高中数学复习专题07 利用导数证明不等式解析版

专题07利用导数证明不等式一、单选题1．当时，有不等式（）A．B．C．当时，当时D．当时，当时【解析】对于函数其导数，当时，当时，当时.2．已知是自然对数底数，若函数的定义域为，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【解析】∵函数的定义域为，∴，当即时，令，则，令得x=0，令得x<0，令得x>0，可知在单调递减，在单调递增，故当x=0时，g(x)有最大值，所以，根据补集思想可知，当时，实数的取值范围为，故选C3．已知实数a，b，c满足，且，则（）A． B． C． D．【解析】设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，即，所以，所以，即，又，所以，由，所以，所以，即，所以，所以.故选：A.4．若正实数，满足，则（）A． B．C． D．【解析】先证明熟知的结论：恒成立，且当且仅当时取等号.设,则,在(0,1)上，,单调递减;在(1,+∞)上，,单调递增.故,∴恒成立，且当且仅当时取等号.由,由已知，∴，且，解得,经检验只有B正确，故选：B.5．若，则下列不等式恒成立的是()A． B．C． D．【解析】对于，当时，，而，所以A选项不正确；对于，当时，，所以B选项不正确；令，则，对恒成立，在上为增函数，所以的最小值为，所以，，故C正确；令，则，令，得.当时，，当时，.在时取得最小值，所以D不正确．故选：C6．下列不等式正确的个数有（）个.①；②；③A．0 B．1 C．2 D．3【解析】对于①，令，，则在上递减，在上递增，，，即，①正确；由知，恒成立，则有，即成立，②正确；对于③，令，，即在上单调递减，而，则，所以有，③正确.故选：D7．已知两个不等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（）A． B．C． D．【解析】因为，所以，即，令函数，，则，时，单调递减，时，单调递增.函数在处取得极小值，如图所示：依题意，，不妨设，由图象可知，，故，A错误；假设成立，可取，则，易见不满足题意，即B不正确；如图取时，设，则由知，可有，故D错误；由函数（）中，时，，时，，可知，时极值点左偏，即，即一定成立，C正确.故选：C.8．设，，．则（）A． B． C． D．【解析】,所以;下面比较与的大小关系.记,则,，由于所以当0<x<2时，,即,,所以在上单调递增，所以,即,即;令,则,,由于，在x>0时,,所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;综上，,故选：B.二、多选题9．下列不等式中正确的是（）A． B． C． D．【解析】对于A，，故A错误；构造函数，可得，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，对于B，由，可得，即，即，，即，得，故B正确对于C，，由，可得，故C错误；对于D，由，可得，即，则，，故D正确．故选：BD10．已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（）．A． B． C． D．【解析】令，则，当时，当时所以在上单调递增，在上单调递减，故则得，故A错；得，故B正确；得，故C错；对D项，令，则，当时，当时所以在上单调递增，在上单调递减，则，得，化为，故D错故选：ACD11．已知函数，为常数，若函数有两个零点、，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．【解析】由可得，可知直线与函数在上的图象有两个交点，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，则，且当时，，如下图所示：

当时，直线与函数在上的图象有两个交点.对于A选项，由已知可得，消去可得，A对；对于B选项，设，取，则，所以，，故，B错；对于C选项，设，因为，则，所以，，，则，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，故，C对；对于D选项，，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递减，则，D对.故选：ACD.12．已知函数，若，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．当时，【解析】对于A选项，因为令，在上是增函数，所以当时，，所以，即．故A选项正确；对于B选项，因为令，所以，所以时，单调递增，时，单调递减．所以与无法比较大小．故B选项错误；对于C选项，令，所以时，在单调递减，时，在单调递增，所以当时，，故成立，当时，，．故C选项错误；对于D选项，由C选项知，当时，单调递增，又因为A正确，成立，所以,故D选项正确.故选：AD．三、填空题13．设函数，若对于任意的，都有成立，则实数a的值为________．【解析】由题意得，当时，，所以在上为减函数，所以，解得（与矛盾，舍去）．当时，令可得，当时，，为减函数；当和时，，为增函数，由且，可得，又，可得4，综上可知．14．已知x>0，比较x与ln(1＋x)的大小，结果为________．【解析】令f(x)＝x－ln(x＋1)．∵x>0，f′(x)＝，又因为函数f(x)在x＝0处连续，∴f(x)在[0，＋∞)上是增函数．从而当x>0时，f(x)＝x－ln(1＋x)>f(0)＝0.∴x>ln(1＋x)．15．不等式对恒成立，则的取值范围是____________.【解析】变形为，设,的单调增区间为，减区间为，最小值为16．若0<x1<x2<1，且1<x3<x4，下列命题：①；②；③；④；其中正确的有___________【解析】令，则，易知当时，单调递增，由，，则存在使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；，当时，即，此时，故②错误；，即，，故①正确；令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；，与的大小无法确定即、的大小无法确定，故③错误；，即，，故④正确.故答案为：①④.四、解答题17．已知，是函数的两个零点.（1）求的取值范围；（2）证明：.【解析】（1），.当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减.所以，当时，，当时，，因为，是函数的两个零点.所以，即，故的取值范围为；（2）证明：由（1）可知函数在上单调递增，在上单调递减.不妨设，则，令，，在上恒成立，则在上单调递增，在上恒成立，所以，又，所以.因为，，在单调递减，所以，即.18．已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直．（1）求函数的单调区间和极值；（2）求证：当时，．【解析】（1）定义域：，∵，∴，当时，；当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；，无极大值．（2）证明：由（1）知，令，则，，，，∴，即在上单调递减，，∴当时，．19．已知函数，，函数与函数的图象在交点处有公共切线.（1）求、的值；（2）证明：.【解析】（1），，由题意得解得，；（2）证明：令，则，令，得，令，得，所以在上为增函数，在上为减函数，所以，所以，即.20．已知函数，其中.（1）当时，函数的单调性；（2）若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时.【解析】（1）当时，，，因为，所以由得或；由得，所以，的增区间是和；减区间是.（2），设在区间上存在零点为，则，在上单调递减，在上单调递增，故，设，，则，设，，则，所以单调递减，又，故在上恒成立，故单调递减.所以，故当时，.21．已知函数．（1）讨论的单调性．（2）当时，证明：．【解析】（1）的定义域为，.当时，，所以在上单调递增.当时，若，则；若，则.所以在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，要证，即证，即证.令函数，则.令，得；令，得.所以在上单调递增，在上单调递减，所以，令函数，则.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以.因为，所以，即，从而得证.22．已知函数，为的导数．（1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）当时，求证：．【解析】（1）依题