2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷21.1 一元二次方程 课后能力提升专练(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷21.1一元二次方程课后能力提升专练(含答案)21．1一元二次方程1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A．x2＋eq\f(1,x2)＝1B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1D．3x2－2xy－5y2＝02．方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则()A．m＝±2B．m＝2C．m＝－2D．m≠±23．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化为一元二次方程的一般式，正确的是()A．4x2－4x＋5＝0B．3x2－8x－10＝0C．4x2＋4x－5＝0D．3x2＋8x＋10＝04．若关于x的一元二次方程(m－3)x2＋2x＋m2－9＝0的常数项为0，则m的值为()A．3B．－3C．±3D．±95．已知关于x的方程x2＋3mx＋m2＝0的一个根是x＝1，那么m2＋3m＝______.6．方程(k2－1)x2＋(k－1)x＋2k－1＝0，(1)当k______时，方程为一元二次方程；(2)当k______时，方程为一元一次方程．7．写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.一元二次方程二次项系数一次项系数常数项x2－3x＋4＝04x2＋3x－2＝03x2－5＝06x2－x＝08．设未知数列出方程，将方程化成一般形式后，指出二次项系数，一次项系数和常数项：一个矩形的面积是50平方厘米，长比宽多5厘米，求这个矩形的长和宽．9．已知关于x的方程x2－mx＋1＝0的一个根为1，求eq\r(m2－6m＋9)＋eq\r(1－2m＋m2)的值．10．已知a是方程x2－2011x＋1＝0的一个根，求a2－2010a＋eq\f(2011,a2＋1)的值．参考答案1．C2.B3.B4．B解析：m2－9＝0，且m－3≠0，解得m＝－3.5．－16．(1)≠±1(2)＝－1解析：当所给方程为一元二次方程时，k2－1≠0，即k≠±1；当所给方程为一元一次方程时，需满足k2－1＝0且k－1≠0，即k＝－1.7．解：如下表：一元二次方程二次项系数一次项系数常数项x2－3x＋4＝01－344x2＋3x－2＝043－23x2－5＝030－56x2－x＝06－108.解法一：设长为x厘米，则宽为(x—5)厘米．所列方程为x(x－5)＝50.整理后，得一般形式：x2－5x－50＝0.二次项系数为1，一次项系数为－5，常数项为－50.解法二：设宽为x厘米，则长为(x＋5)厘米，所列方程为x(x＋5)＝50.整理后，得一般形式：x2＋5x－50＝0.二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为－50.9．解：把x＝1代入方程x2－mx＋1＝0中，得1－m＋1＝0，所以m＝2，故eq\r(m2－6m＋9)＋eq\r(1－2m＋m2)＝eq\r(m－32)＋eq\r(1－m2)＝|2－3|＋|1－2|＝2.10．解：a是方程x2－2011x＋1＝0的一个根，则a2－2011a＋1＝0，所以a2＋1＝2011a，a2＝2011a－1.a2－2010a＋eq\f(2011,a2＋1)＝2011a－1－2010a＋eq\f(2011,2011a)＝a－1＋eq\f(1,a)＝eq\f(a2－a＋1,a)＝eq\f(2011a－a,a)＝2010.第2课时一元二次方程(2)学习目标视窗掌握一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根方法，会利用它们解决一些具体问题．基础巩固提优1.若已知m是方程x2－x－2＝0的一个根，则代数式m2－m的值为________．2.若b是方程x2＋cx＋b＝0(b≠0)的根，则b＋c的值为________．3.若方程x2＋(k－1)x－6＝0的一个根是2，则k＝________.4．一元二次方程，有两个解为1和－1，则，5.若m是方程x2＋x－1＝0的根，则式子m3＋2m2＋2009的值为()．A.2007B.2008C.2009D.20106．已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是()．A．B．C．D．7.填表并回答问题：(1)根据上表说明方程x2－5x＋6＝0的根是________；(2)根据上表指出方程x2－4x＋2＝0的根x的值介于________、________之间．8.已知关于x的一元二次方程(m－eq\r(2))x2＋3x＋m2－2＝0的一个根是零，求m的值．9.已知m，n是有理数，关于x的方程x2＋mx＋n＝0有一个根是eq\r(5)－2，求m＋n的值．思维拓展提优10.已知α，β是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，那么(α2－2α＋2)(β2－2β－1)＝________.11.已知α是一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个根，－α是一元二次方程x2＋3x－m＝0的一个根，求α的值．12.已知x＝1是方程x2－mx＋1＝0的根，请化简：eq\r(m2－6m＋9)－eq\r(1－2m＋m2).13.根据一元二次方程根的定义，解答下列问题．一个三角形两边长分别为3cm和7cm，第三边长acm，且整数a满足a2－10a＋21＝0，求三角形的周长．解：由已知可得4＜a＜10，则a可取5,6,7,8,9.(第一步)当a＝5时，代入a2－10a＋21＝52－10×5＋21≠0，故a＝5不是方程的根．同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根．∴a＝7是方程的根．(第二步)∴△ABC的周长是3＋7＋7＝17(cm)．上述过程中，第一步是根据______________________，第二步应用了____________数学思想，确定a的值的大小是根据________________________________________．14.阅读理解：若p，q，m为整数，且三次方程x3＋px2＋qx＋m＝0有整数解c，则将c代入方程，得c3＋pc2＋qc＋m＝0，移项，得m＝－c3－pc2－qc，即有m＝c×(－c2－pc－q)．由于－c2－pc－q与c及m都是整数，所以c是m的因数．上述过程说明：整数系数方程x3＋px3＋qx＋m＝0的整数解只可能是m的因数．例如：方程x3＋4x2＋3x－2＝0中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程x3＋4x2＋3x－2＝0进行验证，得x＝－2是该方程的整数解，－1,1,2不是方程的整数解．解决问题：(1)根据上面的学习，请你确定方程x3＋x2＋5x＋7＝0的整数解只可能是哪几个整数？(2)方程x3－2x2－4x＋3＝0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由．开放探究提优15.已知实数a是一元二次方程的解，求代数式的值.16.已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程：x2－1＝0①x2＋x－2＝0②x2＋2x－3＝0③……x2＋(n－1)x－n＝0(1)请解上述一元二次方程①、②、③、；(2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．走进中考前沿17.已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为()．A．－１B．0C．1D．218.设一元二次方程（x－1）（x－2）=m(m>0)的两实根分别为α，β，则α，β满足()．A.1<α<β<2B.1<α<2<βC.α<1<β<2D.α<1且β>2参考答案1.22.－13.24.005.D6.D7.表略(1)x1＝2，x2＝3(2)0与13与48.m＝－eq\r(2)9.m＋n＝310.1011.α＝0或α＝312.013.三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边分类讨论方程根的定义14.(1)1，－1,7，－7(2)该方程有整数解．方程的整数解只可能是3的因数，即1，－1,3，－3，将它们分别代入方程x3－2x2－4x＋3＝0进行验证，得x＝3是该方程的整数解．15．由，得，，∴原式.16.(1)①(x＋1)(x－1)＝0，所以x1＝－1，x2＝1；②(x＋2)(x－1)＝0，所以x1＝－2，x2＝1；③(x＋3)(x－1)＝0，所以x1＝－3，x2＝1；……(x＋n)(x－1)＝0，所以x1＝－n，x2＝1.(2)答案不唯一．如，都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都为整数根等．17．A18.D22．1一元二次方程第1课时一元二次方程(1)学习目标视窗掌握一元二次方程的概念以及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能将一元二次方程化成一般形式，找出一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项．基础巩固提优1.下列方程中，一元二次方程有()．①4x2＝3x；②(x2－2)2＋3x－1＝0；③eq\f(1,3)x2＋4x－eq\f(\r(3),3)＝0；④x2＝0；⑤eq\r(x－1)＝2；⑥6x(x＋5)＝6x2.A.1个B.2个C.3个D.4个2．把方程(2x＋1)(3x＋1)＝x化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是()．A.4，1B.6，1C.5，1D.1，63．若ax2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方程的条件是()．A.a，b，c为任意实数 B.a，b不同时为零C.a不为零 D.b，c不同时为零4.若方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则有()．A.m＝±2B.m＝2C.m＝－2D.m≠±25.若一元二次方程2x2－(a＋1)x＝x(x－1)－1化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为－1，则a的值为()．A.－1B.1C.－2D.26.某市2010年国内生产总值(GDP)比2009年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2010年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系式是()．A.12%＋7%＝x%B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋12%))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋7%))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋x%))C.12%＋7%＝2·x%D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋12%))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋7%))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋x%))27.关于x的方程(k－1)(k＋3)x2＋(k－1)x－k＋3＝0，当k________时，它是一元二次方程；当k________时，它是一元一次方程．8.一元二次方程(m－2)xm2－4－mx＋1＝0，则m的值为________．9.在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是．10.判断下列几个方程是否是一元二次方程，把其中的一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项、一次项、二次项系数、一次项系数及常数项．(1)x2＋x－1＝x2;(2)eq\r(2)x2＋eq\r(x)＋2＝0；(3)eq\f(1,x＋1)＝x－1;(4)3(x－1)2＝2＋x2；(5)(2x＋3)x＝x2；(6)(2m－1)2x2＋3x－5＝0(m为常数)．思维拓展提优11.一元二次方程eq\r(2)y－3y2＝－1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是()．A.eq\r(2)，－3，－1B.eq\r(2)，－3,1C.3，－eq\r(2)，－1D.－3，eq\r(2)，－112.若关于x的方程(m－eq\r(3))－x＋3＝0是一元二次方程，试求出m的值．13.已知两个数的差为3，它们的平方和是65，设较小的数为x，则可列出方程__________，化成一般形式为___________．14.设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程．(1)a∶b∶c＝3∶4∶5，且a＋b＋c＝36；(2)(a－2)2＋|b－4|＋eq\r(c－6)＝0.15.学校有一块长方形空地，长42m，宽30m，现准备在中间开辟花圃，四周修建等宽的林荫小道，使小道的面积和花圃的面积相等，求小道的宽．请画出简图，列出方程，不必求解．16.教材或资料会出现这样的题目：把方程eq\f(1,2)x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出他的二次项系数、一次项系数和常数项．现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．(1)下列式子中，有哪几个是方程eq\f(1,2)x2－x＝2所化的一元二次方程的一般形式？(答案只写序号)________．①eq\f(1,2)x2－x－2＝0；②－eq\f(1,2)x2＋x＋2＝0；③x2－2x＝4；④－x2＋2x＋4＝0；⑤eq\r(3)x2－2eq\r(3)x－4eq\r(3)＝0.(2)方程eq\f(1,2)x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？开放探究提优17.已知关于x的一元二次方程2xa－3xb－5＝0，试写出满足要求的所有a，b的值．18.已知关于x的方程(m－n)x2＋mx＋n＝0.试探索：(1)当m和n满足什么关系时，该方程是一元一次方程？(2)当m和n满足什么关系时，该方程是一元二次方程？走进中考前沿19.（2011甘肃兰州）A． B．C． D．20.某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？小明的解法如下：设每盆花苗增加株,可列一元二次方程为。参考答案1.C2.A3.C4.B5.B6.D7.≠－3且k≠1＝－38.－29.x2＋65x－350＝010.略11.C12.－eq\r(3)13.x2＋(x＋3)2＝65x2＋3x－28＝014.(1)9x2＋12x＋15＝0(2)2x2＋4x＋6＝015.简图略．设小道的宽为xm，则可列方程(42－2x)(30－2x)＝eq\f(1,2)×42×30.16.(1)①②④⑤(2)若设它的二次系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a、常数项为－4a.17.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝2.))18.(1)m＝n≠0(2)m≠n19.C20．22.1一元二次方程达标训练一、基础·巩固·达标1．下列关于x的方程中，一元二次方程的个数有（）①②③kx2－3x+1=0④x2－x2(x2+1)－3=0⑤(k+3)x2－3kx+2k－1=0A.0B.1C.2D.32．方程（x－1）（x+3）=12化为ax2+bx+c=0形式后，a、b、c的值为（）A.1，－2，－15B.1，－2，－15C.1，2，－15D.－1，2，－153．若方程（m2－1）x2+x+m=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A.m≠0B.m≠1C.m≠1或m≠－1D.m≠1且m≠－14．若方程（m－1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是()A.m≠1B.m≥0C.m≥0且m≠1D.m为任意实数5．关于x的方程（m2－4）x2－（m－2）x－1=0，当m是一元二次方程；当m是一元一次方程.6．关于x的方程ax2－2m－3=x（2－x）是一元二次方程，则a的取值范围是.7．若x=1是一元二次方程ax2=bx+2的一个根，则a－b的值为.8．如果一个一元二次方程的各项系数及常数项之和为0，那么这个方程必有一个根是.9．把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出二次项系数、一次项系数及常数项.（1）8x2－3=5x；（2）4－7x2－11x=0；（3）3y（y+1）=7（y+2）－5；（4）（t+）（t－）+（t－2）2=7－5t；（5）（5x－1）2=4（x－3）二、综合·应用·创新10．根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）两连续偶数的积是120，求这两个数；（2）某大学为改善校园环境，计划在一块长80m，宽60m的矩形场地的中央建一个矩形网球场，网球场占地面积为3500m2，四周为宽度相等的人行道，求人行道的宽度.11．关于x的一元二次方程（a－1）x2+x+a2－1=0的一根为0，求a的值.12．依据下列条件，分别编写两个关于x的一元二次方程.（1）方程有一个根是－1，一次项系数是－5；（2）有一个根是，二次项系数为1.三、回顾·热身·展望13．如果a的值使x2+4x+a=(x+2)2－1成立，那么a的值为（）A.5B.4C.3D.214．已知m是方程x2－x－1=0的一个根，则代数式m2－m的值等于（）A.－1B.0C.1D.2参考答案一、基础·巩固·达标1．下列关于x的方程中，一元二次方程的个数有（）①②③kx2－3x+1=0④x2－x2(x2+1)－3=0⑤(k+3)x2－3kx+2k－1=0A.0B.1C.2D.3提示：一元二次方程需同时满足以下三个条件：①等号的两边都是整式；②含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.不满足其中的任何一条的方程都不是一元二次方程.经过化简可得一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），其中a≠0是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分.根据上述知识可判断只有①是一元二次方程.答案：B2．方程（x－1）（x+3）=12化为ax2+bx+c=0形式后，a、b、c的值为（）A.1，－2，－15B.1，－2，－15C.1，2，－15D.－1，2，－15提示：方程（x－1）（x+3）=12的一般形式为x2+2x－15=0，因此a、b、c的值为1，2，－15.答案：C3．若方程（m2－1）x2+x+m=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A.m≠0B.m≠1C.m≠1或m≠－1D.m≠1且m≠－1提示：如果明确指出方程（m2－1）x2+x+m=0是关于x的一元二次方程，那就隐含了m2－1≠0这个条件，因此m≠1且m≠－1.答案：D4．若方程（m－1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是()A.m≠1B.m≥0C.m≥0且m≠1D.m为任意实数提示：着眼两点：①二次项系数；②二次根式中的被开方数m，于是有：m的取值范围m≥0且m≠1.答案：C5．关于x的方程（m2－4）x2－（m－2）x－1=0，当m是一元二次方程；当m是一元一次方程.提示：关于x的方程（m2－4）x2－（m－2）x－1=0已经化为了一般形式，要使它是一元二次方程只需满足m2－4≠0即可，因此当m≠±2时是一元二次方程.要使它是一元一次方程需满足m2－4=0且m－2≠0，即m=－2.答案：≠±2=－26．关于x的方程ax2－2m－3=x（2－x）是一元二次方程，则a的取值范围是.提示：先将关于x的方程ax2－2m－3=x（2－x）化为一般形式（a+1）x2－2x－2m－3=0，因为它是一元二次方程需满足a+1≠0，因此a≠－1.答案：a≠－17．若x=1是一元二次方程ax2=bx+2的一个根，则a－b的值为.提示：将x=1代入原方程，有a=b+2,移项，得a－b=2.答案：28．如果一个一元二次方程的各项系数及常数项之和为0，那么这个方程必有一个根是.提示：当x=1时，a+b+c=0；当x=－1时，a－b+c=0.应注意对问题的逆向思维.设这个一元二次方程为ax2+bx+c=0(a≠0).由题意，得a+b+c=0.因为当x=1时，a+b+c=0，所以此方程必有一个根为1.答案：19．把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出二次项系数、一次项系数及常数项.（1）8x2－3=5x；（2）4－7x2－11x=0；（3）3y（y+1）=7（y+2）－5；（4）（t+）（t－）+（t－2）2=7－5t；（5）（5x－1）2=4（x－3）.提示：先通过去括号、移项、合并同类项等将一元二次方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，由一般形式即可确定二次项系数、一次项系数及常数项.解：（1）一般形式为8x2－5x－3=0，其中二次项系数为8，一次项系数为－5，常数项为－3.（2）一般形式为7x2+11x－4=0，其中二次项系数为7，一次项系数为11，常数项为－4.（3）一般形式为3y2－4y－9=0，其中二次项系数为3，一次项系数为－4，常数项为－9.（4）