第01讲 投影（4类题型）-2023-2024学年九年级数学下册同步学与练（浙教版）（原卷版）

第01讲投影（4类题型）课程标准学习目标1.平行投影、中心投影、正投影；2.视点、视角和盲区；1.掌握平行投影、中心投影和正投影的概念与应用；2.掌握视点、视角和盲区的概念；知识点01.平行投影（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．

（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．

（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．

（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．

（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．【即学即练1】1．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）高4米的旗杆在阳光下的影子长6米，同一时刻同一地点测得某建筑物的影子长24米，则该建筑物的高度是（

）A．6米 B．16米 C．36米 D．96米【即学即练2】2．（2023下·山东临沂·九年级校考阶段练习）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形，若，则（）

A．56° B．66° C．72° D．76°知识点02.中心投影（1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．

（2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．

（3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影．3.视点、视角和盲区（1）把观察者所处的位置定为一点，叫视点．

（2）人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角．

（3）盲区：视线到达不了的区域为盲区．【即学即练3】3．（2023下·山东泰安·九年级校考阶段练习）下列各种现象属于中心投影现象的是（）A．早上升旗时地面上旗杆的影子 B．上午人走在路上的影子C．中午用来乘凉的树影 D．晚上人走在路灯下的影子【即学即练4】4．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为（

）

A． B． C．5 D．6题型01平行投影1．（2023上·全国·九年级专题练习）三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（）A． B．C． D．2．（2023上·江苏扬州·九年级校考期中）小王的身高是，他在阳光下的影长是，在同一时刻测得某棵树的影长为，则这棵树的高度约为（

）A． B． C． D．3．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻，晷针在晷面上所形成的投影属于投影．（填写“平行”或“中心”）4．（2023上·四川巴中·九年级校考阶段练习）同一时刻，物体的高与它的影长成比例，小明利用这一原理，测量一旗杆高度，他自己的身高是1.5米，影长是米，又测得旗杆的影长是米，则旗杆的高度是米．5．（2023上·福建三明·九年级永安市第六中学校考阶段练习）树和木杆在同一时刻的投影如图所示，木杆高，影子长；若树的影子长，则树高多少？题型02中心投影1．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）下列哪种影子不是中心投影（）A．月光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影C．都市霓虹灯形成的影子 D．皮影戏中的影子2．（2023上·全国·九年级专题练习）一块三角形板，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（）

A．24cm B．20cm C．15cm D．5cm3．（2023上·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期中）三角板在点光源O的照射下形成投影，三角板的顶点A与其投影的对应点B的位置如图，经测量，且三角板的面积为，则其投影的面积为．4．（2021·贵州·统考一模）如图，小莉用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的面积为，则影子的面积为5．（2023上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高1.5米的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯灯泡的高度，具体做法如下：先从路灯底部沿方向走20步到处，发现自己的影子端点落在点处，作好记号后，从点沿方向走4步恰好到达点处，此时他影子的端点在点处，已知在同一水平线上，路灯的灯泡在上，，小王的步间距保持一致．(1)请在图中画出灯泡和影子端点的位置；(2)估计灯泡的高，并求出影长的步数．题型03正投影1．（2023下·全国·九年级专题练习）把一个正六棱柱如图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（）A． B．C． D．2．（2022上·山西大同·九年级统考期末）如图，是线段在投影面P上的正投影，，，则投影的长为（

）A． B． C． D．3．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图，一条线段在平面α内的正投影为，，，则的度数为．

4．（2023下·安徽安庆·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，位于第二象限的点在轴上的正投影为点，则．5．（2022上·九年级单元测试）如图，已知线段，投影面为P．

(1)当垂直于投影面P时（如图①），请画出线段的正投影；(2)当平行于投影面P时（如图②），请画出它的正投影，并求出正投影的长；(3)在（2）的基础上，点A不动，线段绕点A在垂直于投影面P的平面内逆时针旋转，请在图③中画出线段的正投影，并求出其正投影的长．题型04视点、视角和盲区1．（2022·全国·九年级专题练习）如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（

）A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以2．（2022上·九年级单元测试）有一个高大的五棱柱形建筑物，人站在地面上，不可能同时看到的是（）A．个侧面 B．个侧面 C．个侧面 D．个侧面3．（2022·九年级单元测试）电影院的座位排列时，后一排总比前一排高，并且每一横排呈圆弧形，这是为了．4．（2022·九年级单元测试）现有m，n两堵墙，两个同学分别站在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不被这两个同学发现(用阴影部分的序号表示)．5．（2023上·陕西汉中·九年级统考期末）如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，．(1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子；(2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度．A夯实基础1．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．正投影可能是平行投影也可能是中心投影B．物体在灯光下产生的投影可能是物体的正投影C．物体在太阳光下产生的投影是物体的平行投影D．电灯的光源距离投影面较远的投影就是平行投影2．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（

）A．一条线段 B．一个与原三角板全等的三角形C．一个等腰三角形 D．一个小圆点3．（2022下·九年级单元测试）正午时我们在太阳下的影子长度比下午时我们在太阳底下的影子的长度要．（长，短）4．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考阶段练习）某一时刻太阳光下身高的小明的影长为，同一时刻旗杆的影长为则旗杆的高度为．5．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）如图，某一时刻，小树在太阳光下的影子为，依依同学站在小树的影子末端D处（依依同学的身高用表示），请你画出依依同学这一时刻的影子．6．（2023上·广东茂名·九年级校联考阶段练习）如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．

(1)请你在图中画出此时在阳光下的投影．(2)根据题中信息，求出立柱的长．B能力提升1．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）中午12点，身高为的小冰的影长为，同学小雪此时在同一地点的影长为，那么小雪的身高为（

）．A． B． C． D．2．（2023上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）如图是圆桌正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为，桌面距离地面，若灯泡距离地面（桌面的厚度忽略不计），则地面上阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．3．（2023上·福建厦门·九年级厦门市湖滨中学校考阶段练习）如图，和是直立在地面上的两根立柱，，在阳光下的影长，在同时刻阳光下的影长，则的长为米．

4．（2023上·甘肃张掖·九年级校考期中）如图是三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子，现测得，这个三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比是．

5．（2023上·安徽宿州·九年级统考阶段练习）如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱形成的影子分别为与．(1)通过作图判断此光源下形成的投影是中心投影还是平行投影，并说明理由；(2)作出立柱在此光源下所形成的影子．6．（2023上·河北张家口·九年级张北县第三中学校考阶段练习）如图，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框在地面上留下2米长的影子，窗框影子的一端到窗下墙脚的距离为3.6米，窗口底边与地面的距离为1.2米．(1)求窗户的高度（的长）；(2)如下图，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端沿向右移动到，米，另一端恰好移动到厂房的另一墙脚，求的长．C综合素养1．（2022·河北石家庄·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的投影长为（

）

A． B． C．5 D．62．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）某一时刻，与地面垂直的长的木杆在地面上的影长为．同一时刻，树的影子一部分落在地面上，一部分落在坡角为的斜坡上，如图所示．已知落在地面上的影长为．落在斜坡上的影长为．根据以上条件，可求出树高为（

）．（结果精确到）

A． B． C． D．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期中）在“测量物体的高度”活动中，小丽在同一时刻阳光下，测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米：测量树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图），落在地面上的影长为4.8米，一级台阶高为0.25米，落在第一级台阶上的影子长为0.2米，则树高度为米．4．（2023上·河北邢台·九年级邢台三中校联考期中）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则：（1）小山包的半径为；（2）小山包的高为．（取）5．（2023上·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）如图，亮亮和同伴想测量一个亭子的高度．在一个阳光明媚的周末，某一时