宁夏回族自治区2025届高三数学上学期第一次月考文试题含解析

Page15宁夏回族自治区2024届高三数学上学期第一次月考文试题测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.已知集合，则的元素个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】依据交集的定义可得答案.【详解】因为集合，，则，所以集合元素的个数为2.故选：B.2.若复数z满意，其中i为虚数单位，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则求解.【详解】由题知，.故选：B.3.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据零点存在定理，分别求各选项的端点函数值，找出函数值异号的选项即可【详解】由题意，因为，，由零点存在定理，故函数的零点所在的区间为故选：C4.若满意对定义域内随意的，都有，则称为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用对数的运算法则求解.【详解】解：因为，满意，所以，故选：D5.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先推断命题p和命题q的真假，然后依据且或非之间关系选出正确的选项.【详解】由题知，命题，，当，符合题意，故命题p为真命题，为假命题，命题，，成立，故命题q为真命题，为假命题，所以为真命题，为假命题，为假命题，为假命题.故选：A6.中，，，，则（）A. B.2 C. D.1【答案】B【解析】【分析】先利用三角形内角和定理求角B，然后由正弦定理可得.【详解】因为，，所以由正弦定理知：，所以.故选：B7.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、充分、必要条件的学问确定正确答案.【详解】若，则，即.若，则，则.故“”是“”的充分不必要条件.故选：A8.函数​大致图像为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性和的正负可推断D为函数​的图像【详解】解：由可得定义域为，且，所以是偶函数，故A，C错误；因为，故B选项错误，故选：D9.在中，内角、、的对边分别为，，，且，则的形态是（）A等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理将边化角得到，再由诱导公式及两角和的正弦公式推断即可．【详解】解：在中，，由正弦定理得，又，，即，，在中，，，又，．是直角三角形．故选：B．10.如图是杭州2024年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（

）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】依据弧长公式，可得出两个扇形的半径之比，从而可求出面积之比.【详解】设，，，，，而，，即是的中点，，，.故选：C11.已知是定义域为奇函数，满意．若，则（）A.13 B.0 C. D.1【答案】D【解析】【分析】依据奇函数的性质得到，，再由，即可得到是以为周期的周期函数，再求出、、的值，即可得解.【详解】解：因为是定义域为的奇函数，所以，，又，所以，即，所以，即是以为周期的周期函数，又，所以，，，所以，所以.故选：D12.已知函数的定义域为，且对随意，恒成立，则的解集是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，利用函数的单调性可求得原不等式的解集.【详解】设，该函数的定义域为，则，所以在上单调递增．由可得，即，又在上单调递增，所以，解得，所以原不等式的解集是，故选：D．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.__________．【答案】0【解析】【分析】依据余弦的两角和公式进行计算可得答案.【详解】..故答案为：.14.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】先求导，然后计算出，得到求解即可.【详解】由题得，所以，所以，得故答案为：15.函数的单调递增区间是__________．【答案】【解析】【分析】利用复合函数单调性的推断方法干脆推断即可.【详解】由得函数定义域：，解得，令，则在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递减，所以依据复合函数单调性的推断方法得在上单调递增，故答案为：.16.已知是第四象限角，且，则___________.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数关系可得，再由诱导公式化简目标式求值即可.【详解】由题设，，.故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数（p，q为常数），且满意，.（1）求函数的解析式；（2）若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据处函数值，代入解析式，即可得p，q值，即可得答案.（2）由（1）可得解析式，依据基本不等式，可得的最小值，分析即可得答案.【小问1详解】，，解得，函数的解析式为.【小问2详解】，由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，当，函数的最小值是2，要使，关于的不等式恒成立，只需，所以，解得.实数的取值范围是18.已知函数．（1）若，求的值；（2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、两角差的正弦绽开式进行化简可得，再计算可得答案；（2）利用平移可得函数的解析式，依据的范围可得答案.【小问1详解】，由，得，即，故或，，即或，，又∵∴；【小问2详解】将函数的图象向左平移个单位，可得函数图象的解析式为，，，所以函数在上的值域为．19.已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求导，然后利用在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值，建立方程组，求解即可；（2）求导，推断函数在的单调性，然后求最小值即可.【小问1详解】，结合题意可得解得，故，经检验符合题意.【小问2详解】由（1）知．令，解得或，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，故在上有极大值，无微小值，所以极大值为，又因为，，，故在上的最小值是．20.已知四边形ABCD是由△ABC与△ACD拼接而成的，且在△ABC中，．（1）求角B的大小；（2）若∠．求AB的长．【答案】（1）B（2）AB＝3【解析】【分析】（1）由余弦定理结合，即可求出角B的大小.（2）设AC＝x，∠CAB＝α，在△ABC中，由正弦定理可得xsinα①，在△ADC中，由正弦定理可得x②，联立①②，可得tanα，在△ABC中，由正弦定理可求出，再由余弦定理即可求出AB的长.【小问1详解】∵，∴整理可得，BC2+AB2﹣AC2＝BC•AB，∴在△ABC中，由余弦定理可得cosB，0＜B＜π，∴B．【小问2详解】∵B，∠，∴设AC＝x，∠CAB＝α，则在△ABC中，由正弦定理，可得，可得xsinα，①在△ADC中，由正弦定理，可得，可得x，②，∴联立①②，可得sinα＝2sin（α），可得tanα，可得cosα，sinα，∴在△ABC中，由正弦定理，可得AC，∵由余弦定理AC2＝BC2+AB2﹣2AB•BC•cosB，可得7＝4+AB2﹣2，可得AB2﹣2AB﹣3＝0，∴解得AB＝3，（负值舍去）．21.已知.（1）探讨的单调性；（2）若有一个零点，求k的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求出定义域，求导，由导函数的正负确定函数的单调性；（2）构造函数，求导确定函数的单调性，确定函数的最值，画出函数的图象，确定参数的取值范围.【小问1详解】的定义域为，，当时，恒成立，在上单调递增.当时，在上，，单调递增；在上，，单调递减.综上可知，时，在上单调递增.时，在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】有一个零点，可得有一个实根，令，.令，得；令，得.∴在上单调递增，在上单调递减.∴.又，∴时，；时，.大致图象如图所示，若直线y＝－k与的图象有一个交点，则或，即或.∴k的取值范围是.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．选修4—4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．（1）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于A，两点，求的值．【答案】（1），（t为参数）；（2）【解析】【分析】（1）由直线经过点，倾斜角为，可干脆写出其参数方程；利用极坐标与直角坐标的转化公式可得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,利用参数的几何意义可求得的值.【小问1详解】因为直线经过点，倾斜角为，故直线的参数方程为,（t为参数），即，（t为参数）；由可得，即，将代入，可得曲线的直角坐标方程为；【小问2详解】设A,B两点对应的参数为，将直线l的参数方程代入，即中，得：，整理得