2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷专题：一元二次方程根的判别式(含答案)-

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷专题：一元二次方程根的判别式(含答案)-2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷专题：一元二次方程根的判别式(含答案)-专题：一元二次方程根的判别式◆课前预习1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况可用b2－4ac来判定，b2－4ac叫做________，通常用符号“△”为表示．（1）b2－4ac>0方程_________；（2）b2－4ac=0方程_________；（3）b2－4ac<0方程_________．2．使用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的________形式．◆互动课堂（一）基础热点【例1】不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2－5x+3=0；（2）x2+2x+2=0；（3）3x2+2=4x；（4）mx2+（m+n）x+n=0（m≠0，m≠n）．解析：从根的判别式入手．答案：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；（4）有两个不相等的实数根．【例2】若关于x的方程（m2－1）x2－2（m+2）x+1=0有实数根，求m的取值范围．解析：由于x2的系数含字母，且题目中并未指明方程是否是一元二次方程，因此要分两种情况讨论：（1）m2－1=0；（2）m2－1≠0．答案：m≥－．（二）易错疑难【例3】已知关于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+4（k－）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）如果等腰△ABC有一边长a=4，另两条边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．解析：（1）考虑根的判别式；（2）分a为底和腰两种情况讨论：若a为底，则b=c，那么方程有两个相等的实数根；若a为腰，则b，c中有一个与a相等，那么方程必有一根为4．答案：（1）△=（2k－3）2≥0；（2）10．点拨：分类讨论是一种常用的解题思想与方法．（三）中考链接【例4】已知关于x的方程x－2（m+1）x+m2=0．（1）当m取何值时，方程有两个实数根？（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．答案：（1）m≥－；（2）如取m=0，得x1=0，x2=2．名师点拨1．使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式．2．如果说方程有实数根，那么应包括有两个不等实根或有两个相等实根两种情况，此时b2－4ac≥0，注意不要忽略等号．3．△=b2－4ac是指一元二次方程的根的判别式，只有当所研究的方程为一元二次方程时方能使用．◆跟进课堂1．方程2x2+3x－4=0的根的判别式△=________．2．已知关于x的一元二次方程mx2－10x+5=0有实数根，则m的取值范围是______．3．如果方程x2－2x－m+3=0有两个相等的实数根，则m的值为_______，此时方程的根为________．4．若关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0没有实数根，则k的取值范围是______．5．若关于x的一元二次方程mx2－2（3m－1）x+9m－1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是_______．6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）．A．x2+2x－1=0B．x2+2x+3=0C．x2+x+1=0D．－x2+x+2=07．如果方程2x（kx－4）－x2－6=0有实数根，则k的最小整数是（）．A．－1B．0C．1D．28．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（）．A．x2－x+1=0B．x2－2x+3=0C．x2+x－1=0D．x2+4=09．如果关于x的一元二次方程kx2－6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）．A．k<1B．k≠0C．k<1且k≠0D．k>110．关于x的方程x2+（3m－1）x+2m2－m=0的根的情况是（）．A．有两个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根◆漫步课外11．关于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x+2m－1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．12．已知a、b、c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c（x2+m）+b（x2－m）－2ax=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．13．等腰△ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x2－10x+m=0的两根，求m的值．14．如果关于x的方程mx2－2（m+2）x+m+5=0没有实数根，试判断关于x的方程（m－5）x2－2（m－1）x+m=0的根的情况．◆挑战极限15．已知关于x的方程（n－1）x2+mx+1=0①有两个相等的实数根．（1）求证：关于y的方程m2y2－2my－m2－2n2+3=0②必有两个不相等的实数根；（2）如果方程①的一个根是－，求方程②的根．答案:1．412．m≤5且m≠03．2，x1=x2=14．k<－15．m≤且m≠06．C7．B8．C9．C10．A11．m=2，x1=1，x2=12．Rt△13．m=25或1614．当m=5时方程有一个实根；当m>4且m≠5时，方程有两个不等实根．15．略专题：一元二次方程根与系数的关系◆课前预习1．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____．2．如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________；以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是__________．◆互动课堂（一）基础热点【例1】设方程4x2－7x－3=0的两根为x1，x2，不解方程，求下列各式的值：（1）x12+x22；（2）（x1－3）（x2－3）；（3）；（4）│x1－x2│．解析：由根与系数的关系可知，x1+x2=，x1x2=－，将所求代数式变形为用x1+x2，x1x2表示的形式．答案：（1）．（二）易错疑难【例2】已知关于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+4k－3=0。（1）求证：无论x取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边长b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．解析：对于（1）应证明△恒为正，对于（2）由条件可得方程两根的平方和为31，可考虑用根系关系来解．答案：（1）△=（2k－3）2+4>0，（2）7+．点拨：根系关系在很多方面（包括几何方面）均有广泛的应用，值得认真体会．名师点拨学习和使用根与系数的关系时，要注意定理的前提条件：

1．是在一元二次方程的条件下，即注意二次项系数a≠0．2．是在有实数根的条件下，即△≥0．◆跟进课堂1．如果方程x2+px+q=0的两根分别为－1，+1，那么p=_____，q=_____．2．已知一元二次方程x2－5x－6=0的两个根分别为x1，x2，则x12+x22=_______．3．已知x1、x2是关于x的一元二次方程a2x2－（2a－3）x+1=0的两个实数根，如果=－2，那么a的值是_______．4．已知关于x的方程x2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为______．5．已知方程x2+3x－1=0的两个根为α、β，那么=_______．6．设方程x2+x－1=0的两个实数根分别为x1，x2，则的值为（）．A．1B．－1C．D．7．对于方程x2+bx－2=0，以下观点正确的是（）．A．方程有无实数根，要根据b的取值而定B．无论b取何值，方程必有一正根，一负根C．当b>0时，方程两根为正；b<0时，方程两根为负D．∵－2<0，∴方程两根肯定为负8．已知一个直角三角形两条直角边的长恰好是方程x2－8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）．A．5B．3C．5D．99．已知α、β满足α+β=5，且αβ=6，则以α、β为两根的一元二次方程是（）．A．x2+5x+6=0B．x2－5x+6=0C．x2－5x－6=0D．x2+5x－6=010．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两异号实数根的条件是（）．A．>0B．<0C．>0D．<0◆漫步课外11．设x1，x2是方程2x2+4x－3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）（x1+1）（x2+1）；（2）x12x2+x1x22；（3）；（4）（x1－x2）2．12．已知关于x的一元二次方程x2+（2m－3）x+m2=0的两个不相等的实数根α，β，满足=1，求m的值．13．已知x1，x2是关于x的方程x2+mx+n=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+nx+m=0的两根，求m，n的值．14．已知关于x的方程x2－2kx+k－=0的一个根大于1，另一个根小于1，求实数k的取值范围．◆挑战极限15．已知x1，x2是一元二次方程2x2－2x+m+1=0的两个实数根．（1）求实数m的取值范围．（2）如果x1，x2满足不等式7+4x1x2>x12+x22，且m为整数，求m的值．答案:1．－2，12．373．4．25．－116．A7．B8．C9．B10．D11．（1）－（2）3（3）－（4）1012．m=－313．m=－1，n=－314．k>15．（1）m≤－（2）m=－2或m=－1专题训练1一元二次方程的解法1．按指定的方法解下列方程．（1）（2x-1）2-32=0（直接开平方法）；（2）3x2+4x+1=0（配方法）；（3）6x2-5x-2=0（公式法）；（4）x2-1=3x-3（因式分解法）．2．用适当的方法解下列方程．（1）x2+x-6=0；（2）49（x-3）2=16（x+6）2；（3）（x-2）（x+3）=66；（4）（x+1）2=3x+2．3．用三种不同的方法解方程3x2-5x=2．4．若方程3x2-5x+k=0的一个根是-1，求k的值及另一个根．5．如果方程x2-6x-k-1=0与x2-kx-7=0仅有一个相同的实数根，试求k的值和相同的根．6．若α是方程x2+x-1=0的根，求代数式2000α3+4000α2的值．7．如果m是介于12与60之间的整数，并且关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0的两个根也是整数，求m的值及这两个整数根．8．已知：关于x的方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有一个相同的实数根，且a·b·c≠0，求a+b+c的值．9．已知x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的一个因式，求a、b的值．答案:1．解：（1）（2x-1）2-32=0，整理，得（2x-1）2=64，开平方，得2x-1=±8，2x=1±8，x=．所以x1=，x2=．（2）3x2+4x+1=0，移项，得3x2+4x=-1．方程两边同时除以3，得x2+x=-．配方，得x2+x+（）2=-+（）2即（x+）2=±，x+=±，x=-±所以x1=-+=-，x2=--=-1．（3）6x2-5x-2=0，因为a=6，b=-5，c=-2．b2-4ac=（-5）2-4×6×（-2）=25+48=73．所以x==．即x1=，x2=．（4）原方程可化为：x2-1-3x+3=0（x+1）（x-1）-3（x-1）=0，（x-1）（x+1-3）=0，即x-1=0或x-2=0，所以x1=1，x2=2．点拨：注意每一种解法的步骤和格式，必要的文字叙述绝不能少．2．解：（1）方程两边同时乘以4，得x2+10x-24=0，即（x+12）（x-2）=0，x+12=0或x-2=0，所以x1=-12，x2=2．（2）原方程可化为[7（x-3）]2=[4（x+6）]2，所以7（x-3）=±4（x+6），即7（x-3）=4（x+6）或7（x-3）=-4（x+6），所以x1=15，x2=-．（3）原方程可化为：x2+x-72=0，（x+9）（x-8）=0，即x+9=0或x-8=0，所以x1=-9，x2=8．（4）原方程可化为：x2-x-1=0，因为a=1，b=-1，c=-1，b2-4ac=（-1）2-4×1×（-1）=5，所以x=，所以x1=，x2=．点拨：对于方程（1），出现了分数系数，分解因式的话不容易观察，套用公式计算量太大，因此，先把分数系数化为整数，即在方程两边同时乘以4后，用因式分解法就比较方便．方程（2）可采用直接开平方法，也可采用因式分解法．方程（3）是十分容易出错的一个方程，一定要先整理成一般形式再求解，方程（4）与方程（3）相同，也要先化成一般形式后，再选择方法．3．解法一：配方法：方程两边同时除以3，得x2-x=，配方，得x2-x+（）2=+（）2，即（x-）2=，x-=±，x=±．所以x1=+=2，x2=-=-．解法二：公式法：移项，得3x2-5x-2=0因为a=3，b=-5，c=-2，b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=25+24=49，所以x=，即x1=2，x2=-．解法三：因式分解法：移项，得3x2-5x-2=0．（x-2）（3x+1）=0，即x-2=0或3x+1=0，所以x1=2，x2=-．点拨：通过对同一道题的不同解法的比较，我们发现因式分解法是比较简便的方法，一个方程若能用因式分解法求解，就不要再选择其他解法了．公式法是解一元二次方程的最后一法．在其他方法失效的情况下，可选用此法．配方法是一种重要的数学方法，但是用这种方法解方程，过程太复杂，一般情况下不采用．4．解：依题意：3×（-1）2-5×（-1）+k=0，k=-8．当k=-8时，3x2-5x-8=0，（x+1）（3x-8）=0，x+1=0或3x-8=0，所以x1=-1，x2=．所以k的值是-8，方程的另一个根是．点拨：利用方程根的定义，把-1代入方程求出k的值，然后把k的值代入方程，求出方程的另一个根．拓展：此题也可应用本章第三节探究到的知识求解．设方程的另一个根是x，则-1+x1=，所以x1=．又因为-1·x1=，所以-1×=，k=-8．所以方程的另一个根是，k的值是-8．5．解：设相同的根为x，则有：x2-6x-k-1=0①，x2-kx-7=0②．①-②得（k-6）x-k+6=0．（k-6）（x-1）=0，所以k=6或x=1．当k=6时，原来的两个方程是同解方程，它们的解完全相同．不合题意，故k=6舍去；当x=1时，代入①，得k=-6，所以k的值为-6，相同的根为1．点拨：设出相同的根，代入后解方程即可．6．解：依题意：α2+α-1=0，所以α2+α=1，α2=1-α．所以2000α3+4000α2=2000α（α2+2α）=2000α（α2+α+α）=2000α（1+α）=2000（α+α2）=2000．点拨：把条件等式适当变形，整体代入求值．7．解：x==m+1±，因为x1，x2都是整数，所以（2m+1）必是完全平方数，由于12<m<60，所以25<2m+1<121．因为（2m+1）是奇数，所以只能是2m+1=72或2m+1=92．解之得m1=24，m2=40．当m=24时，x1=32，x2=18；当m=40时，x1=50，x2=32．点拨：先用公式法求出方程的根，再利用整数的性质及m的取值范围进行讨论．8．解：设相同的根为x，则：ax2+bx+c=0①，bx2+cx+a=0②，cx2+ax+b=0③，①+②+③，得（a+b+c）（x2+x+1）=0．又因为x2+x+1=（x+）2+>0，所以a+b+c=0．点拨：类似于第5题，请作比较，找到解这一类题的规律．9．解：依题意：当x2+x-6=0时多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1=0．即：当x1=-3，x2=2时，上述多项式的值为0．把x1=-3，x2=2代入，可得关于a、b的方程组解得a=16，b=3．点拨：欲求a、b的值，关键在于列出关于a、b的方程组．因此，根据因式分解的意义可使问题得以解决．

专题训练2一元二次方程在平面图形中的应用1．在直角三角形中，两条直角边的差为7，斜边长为13，求它的周长和面积．2．一个梯形的上度与高相等，下底比上底的2倍多1，面积是40，求梯形的中位线的长．3．在△ABC中，AB=AC，周长为20，且（BC+1）2=AB，求△ABC的腰长和底边长．4．一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m．（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？5．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．6．如图所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰．（1）小岛D和小岛F相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）7．东西和南北街道交于点O，甲沿东西道由西向东走，速度为4m/s，乙沿南北道由南向北走，速度是3m/s，当乙通过O点后，又继续前进50m，甲刚好通过O点，当甲、乙相距85m，求两人的位置（假设街道足够长）．8．如图所示，若把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，得四边形A1B1C1D1，试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的，请说明理由．（写出证明及计算过程）答案:1．解：设较短的直角边长为x，则较长的直角边长为（x+7）．根据勾股定理，列方程x2+（x+7）2=132整理，得x2+7x-60=0，解得x1=5，x2=-12．由于三角形的边长不能为负数，故将x2=-12舍去．所以三角形的三边长分别为5，12，13．则周长为5+12+13=30，面积为×5×12=30．点拨：设出适当的未知数，根据勾股定理可列出方程．2．解：设梯形的上底为x，则下底为2x+1，高为x．根据梯形的面积公式，可列方程：（2x+1+x）·x=40整理，得3x2+x-80=0，解得x1=5，x2=-．由于梯形的上底不能为负数，故将x2=-舍去．所以梯形的上底为5，下底为11，则中位线长为×（5+11）=8．点拨：欲求梯形的中位线，由梯形的中位线定理，需先求出它的上底和下底，依题意设上底为x，则由梯形的面积可列方程．3．解：设底边BC为x，则腰长AB=．因为（BC+1）2=AB，所以（x+1）2=．整理，得2x2+5x-18=0，解得x1=2，x2=-，由于三角形的边长不能为负数，故舍去x2=-．所以△ABC的底边BC=2，腰长AB=AC=9．点拨：题目中已经给出了等量关系式，只需设出一个恰当的未知数即可，既可以设出底边，也可以设出腰长．4．解：依题意，梯子的顶端距墙角=8（m）（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m．设梯子底端滑动xm，根据勾股定理，列方程：72+（6+x）2=102，整理，得x2+12x-15=0，解得x1≈1.14，x2≈-13.14（舍去），所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m．（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm，根据勾股定理，列方程，得（8-x）2+（6+1）2=100．整理，得x2-16x+13=0．解得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m．（3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm．根据勾股定理，列方程，得（8-x）2+（6+x）2=102整理，得2x2-4x=0，解得x1=0（舍去），x2=2．所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m．点拨：解决这类实际生活问题，首先要依据题目叙述的生活环境，画出准确的图形．其次，找准与题意适应的数学模型和相应的知识点．最后解出的结果要同实际情况相吻合，否则应舍去．本题中，把梯子本身看作一条线段，直立的墙面与水平的地面三者构成一个直角三角形，根据勾股定理，建立起数学模型，通过解一元二次方程，使问题得以顺利解决．拓展：此题可与函数知识联系起来，不妨假设梯子顶端向下滑动xm，底端相应地向外滑动ym，怎样求出y与x的函数关系呢？能否利用这个关系式解决题目中的问题呢？请同学们探究一下．5．解：因为∠C=90°，所以AB===10（cm）．（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．依题意，AP=xcm，PC=（6-x）cm．CQ=2xcm，则·（6-x）·2x=8．整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4．所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半，依题意：（6-x）·2x=××6×8．整理，得x2-6x+12=0．由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻．点拨：题目中出现了运动的点，并且不止一个．因此，分析这些点的运动情况变成解决问题的关键，在根据题意求出第一个问题的解后，发现这两个解都符合题意，需要特别指出的是当x=4时，点Q即运动到了B点，它的运动也就随之停止了．第二个问题以探究的形式出现，我们解决这类问题的方法一般都是先假设符合条件的值存在，在条件的指引下去求值，若能求出值并且符合题意，则存在；若求不出值，或求出的值不符合题意，则不存在．本题求不出x的值，故不存在．6．解：（1）F位于D的正南方向，则DF⊥BC．因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF=AB=100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里．（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里，EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里，在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2=1002+（300-2x）2，整理，得3x2-1200x+100000=0，解得x1=200-≈118.4，x2=200+（不合题意，舍去）．所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里．点拨：题目综合性较强，涉及到了等腰三角形中各边之间的关系．7．解：设甲通过O点后t秒时，甲、乙的位置分别是A、B，则OA=4t，OB=50+3t，依题意，有（4t）2+（50+3t）2=852．整理，得t2+12t-189=0，解得t1=9，t2=-21．当t=9时，OA=36，OB=77，当t=-21时，OA=-84，OB=-13．所以甲、乙分别在通过O点后又前进36m，77m或者两人未通过O点，分别在距O点84m，13m的位置时，两人的距离是85m．点拨：欲求两人的位置，就需求出两人运动的时间，所以，可以通过设出间接的未知数即运动时间来解决，需要特别注意的是，题目中的负解不能舍去．8．解：剪法为：当AA1=BB1=CC1=DD1=或时，四边形A1B1C1D1为正方形，且其面积S=，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=1，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，因为AA1=BB1=CC1=DD1，所以A1B=B1C=C1D=D1A，所以△D1AA1≌△A1BB1≌△B1CC1≌△C1DD1，所以D1A1=A1B1=B1C1=C1D1，所以∠AD1A1=∠BA1B1=∠CB1C1=∠DC1D1，所以∠AA1D1+∠BA1B1=90°，即∠D1A1B1=90°．所以四边形A1B1C1D1为正方形，设AA1=x，则AD1=1-x，因为正方形A1B1C1D1的面积S=，所以S△AA1D1=，即x（1-x）=，解得x1=，x2=．当AA1=时，AD1=，当AA1=时，AD1=，所以当AA1=BB1=CC1=DD1=或时，四边形A1B1C1D1仍为正方形且其面积是原正方形面积的．点拨：解题的关键在于说明阴影部分和原正方形面积之间的关系，所以，首先去证明四个阴影部分的三角形全等，然后，通过设出相应的未知数，列出方程，即可求解．专题训练3一元二次方程在实际生活中的应用1．将进价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，经市场调查得知，该商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少，这时进货量应为多少元？2．王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率．（假设不计利息税）3．农民李大爷响应中央发出的退耕还林还草的号召，主动在承包的荒山上种植了44棵苹果树，2005年采摘时，先随意采摘5棵树上的苹果．称得每棵树上的苹果的质量如下：（单位：kg）3534393537（1）估计李大爷2005年的苹果产量为多少kg？（2）李大爷说这44棵树2003年共收苹果1100kg，若近几年苹果产量的增长率相同，试预测到2008年苹果的产量是多少kg？4．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这户居民这个月只需交10元用电费；如果超过A度，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度元交费．（1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则应交电费_________元（用A表示）；（2）下表是这户居民3月，4月的用电情况和交费情况：月份用电量（度）电费（元）3802544510根据表中数据，求电厂规定的A是多少？5．某商场A型冰箱的售价是2190元，每天耗电量为1千瓦时，最近商场又进回一批B型冰箱，其售价比A型冰箱高出10%，但每天耗电量却为0.55千瓦时，为了减少库存，商场决定对A型冰箱降价销售，请解答下列问题：（1）已知A型冰箱的进价为1700元，商场为保证利润率不低于3%，试确定A型冰箱的降价范围（利润率=×100%）．（2）如果只考虑价格和耗电量，那么商场将A型冰箱的售价打几折时，消费者购买两种冰箱才一样合算（两种冰箱的使用期均为10年，每年365天，每千瓦时电费按0.4元计算）？6．有三个梯子，分别是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步阶梯上升的高度是一致的．每个梯子的扶杆长（即梯长）、顶档宽、底档宽如图22-4所示并把横档与扶杆榫合处称作联结点（如点A）．（1）通过计算，补充填写下表：梯子种类两扶杆总长（m）横档总长（m）联结点（个）五步梯42.010七步梯九步梯（2）一个梯子的成本由材料费和加工费组成，假定加工费以每个联结点1元计算，而材料费中扶杆的单价与横档的单价不相等（材料损耗及其他因素忽略不计）．现已知一个五步梯、七步梯的成本分别是26元、36元，试求出一个九步梯的成本．7．据《镇江日报》报道，我市在全面建设小康社会的25项指标中，有15项完成了序时进度，其中10项已达到小康指标值．（1）完成序时进度的指标占全部指标的_______%；已达小康指标值的指标占全部指标的________%．（2）某校研究性学习小组，对我市居民家庭年收入及人均住房建筑面积进行调查，并将数据绘制成图1、图2．①图1中，家庭年收入的众数为______美元；家庭年收入的平均数为_______美元．②小康指标规定城镇、农村居民人均住房建筑面积应分别在35m2和40m2以上．观察图形，从2002年到2004年城镇、农村居民人均住房建筑面积的年平均增长率分别为（）A．0.1和0.2B．0.2和0.3C．0.2和0.4D．0.3和0.4③若人均住房建筑面积的年平均增长率不变，那么到2007年城镇居民人均住房建筑面积能否达到小康指标值？请计算说明．(1)(2)8．下表数据来源于国家统计局《国民经济和社会发展统计公报》．2001～2004年国内汽车年产量统计表2001年2002年2003年2004年汽车/万辆233325.1444.39507.41其中轿车/万辆70.4109.2202.01231.4（1）根据上表将图补充完整；（2）请你写出三条从统计图中获得的信息．（3）根据2004年汽车的年产量和目前销售情况，有人预测2006年国内汽车年产量应上升至650万辆．根据这一预测，假设这两年汽车年产量平均年增长率为x，则可列出方程_____________．2001～2004年国内汽车年产量统计图答案:1．解：设应涨价x元，依题意，列方程，得（50+x-40）（500-10x）=8000．整理，得x2-40x+300=0，解得x1=10，x2=30．当x=10时，500-10x=500-10×10=400（个）当x=30时，500-10x=500-10×30=200（个）答：当售价为60元时，应进货400个，或售价定为80元，进货200个．2．解：设第一次存款时的年利率为x，依题意，可列方程：[1000（1+x）-500]（1+0．9x）=530．整理，得90x2+145x-3=0．解得x1≈0.0204=2.04%，x2≈-1.63．由于存款利率不能为负数，所以将x2≈-1.63舍去所以第一次存款的年利率约是2.04%．点拨：弄清两个问题，一是第二次存款时的本金，二是第二次存款时的利率．3．解：（1）200