专题5.1 投影与视图【九大题型】-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）

PAGE1专题5.1投影与视图【九大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1平行投影】 1【题型2中心投影】 4【题型3正投影】 9【题型4确定几何体的视图】 11【题型5由三视图判断几何体的形状】 13【题型6画三视图】 16【题型7由三视图确定正方体的个数】 19【题型8由俯视图确定几何体】 21【题型9添加或减少小正方体的个数使从某个视图不变】 24知识点1：投影(1)投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影。(2)平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影。(3)中心投影：由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影。(4)正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。【题型1平行投影】【例1】（23-24·广东深圳·九年级期末）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知∠MAD=22°，∠FCN=23°，则∠ABC的大小为（

）A．44° B．45° C．46° D．47°【答案】B【分析】本题考查平行投影，熟练掌握平行投影的性质是解题的关键．根据平行线的性质及角的和差即可求得．【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，AD∥BE∥FC，且∠MAD=22°，∠FCN=23°，∴∠MAD=∠ABE=22°，∠EBC=∠FCN=23°，∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=45°．故选：B．【变式1-1】（23-24九年级·福建宁德·期中）下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据平行投影的定义判断即可．本题考查平行投影，解题的关键是掌握平行投影的定义．【详解】解：这里属于平行投影，两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是：故选：A．【变式1-2】（23-24九年级·河南商丘·期末）如图，文文应用所学的三角形相关知识测量河南广播电视塔的高度，她站在距离塔底A点120m处的D点，测得自己的影长DE为0.4m，此时该塔的影子为AC，她测得点D与点C的距离为23m，已知文文的身高DF为1.6m，求河南广播电视塔AB的高．（图中各点都在同一平面内，点A，C，【答案】388【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用，先证△ABC∽△DFE，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．【详解】解：∵太阳光是平行光线，∴∠BCA=∠FED．由题意得AB⊥AC，DF⊥AC．∴∠BAC=∠FDE=90°，∴△ABC∽△DFE，∴AB∵AD=120m，CD=23∴AC=AD−CD=97m∵DE=0.4m，DF=1.6∴AB∴AB=388m即河南广播电视塔的高度为388m【变式1-3】（23-24九年级·四川达州·期末）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高7米的电线杆CD，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在地面上的影子BF的长为10米，落在围墙上的影子EF的长度为2米，而电线杆落在地面上的影子DH的长为5米，则落在围墙上的影子GH的长为米．

【答案】3【分析】本题主要考查了平行投影、矩形的判定与性质等知识点，根据平行投影的对应边成比例列出方程成为解题的关键．如图：过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式AMME=CNNG，即【详解】解：如图：过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．由题意得：四边形EFBM,GHDN是矩形，则MB=EF=2m，ND=GH，ME=BF=10m，∵AB=10m∴AM=AB−MB=10−2=8m，由平行投影可知：AMME=CN解得：GH=3．故答案为：3．【题型2中心投影】【例2】（23-24九年级·河北石家庄·期末）如图所示，在某点光源下有两根直杆MH，NI垂直于平整的地面，甲杆MH的影子为MJ，乙杆NI的影子一部分落在地面上的NG处，一部分落在斜坡GL上的GK处．①点光源所在的位置是（从A，B，C，D中选择一个）；②若点光源发出的过点I的光线IK⊥GL，斜坡GL与地面的夹角为30°，NG=1米，GK=33米，则乙杆NI的高度为【答案】C5【分析】（1）利用甲杆MH的影子为MJ，乙杆NI的影子一部分落在地面上的NG，一部分落在斜坡上即可得到点光源的位置；（2）延长IK交EG于点O，已知点光源发出的过点I的光线IK⊥GL，∠KGE=30°，可得∠ION=60°，根据GK=33，可得OG=23，在Rt△ONI中，已知NG=1，可得ON=【详解】（1）如图所示，C点即为点光源所在的位置，故答案为：C（2）延长IK交EG于点O，∵点光源发出的过点I的光线IK⊥GL，∴∠CKG=90°，∴∠KGE=30°，∴∠CON=60°，在Rt△OKG中，∠KGE=30°，∠CON=60°∵GK=3∴OK=13，∵NG=1，∴ON=5在Rt△ONI∵∠CON=60°，∴∠OIN=30°，∵ON=5∴IN=∴乙杆NI的高度为53故答案为：5【点睛】本题主要考查中心投影及勾股定理的应用，根据已知条件确定点光源的位置是解题的关键．【变式2-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图所示是两根标杆在地面上的影子，根据这些投影，在灯光下形成的影子是（

）A．①和② B．②和④ C．③和④ D．②和③【答案】D【分析】根据光线相交的是灯光光线，光线平行的不是灯光光线逐个判断．【详解】连接并延长每个标杆影子的末端与标杆的顶端，射线相交的是灯光下形成的影子，不相交的不是灯光下形成的影子．故选：D．【点睛】本题考查了中心投影，熟练掌握中心投影的定义是解决此类问题的关键．【变式2-2】（23-24九年级·河南平顶山·期末）如图，白鹭洲国家湿地公园广场有一灯柱MN，M为光源．某兴趣小组为了测量灯柱MN的高度，在灯柱同侧竖立两根长度均为1.6m的标杆AB和CD．测得AB的影长BC等于3m，且点N，B，(1)请画出标杆CD的影子CE；(2)若CE=4m，求灯柱MN【答案】(1)见解析(2)灯柱MN的高度为6.4【分析】（1）本题考查投影，根据光沿直线传播，连接MD并延长MD，交NC的延长线于点E，即可画出标杆CD的影子CE．（2）本题考查相似三角形的性质和判定，设灯柱MN的高度为xm，根据题意证明△ABC∽△MNC，得到BN=3x1.6−3，再证明△DCE∽△MNE【详解】（1）解：如图所示CD的影子为CE；（2）解：由题意可知MN⊥NE，AB⊥NE，CD⊥NE，即∠MNE=∠ABC=∠DCE=90°，设灯柱MN的高度为xm，根据题意，得由∠ABC=∠MNE，∠MCN=∠MCN得△ABC∽△MNC，即ABx代入数据，化简得BN=3x由∠DCE=∠MNE，∠MEN=∠MEN得，△DCE∽△MNE，即CDx代入数据，化简得BN=4x∴3x1.6∴x=6.4（m），答：灯柱MN的高度为6.4m【变式2-3】（23-24九年级·湖南邵阳·期末）如图，小明晚上由路A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.6米，那么路灯的高度AB等于米．【答案】6.4【分析】根据题意可知：AB∥CG∥HE，当小明在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即CDBD=CGAB，当小明在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即EFBF=EH【详解】解：如图，根据题意可知：AB∥∵AB∥当小明在CG处时，Rt△DCG即CDBD当小明在EH处时，Rt△FEH即EFBF∵身高不变，即CG=EH，∴CDBD=CG∵CG=EH=1.6米，CD=1米，CE=3米，EF=2米，设AB=x，BC=y，∴CDBD=EFBF=解得：y=3（经检验，此根是原方程的解），即根据CDBD=CG解得，x=6.4，（经检验，此根是原方程的解），即路灯A的高度AB=6.4米．故答案为：6.4．【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．【题型3正投影】【例3】（23-24九年级·山东济南·期末）线段的正投影，其形状可能是．（写出一个即可）【答案】线段或点【分析】本题考查正投影．根据题意，线段的正投影可能是线段，也可能是一个点，进行作答即可．掌握正投影的定义，是解题的关键．【详解】解：线段的正投影，其形状可能是线段，也可能是一个点，故答案为：线段或点．【变式3-1】（23-24·北京海淀·九年级期末）一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可．【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是故选：B．【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同．【变式3-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）下列说法正确的是（

）A．三角形的正投影一定是三角形 B．长方体的正投影一定是长方形C．球的正投影一定是圆 D．圆锥的正投影一定是三角形【答案】C【分析】根据正投影是垂直照射物体时所看到的平面图形,特别要注意这与物体的摆放有直接的关系,由此分析各选项即可得解.【详解】A.三角形的正投影不一定是三角形，错误B.长方体的正投影不一定是长方形，错误C.球的正投影一定是圆，正确D.圆锥的正投影不一定是三角形，错误故选C.【点睛】此题主要考查了正投影的概念:光线垂直照射物体所看到的平面图形叫做正投影;一个物体的正投影与物体的摆放有直接的关系.【变式3-3】（2011九年级·河南周口·专题练习）如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的几方向如箭头所示，它的正投影是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】水杯的杯口与投影面平行，即与光线垂直，则它的正投影图有圆形．【详解】解：依题意，光线是垂直照下的，它的正投影图有圆形，只有D符合，故选D．【点睛】本题考查正投影的定义及正投影形状的确定．知识点2：视图(1)视图：从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图。视图可以看作物体在某一方向光线下的正投影。(2)主视图、俯视图、左视图对一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图。主视图与俯视图的长对正；主视图与左视图的高平齐；左视图与俯视图的宽相等。【题型4确定几何体的视图】【例4】（23-24·浙江温州·九年级期末）如图，由5个相同的小正方体搭成的几何体的主视图是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三视图的定义即可判断．【详解】根据立体图可知该主视图是底层有3个小正方形，第二层中间有1个小正方形，故选：D．【点睛】本题考查三视图，解题的关键是根据立体图的形状作出三视图，本题属于基础题型．【变式4-1】（23-24九年级·山东聊城·期中）如图所示的几何体是体育比赛的领奖台，它的左视图是（

） B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．熟知左视图的定义是关键．【详解】解：从左边看，是一个矩形，矩形内部中间靠上有一条实线，中间靠下有一条虚线．故选：C．【变式4-2】（23-24九年级·陕西商洛·期中）如图，是某商场的休息椅，它的俯视图是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟练的掌握几何体三视图的定义．物体的俯视图，即是从上面看物体得到的结果；根据俯视图的概念求解即可．【详解】解：它的俯视图如图所示：．故选：B．【变式4-3】（23-24九年级·河南新乡·期中）如图，是由7个完全相同的小正方体组成的几何体．将图1中的小正方体①、②平移到如图2所示的位置，下列说法正确的是（

）A．图1和图2中的主视图和俯视图相同B．图1和图2中的三视图均不同C．图1和图2中的主视图和左视图相同D．图1和图2中的左视图和俯视图相同【答案】D【分析】本题考查三视图，分别求出图1和图2的三视图，即可判断．【详解】解：图1的三视图为：图2的三视图为：∴图1和图2的左视图和俯视图相同．故选：D．【题型5由三视图判断几何体的形状】【例5】（23-24九年级·甘肃兰州·期末）（23-24·黑龙江佳木斯·三模）由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数可能为（

）A．5个 B．6个 C．5个或6个 D．6个或7个【答案】C【分析】根据主视图和俯视图确定层数及每层的数量即可．【详解】解：结合主视图和俯视图可知，这个几何体共2层，底层有3个小正方体，第2层至少有2个小正方体，最多有3个小正方体，因此需要5个或6个小正方体，故选：C．【点睛】此题考查了小正方体组成的几何体的三视图确定小正方体的数量，正确理解几何体的三视图是解题的关键．【变式5-1】（23-24九年级·江西南昌·期末）如图是一个几何体的主视图和俯视图，则下列选项中，可能为该几何体的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据从正面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，逐项判断可作出选择．【详解】解：选项A中的几何体的主视图和俯视图都与已知一致，符合题意；选项B中的几何体的主视图与已知不一致，不符合题意；选项C中几何体的俯视图与已知不一致，不符合题意；选项D中几何体的主视图和俯视图都与已知不一致，不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的概念是解答的关键，注意画三视图时看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线．【变式5-2】（23-24九年级·四川甘孜·期末）如图为某几何体的三种视图，这个几何体可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查由三视图判断几何体，掌握立体图形和平面图形的关系是解题的关键．分别根据三个视图的意义观察求解．【详解】解：根据几何体的三视图，只有A选项符合题意；故选：A．【变式5-3】（23-24九年级·内蒙古包头·期末）如图是某一几何体的俯视图与左视图，则这个几何体可能为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据俯视图是一个矩形，矩形中间是一个圆，可排除选项A、D；根据左视图是的上层是一个矩形，可排除选项B．【详解】解：如图是某一几何体的俯视图与左视图，则这个几何体可能为：

．故选：C．【点睛】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认识．【题型6画三视图】【例6】（23-24九年级·江西南昌·阶段练习）如图是由一些棱长都为1cm

该几何体如图所示，请在下面方格中分别画出它的三视图；

【答案】见解析【分析】根据三视图的定义画出图形即可．【详解】解：如图所示

主视图

左视图

俯视图【点睛】本题考查作图-简单组合体的三视图，解题的关键是掌握三视图的定义，属于中考常考题型．【变式6-1】（23-24九年级·四川成都·期中）图中几何体是将大长方体内部挖去一个小长方体后剩余的部分，请画出该几何体的三视图．【答案】见解析【分析】利用三视图的作法，画出图形即可．【详解】解：三视图如图所示：【点睛】本题考查了画三视图的知识，用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别为从正面，左面，上面看得到的图形．【变式6-2】（23-24九年级·河南驻马店·期末）把边长为1的10个相同的正方体摆成如图的形式，画出该几何体的主视图、左视图、俯视图．【答案】见解析【分析】根据主视图、左视图、俯视图的画法画出相应的图形即可．【详解】解：这个几何体三个视图如图所示：【点睛】考查简单几何体的三视图的画法，解题的关键是掌握主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体的正投影所得到的图形．【变式6-3】（23-24九年级·贵州毕节·期末）在平整的地面上，有若5个完全相同的棱长为1的小正方体堆成的一个几何体，如图所示．

(1)请在方格纸中分别画出它的主视图、左视图和俯视图；

(2)如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的视图会发生改变．（填“主”或“左”或“俯”）【答案】(1)见解析(2)主【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体：（1）根据主视图，左视图，俯视图分别是从正面看，从左面看，从上面看看到的图形进行画图即可；（2）画出移到后的三视图即可得到答案．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：如图所示，为移动后的三视图，∴只有主视图发生改变，故答案为：主．

【题型7由三视图确定正方体的个数】【例7】（23-24九年级·广东梅州·期中）（23-24·浙江·三模）由n个大小相同的小立方块搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则n的值不可能是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．左视图、俯视图是分别从物体左面、上面看，所得到的图形．【详解】解：从俯视图发现有5个立方体，从左视图发现第二层最多有3个立方块，最少有1个立方块，所以最多有8个立方块，最少有6个立方块，故n的值可以是6、7、8．不可能是9．故选：D．【变式7-1】（23-24九年级·全国·专题练习）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请问：（1）俯视图中b=，a=．（2）这个几何体最少由个小立方块搭成．（3）能搭出满足条件的几何体共种情况．【答案】1397【分析】本题考查简单组合体的三视图（1）根据主视图，俯视图可直接得出a、b、c的值；（2）在各个位置上摆放相应的小正方体，直至最少即可；（3）在俯视图上的相应位置标注相应位置所摆放的小立方体的个数，根据不同位置所摆放的数量不同得出答案．【详解】解：（1）由主视图和俯视图可知，b=c=1，故答案为：1，3；（2）最少时，即a=3，b=c=1，而因此，最少需要3+1+1+1+1+2=9（个），故答案为：9；（3）在俯视图上的相应位置标注相应位置所摆放的小立方体的个数，所有可能的情况如下：所以能搭出满足条件的几何体共有7种，其中第7种是使用小正方体最多的，它的左视图如下：故答案为：7．【变式7-2】（23-24九年级·江西鹰潭·期中）（23-24九年级·全国·专题练习）用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图如图，则这样的几何体最少要个小立方块，最多要个小立方块．【答案】914【分析】本题考查了几何体三视图，通过几何体的三视图确定每层可加的小立方体的个数，即可求解．【详解】由俯视图得最底层有6个小立方块，第二层最少有2个小立方块，第三层最少有1个小立方块，所以最少有6+2+1=9个小立方块；最底层有6个小立方块，第二层最多有5个小立方块，第三层最多有3个小立方块，所以最多有6+5+3=14个小立方块．故答案为：9；14．【变式7-3】（23-24九年级·四川成都·期中）（23-24·山东青岛·九年级期末）如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要（

）个小立方块．

A．36 B．52 C．54 D．55【答案】C【分析】本题考查了三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据三视图判断小立方块的数量，再求出搭成一个大正方体需要的最少数量，即可得到答案．【详解】解：由三视图易得最底层有7个小立方体，第二层有2个小立方体，第三层有1个小立方体，那么共有7+2+1=10个几何体组成．若要搭成一个大正方体，共需4×4×4=64个小立方体，所以还需64−10=54个小立方体，故选：C．【题型8由俯视图确定几何体】【例8】（23-24九年级·陕西渭南·期末）（23-24九年级·全国·单元测试）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知条件可知，左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1．据此可作出判断．【详解】解：由题意可知：该几何体的左视图为：故选：A【点睛】本题考查了几何体的三视图的画法，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．【变式8-1】（23-24九年级·山东威海·期中）（23-24六年级上·山东烟台·期中）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为．【答案】4【分析】根据该几何体的俯视图以及该位置小正方形的个数，可以画出左视图，从而求出左视图的面积；【详解】解：由俯视图以及该位置小正方体的个数，左视图共有两列，第一列两个小正方形，第二列两个小正方形，可以画出左视图如图，所以这个几何体的左视图的面积为4．故答案为4【点睛】本题考查了物体的三视图，解题的关键是根据俯视图，以及该位置小正方体的个数，正确作出左视图．【变式8-2】（23-24·江西鹰潭·九年级统考期中）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，这个几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．（为便于观察，把需要的小方格涂上阴影，示例：）．

【答案】见解析【分析】主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，4，2，左视图有2列，每列小正方数形数目分别为4，2，据此可画出图形．【详解】解：如图所示：

．【点睛】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．【变式8-3】（23-24九年级·山东枣庄·期末）（23-24·四川雅安·中考真题）甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数（

）A．甲和乙左视图相同，主视图相同 B．甲和乙左视图不相同，主视图不相同C．甲和乙左视图相同，主视图不相同 D．甲和乙左视图不相同，主视图相同【答案】D【分析】根据俯视图，即可判断左视图和主视图的形状．【详解】由甲俯视图知，其左视图为，由乙俯视图知，其左视图为，故它们的左视图不相同，但它们两个的主视图相同，都是．故选：D．【点睛】本题考查了三视图的知识，关键是根据俯视图及题意确定几何体的形状，从而可确定其左视图和主视图．【题型9添加或减少小正方体的个数使从某个视图不变】【例9】（23-24九年级·陕西咸阳·期中在平整的地面上，用若干个完全相同的棱长为10cm(1)现已给出这个几何体的俯视图（图2），请你画出这个几何体的主视图与左视图；(2)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和左视图不变，①在图1所示的几何体上最多可以再添加___________个小正方体；②在图1所示的几何体中最多可以拿走___________个小正方体；【答案】(1)见解析(2)①3；②1【分析】（1）根据从正面，左面所看到的该组合体的图形画出左视图和左视