专题1.6 特殊四边形中的动点问题五大题型-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）

PAGE1专题1.6特殊四边形中的动点问题五大题型（50题）【北师大版】【题型1与矩形有关的动点问题】1．（2024·河北唐山·二模）如图，在矩形ABCD中，动点E，F分别从点D，B同时出发，沿DA，BC向终点A，C移动．要使四边形AECF为平行四边形，甲、乙分别给出了一个条件，下列判断正确的是（

）甲：点E，F的运动速度相同；乙：AF=CEA．甲、乙都可行 B．甲、乙都不可行C．甲可行，乙不可行 D．甲不可行，乙可行【答案】A【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．添加甲，根据题意可知DE=BF，从而推出AE∥CF，AE=CF，然后根据平行四边形的判定定理进行判断即可；添加乙，根据AF=CE可证Rt△ABF≌Rt△CDE，知道DE=BF，从而推出AE=CF【详解】若添加甲条件，可证四边形AECF为平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC，AD∴AE∥CF又∵点E，F分别从点D，B同时出发且运动速度相同∴DE=BF∴AD−DE=BC−BF即AE=CF∴四边形AECF为平行四边形；若添加乙条件，可证四边形AECF为平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC∴AE∥CF在Rt△ABF和RtAB=CD∴∴DE=BF∴AD−DE=BC−BF即AE=CF∴四边形AECF为平行四边形．故选A．2．（23-24九年级·广东潮州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，点E在线段AD上，且AE=6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，A．2 B．4 C．4或65 D．2或【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP，②当AP=BP时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．【详解】解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP(SAS∵AB=10cm，AE=6∴BP=AE=6cm，AP=4∴BQ=AP=4cm∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s∴v=4÷2=2cm/s②当AP=BP时，△AEP≌△BQP(SAS∵AB=10cm，AE=6∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6∵5÷2=2.5s，∴2.5v=6，∴v=综上，v的值为2或125故选：D．3．（23-24九年级·江苏扬州·期中）如图，点E是矩形ABCD边CD上一点，连接BE，将△CEB沿BE翻折，点C落在点F处，∠ABF的角平分线与EF的延长线交于点M，若AB=3，BC=6，当点E从点C运动到点D时，则点M运动的路径长是（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质和翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点M作MG⊥BA，交BA的延长线于点G，延长GM交CD的延长线于点H，则四边形ADHG为矩形，由折叠可得△BCE≌△BFE，得到∠BFE=∠C=90°，BC=BF=6，进而可得△BGM≌△BFMAAS，从而判断出点M在GH上运动，又由全等三角形的性质可得MG=MF，CD=DF=3，设MG=MF=x，则MD=x+3，MH=GH−GM=6−x，由勾股定理得MD2=MH2+D【详解】解：如图，过点M作MG⊥BA，交BA的延长线于点G，延长GM交CD的延长线于点H，则四边形ADHG为矩形，

∴GH=AD=BC=6，AG=HD，BG=CH，由折叠得，△BCE≌△BFE，∴∠BFE=∠C=90°，BC=BF=6，∴∠G=∠BFM=90°，∵BM为∠GBF的平分线，∴∠GBM=∠FBM，在△BGM和△BFM中，∠GBM=∠FBM∠G=∠BFM∴△BGM≌△BFM(AAS∴BG=BF=6，∴AG=BG−AB=3，∵点M在GH上，∴点M到AD的距离等于AG=3，即点M在GH上运动，∴点E与点C重合时，点M与点H重合，当点E与点D重合时，如图，

∵△BGM≌△BFM，∴MG=MF，∵△BCE≌△BFE，∴CD=DF=3，∵四边形ADHG为矩形，∴DH=AG=3，设MG=MF=x，则MD=x+3，MH=GH−GM=6−x，∵∠H=90°，∴MD∴x+32解得x=2，∴MH=GH−GM=6−2=4，∴当点E从点C运动到点D时，点M运动的路径长为线段HM的长，等于4，故选：C．4．（2024九年级·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OB=OC=OD，点E从点B开始，沿四边形的边BA−AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接

A．四边形ABCD是矩形B．当点E是AB的中点时，OF=C．当AB=6，BC=8时，线段D．当点E在边AB上，且∠COF=60°时，△OFN是等边三角形【答案】D【分析】本题考查矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定等．根据矩形的判定得出A选项，根据中位线定理判断B选项，根据当点E与点D重合时OF的值最大得出C选项，进而根据等边三角形的判定判断D选项即可．【详解】解：∵OA=OB=OC=OD，∴四边形ABCD是矩形，故A正确，不符合题意．∵点O，F分别是AC，∴OF是△ACE的中位线．∴OF=又∵点E是AB的中点，∴CD=AB=2AE．∴CD=4OF，即OF=1故B正确，不符合题意．当点E与点D重合时，OF的值最大．∵AD=BC=8，∴AE的最大值是8．∴OF=12AE=4，即线段OF故C正确，不符合题意．当∠COF=60°时，∠OAB=60°，又∵OA=OB，∴∠OBA=60°，∴∠FON=60°，∵∠BEN>∠OAB，∴∠OFN≠60°，∴△OFN不是等边三角形，故D错误，符合题意；故选D．5．（23-24九年级·浙江台州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，∠ACB=30°．点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点C出发沿CA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．连接PQ，当时间是1秒时，PQ的长度是（

）

A．41 B．6 C．31 D．4【答案】C【分析】本题主要考查了矩形的性质，含30°的直角三角形的性质，作QH⊥AB，根据题意得AC=2AB=8，CQ=2，进而可得AQ=8−2=6，AH=12AQ=3，QH=33，根据题意知AP=1，得【详解】解：作QH⊥AB，由矩形ABCD中，AB=4，∠ACB=30°，

则AC=2AB=8，CQ=1×2=2，则AQ=8−2=6，AH=12AQ=3由题意知，AP=1×1=1，则PH=3−1=2，得PQ=P故选：C．6．（2024·河南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E是边AB延长线上一点，BE=8，点M从点E出发，先以每秒2个单位长的速度向点B运动，点到达点B后，再以每秒6个单位长的速度沿射线BE方向运动，同时点N从点D出发，沿射线DC方向以每秒4个单位长的速度运动，设运动时间为t（s），若以E，M，C，N为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为（

）A．1或3 B．3或13 C．1或13 D．1或3或13【答案】D【分析】本题考查了矩形、平行四边形的性质及判定的应用．由题得出共四种情况，当M从E向B运动时，N在DC上时；当点N在射线DC上的点C右侧时；当点M从点B向点E运动且点M在BE上时；当点M从点B向点E方向运动且点M在点E右侧时，根据每种情况，分别求出NC和ME，令NC=ME，再求出t即可．【详解】解：由题得，DN=4t，∵四边形ABCD是矩形，∴NC∥∴若NC=ME，则以E、M、C，N为顶点的四边形是平行四边形，∵DC=AB=6，∴CN=6−4t，当M从E向B运动时，EM=2t，当N在DC上时，即0≤t≤3得6−4t=2t，∴t=1；当点N在射线DC上的点C右侧时，即32<t≤4时，∴4t−6=2t，∴t=3；当点M从点B向点E运动且点M在BE上时，即4<t≤16ME=8−6(t−4)，∴8−6(t−4)=4t−6，∴t=19当点M从点B向点E方向运动且点M在点E右侧时，即t>16ME=6(t−4)−8，∴6(t−4)−8=4t−6，∴t=13；综上t的值为1或3或13．故选：D．7．（23-24九年级·四川自贡·期末）如图．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=10cm．BC=12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以4cm/s的速度在线段BC上来回运动，当点P当到达点D时，P、O两点停止运动．在此运动过程中，出现PQA．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，动点问题，勾股定理，根据题意分别求得PQ∥CD和PQ=CD的情形，分类讨论，即可求解．【详解】解：设点P的运动时间为t，∵AD=10，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，，当点P当到达点D时，P∴t=101=10秒，∵BC=12cm，点Q从点C同时出发，以4cm/∴124当PQ∥CD时，则四边形∴PD=CQ当0≤t<3时，点Q从C到B运动，CQ=4t∴10−t=4t，解得：t=2当3≤t<6时，点Q从B到C运动，CQ=2×12−4t∴10−t=2×12−4t，解得：t=当6≤t<9时，点Q从C到B运动，CQ=4t−2×12∴10−t=4t−2×12，解得：t=当9≤t≤10，点Q从B到C运动，CQ=3×12−4t∴10−t=3×12−4t，解得：t=26∴PQ∥如图所示，过点P,D分别作BC的垂线，垂足分别为F,E，∵AD∥BC，∠B=90°，∴四边形ABED是矩形，∴BE=AD=10，CE=BC−BE=12−10=2，DE=AB=8,∴Rt△CDE中，DC=当PQ=CD时，在Rt△PFQ中，∴FQ=2当0≤t<3时，点Q从C到B运动，FQ=∴12−5t=2，解得：t=2或当3≤t<6时，点Q从B到C运动，FQ=∴12−3t=2，解得：t=10当6≤t<9时，点Q从C到B运动，FQ=∴36−5t=2，解得：t=34当9≤t≤10，点Q从B到C运动，，FQ=∴36−3t=2，解得：t=383∴PQ=CD能出现6次，故选：A．8．（23-24九年级·天津蓟州·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=12，BC=18，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为(1)当点P运动停止时，t=______，线段DP的长为______；(2)①用含t的式子填空：DP=______，BQ=______，AP=______；②t为何值时，四边形ABQP为矩形，求出t的值；(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)9；9(2)①t；2t；12−t；②t=4(3)t=6【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，一元一次方程的几何应用：（1）分别计算出点P和点Q到达终点的时间，进而得到停止时间，据此求出对应的DP的长即可；（2）①根据题意列出对应的代数式即可；②根据题意可得当四边形ABQP是平行四边形时，四边形ABQP是矩形，则AP=BQ，据此列出方程求解即可；（3）根据题意可得四边形PDCQ为平行四边形，则PD=CQ，据此列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵121∴点P运动9秒后停止，即t=9，∴DP=1×9=9，故答案为：9；9；（2）解：①由题意得，DP=t，∵AD=12，∴AP=AD−DP=12−t，故答案为：t；2t；12−t；②∵∠A=90°，∴当四边形ABQP是平行四边形时，四边形ABQP是矩形，∴此时有AP=BQ，∴12−t=2t，解得t=4；（3）解：∵以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形，且PQ∥CQ，∴此时四边形PDCQ为平行四边形，∴PD=CQ，∴t=18−2t，解得t=6．9．（23-24九年级·云南昭通·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=11，延长BC到点E，使CE=8．连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线BC−CD向终点D运动，设点P运动的时间为t秒(t>0)．(1)求DE的长；(2)连接AP，当四边形APED是平行四边形时，求t的值；(3)连接BP、PD，设四边形ABPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式．【答案】(1)10(2)当四边形APED是平行四边形时，t的值为4(3)S=【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，梯形面积的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB=CD=6，根据勾股定理列式DE=6（2）因为四边形APED是平行四边形，所以PE=AD=11，则BP=BC+CE−PE=8，结合运动速度列式计算，即可作答．（3）进行分类讨论，即当0<t<112时；当【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，∠BCD=90在Rt△DCE中，由勾股定理得，DE=6（2）解：∵四边形APED是平行四边形，∴PE=AD=11，∴BP=BC+CE−PE=8，∴t=8÷2=4，∴当四边形APED是平行四边形时，t的值为4；（3）解：∵BC=AD=11，DC=AB=6，且动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线BC−CD向终点∴当0<t<11由题意知，BP=2t，∴S=12当112≤t<17∴S=12综上．S=10．（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，AB=62(1)求BC的长；(2)点P从点A开始沿着AD边向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿着CB边向点B以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．若设运动的时间为t秒，当(3)如图，点E，G分别在边AB，AD上，将△AEG沿EG折叠，点A恰好落在BC边上的点F处．若5BE=AE，则AG长度为．【答案】(1)BC=24(2)当PQ与四边形ABCD的其中一边平行时，此时t的值为8s或103(3)10【分析】（1）过A作AH⊥BC于点H，过点D作DM⊥BC于点M，利用等腰直角三角形的性质，矩形的判定与和直角三角形的性质，勾股定理解答即可；（2）利用t的代数式表示出相等AP，PD，CQ，BQ的长度，再利用分类讨论的思想方法分两种情况，依据平行四边形的对边相等的性质列出关于t的方程解答即可；（3）过E作EH⊥BC于点H，过点A作AK⊥BC于点K，过点G作GI⊥BC于点I，设AG=GF=xcm，利用等腰直角三角形的性质和折叠的性质表示出线段GF，FI，GI的长度，再利用勾股定理列出方程解答即可．【详解】（1）解：过A作AH⊥BC于点H，过点D作DM⊥BC于点M，如图，∵AH⊥BC，∠B=45°，∴AH=BH=22AB=6(∵AD∥BC，AH⊥BC，∴四边形AHMD为矩形，∴DM=AH=6，HM=AD=10cm∴CM=CD2−D∴BC=BH+HM+MC=6+8+10=24(cm（2）由题意得：AP=tcm，CQ=2tcm，∴PD=(10−t)cm，BQ=(24−2t)①当PQ∥∵PQ∥∴四边形ABQP为平行四边形，∴AP=BQ，∴t=24−2t，∴t=8．②当PQ∥∵PQ∥∴四边形PQCD为平行四边形，∴DP=CQ，∴10−t=2t，∴t=103综上，当PQ与四边形ABCD的其中一边平行时，此时t的值为8s或103（3）过E作EH⊥BC于点H，过点A作AK⊥BC于点K，过点G作GI⊥BC于点I，如图，∵AB=62cm，5BE=AE∴BE=2cm，AE=52cm，∵EH⊥BC，∠B=45°∴BH=EH=22BE=1(同理可求AK=BK=6cm由题意得：EF=AE=52cm，AG=GF，设AG=GF=xcm，∴HF=EF2−E∴BF=BH+FH=8(cm∵AK⊥BC，GI⊥BC，AD∥∴四边形AKIG为矩形，∴KI=AG=xcm，AK=GI=6，∴FI=BK+KI−BF=6+x−8=(x−2)cm∵FI∴(x−2)2∴x=10．∴AG长度为10．故答案为：10．【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理和折叠的性质，分类讨论是解题的关键．【题型2与菱形形有关的动点问题】11．（23-24九年级·北京·期中）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，动点P在直线BC上运动，作∠APM=60°，且直线PM与直线CD相交于点G,G点到直线BC的距离为GH．(1)证明：∠BAP=∠GPC；(2)若P在线段BC上运动，求证：CP=DG；(3)若P在线段BC上运动，探求线段AC,CP,CH的一个数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AC=CP+2CH，理由见解析【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质；（1）根据菱形的性质得到∠ABC=60°，进而根据三角形的外角的性质，即可得到结论；（2）过点P作PE∥CD交AC于点E，连接AG先证明△AEP≌△GCP，再证明△APG是等边三角形．从而得到△APC≌△AGD，进而即可得到结论；（3）根据等边三角形的性质可知AC=CD，结合PC=DG，以及直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵ABCD为菱形，∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∵∠APM=60°，∴∠APC=∠APM+∠GPC=∠ABP+∠BAP，∴∠BAP=∠GPC；（2）过点P作PE∥CD交AC于点E，连接AG∵ABCD为菱形，∠BAD=120°，∴∠ACB=∠ACD=60°．∵PE∥CD，∴∠EPC=∠ACD=60°．∴△CPE是等边三角形．∴EP=PC,∠PEC=60°．∵∠AEP=∠PCG=120°，∠BAP=∠GPC∴△AEP≌△GCP．∴AP=PG．∵∠APM=60°，∴△APG是等边三角形．∴AP=AG．∵∠PAC+∠CAG=60°,∠CAG+∠GAD=60°，∴∠PAC=∠GAD．∵AC=AD，∴△APC≌△AGD∴PC=DG．（3）AC=CP+2CH，理由如下：∵AC=CD,CD=CG+DG，∴AC=CG+DG．∵PC=DG，∴AC=CG+CP．∵∠GHC=90°,∠GCH=60°，∴∠CGH=30°，∴CG=2CH，∴AC=2CH+CP．12．（23-24九年级·江苏苏州·期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=16，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作射线AD垂线段GH，垂足为点H，得到矩形EFHG，设点E的运动时间为(1)当点H与点D重合时，t=；(2)设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；(3)设矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点O′①当OO′∥AD时，②当OO′⊥AD【答案】(1)t=(2)S=(3)①4；②3【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，可得GE=AE=4t，FH=GE=4t，AF=12AE=2t，EF=AE2−AF2=23t，（2）①当H在边AD上，即0<t≤83时，根据三角形的面积公式即可解答；②当H在边AD延长线上，即83<t≤4时，设HG交CD于M，求出（3）①当O′O∥AD时，证明O′O是△AFG的中位线，得O是AG中点，从而可得G与C重合，此时，E与②当OO′⊥AD时，延长OO′交AD于N，证明O′N是△FGH的中位线，从而可得AN=AF+FN=4t，而在Rt△AON中，【详解】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴∠DAC=∠BAC=1∵GE∥AD，∴∠GEB=∠BAD=60°，∴∠EGA=∠GEB−∠BAC=30°，∴∠EGA=∠BAC=30°，∴GE=AE=4t，∵四边形EFHG是矩形，∴FH=GE=4t，在Rt△AEF中，AF=12∴AH=AF+FH=6t，当点H与点D重合时，AH=AD，∴6t=16，∴t=8（2）解：①当H在边AD上，即0<t≤8

矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积即是矩形EFHG的面积，∴S=EF⋅FH=23②当H在边AD延长线上，即83设HG交CD于M，如图：

在Rt△DHM中，∠HDM=∠DAB=60°，DH=AH−AD=6t−16∴DM=2DH=12t−32，HM=D∴S∴矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积S=EF⋅FH−S综上所述，矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积S=8（3）解：①当O′过点A作AT∥FO′，交∵O′O∥AD，∴四边形FATO∴AT=FO∵四边形EFHG是矩形，∴O′是FG的中点，则∴AT=GO∵AT∥∴∠T=∠GO∴△OO∴OA=OG，又∵O是AC中点，OA=OC，∴G与C重合，此时，E与B重合，∴t=AE故答案为：4；②当OO′⊥AD时，延长OO′

∵OO′∴OO∵O′是∴O′N∴N是FH的中点，∵FH=4t，∴FN=HN=2t，∴AN=AF+FN=4t，在Rt△AOB中，AB=16，∠OAB=30°∴OB=8，OA=A在Rt△AON中，∠DAC=30°∴ON=12OA=4∴4t=12，∴t=3．【点睛】本题考查菱形性质及应用、矩形的性质应用，涉及勾股定理、中位线定理等的应用，解题的关键是方程的思想的应用，用t表达出相关线段的长度，再列方程解决问题．13．（23-24九年级·广西柳州·期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AD=12cm，AB=18cm，CD=23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B−C−D

(1)当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？(2)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点O的运动速度应为多少？【答案】(1)t=313(2)当Q点的速度为5.2cm/s【分析】本题考查了四边形的综合题，涉及到菱形的性质、平行四边形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理．（1）过点B作BH⊥CD于H，证明四边形ADHB是矩形，得到BH=AD=12cm，DH=AB=18cm，则CH=5cm，在Rt△HBC中，由勾股定理得BC=BH2+C（3）设Q的速度为xcm/s，Q在CD边上，此时PBCQ【详解】（1）解：如图所示，过点B作BH⊥CD于H，∵AB∥CD，∠ADC=90°，∴∠A=90°，∴四边形ADHB是矩形，∴BH=AD=12cm，∴CH=5cm在Rt△HBC中，由勾股定理得BC=

∴Q在BC上运动时间为13÷2=6.5s，∵BC+CD=23+13=36cm∴Q运动时间最长为36÷2=18s当点Q在BC上时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，不可能存在其中的一部分是平行四边形，当6.5s≤t≤18s时，Q此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：①四边形PQCB是平行四边形，如图所示：

∵AB∥CD即PB∥CQ∴只需PB=CQ即可，由题意得，AP=tcm，PB=18−t∴18−t=2t−13解得：t=31②四边形ADQP是平行四边形，如图所示：

同理∵AP∥DQ∴只需AP=DQ，四边形ADQP是平行四边形∵DQ=CD+CB−2t=36−2t∴36−2t=t解得：t=12综上所述：当t=313s或12s时，直线（2）解：设Q的速度为xcm/s，由（2）可知，Q在CD∵PB∥CQ∴只需满足PB=BC=CQ即可由题意得，PB=18−tcm，CQ=∴18−t=13，xt−13=13，解得：t=5s，∴当Q点的速度为5.2cm/s14．（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC、BD交于点O，P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，P点运动速度为1cm/s．图2是点P运动时，△APC的面积y（cm2）随P点运动时间x（s）变化的函数图像．(1)AB=cm，a=；(2)P点在BD上运动时，x为何值时，四边形ADCP的面积为43(3)在P点运动过程中，是否存在某一时刻使得△APB为直角三角形，若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2，3(2)x=(3)存在，x的值为3或433或【分析】（1）由图2知，当点P在点A时，y=△ABC的面积=3=34（2）由四边形ADCP的面积=SΔACD（3）①当点P和点O重合时，∠APB为直角，则x=BP=3；②当∠BAP′为直角时，则PP′=33，则x=BP+PP′=433；③当∠BAP″为直角时，则x=BD+DP【详解】（1）解：∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则△ABC、△ACD为全等的两个等边三角形，设△ABC的边长为b，则其面积为34由图2知，当点P在点A时，y=△ABC的面积=3=解得b=±2（负值已舍去），即菱形的边长为2，则AB=2（cm），由题意知，点P与点O重合时，对于图2的a所在的位置，则AO=1，故a=BO=A故答案为2；3．（2）解：由（1）知点P在BO段运动时，对于图2第一段直线，而该直线过点(0,3)、(3设其对应的函数表达式为y=kx+t，则t=33k+t=0故该段函数的表达式为y=−x+3当点P在BD上运动时，四边形ADCP的面积为433，则点P只能在则四边形ADCP的面积=SΔACD解得x=2（3）解：存在，理由：由（1）知，菱形的边长为2，则BP=3，AO=1过点A作AP′′⊥DC于点P′′交BD于点P′，∵ΔABC、ΔACD①当点P和点O重合时，∠APB为直角，则x=BP=3②当∠BAP′为直角时，则同理可得：PP′=33，则③当∠BAP′′为直角时，则x=BD+DP′′=23综上，x的值为3或433或【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了一次函数的性质、直角三角形和菱形的性质、三角形全等和相似、面积的计算等．15．（23-24九年级·全国·课后作业）已知点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上运动（点P不与B，C重合），且(1)如图①，若AP⊥BC，求证：AP=AQ；(2)如图②，若AP与BC不垂直，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)成立，证明见解析．【分析】本题考查菱形的性质及全等三角形性质与判定，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．（1）根据菱形的性质、结合已知得到AQ⊥CD，证明△APB≌△AQD，由全等三角形的性质可得AP=AQ；（2）作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，由（1）的结论得到∠EAP=∠FAQ，证明△AEP≌△AFQ，根据全等三角形的性质证明．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B+∠C=180°，∠B=∠D，AB=AD，∵∠PAQ=∠B，∴∠PAQ+∠C=180°，∴∠APC+∠AQC=180°，∵AP⊥BC，∴∠APC=90°∴∠AQC=90°在△APB和△AQD中，∠B=∠D∴△APB≌△AQD(∴AP=AQ；（2）（1）中的结论还成立，理由如下：如图，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．由（1）可得，∠PAQ=∠EAF=∠B，AE=AF，∴∠EAP=∠FAQ，在△AEP和△AFQ中，∠AEP=∠AF∠Q=90°∴△AEP≌△AFQ(ASA∴AP=AQ；16．（23-24九年级·广东广州·期中）已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为菱形内部或边上一点．(1)如图1，若点P在对角线BD上运动，以AP为边向右侧作等边△APE，点E在菱形ABCD内部或边上，连接CE，求证：BP=CE．(2)如图2，若点P在对角线BD上运动，以AP为边向右侧作等边△APE，点E在菱形ABCD的外部，若AB=4，DP=1，求CE；(3)如图3，若∠APB=60°，点E，F分别在AP，BP上，且AE=BF，连接AF，EF，∠AFE=30°，求证：AF【答案】(1)见解析(2)4(3)见解析【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE，再根据全等三角形的性质即可得证；（2）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE，再根据全等三角形的性质及线段的和差即可证CE=BD−PD，然后根据菱形的性质和勾股定理即可得出BD，从而得出答案；（3）连接AC交BP于点G，连接CF，CE，利用SAS证明△CBF≌△CAE，得出CF=CE，∠BCF=∠ACE，再根据角的和差求出∠AFC=90°，然后根据勾股定理即可得证．【详解】（1）证明：如图1，连接AC∵四边形ABCD是菱形∴AB=CB∵∠ABC=60°∴△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠BAC=60°∵△APE是等边三角形∴AP=AE，∠PAE=60°∴∠BAP=∠CAE=60°−∠PAC∴△BAP≌△CAE∴BP=CE；（2）解：如图2，连接AC，交BD于点M∵四边形ABCD是菱形∴AB=CB，∠ABD=12∠ABC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∠ABD=30°∴AB=AC，∠BAC=60°，AM=∴BM=∴BD=2BM=4∵△APE是等边三角形∴AP=AE，∠PAE=60°∵∠BAP=∠BAC+∠CAP=60°+∠CAP，∠CAE=∠EAP+∠CAP=60°+∠CAP∴∠BAP=∠CAE又∵AB=AC，AP=AE∴△BAP≌△CAE∴BP=CE；∵BP=BD−PD∴CE=BD−PD=43（3）证明：如图3，连接AC交BP于点G，连接CF，CE∵四边形ABCD是菱形∴AB=CB∵∠ABC=60°∴△ABC是等边三角形∴CB=AC，∠ACB=60°∵∠APB=60°，∠AGP=∠BGC∴∠CBF=∠CAE又∵CB=CA，BF=AE∴△CBF≌△CAE∴CF=CE，∠BCF=∠ACE∴∠BCF+∠FCA=∠ACE+∠FCA∴∠ACB=∠ECF=60°∴△CEF是等边三角形∴∠ECF=60°，EF=CF∵∠AFE=30°∴∠AFC=90°∴A即AF【点睛】本题考查了四边形的综合题，涉及到等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．17．（23-24九年级·江苏徐州·期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，且BE⊥DC．(1)求证：四边形DBCE为菱形；(2)若△DBC是边长为1的等边三角形，点P、M、N分别在线段DC、DE、CE上运动，求PM+PN的最小值．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）先证BC∥DE，BC=DE，得到四边形DBCE是平行四边形，再根据（2）作N关于DC的对称点N′，过D作DH⊥BC于H，由对称性可得PM+PN=PM+PN′，当P、M、N′共线时，PM+PN′=M【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵DE=AD，∴DE=BC，∵E在AD的延长线上，∴DE∥∴四边形DBCE是平行四边形，∵BE⊥DC，∴▱DBCE是菱形；（2）解：作N关于DC的对称点N′，过D作DH⊥BC于H由菱形的对称性知，点N关于DC的对称点N′在BC∴PM+PN=PM+PN∴当P、M、N′共线时，PM+P∵DE∥∴MN′的最小值为平行线间距离即PM+PN的最小值为DH的长，∵△DBC是边长为1的等边三角形，∴BD=BC=CD=1，∵DH⊥BC，∴BH=1∴在Rt△DBH中，DH=∴PM+PN的最小值为32【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定及性质，最短路径问题，等边三角形的性质，勾股定理，平行线间的距离．综合运用相关知识，熟练运用化归思想是解题的关键．18．（23-24九年级·河北廊坊·期中）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是边AB、BC上的点，且∠EDF=60°．(1)若点E是AB的中点，则DE与DF之间的数量关系为______；(2)若点E不是AB的中点，判断DE与DF之间的数量关系并说明理由；(3)若AB=4，直接写出△EDF周长的最小值；(4)当点E在AB边上运动时，小亮发现，四边形DEBF的面积保持不变，请你帮助小亮验证他的发现．【答案】(1)DE=DF(2)DE=DF；理由见解析(3)6(4)见解析【分析】（1）连接BD，得出△ABD为等边三角形，求出∠ADB=60°，证明△BDE≌△BDF，得出DE=DF；（2）连接BD，根据四边形ABCD为菱形，得出AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=60°，AB∥CD，∠ABD=∠CBD，证明△ADE≌△BDF，得出DE=DF；（3）证明△EDF为等边三角形，得出当DE最小时，△EDF的周长最小，根据垂线段最短，得出当DE⊥AB时，DE最小，求出最小值即可；（4）根据△ADE≌△BDF，得出S△ADE=【详解】（1）解：连接BD，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=60°，AB∥CD，∠ABD=∠CBD，∴△ABD为等边三角形，∴∠ADB=60°，∵点E是AB的中点，∴∠ADE=∠BDE=1∵∠EDF=60°，∴∠BDF=60°−30°=30°，∴∠BDE=∠BDF，∵BD=BD，∴△BDE≌△BDF，∴DE=DF；（2）解：连接BD，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=60°，AB∥CD，∠ABD=∠CBD，∴△ABD为等边三角形，∴∠ADB=60°，BD=AD，∵AB∥CD，∴∠ABC=180°−∠C=120°，∴∠ABD=∠CBD=1∴∠DBF=∠A=60°，∵∠ADB=∠EDF=60°，∴∠ADE+∠EDB=∠EDB+∠BDF，∴∠ADE=∠BDF，∵BD=BD，∴△ADE≌△BDF，∴DE=DF；（3）解：∵DE=DF，∠EDF=60°，∴△EDF为等边三角形，∴当DE最小时，△EDF的周长最小，∵垂线段最短，∴当DE⊥AB时，DE最小，根据解析（2）可知，△ABD为等边三角形，∴当DE⊥AB时，AE=BE=1∴DE=A∴△EDF周长的最小值为3×23（4）解：根据解析（2）可知，△ADE≌△BDF，∴S△ADE∴S===1【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．19．（23-24九年级·辽宁沈阳·期末）如图1，已知△ABD≌△CBD,AB=AD,CB=CD，点E从点A出发，沿A→D→B的方向以1cm/s的速度匀速运动到点B．图2是点E运动时△EBC的面积ycm2(1)BD=__________；(2)求a的值．【答案】(1)5(2)5【分析】本题主要了动点问题的函数图象，菱形的性质，解题的关键是根据图象分析得出点E的位置于x的关系．（1）根据全等三角形的性质推出四边形ABCD为菱形，则AD∥BC，进而得出当点E在AD上时，点E到BC的距离不变，由图2可知，当0<x<a时，y的值不变，即可得出AD=a，当x=a+5时，点E与点B（2）过点D作DH⊥BC于点H，根据S△BCD=12BC⋅DH=a，求出DH=2，根据勾股定理得出BH=【详解】（1）解：∵△ABD≌△CBD,AB=AD,CB=CD，∴AB=AD=CB=CD，∴四边形ABCD为菱形，∴AD∥∴当点E在AD上时，点E到BC的距离不变，由图2可知，当0<x<a时，y的值不变，∵点E的速度为1cm/s∴AD=a，∵当a<x<a+5时，y随x∴当x=a+5时，点E与点B∴BD=5故答案为：5；（2）解：过点D作DH⊥BC于点H，∵BC=AD=a，S△BCD∴S△BCD=1解得：DH=2，在Rt△BDH中，根据勾股定理可得：BH=∴CH=BC−BH=a−1，在Rt△CDH中，根据勾股定理可得：C即a−12解得：a=520．（23-24九年级·重庆北碚·期中）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°．点P，Q分别以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线A→D→C方向匀速运动，点Q沿折线A→B→C方向匀速运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点P，Q的距离为(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出当y≤4时x的取值范围．【答案】(1)y=(2)见解析，当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，当3<x≤6时，y随x的增大而减小(3)0≤x≤2或4≤x≤6【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，菱形的性质及等边三角形的判定和性质：（1）当点P在AD，点Q在AB上运动时，即0≤x≤3时，证明△APQ是等边三角形，即可求解；当3<x≤6时，同理可解；（2）当x=0时，y=0，当x=3时，y=6，当x=12时，y=0，即可画出函数图象，进而求解；（3）观察函数图象即可求解．正确理解动点问题是解题的关键．【详解】（1）解：∵菱形ABCD∴AD+DC=AB+BC=12∴总的运动时间为：12÷2=6（秒），当点P在AD，点Q在AB上运动时，即0≤x≤3时，连接PQ，由题意得AP=AQ，∴△APQ是等边三角形，∴y=AP=2x；当点P在CD，点Q在CB上运动时，即3＜x≤6时，如图所示：∴CP=12−2x，∴y=12−2x；综上可得：y=2x（2）解：当x=0时，y=0，当x=3时，y=6，当x=12时，y=0，依次描点再连接该函数图象如图所示：当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，当3<x≤6时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（3）解：从图象看，当y≤4时x的取值范围为：0≤x≤2或4≤x≤6．【题型3与正方形有关的动点问题】21．（2024·山东临沂·一模）在正方形ABCD中，E是BC边上一点（点E不与点B，C重合），AE⊥EF，垂足为点E，EF与正方形的外角∠DCG的平分线交于点F．(1)如图1，若点E是BC的中点，猜想AE与EF的数量关系是_________；证明此猜想时，可取AB的中点P，连接EP，根据此图形易证△AEP≌△EFC，则判断△AEP≌△EFC的依据是_______．(2)点E在BC边上运动，如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．【答案】(1)AE=EF，ASA；(2)成立，理由见解析．【分析】（1）根据提示，利用ASA证明△AEP≌△EFC，从而得到AE=EF；（2）利用（1）的解题思路，在AB上取一点P，使BP=BE，连接PE，则AP=EC，同样利用ASA证明△AEP≌△EFC，从而得到AE=EF．【详解】（1）∵在正方形ABCD中，AB=BC，点E是BC的中点，点P是AB的中点∴EC=BE=12∴EC=AP，BE=BP∵在正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°∴△BEP是等腰直角三角形∴∠BPE=45°∴∠APE=180°−∠BPE=180°−45°=135°∵∠BCD=90°∴∠DCG=180°−∠BCD=90°∵CF平分∠DCG∴∠DCF=∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=90°+45°=135°∴∠APE=∠ECF∵AE⊥EF∴∠AEF=90°∴∠AEB+∠FEC=180°−∠AEF=180°−90°=90°∵∠B=90°∴∠BAE+∠AEB=90°∴∠BAE=∠FEC∴在△APE和△ECF中∠PAE=∠CEF∴△APE≌△ECF（ASA）∴AE=EF故答案为：AE=EF，ASA．（2）①成立，理由如下：如图，在AB上取一点P，使BP=BE，连接PE，则AP=EC，由（1）得：∠PAE=∠CEF∵BP=BE，∠B=∴△BPE是等腰直角三角形∴∠BPE=∴∠APE=180∘∴∠APE=∠ECF在△AEP和△EFC中∠PAE=∠CEF∴△AEP≌△EFC∴AE=EF；【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的判定．正确作出辅助线是解题的关键．22．（23-24九年级·广东广州·期中）如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN=90°，CM=MN，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．(1)依题意补全图形；(2)求∠ABE的度数；(3)设AB=2，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为多少？【答案】(1)补图见解析；(2)∠ABE=45°；(3)3【分析】（1）依题意补全图形，即可；（2）连接CE，先证得∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．再根据直角三角形的性质可得AE=CE=12AN．可得△ABE（3）根据题意可得点E在AC的垂直平分线上，可得点E在BD上，从而得到在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．此时DN=CD=2，∠CDN=90°，再证得四边形DFCN为梯形．然后根据梯形的面积，即可求解．【详解】（1）解∶依题意补全图形，如图1所示．（2）证明：连接CE，如图2所示．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，∴∠ACB=∠ACD=1∵∠CMN=90°，CM=MN，∴∠MCN=45°，∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．∵在Rt△ACN中，点E是AN∴AE=CE=1∵AE=CE，AB=CB，BE=BE，∴△ABE≌△CBE，∴∠ABE=∠CBE．∴∠ABE=1（3）解∶连接DE，∵由（2）得：AE=CE，∴点E在AC的垂直平分线上，在正方形ABCD中，BD垂直平分AC，∠ACD=45°，△BCD为等腰直角三角形，∴点E在BD上，∴BF=DF=CF，∴在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．此时DN=CD=2，∠CDN=90°，∴CN=∵∠DCN=45°，∴∠ACN=90°，即CN⊥AC，∴BD∥∴四边形DFCN为梯形．∵AB=2，∴BC=CD=AB=2，∴BD=B∴CF=DF=1∴S梯形【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形等知识是解题的关键．23．（23-24九年级·河南周口·期末）正方形ABCD的边长为4，点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BC向点C运动．AE交BD于点F，DG⊥AE于点G，∠DGE的平分线GH分别交BD，CD于点P，H，连接FH，FC．设点E的运动时间为t．（1）在点E的运动过程中，∠DHG与∠DFC有什么数量关系？请证明你的结论；（2）当AE把正方形ABCD的面积分成1:2两部分时，请直接写出t的值．【答案】（1）∠DHG=∠DFC，证明见解析；（2）t=【分析】（1）先证明△FAD≌△FCD得到∠PFG=∠DFC，由正方形的性质及角平分线的性质可以得到∠PFG=∠DHP，即可得到答案；（2）连接AC，根据AE把正方形ABCD的面积分成1:2两部分，可以得到S△ABE：S△AEC+即可得S△ABE：S【详解】解：（1）∠DHG=∠DFC．证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BD是∠ADC的角平分线，∴∠BDC=∠ADC=45°，AD=CD，又∵DF=DF，∴△FAD≌△FCD（SAS），∴∠PFG=∠DFC∵DG⊥AE，∴∠DGE=90°∵GH平分∠DGE，∴∠FGH=45°∵∠DPG=∠PGF+∠PFG=∠DHP+∠PDH，∴∠PFG=∠DHP．∴∠DHG=∠DFC（2）连接AC，∵AE把正方形ABCD的面积分成1:2两部分，∴S△ABE∵S△ABC=S∴S∴BE:EC=2:1，∵BC=4，∴BE=8∴t=8【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.24．（23-24九年级·山西太原·期中）综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为6cm的正方形ABCD，点E从对角线AC的点A出发向点C运动，连接EB并延长至点F，使EF>AB，以EF为边在EF右侧作正方形EFGH，边EH与射线DC交于点M操作发现（1）点E在运动过程中，判断线段BE与线段EM之间的数量关系，并说明理由；实践探究（2）在点E的运动过程中，某时刻正方形ABCD与正方形EFGH重叠的四边形EBCM的面积是16cm2，求此时探究拓广（3）请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段AE，EC与MC之间存在的数量关系，请直接写出.【答案】（1）BE=EM，理由见解析；（2）22cm；（3）①当AE<CE时，CE−AE=2MC；②当AE=CE时，CE=AE且点M与点C【分析】（1）首先由正方形的性质得出BC=CD，∠BCA=∠DCA=45°，∠DCB=90°，然后判定ΔBCE≌ΔDCE(SAS)，进而得出BE=DE，∠EBC=∠EDC，又由正方形EFGH得出∠BEM=90°，再由四边形内角和得出∠EDC=∠EMD，进而得出EM=ED，（2）首先过点E作EP⊥BC于点P，作EQ⊥CD于点Q，得出∠EPC=∠EQC=90°，然后由对角线的性质得出EP=EQ，∠PCQ=90°，进而判定四边形EPCQ是正方形，即可判定RtΔBPE≌（3）根据题意，分三种情况讨论即可：①当AE<CE时，②当AE=CE时，③当AE>CE时.【详解】（1）BE=EM.理由如下：如图，连接ED.∵AC是正方形ABCD的对角线，∴BC=CD，∠BCA=∠DCA=45°，∠DCB=90°.在ΔBCE和ΔDCE中，BC=CD,∴ΔBCE≌ΔDCE(SAS∴BE=DE，∠EBC=∠EDC.∵四边形EFGH是正方形，∴∠BEM=90°.在四边形BCME中，∠EMC+∠EBC=360°−∠BCM−∠BEM=180°.∵∠EMC+∠EMD=180°，∴∠EDC=∠EMD.∴EM=ED.∴BE=ME.（2）如图，过点E作EP⊥BC于点P，作EQ⊥CD于点Q.∴∠EPC=∠EQC=90°.∵点E是正方形ABCD的对角线AC上的点，∴EP=EQ，∠PCQ=90°.∴四边形EPCQ是正方形.在RtΔBPE和RtEB=EM,∴RtΔBPE≌∴SΔBPE∴S四边形EBCM=S∵正方形ABCD与正方形EFGH重叠的面积是16cm∴CE22∵正方形ABCD的边长为6，∴AC=62∴AE=AC−CE=62∴此时AE的长为22（3）分三种情况：①当AE<CE时，CE−AE=2②当AE=CE时，CE=AE且点M与点C重合；③当AE>CE时，AE−CE=2【点睛】此题主要考查三角形全等的判定、正方形的性质以及动点问题的综合运用，熟练掌握，即可解题.25．（23-24九年级·山东烟台·期中）如图，正方形ABCD中，对角线AC＝8cm．射线AF⊥AC，垂足为A．动点P从点C出发在CA上运动，动点Q从点A出发在射线AF上运动，两点的运动速度都是2cm/s．若两点同时出发，多少时间后，四边形AQBP是特殊四边形？请说明特殊四边形的名称及理由．【答案】当P、Q运动2s后，四边形AQBP是正方形，理由见解析【分析】当P、Q运动2s后，四边形AQBP是正方形，由题意可得AQ＝AP＝BP＝4cm，由等腰直角三角形的性质可得BP⊥AC，可得AF∥BP，可证四边形APBQ是平行四边形，且BP⊥AC，AP＝BP，可得四边形APBQ是正方形．【详解】解：当P、Q运动2s后，四边形AQBP是正方形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC当P、Q运动2s后，CP＝AQ＝4cm，∵AC＝8cm，∴AP＝CP＝4cm，且AB＝BC，∴BP⊥AC，且AF⊥AC∴AF∥BP，且AQ＝BP＝4cm，∴四边形APBQ是平行四边形，且BP⊥AC，AP＝BP∴四边形AQBP是正方形【点睛】本题是对正方形判定的考查，熟练掌握正方形的判定定理是解决本题的关键.26．（23-24九年级·河南安阳·期末）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一动点（点E与点B，C不重合），连接AE，作AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．【思考尝试】（1）如图1，当E是边BC的中点时，观察并猜想AE与EP的数量关系：________；【实践探究】（2）小王同学受问题（1）的启发，提出了新的问题：如图2，在正方形ABCD中，若E是边BC上一动点（点E与点B，C不重合），那么问题（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；【拓展迁移】（3）小李同学深入研究了小王同学提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，当E在边BC上运动时（点E与点B，C不重合），连接DP，AP．若知道正方形的边长，则可以求出△ADP周长的最小值．当AB=4时，请你直接写出△ADP周长的最小值：________．（说明：备用图中CJ是外角∠DCG的平分线）【答案】（1）AE=EP，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）4+45【分析】（1）取AB的中点F，连接EF，根据正方形的性质可知AF=BF=BE=CE，再根据角平分线的定义∠AFE=∠ECP，最后利用直角三角形的性质及全等三角形的判定可知△AFE≌△ECPASA（2）在AB上截取AF=EC，连接EF，根据正方形的性质可知∠ABE=∠DCG=90°，AB=BC，再根据角平分线的定义及直角三角形的性质可知∠PEC=∠BAE，∠AFE=∠ECP，最后利用全等三角形的判定与性质即可解答；（3）连接CP，作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于H，连接AG，根据正方形的性质及角平分线的定义可知△CDG是等腰直角三角形，再根据线段垂直平分线的定义可知CP是DG的垂直平分线进而即可解答．【详解】解：（1）AE=EP，理由如下：取AB的中点F，连接EF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠DCG=90°，AB=BC，∵F、E分别是AB、BC的中点，∴AF=BF=BE=CE，∴∠BEF=45°，∴∠AFE=135°，∵CP平分∠DCG，∴∠DCP=45°，∴∠ECP=135°，∴∠AFE=∠ECP，∵AE⊥PE，∴∠AEP=90°，∴∠AEB+∠PEC=90°，∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠PEC=∠BAE，∴△AFE≌△ECPASA∴AE=EP．故答案为：AE=EP．

（2）成立，理由如下：在AB上截取AF=EC，连接EF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠DCG=90°，AB=BC，∵AF=EC，∴BF=BE，∴∠BEF=45°，∴∠AFE=135°，∵CP平分∠DCG，∴∠DCP=45°，∴∠ECP=135°，∴∠AFE=∠ECP，∵AE⊥PE，∴∠AEP=90°，∴∠AEB+∠PEC=90°，∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠PEC=∠BAE，∴△AFE≌△ECPASA∴AE=EP．

（3）连接CP，作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于H，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠DCG=90°，AB=BC，∵CP平分∠DCG，∴∠DCP=45°，∵DG⊥CP，∴∠CDG=45°，∴△CDG是等腰直角三角形，∴DH=HG，DC=CG，∵DG⊥CP，∴∠CHD=90°，∴CP是DG垂直平分线，∴点D与G关于CP对称，∴AP+DP=AP+PG≥AG，当A、P、G共线时取等号，故最小值为AG的长，∵AB=4，∴BG=2AB=8，∴在Rt△ABG中，AG=∴△ADP的周长的最小值为AD+AG=4+45【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，线段垂直平分线判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定、最短路径问题，掌握正方形的性质是解题的关键．27．（23-24九年级·吉林四平·期中）如图1，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2．动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向终点B运动，过点P作PE⊥AB交AC于点E．以PE为一边向右作正方形PEFG．设点P的运动时间为t秒．正方形PEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S．(1)当t=12时，(2)当点F落在BC上时，t=________；(3)当t=32时，在图2中画出图形，并求出(4)连接CF，当△CEF是等腰三角形时，直接写出t的值．【答案】(1)14(2)1；(3)图见解析，34(4)1，43或4−2【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质．（1）正方形PEFG与△CEF重叠部分图形即是边长为12（2）当点F落在BC上时，点G恰好与点B重合，此时点P在AB的中点处，即可求得t的值；（3）当t=32时，正方形PEFG与△CEF重叠部分图形是边长分别为12和3（4）当△CEF是等腰三角形时，进行分类讨论，当EF=CF时，当CE=CF时，△CEP都是等腰直角三角形，再讨论CE=EF,画图列式求t的值即可．【详解】（1）解：∵AB=BC，∴∠ABC=90°,∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠EAB=45°,∵PE⊥AB，∴△AEP是等腰直角三角形，∴PA=PE，∵点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向终点B运动，∴当t=12∴四边形PEFG是边长为12此时正方形PEFG与△ABC重叠部分图形就是正方形PEFG，∴S=S故答案为：14（2）解：由题意得，当点F落在BC上时，点G恰好与点B重合，如图：∵△AEP是等腰直角三角形，四边形PEFG是正方形，∴PA=PE=PB=t，∴AB=PA+PB=2t=2,∴t=1,故答案为：1．（3）解：当t=3由题意得：四边形PEMB是矩形，PE=PA=t=3∴PB=AB−AP=2−∴S=S（4）解：①如图：当EF=CF时，∠CEF=45°，∴∠ECF=∠CEF=45°，∴∠CFE=90°，∴△CEF是等腰直角三角形，即此时点F落在BC上，由（2）得，此时t=1；②当CE=CF时，如图：∵∠CEF=45°，∴∠CEF=∠CFE=45°，∴∠FCE=90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∵PA=PE=EF=t,在Rt△AEP中，AE=在Rt△CEF中，CE∴CE=在Rt△ABC中，∴AC=AE+CE=解得t=③当CE=EF时，如图：∵PA=PE=EF=t,∵AE=∴AC=AE+CE=解得：t=4−2综上，当△CEF是等腰三角形时，t的值为1，43或4−228．（23-24九年级·山东济南·期末）已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P(1)如图1，点P在AB边上，PQ，AC相交于点O，当PQ，AC互相平分时，求t的值；(2)如图2，点P在BC边上，AP，BQ相交于点H，当AP⊥BQ时，求t的值．【答案】(1)t的值为8(2)t的值为16【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、一元一次方程的应用，正确列出关于t的方程是解此题的关键．（1）根据题意用t表示出CQ与AP，证明四边形APCQ为平行四边形，得出AP=CQ，由此列出t的方程即可得解；（2）根据题意用t表示出CQ与BP，证明△ABP≌△BCQASA，得出BP=CQ，由此列出t【详解】（1）解：由题意得：DQ=tcm，AP=2t∵四边形ABCD是边长为8cm∴CQ=8−t当PQ，AC互相平分时，四边形APCQ为平行四边形，∴AP=CQ，∴2t=8−t，解得：t=8即t的值为83（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABP=∠BCQ=90°，∵AP⊥BQ，∴∠BAP+∠ABH=∠ABH+∠CBQ=90°，∴∠BAP=∠CBQ，∴△ABP≌△BCQASA∴BP=CQ，∵BP=2t−AB=2t−8cm，∴2t−8=8−t，解得：t=163，即t的值为29．（23-24九年级·吉林·阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为16，∠A=∠B=∠C=∠D=90°;AB=BC=CD=AD，点P为正方形ABCD边上的动点，动点P从点A出发，沿着A→B→C→D运动到D点时停止，设点P经过的路程为x,△APD的面积为y．(1)当x=4时，y=______；(2)当点P在边BC上运动时，y=______；(3)若点E是边BC上一点且CE=6，连接DE，是否存在一点P，使得△DCE与△BCP全等？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)32(2)128(3)存在，x的值为10或38【分析】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．（1）由x=4，可得AP=4，然后由y=S（2）直接由y=S（3）分两种情况，当点P在边AB或边CD上运动时，分别画出图形，由全等三角形的性质列出关于x的方程求解即可．【详解】（1）解：∵AP=x=4，AD=16，∠A=90°，∴y=S故答案为：32；（2）解：∵点P在边BC上运动，∴y=S故答案为：128；（3）解：当点P在边AB或边CD上运动时，存在一点P，使得△DCE与△BCP全等．如图4，当点P在AB上时，△DCE≌△CBP，∴CE=PB=6，∴AP=AB−BP=16−6=10，∴x=10．如图5，当点P在CD上时，△DCE≌△BCP，∴CP=CE=6，∴x=AB+BC+CP=16+16+6=38．综上所述，x=10或38时，使得△DCE与△BCP全等．30．（23-24九年级·吉林·期中）如图，AC为正方形ABCD的对角线，AB=4．动点P、Q分别从点A、C同时出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿AB、CD向终点B、D运动．连接PQ交AC于点O，过点O作OE⊥PQ交边AD于点E．设点P运动的时间为t秒．(1)当点P运动到边AB的中点时，四边形DEOQ的面积为__________；(2)连接AQ、PC，求证：四边形APCQ是平行四边形；(3)求四边形APOE的面积；(4)当OA将四边形APOE分成面积比为2:3两部分时，直接写出t的值．【答案】(1)4(2)详见解析(3)4(4)t=45【分析】（1）利用正方形性质证明△APO≌△CQOAAS，得到OA=OC，结合当点P运动到边AB的中点时，则点Q运动到边CD的中点，利用三角形中位线性质得到四边形DEOQ是正方形，即可求得四边形DEOQ（2）连接AQ、PC，由题中运动情况可知，AP=CQ=2t，结合正方形性质，即可证明四边形APCQ是平行四边形；（3）作ON⊥AB于点N，作OM⊥AD于点M，证明四边形ANOM是正方形，再证明△EOM≌△PONASA，即可得到四边形APOE的面积=（4）根据OA将四边形APOE分成面积比为2:3两部分，分以下两种情况讨论，①S△AOE:S△AOP=2:3【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴∠PAC=∠QCA=45°，∠D=90°，AB=CD=AD=BC=4，由题中运动情况可知，AP=CQ=2t，∵∠COQ=∠AOP，∴△APO≌△CQOAAS∴OA=OC，O是AC的中点，当点P运动到边AB的中点时，则点Q运动到边CD的中点，∴OQ=12AD=1∴∠OQD=180°−∠D=90°=∠D，∵OE⊥PQ，∴四边形DEOQ是正方形，∴四边形DEOQ的面积为OQ⋅QD=2×2=4，故答案为：4．（2）证明：连接AQ、PC，由（1）可知，AP=CQ=2t，AP∥∴四边形APCQ是平行四边形；（3）解：作ON⊥AB于点N，作OM⊥AD于点M，∴∠OME=∠ONA=90°，OM与（1）中OE相等为2，∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴∠PAC=∠MAO=45°，∠BAD=90°，∴四边形ANOM是矩形，∴OM∥∴∠MOA=∠PAC=45°=∠MAO，∴OM=AM；∴四边形ANOM是正方形，∴OM=ON，∠MON=∠EOP=90°，∴∠MON−∠MOP=∠EOP−∠MOP，∴∠EOM=∠PON，∴△EOM≌△PONASA∴四边形APOE的面积=S∴四边形APOE的面积为2×2=4．（4）解：∵OA将四边形APOE分成面积比为2:3两部分，①S△AOE∴S△AOP∴1解得t=6②S△AOP∴S△AOP∴1解得t=4综上所述，t=45或【点睛】本题考查正方形性质和判定，全等三角形性质和判定，矩形的判定定理，三角形中位线性质，平行四边形判定，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题．【题型4与梯形形有关的动点问题】31．（23-24九年级·吉林·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q

(1)当t=5时，P，Q两点之间的距离为__________cm；(2)线段PC与DQ互相平分时，求t的值；(3)t为何值时，四边形APQB的面积为梯形ABCD面积的310【答案】(1)10(2)t=6(3)t=5.5【分析】（1）过点P作PH⊥BQ于点H，则ABHP是矩形，利用勾股定理解题；（2）由CP与DQ互相平分，可知四边形CDPQ是平行四边形，根据对边相等列方程解题；（3）表示四边形CDPQ的面积，根据题意列方程解题．【详解】（1）解：当t=5时，AP=5∴BQ=BC−CQ=26−15=11，过点P作PH⊥BQ于点H，

则ABHP是矩形，∴BH=AP=5，∴HQ=6，∴PQ=P故答案为：10．（2）当CP与DQ互相平分时，则四边形CDPQ是平行四边形．

∴PD=CQ．即24−t=3t.

解得t=6，（3）∵四边形APQB的面积为梯形ABCD面积的3根据题意，得1解得

t=5.5【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的性质，关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．32．（23-24九年级·山东济宁·阶段练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=9cm，BC=24cm，E是BC的中点．动点P从点A出发沿AD向终点D运动，动点P平均每秒运动1cm；同时动点Q从点C出发沿CB向终点B运动，动点Q平均每秒运动2cm，当动点P停止运动时，动点(1)当动点P运动t(0<t<9)秒时，则PD=________；(用含t的代数式直接表示)(2)当动点Q运动t秒时，①若0<t<6，则EQ=________；(用含t的代数式直接表示)②若6<t<9，则EQ=________；(用含t的代数式直接表示)(3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？【答案】(1)9−t；(2)①12−2t；②2t−12；(3)t为3秒或7秒时．【分析】（1）根据题意得：AP=t，AD=9，即可得出答案；（2）①若0<t<6，CQ=2t，CE=12，即可得出EQ=12−2t；②若6<t<9，CQ=2t，CE=12，即可得出EQ=2t−12；（3）分别从当Q运动到E和C之间和当Q运动到E和B之间，去分析求解即可求出答案．【详解】（1）解：根据题意得：AP=t，AD=9，∴PD=AD−AP=9−t，故答案为：9−t；（2）解：①若0<t<6，CQ=2t，CE=1∴EQ=12−2t，故答案为：12−2t；②若6<t<9，CQ=2t，CE=1∴EQ=2t−12，故答案为：2t−12；（3）解：如图所示：∵E是BC的中点，∴BE=1①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则：12−2t=9−t，解得：t=3，②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则：2t−12=9−t，解得：t=7，∴运动时间为3秒或7秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题考查梯形的性质以及平行四边形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想，分类讨论思想与方程思想的应用．33．（23-24九年级·广东广州·期中）如图①，在Rt△ABC中，已知∠A=90°,AB=AC,G,F分别是AB、AC上的两点，且GF//BC．AF=2,BG=4．（1）求梯形BCFG的面积；（2）如图②，有一梯形DEFG与梯形BCFG重合，固定△ABC，将梯形DEFG向右运动，当点D