中，BF＝，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形．3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考模拟预测）在矩形中，过点A作的垂线，垂足为点，矩形的两边长分别是2和3，则的值是．【答案】或【分析】分两种情况：当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可．【详解】解：当，时，如图所示：∵四边形为矩形，∴，∴，∵，∴，∴；当，时，如图所示：∵四边形为矩形，∴，∴，∵，∴，∴；综上分析可知，的值是或．【点睛】本题主要考查了求三角函数值，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是作出图形，数形结合，注意分类讨论．题型05已知余弦值求边长1．（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，在直角梯形中，，，，且，，则下底的长是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得出，，然后可得，然后问题可求解．【详解】解：∵，，∴，∵，，，∴，∴，∴，即，∵，，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查，已知余弦求边长，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．2．（2023春·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，为的边上一点，，，，，则（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】根据，，可求出，，再证明，即可作答．【详解】∵，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了三角函数、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键．3．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，在四边形中，，，，，，则．

【答案】/【分析】先根据余弦的定义可得，设，则，，再根据可求出的值，从而可得的值，然后利用勾股定理可得的值，最后根据正弦的定义即可得．【详解】解：，，，，，设，则，，，，，解得，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了正弦与余弦、勾股定理等知识点，熟练掌握正弦与余弦的定义是解题关键．4．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）在矩形中，对角线，交于点，过点作于点．

(1)求证；(2)求证：(3)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据矩形的性质以及已知条件可得，，即可得证；（2）根据相似三角形的性质得出比例式，根据，即可得证；（3）根据矩形的性质以及已知条件，得出∠CAD=∠ABE，进而根据余弦的定义，即可求解．【详解】（1）证明：，，又，；（2），：：，又，；（3）解四边形是矩形，，，，，，在中，，，．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，余弦的定义，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．题型06求角的正切值1．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，点在边上，且，点在边上，且．若，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】证明，设，则，根据相似三角形的性质求得，进而根据正切的定义，，即可求解．【详解】解：∵四边形为正方形，．∴，，∴，∴∵，，则，设，则，∴解得：或∵，∴，∴,故选：C．【点睛】本题考查了求正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．2．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，和均为等腰直角三角形，，，，点B在线段上，已知，，则的值为（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根据题意，先证明，得到，，进而得到，由，利用勾股定理得到，根据，得到，在中，根据即可求解．【详解】解：和均为等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，，，，，，，在中，，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理及求正切值，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2022春·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校联考阶段练习）如图，在边长为9的正方形中，等腰的直角顶点与正方形的顶点C重合，斜边EF与正方形的对角线交于点E，射线与交于点P，与交于点Q且．(1)求证：；(2)求的长；(3)求的值．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）利用等角的余角相等求得，再利用即可证明；（2）证明，得到，再由已知求得，据此求解即可；（3）先证明是等腰直角三角形，得到，在中，利用勾股定理列式求得，进一步计算即可求解．【详解】（1）证明：四边形是正方形，是等腰直角三角形，，在与中，∵，；（2）解：，，，，，，，；（3）解：过点F作于R，∵，∴，∴是等腰直角三角形，，在中，，，，，，．【点睛】本题考查了相似的判定和性质，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．题型07已知正切值求边长1．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）如图，在矩形纸片中，点在边上，沿着折叠使点落在边上点处，过点作交于点．若，，则的长为（

）

A． B．2 C． D．【答案】A【分析】连接，根据折叠的性质和平行线的性质，证得，然后可证得，求得的长度，根据勾股定理即可求得答案．【详解】如图所示，连接．

根据折叠的性质可知，，，，，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，，∴．又，∴．∴．∴．设，则，．在中，根据勾股定理可得．即．解得．∴．故选：A．【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质、勾股定理等，能根据题意构造辅助线是解题的关键．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，点G为的重心，若，，那么的长等于．

【答案】【分析】点G为的重心，就是三角形的三条中线交点，因此延长交于点D，利用中线的定义求出，利用正切的定义求出，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解：延长交于点D，

∵点G为的重心，∴是中线，∴，∵∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了重心概念、正切的定义以及勾股定理等知识，根据重心概念添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键．3．（2023春·浙江·九年级校联考阶段练习）在中，，分别是，的中点，延长至点，使得，连结．

(1)求证：四边形是平行四边形．(2)于点，连结，若是的中点，，①求的长．②求平行四边形的周长．【答案】(1)见解析(2)①；②【分析】（1）根据三角形中位线定理证明，，进而可以解决问题；（2）①设与交于点，设，则，证明，得，所以，，由，得，然后证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的值，②根据①的结论，勾股定理求得，即可求解．【详解】（1）证明：，分别是，的中点，，，，，，四边形是平行四边形；（2）解：①设与交于点，

是的中点，，四边形是平行四边形，，，，设，则，，，，，，，，，，，，，，

，是等腰直角三角形，，，，即②在中，根据勾股定理得：，平行四边形的周长．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．A夯实基础1．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）中，，，，则(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】勾股定理求出，再根据正切的定义：对边比邻边进行计算即可．【详解】解：∵，，，∴，∴；故选A．【点睛】本题考查求角的正切值．熟练掌握正切的定义，是解题的关键．2．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据余弦的定义可直接进行求解．【详解】解：由题意得：；故选C．【点睛】本题主要考查余弦，熟练掌握求一个角的余弦值是解题的关键．3．（2021·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，则的值是．

【答案】/【分析】勾股定理求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查求角的正弦值．解题的关键是掌握正弦的定义．4．（2023下·吉林长春·九年级统考开学考试）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，则的值为．

【答案】/【分析】先在图中找出所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出的值．【详解】解：在中，，，，故答案为：．【点睛】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．5．（2023下·安徽·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，，．求的长、和的值．

【答案】，，【分析】根据勾股定理和各三角函数的定义即可求解．【详解】解：在中，，，，由勾股定理得，则，【点睛】本题考查勾股定理的应用、求一个角的正弦和正切值等知识点．掌握相关定义是解题关键．6．（2021上·吉林长春·九年级期中）如图，在中，，，．求的三个三角函数值．【答案】，，【分析】根据正弦、余弦、正切的定义求解即可；【详解】中，，，，，，，．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确计算是解题的关键．B能力提升1．（2023上·湖南岳阳·九年级校联考期中）在中，，如果所对的边是，下列等式中成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查锐角三角函数；根据锐角三角函数，确定中各角的三角函数值，进行判断即可．【详解】解：如图所示，

A．由，可得，故A错；B．由，可得，故B错；C．由，可得，故C正确；D．由，可得，故D错误；故选：C．2．（2023上·山东泰安·九年级校考阶段练习）中，的对边分别为．已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用三角形的边角间关系得结论．【详解】解：在中，，，，是直角三角形，．故选：C．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理及逆定理是解决本题的关键．3．（2023上·河北邢台·九年级邢台市第七中学校考阶段练习）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为．

【答案】【分析】根据等积法求出边的高，结合勾股定理及正弦定义直接求解即可得到答案；【详解】解：由图形可得，，，，∴，解得：，∴，故答案为：；【点睛】本题考查三角函数，勾股定理，解题的关键是根据等积法求出边的高．4．（2023上·黑龙江大庆·九年级校联考阶段练习）如图所示，在矩形中，点在上，将矩形沿直线折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为．

【答案】【分析】首先利用勾股定理求得，设，则，，在中，由勾股定理得，，求出，再利用正切的定义求解．【详解】解：∵四边形为矩形，∴，，，由翻折变换可知，，，在中，由勾股定理得，，∴，设，则，，在中，由勾股定理得，，解得：，即，在中，，故答案为：．【点睛】本题主要考查矩形的折叠问题和锐角三角函数，解决问题的关键是分清折叠前后的对应关系，用勾股定理建立方程．5．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，在中，，，．

(1)求的长；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）本题考查了解直角三角形，根据，即可求出，再根据勾股定理“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”即可求解；（2）本题考查了解直角三角形，根据，即可解答．【详解】（1）解：在中，，，，∴，∵，∴，解得：，∴根据勾股定理可得，（2）解：在中，，∴．6．（2023上·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中）如图，在中，直径，与弦相交于点E，连接，若，求的值．【答案】【分析】连接，如图，利用圆周角定理得到，则利用余弦定义得到，然后根据圆周角定理得到的值．【详解】解：连结，如图，是直径，，在中，，，，，．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径，也考查了余弦的定义，熟练掌握相关知识是解题关键．C综合素养1．（2023上·陕西西安·九年级校联考期中）如图，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，得到，再利用勾股定理求出，的长，即可求出最后结果．【详解】解：如图，连接，

则，，，故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角形函数，勾股定理，利用勾股定理求出边长是解答本题的关键．2．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，点在边上，且，点在边上，且．若，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】证明，设，则，根据相似三角形的性质求得，进而根据正切的定义，，即可求解．【详解】解：∵四边形为正方形，．∴，，∴，∴∵，，则，设，则，∴解得：或∵，∴，∴,故选：C．【点睛】本题考查了求正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．3．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）如图，在中，，，点在边上，且，则，．

【答案】/【分析】先由等腰三角形的性质和三角形外角性质可以求出，再利用所对直角边是斜边的一半，求出，由勾股定理得，最后由即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，故答案为：，．【点睛】此题考查了勾股定理，所对直角边是斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形外角性质，解直角三角形，解题的关键熟练掌握以上知识的