2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷21.2 解一元二次方程(3)课后能力提升专练(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷21.2解一元二次方程(3)课后能力提升专练(含答案)*第3课时一元二次方程的根与系数的关系1．若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1＋x2的值是()A．1B．5C．－5D．62．设方程x2－4x－1＝0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是()A．－4B．－1C．1D．03．两个实数根的和为2的一元二次方程可能是()A．x2＋2x－3＝0 B．2x2－2x＋3＝0 C．x2＋2x＋3＝0 D．x2－2x－3＝04．孔明同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得x1＝1，x2＝2，则c的值为______．5．已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根为a，b，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值是________．6．求下列方程两根的和与两根的积：(1)3x2－x＝3;(2)3x2－2x＝x＋3.7．已知一元二次方程x2－2x＋m＝0.(1)若方程有两个实数根，求m的范围；(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且x1＋3x2＝3，求m的值．8．点(α，β)在反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象上，其中α，β是方程x2－2x－8＝0的两根，则k＝__________9．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，则eq\f(x2,x1)＋eq\f(x1,x2)的值为________．10．已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．参考答案1．B2.B3.D4.25．－eq\f(6,5)解析：∵a，b是一元二次方程的两根，∴a＋b＝6，ab＝－5.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝－eq\f(6,5).6．解：(1)原方程化为一般形式为3x2－x－3＝0.所以x1＋x2＝－eq\f(－1,3)＝eq\f(1,3)，x1x2＝eq\f(－3,3)＝－1.(2)原方程化为一般形式为3x2－3x－3＝0，即x2－x－1＝0.所以x1＋x2＝－eq\f(－1,1)＝1，x1x2＝eq\f(－1,1)＝－1.7．解：(1)∵方程x2－2x＋m＝0有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4m≥0.解得m≤1.(2)由两根关系可知，x1＋x2＝2，x1·x2＝m.解方程组解得∴m＝x1·x2＝eq\f(3,4).8．－89．10解析：x1＋x2＝－6，x1x2＝3,eq\f(x2,x1)＋eq\f(x1,x2)＝eq\f(x\o\al(2,2)＋x\o\al(2,1),x1x2)＝eq\f(x1＋x22－2x1x2,x1x2)＝10.10．解：(1)由方程有两个实数根，可得Δ＝b2－4ac＝4(k－1)2－4k2＝4k2－8k＋4－4k2＝－8k＋4≥0.解得k≤eq\f(1,2).(2)依据题意，可得x1＋x2＝2(k－1)．由(1)可知k≤eq\f(1,2)，∴2(k－1)＜0，x1＋x2＜0.∴|x1＋x2|＝－x1－x2＝x1·x2－1.∴－2(k－1)＝k2－1.解得k1＝1(舍去)，k2＝－3.∴k的值是－3.22.1～22.2综合测验（检测时间：45分钟满分：100分）班级：________姓名：________得分：________一、填空题（3分×7=21分）1．当m________时，（m-1）x2+3x-1=0是一元二次方程．2．请写出一个根为x=1，另一个根满足-1<x<1的一元二次方程________．3．在下列方程中：（1）x2=4；（2）x2-=1；（3）=4x；（4）4x2+y2+1=0，是一元二次方程的是________．（只填序号）4．完成下列配方过程：x2+2px+1=[x2+2px+（_______）]+（______）=（x+______）2+（）．5．已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×……若10+=102×（a、b为正整数），则a+b=______．6.Fillinthefollowingblanks．Therootsoftheequation：x2-5x-6=0are__________．7．若点C分线段AB为AC、BC两段，且AC2=BC·AB．已知AB=a，那么AC=______________．二、选择题（3分×6=18分）8．如果x2+mx+4是一个完全平方式，则m等于（）A．2B．4C．-4D．±49．把方程x2+2=6x配方得（）A．（x+3）2=7B．（x-3）2=7C．（x+3）2=11D．（x-3）2=1110．如果a是一元二次方程x2-3x+m=0的一个根，-a是一元二次方程x2+3x-m=0的一个根，那么a的值等于（）A．1或2B．0或3C．-1或-2D．011．方程x（x+3）=k（x+3）有一个根是正数，则k满足的条件是（）A．k>0B．k<0C．k≠0D．以上答案都不对12．解方程：①x2-3=0；②9x2-12x-1=0；③12x2+11=25x；④2（5x-1）2=3（5x-1）较简便的方法是（）A．①用直接开平方法，②用配方法，③用公式法，④用因式分解法;B．①用因式分解法，②用公式法，③用配方法，④用直接开平方法;C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法;D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法13．如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=acm，宽BC=bcm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a：b等于（）A．：1B．1：C．：1D．1：三、解答题（61分）14．用适当的方法解下列方程：（6分×6=36分）（1）（x-5）（x+7）=1（2）x2-x-2=0（3）y2=（y+2）2（4）-=x（5）3x2+12x=5（x+1）-8（6）x（2x-3）=（3x+2）（2x-3）15．（8分）已知实数a、b、c满足+│b+1│+（c+3）3=0，求方程ax2+bx+c=0的根．16．（8分）阅读材料，解答问题:材料：为解方程（x2-1）2-5（x2-1）+4=0我们可以将x2-1视为一个整体，然后设x2-1=y，则（x2-1）2=y2，原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4，当y=1时，x2-1=1，∴x2=2，∴x=±；当y=4时，x2-1=4，∴x2=5，∴x=±，∴原方程的解为x1=，x2=-，x3=，x4=-，解答问题：（1）填空，在解原方程得到①的过程中利用_________法达到了降次的目的，体现了_______数学思想;（2）利用上述方法解方程x4-x2-6=0．17．（9分）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）．大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？答案:1．≠12．x2-x-=03．（1）（3）4．p2，-p2+1，p，-p2+15．1096．x1=6，x2=-17．a8．D9．B10．B11．A12．C13．A14．（1）x=-1±；（2）x1=-，x2=4；（3）y1=-，y2=2；（4）x1=-1，x2=；（5）x=；（6）x1=，x2=-1．15．由非负数概念可求出a=2或1，b=-1，c=-3，故x1=-1，x2=或x1=，x2=．16．（1）换元，转化；（2）x=±17．解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3，依题意，得x2=10（x-3）+x，即x2-11x+30=0，解得x=5或x=6，当x=5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x=6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意，故周瑜去世的年龄为36岁．22.2降次——解一元二次方程第1课时配方法(1)学习目标视窗会用开平方的方法解形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．掌握将一元二次方程转化为一元一次方程的过程，初步学会将系数简单的一元二次方程转化为(x＋m)2＝n(n≥0)并进行求解．基础巩固提优1.方程3x2－54＝0的根是()．A.x＝3eq\r(2)B.x＝3eq\r(3)C.x1＝3eq\r(2)，x2＝－3eq\r(2)D.x1＝2eq\r(3)，x2＝－2eq\r(3)2．对于形如的方程，它的解的正确表达式为()．A．都可以用直接开平方法求解，且；B．当时，C．当时，D．当时，3．若a为方程式(x)2=100的一根，b为方程式(y4)2=17的一根，且a,b都是正数，则ab的值是()．A．5B．6C．D．104．已知(x2＋y2＋1)2＝4，则x2＋y2等于()．A．1B．－3C．1或D．1或5.方程ax2＝c有实数根的条件是()．A.a≠0B.ac≠0C.ac≥0D.eq\f(c,a)≥0且a≠06.方程2x2＋a＝0(a＜0)的根是__________．7.解一元二次方程的基本思路是降次，方程x2＋4x＋4＝1可以转化为(________)2＝1，然后利用平方根的性质进行降次．8.解下列方程：(1)(x＋eq\r(5))(x－eq\r(5))＝20；(2)(2x＋1)2－2(2x＋1)＋1＝4；(3)(x－2)2＝(2x＋3)2；(4)x2－6x＋9＝(5－2x)2..思维拓展提优9.已知直角三角形的一条直角边的长是另一条直角边的长的2倍，斜边长为10eq\r(5)，求较短的直角边的长．10.求关于x的方程(x－a)2＝4b(b≥0)的根．11.x为何值时，代数式x2－6x的值为－7?12.(1)已知分式eq\f(x2－4,2x2－5x＋2)的值是0，求x的值；(2)已知分式eq\f(4,x2＋2x＋1)的值是1，求x的值．13．用，，表示纸片剩余部分的面积；当=6，=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．14.解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x.(1)用含x的代数式表示：①2008年种的水稻平均每公顷的产量为________；②2009年种的水稻平均每公顷的产量为________；(2)根据题意，列出相应方程________；(3)解这个方程，得________；(4)检验：________；(5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为____%.开放探究提优15.解方程：x2－4|x|＋4＝1.16.运用从“特殊到一般”，再从“一般到特殊”的思想解方程x2n＝1(n为正整数)，并且根据你发现的规律解方程x64＝1.17.如果，求的值.18．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0，判定△ABC是正三角形．走进中考前沿19．关于方程式的两根，下列判断正确的是()．A．一根小于1，另一根大于3B．一根小于－2，另一根大于2C．两根都小于0D．两根都大于220.关于x的方程的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是.参考答案1.C2.C3.B4.A5.D6.x1＝eq\f(\r(－2a),2)，x2＝－eq\f(\r(－2a),2)7.x＋28.(1)x1＝5，x2＝－5(2)x1＝1，x2＝－1(3)x1＝－5，x2＝－eq\f(1,3)(4)x1＝2，x2＝eq\f(8,3)9.1010.x1＝a＋2eq\r(b)，x2＝a－2eq\r(b)11.x＝3＋eq\r(2)或x＝3－eq\r(2)12.(1)－2(2)1或－313．（1）－42（2）依题意，得－42=42，将=6，=4，代入上式，得2=3，解得（舍去）．故正方形的边长为．14.(1)①8000(1＋x)②8000(1＋x)2(2)8000(1＋x)2＝9680(3)x1＝0.1，x2＝－2.1(4)x1＝0.1，x2＝－2.1都是原方程的根，但x2＝－2.1不符合题意，所以只取x＝0.1(5)1015.分x≥0和x＜0两种情况讨论：当x≥0时，x1＝3，x2＝1；当x＜0时，x3＝－3，x4＝－1.因此方程的解有4个，分别为x1＝3，x2＝1，x3＝－3，x4＝－1.16.当n＝1时，x2＝1，所以x＝±1；当n＝2时，x4＝1，即(x2)2＝1，所以x2＝±1.又x2≥0，所以取x2＝1，得x＝±1.而2n在n取正整数时恒为偶数，由此归纳出方程x2n＝1在实数范围内只有两个解，即x＝±1.所以x64＝1的解为x＝±1.17．由已知条件，分别对a，b配方，得（a2－4a＋4）＋（b2－2b＋1）＝0，（a－2）2＋（b－1）2＝0．由非负数的性质，得a－2＝0，b－1＝0．∴a＝2，b＝1．＝＝＝＝＝.18．由已知等式两边乘以2，得2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca=0，拆项、配方，得（a2－2ab＋b2）＋（b2－2bc＋c2）＋（c2－2ca＋a2）＝0，（a－b）2＋（b－c）2+（c－a）2＝0．由实数的性质，得a－b=0，b－c=0，c－a=0，∴a＝b，b＝c，c＝a，a=b=c．故△ABC是等边三角形．19．A20．x1=－4，x2=－1第2课时配方法(2)学习目标视窗掌握用配方法解一元二次次方程的步骤．熟练运用配方法解决一些具体问题．基础巩固提优1.2x2－4x＋_____＝2(x－________)2.2.3x2＋5x＋_____＝3(x＋________)2.3.x2－px＋______＝(x－______)2．4.＋______＝(x－______)2．5．把式子配成完全平方式需加上．6．若x2＋px＋16是一个完全平方式，则p的值为．7.方程x2＋8x＋7＝0通过配方化成(x＋h)2＝k的形式为________．8.当x取任意实数时，代数式x2－2x＋2的值一定()．A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定9.用配方法解下列方程时，配方有错误的是()．A.x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100B.x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25C.2t2－7t－4＝0化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(7,4)))2＝eq\f(81,16)D.3y2－4y－2＝0化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(2,3)))2＝eq\f(10,9)10.已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么x2－6x＋q＝2可以配方成()．A.(x－p)2＝5B.(x－p)2＝9C.(x－p＋2)2＝9D.(x－p＋2)2＝511．若关于x的二次三项式x2－ax＋2a－3是一个完全平方式，则a的值为()．A．－2B．－4C．－6D．2或612．用配方法解方程x2＋px＋q＝0，其配方正确的是()．A．B．C．D．13.用配方法解下列关于x的方程：(1)2x2－eq\r(2)x－30＝0；(2)x2＋2＝2eq\r(3)x；(3)x2＋px＋q＝0；思维拓展提优14.若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2＝9，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2的值为________．15.用配方法解方程：(6x＋7)2(3x＋4)(x＋1)＝6.16.已知a2＋2ab＋b2－4(a＋b－1)＝0，求a＋b－3的值．17.当m2取何值时，方程x2＋2mx＋2＝0有解？并求出此时方程的解．18.已知3x2＋4y2－12x－8y＋16=0．求的值.开放探究提优19.已知方程x2－|2x－1|－4＝0，求满足方程的所有根的和．20.设代数式2x2＋4x－3＝M，用配方法说明无论x取何值，M总不小于一定值，并求出该定值．21.对于二次三项式x2－10x＋36，小聪同学给出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11.你同意他的说法吗？请说明你的理由．走进中考前沿22.用配方法解方程时，原方程应变形为()．A． B．C． D．23.解方程：x2－4x＋1=0.24.解方程：x2＋3x＋1=0．参考答案1.212.eq\f(25,12)eq\f(5,6)3.4.5．6．±87.(x＋4)2＝98.A9.B10.B11．D12．A13.(1)x1＝3eq\r(2)，x2＝－eq\f(5,2)eq\r(2)(2)x1＝eq\r(3)＋1，x2＝eq\r(3)－1(3)x1＝eq\f(－p＋\r(p2－4q),2)，x2＝eq\f(－p－\r(p2－4q),2)(4)x1＝eq\f(7,m)，x2＝－eq\f(4,m)14.515.x1＝－eq\f(2,3)，x2＝－eq\f(5,3)16.117.当m2≥2时，这个方程有解，x1＝－m＋eq\r(m2－2)，x2＝－m－eq\r(m2－2).18.119.2－eq\r(6)20.M＝2x2＋4x－3＝2(x＋1)2－5，无论x取何值，2(x＋1)2恒不小于0，所以M总不小于－5.21.不同意．理由如下：当x2－10x＋36＝11时，解得x1＝x2＝5.故x＝5时，此二次三项式的值为11.22．C23．，24．x1=－3＋

，x2=－3－第3课时公式法(1)学习目标视窗掌握一元二次方程求根公式的推导过程，并会应用公式法解一元二次方程．理解Δ＝b2－4ac与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系．基础巩固提优1.方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根为x1＝_______，x2＝_______.2.一元二次方程2x2－(2m＋1)x＋m＝0中，根的判别式b2－4ac＝______，若b2－4ac＝9，则m＝________.3.用求根公式解方程－x2＋2eq\r(2)x－2＝0时，确定a，b，c的值是()．A.a＝1，b＝2eq\r(2)，c＝－2B.a＝1，b＝－2eq\r(2)，c＝2C.a＝－1，b＝－2eq\r(2)，c＝－2D.a＝－1，b＝2eq\r(2)，c＝24.用公式法解3x2－7x＋1＝0的正确结果是()．A.x＝eq\f(7＋\r(37),3)B.x＝eq\f(7－\r(37),6)C.x＝eq\f(7±\r(37),3)D.x＝eq\f(7±\r(37),6)5.根据下列表格的对应值：x3.233.243.253.26－0.06－0.020.030.09判断方程(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是()．A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.266．若t是一元二次方程ax2＋bx+c=0(a≠0）的根，则判别式Δ=b2－4ac和完全平方式M=(2a+b)2的关系是()．A．Δ=MB．Δ＞MC．Δ＜MD．大小关系不能确定7.方程x2－9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为()．A.12B.12或15C.15D.不能确定8.用公式法解下列方程：(1)x(x＋8)＝16；(2)eq\r(2)x2－4x＝4eq\r(2)；(3).9.解方程，并求根的近似值：(精确到0.01)(1)x2－3x－7＝0;(2)5x2－5x－1＝0.10.用配方法推导二次项系数为1的关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的求根公式．11.如图，一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于160cm2，求两个正方形的边长．思维拓展提优12.利用换元法解下列方程：(1)(x＋2)2＋6(x＋2)－91＝0；(2)x2－(1＋2eq\r(3))x－3＋eq\r(3)＝0.13.解关于x的方程：(m－1)x2＋2mx＋m＋3＝0.14.阅读下面一元二次方程求根公式的两种推导方法：方法一：将ax2＋bx＋c＝0配方，可得aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2＝eq\f(b2－4ac,4a)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2＝eq\f(b2－4ac,4a2).当b2－4ac≥0时，x＋eq\f(b,2a)＝±eq\r(\f(b2－4ac,4a2))，∴x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a).方法二：∵ax2＋bx＋c＝0，∴4a2x2＋4abx＋4ac＝0.∴(2ax＋b)2＝b2－4ac.当b2－4ac≥0时，2ax＋b＝±eq\r(b2－4ac)，∴2ax＝－b±eq\r(b2－4ac).∴x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a).请回答下列问题：(1)两种方法有什么异同？你认为哪个方法更好？(2)说说你有什么感想？15．学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.

⑴若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案；

⑵在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.

开放探究提优16.小明用公式法解方程2x2＋7x＝4如下：∵a＝2，b＝7，c＝4，∴b2－4ac＝72－4×2×4＝17.∴x＝eq\f(－7±\r(17),4).∴x1＝eq\f(－7＋\r(17),4)，x2＝eq\f(－7－\r(17),4).你认为小明做的正确吗？如果不正确，请给出正确的解法．17.如图，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格．将边长为n(n为整数，且2≤n≤11)的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)的正方形．如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止．设正方形ABCD被纸片盖住的面积(重合部分只计一次)为S1，未被盖住的面积为S2.是否