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文档简介
山东省泰安市第一中学2025届高三第二次调研数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知直三棱柱中,,,,则异面直线与所成的角的正弦值为().A. B. C. D.2.中国铁路总公司相关负责人表示,到2018年底,全国铁路营业里程达到13.1万公里,其中高铁营业里程2.9万公里,超过世界高铁总里程的三分之二,下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程(单位:万公里)的折线图,以下结论不正确的是()A.每相邻两年相比较,2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程与年价正相关C.2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程数依次成等差数列3.过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB,且,若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点,则双曲线C的离心率为()A. B. C.2 D.4.幻方最早起源于我国,由正整数1,2,3,……,这个数填入方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形数阵就叫阶幻方.定义为阶幻方对角线上所有数的和,如,则()A.55 B.500 C.505 D.50505.已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程不可能为()A. B. C. D.6.执行如图所示的程序框图,若输出的值为8,则框图中①处可以填().A. B. C. D.7.已知平面向量满足与的夹角为,且,则实数的值为()A. B. C. D.8.在中,“”是“为钝角三角形”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知集合M={x|﹣1<x<2},N={x|x(x+3)≤0},则M∩N=()A.[﹣3,2) B.(﹣3,2) C.(﹣1,0] D.(﹣1,0)10.已知i为虚数单位,则()A. B. C. D.11.已知,则的值等于()A. B. C. D.12.已知甲、乙两人独立出行,各租用共享单车一次(假定费用只可能为、、元).甲、乙租车费用为元的概率分别是、,甲、乙租车费用为元的概率分别是、,则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知两动点在椭圆上,动点在直线上,若恒为锐角,则椭圆的离心率的取值范围为__________.14.已知函数在处的切线与直线平行,则为________.15.已知点P是直线y=x+1上的动点,点Q是抛物线y=x2上的动点.设点M为线段PQ的中点,O为原点,则16.设为偶函数,且当时,;当时,.关于函数的零点,有下列三个命题:①当时,存在实数m,使函数恰有5个不同的零点;②若,函数的零点不超过4个,则;③对,,函数恰有4个不同的零点,且这4个零点可以组成等差数列.其中,正确命题的序号是_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在矩形中,,,点分别是线段的中点,分别将沿折起,沿折起,使得重合于点,连结.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.18.(12分)设直线与抛物线交于两点,与椭圆交于两点,设直线(为坐标原点)的斜率分别为,若.(1)证明:直线过定点,并求出该定点的坐标;(2)是否存在常数,满足?并说明理由.19.(12分)某工厂的机器上有一种易损元件A,这种元件在使用过程中发生损坏时,需要送维修处维修.工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8:30之前送到维修处,并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作.每个工人独立维修A元件需要时间相同.维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数,具体数据如下表:日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A个数91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A个数12241515151215151524从这20天中随机选取一天,随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数.(Ⅰ)求X的分布列与数学期望;(Ⅱ)若a,b,且b-a=6,求最大值;(Ⅲ)目前维修处有两名工人从事维修工作,为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个,至少需要增加几名维修工人?(只需写出结论)20.(12分)已知数列的前n项和,是等差数列,且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)令.求数列的前n项和.21.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.22.(10分)已知函数,不等式的解集为.(1)求实数,的值;(2)若,,,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
设M,N,P分别为和的中点,得出的夹角为MN和NP夹角或其补角,根据中位线定理,结合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【详解】根据题意画出图形:设M,N,P分别为和的中点,则的夹角为MN和NP夹角或其补角可知,.作BC中点Q,则为直角三角形;中,由余弦定理得,在中,在中,由余弦定理得所以故选:C【点睛】此题考查异面直线夹角,关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角,属于较易题目.2、D【解析】
由折线图逐项分析即可求解【详解】选项,显然正确;对于,,选项正确;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列,故错.故选:D【点睛】本题考查统计的知识,考查数据处理能力和应用意识,是基础题3、C【解析】
由得F是弦AB的中点.进而得AB垂直于x轴,得,再结合关系求解即可【详解】因为,所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点,所以,即,则,故.故选:C【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查,是考查基本知识,属于基础题.4、C【解析】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等,可得,即得解.【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等,所以阶幻方对角线上数的和就等于每行(或每列)的数的和,又阶幻方有行(或列),因此,,于是.故选:C【点睛】本题考查了数阵问题,考查了学生逻辑推理,数学运算的能力,属于中档题.5、C【解析】
判断出已知条件中双曲线的渐近线方程,求得四个选项中双曲线的渐近线方程,由此确定选项.【详解】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与轴的夹角时要分为两种情况.依题意,双曲渐近线与轴的夹角为30°或60°,双曲线的渐近线方程为或.A选项渐近线为,B选项渐近线为,C选项渐近线为,D选项渐近线为.所以双曲线的方程不可能为.故选:C【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程,属于基础题.6、C【解析】
根据程序框图写出几次循环的结果,直到输出结果是8时.【详解】第一次循环:第二次循环:第三次循环:第四次循环:第五次循环:第六次循环:第七次循环:第八次循环:所以框图中①处填时,满足输出的值为8.故选:C【点睛】此题考查算法程序框图,根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决,属于简单题目.7、D【解析】
由已知可得,结合向量数量积的运算律,建立方程,求解即可.【详解】依题意得由,得即,解得.故选:.【点睛】本题考查向量的数量积运算,向量垂直的应用,考查计算求解能力,属于基础题.8、C【解析】分析:从两个方向去判断,先看能推出三角形的形状是锐角三角形,而非钝角三角形,从而得到充分性不成立,再看当三角形是钝角三角形时,也推不出成立,从而必要性也不满足,从而选出正确的结果.详解:由题意可得,在中,因为,所以,因为,所以,,结合三角形内角的条件,故A,B同为锐角,因为,所以,即,所以,因此,所以是锐角三角形,不是钝角三角形,所以充分性不满足,反之,若是钝角三角形,也推不出“,故必要性不成立,所以为既不充分也不必要条件,故选D.点睛:该题考查的是有关充分必要条件的判断问题,在解题的过程中,需要用到不等式的等价转化,余弦的和角公式,诱导公式等,需要明确对应此类问题的解题步骤,以及三角形形状对应的特征.9、C【解析】
先化简N={x|x(x+3)≤0}={x|-3≤x≤0},再根据M={x|﹣1<x<2},求两集合的交集.【详解】因为N={x|x(x+3)≤0}={x|-3≤x≤0},又因为M={x|﹣1<x<2},所以M∩N={x|﹣1<x≤0}.故选:C【点睛】本题主要考查集合的基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.10、A【解析】
根据复数乘除运算法则,即可求解.【详解】.故选:A.【点睛】本题考查复数代数运算,属于基础题题.11、A【解析】
由余弦公式的二倍角可得,,再由诱导公式有,所以【详解】∵∴由余弦公式的二倍角展开式有又∵∴故选:A【点睛】本题考查了学生对二倍角公式的应用,要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式,属于简单题12、B【解析】
甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元,或同为2元,或同为3元,由独立事件的概率公式计算即得.【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是,∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为.故选:B.【点睛】本题考查独立性事件的概率.掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据题意可知圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直,恒为锐角,只需直线与圆相离,从而可得,解不等式,再利用离心率即可求解.【详解】根据题意可得,圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直,因此当直线与圆相离时,恒为锐角,故,解得从而离心率.故答案为:【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质,考查了逻辑分析能力,属于中档题.14、【解析】
根据题意得出,由此可得出实数的值.【详解】,,直线的斜率为,由于函数在处的切线与直线平行,则.故答案为:.【点睛】本题考查利用函数的切线与直线平行求参数,解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系,考查计算能力,属于基础题.15、3【解析】
过点Q作直线平行于y=x+1,则M在两条平行线的中间直线上,当直线相切时距离最小,计算得到答案.【详解】如图所示:过点Q作直线平行于y=x+1,则M在两条平行线的中间直线上,y=x2,则y'=2x=1,x=1点M为线段PQ的中点,故M在直线y=x+38时距离最小,故故答案为:32【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题,转化为切线问题是解题的关键.16、①②③【解析】
根据偶函数的图象关于轴对称,利用已知中的条件作出偶函数的图象,利用图象对各个选项进行判断即可.【详解】解:当时又因为为偶函数可画出的图象,如下所示:可知当时有5个不同的零点;故①正确;若,函数的零点不超过4个,即,与的交点不超过4个,时恒成立又当时,在上恒成立在上恒成立由于偶函数的图象,如下所示:直线与图象的公共点不超过个,则,故②正确;对,偶函数的图象,如下所示:,使得直线与恰有4个不同的交点点,且相邻点之间的距离相等,故③正确.故答案为:①②③【点睛】本题考查函数方程思想,数形结合思想,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)根据,,可得平面,故而平面平面.(Ⅱ)过作于,则可证平面,故为所求角,在中利用余弦定理计算,再计算.【详解】解:(Ⅰ)因为,,,平面,平面所以平面,又平面,所以平面平面;(Ⅱ)过作于,则由平面,且平面知,所以平面,从而是直线与平面所成角.因为,,,所以,从而.【点睛】本题考查了面面垂直的判定,考查直线与平面所成角的计算,属于中档题.18、(1)证明见解析(0,2);(2)存在,理由见解析【解析】
(1)设直线l的方程为y=kx+b代入抛物线的方程,利用OA⊥OB,求出b,即可知直线过定点(2)由斜率公式分别求出,,联立直线与抛物线,椭圆,再由根与系数的关系得,,,代入,,化简即可求解.【详解】(1)证明:由题知,直线l的斜率存在且不过原点,故设由可得,.,,故所以直线l的方程为故直线l恒过定点.(2)由(1)知设由可得,,即存在常数满足题意.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线、椭圆的位置关系,直线过定点问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.19、(Ⅰ)分布列见解析,;(Ⅱ);(Ⅲ)至少增加2人.【解析】
(Ⅰ)求出X的所有可能取值为9,12,15,18,24,求出概率,得到X的分布列,然后求解期望即可.(Ⅱ)当P(a≤X≤b)取到最大值时,求出a,b的可能值,然后求解P(a≤X≤b)的最大值即可.(Ⅲ)利用前两问的结果,判断至少增加2人.【详解】(Ⅰ)X的取值为:9,12,15,18,24;,,,,,X的分布列为:X912151824P故X的数学期望;(Ⅱ)当P(a≤X≤b)取到最大值时,a,b的值可能为:,或,或.经计算,,,所以P(a≤X≤b)的最大值为.(Ⅲ)至少增加2人.【点睛】本题考查离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差,属于中等题.20、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】试题分析:(1)先由公式求出数列的通项公式;进而列方程组求数列的首项与公差,得数列的通项公式;(2)由(1)可得,再利用“错位相
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