四川省达州市2025届高三数学第一次诊断测试模拟考试文科试题含解析

四川省达州市2024届高三数学第一次诊断测试模拟考试文科试题总分:150分一单选题（5分*12）1.设集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别解方程和不等式求出集合和集合，再求并集即可.【详解】对于集合，由解得或，∴，对于集合，不等式等价于，∵是定义在上的增函数，∴，∴，∴.故选：A.2.如图，若向量对应的复数为z，则表示的复数为（）A.1＋3i B.－3－iC.3－i D.3＋i【答案】D【解析】【分析】利用复数与向量的对应关系可得z＝1－i，再利用复数的运算法则即可得出答案.【详解】由题图可得Z（1，－1），即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义、复数与向量之间的对应关系、复数的运算法则.3.已知函数​，则​（）A.​ B.1 C.​ D.5【答案】B【解析】【分析】利用导数运算求得.【详解】，令得.故选：B4.设条件甲：“事务A与事务B是对立事务”，结论乙：“概率满意P（A）＋P（B）＝1”，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】将两个条件相互推导，依据能否推导的状况选出正确答案.【详解】①若事务A与事务B是对立事务，则A∪B为必定事务，再由概率的加法公式得P（A）＋P（B）＝1；②投掷一枚硬币3次，满意P（A）＋P（B）＝1，但A，B不肯定是对立事务，如：事务A：“至少出现一次正面”，事务B：“出现3次正面”，则P（A）＝，P（B）＝，满意P（A）＋P（B）＝1，但A，B不是对立事务.所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的推断，考查对立事务的理解，属于基础题.5.执行程序框图，则输出的数值为（）A.31 B.32 C.63 D.64【答案】C【解析】【分析】模拟程序的运行过程，逐步计算即可求出结果．【详解】解：模拟程序的运行，，满意条件，，，满意条件，，，满意条件，，，满意条件，，，满意条件，，，此时，不满意条件，退出循环，输出S的值为63．故选：C．6.已知平面对量是非零向量，，夹角​，则向量​在向量​方向上的投影为（）A.​ B.1 C.​ D.2【答案】A【解析】【分析】依据向量投影概念求解即可.【详解】向量​在向量​方向上的投影为.故选：A7.已知直线与圆相切，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直线与圆相切可得，然后利用均值不等式可得，从而可求的最大值.【详解】解：因为直线与圆相切，所以，即，因为，所以，所以，所以的最大值为，故选：D.8.由伦敦闻名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完备结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线​​下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（）A.​ B.​C.​ D.​【答案】B【解析】【分析】首先依据题意得到，再解方程组即可.【详解】设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离，所以，即双曲线方程为：.故选：B9.已知定义在​上的函数​满意，当​时，​​，则​等于（）A.1 B.​ C.​ D.2【答案】D【解析】【分析】有题目条件，可得周期为4，且图像关于对称，据此可得.【详解】因，则图像关于对称又因，则，即周期为4.则，又当​时，，则，即.故选：D10.已知函数在区间​上单调递增，则​的取值范围为（）A.​ B.​C.​ D.​【答案】B【解析】【分析】依据正弦函数的单调递增区间，确定函数的单调增区间，依据函数在区间上单调递增，建立不等式，即可求解.【详解】在区间上单调递增，所以由函数解析式知:在上单调递增，则有，解得，所以当时，有，故选:B.11.某顾客在2024年1月1日采纳分期付款方式购买一辆价值2万元的家电，在购买一个月后2月1日第一次还款，且以后每个月1日等额还款一次，假如一年内还清全部贷款（12月1日最终一次还款），月利率为0.5％.按复利计算，则该顾客每个月应还款多少元？（精确到1元，参考值，）（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设每月还款元，每月还款按得利计算，11次还款的本利和等于银行贷款按复利计算的本利和，由此可得．【详解】设每月还款元，共还款11个月，所以，．故选：A．12.如图所示，设正方体的棱长为，点是棱上一点，且，过，，的平面交平面于，在直线上，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】连接，由面面平行性质定理，可以证出，所以，，利用相像比即可求出.【详解】在正方体中，，，∴四边形平行四边形，∴，又∵在正方体中，平面平面，平面平面，平面平面，∴，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵正方体的棱长为，∴，，，∴.故选：A.二填空题（5分*4）13.设变量满意约束条件：，则目标函数的最大值为__________.【答案】##4.5【解析】【分析】依据不等式组作出可行域，再结合目标函数的几何意义求最值.【详解】依据不等式组作出可行域，如图所示当目标函数经过点时，取最大值为故答案为：##4.514.已知数列​满意，，​，则​等于__________.【答案】7【解析】【分析】首先依据题意得到是等差数列，再依据等差数列的性质求解即可.【详解】因为，所以是等差数列，由等差数列性质可得，解得.，解得.所以.故答案为：715.已知点M(－3，2)是坐标平面内肯定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是___．【答案】【解析】【分析】当MQ∥x轴时，|MQ|－|QF|取得最小值，此时点Q的纵坐标y＝2，代入计算横坐标，最终计算最小值.【详解】抛物线的准线方程为，当MQ∥x轴时，|MQ|－|QF|取得最小值，此时点Q的纵坐标y＝2，代入抛物线方程y2＝2x得Q的横坐标x＝2，则.故答案为【点睛】本题考查了距离的最小值，推断当MQ∥x轴时，|MQ|－|QF|取得最小值是解题的关键.16.已知当时，不等式恒成立，则正实数a的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】将问题转化为，设，依据函数的单调性求出，令（），利用导数求出其最小值，从而可求出实数a的取值范围，进而可求得正实数a的最小值【详解】由题意得，原不等式可变形为，即，设，则当时，恒成立，由，得，当时，，当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，，所以，，因为在上单调递增，所以要使，只要，两边取对数得，，因为，所以，令（），则，所以在上单调递增，所以，所以，所以，所以正实数a的最小值为，故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查数学转化思想，解题的关键是将原不等式转化为，发觉两边形式相同，所以构造函数，转化为当时，恒成立，再由函数的单调性可得，再转化为恒成立，构造函数求出其最小值即可，属于较难题三解答题17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（I）求A；（Ⅱ）设D是线段的中点，若，，求a．【答案】（I）；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）先由正弦定理，将所给条件化为，再由余弦定理，即可得出结果；（Ⅱ）依据题中条件，得到，推出，再由余弦定理得到，两式联立求出，进而可求出.【详解】（I）依据正弦定理，由可得，即，由余弦定理可得，，因为为三角形内角，所以；（Ⅱ）因为D是线段的中点，，，所以，则，所以，即，整理得；又，所以，解得或（舍），因此，所以【点睛】思路点睛：求解三角形中的边长或面积等问题时，一般须要依据正弦定理，或余弦定理，将题中条件进行转化，得出对应的方程求解即可.18.第24届冬季奥林匹克运动会于2024年2月在中国北京实行.为迎接此次冬奥会，北京市组织高校生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核.为了了解本次培训活动的效果，从A，B两所高校各随机抽取10名学生的考核成果，并作出如图所示的茎叶图.（1）计算A，B两所高校学生的考核成果的平均值；（2）将学生的考核成果分为两个等级，如下表所示.现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，求2人来自同一所高校的概率.考核成果考核等级合格优秀【答案】（1）​，​.（2）​.【解析】【分析】（1）依据平均数计算方法求得平均数.（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得所求概率.【小问1详解】​，​.【小问2详解】记事务​为“从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，2人来自同一所高校”.样本中，​校考核等级为优秀的学生共有3人，分别记为​，​校考核等级为优秀的学生共有3人，分别记为​，从这6人中任取2人，全部的基本领件为：​，​共15个，而事务​包含的基本领件是​，共6个，因此​.19.如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，侧面为等边三角形.（1）求证：；（2）若平面平面，点为的中点，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）本题可取的中点，连接、、，然后依据为等边三角形、底面是菱形得出、，最终依据线面垂直的判定与性质即可证得结论；（2）可通过平面平面得出平面，然后依据即可得出结果.【详解】（1）如图，取的中点，连接、、，因为为等边三角形，是的中点，所以，因为底面是菱形，，所以是等边三角形，，因为，所以平面，因为平面，所以.（2）因为底面是边长为的菱形，为等边三角形，所以，，底面的面积为，因为平面平面，平面平面，，所以平面，因为为的中点，所以.20.平面直角坐标系​中，已知椭圆​，椭圆​.设点​为椭圆​上随意一点，过点​的直线​交椭圆​于​两点，射线​交椭圆​于点​.（1）求证:​;（2）求​面积的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）​.【解析】【分析】(1)设，可以求出，代入可求解.(2)​面积为​，设出方程，与椭圆联立找寻韦达定理，把的面积表示为的关系，然后换元解决.【小问1详解】设​，由题意知​因为​，又​，即​，所以​，即​.【小问2详解】由（1）知，​面积为​，设​.将​代入椭圆​的方程，可得​，由​，可得​，①则有​.所以​.因为直线​与​轴交点的坐标为​，所以​的面积​​.设​，将​代入椭圆​的方程，可得​，由​，可得​，②由（1）（2）可知​，因此​，故​，当且仅当​，即​时取得最大值​.所以​面积的最大值为​.21.已知函数，其中为常数．（1）当时，推断在区间内的单调性；（2）若对随意，都有，求的取值范围．【答案】（1）推断见解析（2）【解析】【分析】小问1：当时，求出导数，推断导数在上的正负，即可确定在上的单调性；小问2：由得，令，将参数区分为，，三种状况，分别探讨的单调性，求出最值，即可得到的取值范围.【小问1详解】当时，得，故，当时，恒成立，故在区间为单调递增函数.【小问2详解】当时，，故，即，即.令①当时，因为，故，即，又，故在上恒成立，故；②当时，，，故在上恒成立，在上单调递增，故，即上单调递增，故，故；③当时，由②可知在上单调递增，设时的根为，则在时为单调递减；在时为单调递增又，故，舍去；综上：【点睛】本题考查了利用导数推断函数的单调性，及利用恒成立问题，求参数的取值范围的问题，对参数做到不重不漏的探讨，是解题的关键.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的方程为：.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线，的极坐标方程分别为：，.（1）若曲线，相交于异于极点的点Q，求点Q的直角坐标；（2）若直线与，相交于异于极点的A，B两点，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分别求出、的直径坐标方程，进而联立两个直角坐标方程，可求出点Q的直角坐标；（2）求出的极坐标方程，设，，从而可得，利用三角函数求最值即可.【详解】（1）由，得，将代入，可得的直角坐标方程为；由，得，将代入，可得的直角坐标方