高中数学复习专题08 利用导数研究不等式恒成立问题解析版

专题08利用导数研究不等式恒成立问题一、单选题1．设为正实数，函数，若，，则的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】，因为，当时，所以有成立，因此函数在上单调递减，因此当时，恒成立，一定有成立，即，因为，所以有.故选：A2．已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为（）A．1 B．0C．3 D．2【解析】∵在时恒成立，而时，，∴在上递减，∴当时，恒成立，即时，恒成立，故，∴实数a的最大值为3，故选：C.3．已知函数，对任意，不等式恒成立，则正数a的最小值为（）A． B． C． D．【解析】，在单调递增，不妨取，则，恒成立令，即在单调递增，又，，故选：A.4．已知，，且，，且，恒成立，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】，，且，恒成立，对，，且恒成立，令，则只需，对恒成立，即，对恒成立，只需，令，则，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，，，的取值范围为．故选：B．5．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【解析】令，∵时，∴不合条件.令，故恒成立，又，∴要在处取最大值，故为在上的极大值点，故，又，故，∴，故选：B.6．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【解析】依题意，，故，令，故，而，令，故，故当时，，当时，，故，即实数的取值范围为，故选：B．7．已知函数，对于任意，，不等式恒成立，则整数的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】，设，，则有且，即恒成立，即，令，则在上单调递增，即恒成立，即，，得，下证成立：，易证当时，，考查函数：，则，故函数在区间上单调递减，在区间上单调造增，当时，函数的最小值为，据此可得：，当时，，故成立．故选B．8．已知函数，若在上单调递增，则的取值范围为（）A． B．C． D．【解析】由题意知函数在上单调递增，因为，所以转化为在上恒成立，因为，所以在上恒成立，即转化为，令，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.故选：D.二、多选题9．已知不等式对恒成立，以下命题中真命题是（）A．对，不等式恒成立B．对，不等式恒成立C．对，不等式恒成立D．对，且，不等式恒成立【解析】对于A选项，由于不等式对恒成立，所以恒成立，所以A正确.对于B选项，由于不等式对恒成立，所以对恒成立，注意到，所以对恒成立，B正确.当时，，所以C选项错误.对于D选项，对，且，不等式恒成立，等价于，即，下证此不等式对，且恒成立.当时，，令，，所以在区间上递增，，所以，即成立.当时，，令，，所以在区间上递增，，所以，即（证毕）.所以D选项正确.故选：ABD10．若，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【解析】构造函数，因为，所以在上单调递减，因为，所以，即，所以选项A正确，选项B错误.构造函数，，易知在上单调递增，而，时，，所以，使，所以在上单调递减，在上单调递增，所以无法判断C选项的正确性.构造函数，易知在上单调递增，因为，所以，即，所以选项D正确.故选：AD.11．已知函数，，若，，不等式成立，则的可能值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解析】，若，则，则在单调递增，；若，则在单减，在单增，，∴.，则在单调递增，在单调递减，，∴.∵，，不等式成立，∴若，，成立；若，，即，令，∴，∴h（x）在（1，+∞）单增.而，，，.故选：BCD.12．已知函数f（x）=ax2﹣x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，若不等式恒成立，则t的取值可能是（）A． B．C． D．【解析】，，由题意得，为的两不等正根，所以，解得，，令（a），，则，（a）在上单调递增，（a），因为恒成立，所以恒成立，所以．故选：BD．三、填空题13．已知函数，，若对于任意，都有成立，则__________.【解析】，当时，，所以当x=1时，由，取得最大值.因为对任意，都有成立，所以，即，即对任意，恒成立，所以，解得：.，令解得：，当时，有；当时，有；当时，有；所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.于是，当时，即，解得：a=4.14．已知函数．若对恒成立，实数a的取值范围是_________．【解析】对恒成立，等价于在上恒成立，即，令，则有，当时，，则有在上单调递减；当或时，，则有在和上单调递增；所以的最小值为或，又，，所以，即.15．已知函数，，若满足恒成立，则实数的取值范围是_______.【解析】令，则，所以，若，则，函数在上单调递增，，符合题意；若，令，则，易得在上单调递增，且，若，则，函数在上单调递增，所以，所以，函数在上单调递增，符合题意；若，则，则存在使得当时，，所以当时，函数单调递减，，即，此时函数单调递减，，不合题意；综上，符合要求的a的取值范围为.16．已知函数，，，若对任意的，，当时，恒成立，则实数的最大值为______．【解析】因为，所以，且，所以，故在上单调递增，因为，所以，当时，恒成立等价于恒成立，即恒成立，设，则在上单调递增，所以在上恒成立，而，所以在上恒成立，令，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以，故实数的最大值为.四、解答题17．设，其中．（1）若有极值，求的取值范围；（2）若当，恒成立，求的取值范围．【解析】（1）由题意可知：，且有极值，则有两个不同的实数根，故，解得：，即．（2）由于，恒成立，则，即，由于，则①当时，在处取得极大值、在处取得极小值，当时，为增函数，因为，所以恒大于，当时，，解得：；②当时，，即在上单调递增，且，则恒成立；③当时，在处取得极大值、在处取得极小值，当时，为增函数，因为，所以恒大于，当时，，解得，综上所述，的取值范围是．18．已知函数的图像在点处的切线方程为.（1）求，的值；（2）当时，证明：对恒成立.【解析】（1）因为，所以，解得，则，解得.（2）证明：因为，所以要证对恒成立，只需证对恒成立.设函数（），则.因为，所以，所以在上单调递减，从而，则对恒成立，故当时，对恒成立.19．已知函数且曲线在点处的切线方程为．（1）求实数a，b的值及函数的单调区间；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．【解析】（1）代入得：，所以切点为.，所以.所以.，令，解得，（舍去）.所以，，为减函数，，，为增函数.（2）因为恒成立，即恒成立，化简为：恒成立.设，即即可.，因为在为增函数，且，所以，，为减函数，，，为增函数.，即.20．已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．【解析】（1）当时，，，所以切线的斜率为，因为，所以切点为，所以在点处的切线方程为即（2）对任意的，都有成立，只要任意的，，由，得，当时，，所以在上单调递增，所以，满足题意，当时，在上恒成立，所以在上单调递增，所以，满足题意，当时，当，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，所以只要即可，而，所以不合题意，综上所述：或，所以的取值范围为21．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若时有恒成立，求的取值范围．【解析】（1）的定义域为，所以．当时，，函数在上单调递增；当时，由得；得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，综上可得，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．（2）当时，恒成立，即恒成立．因为，所以．令，．令，所以，故在上单调递减，且，，故存在使得，故，即．当时，，；当时，，；∴在单调递增，在单调递减，∴，故．22．已知函数，且.（1）当时，求函数的单调区间与极大值；（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.【