高中数学复习专题04 利用导数求函数的极值解析版

专题04利用导数求函数的极值一、单选题1．已知函数，那么（）A．有极小值，也有大极值 B．有极小值，没有极大值C．有极大值，没有极小值 D．没有极值【解析】，则，故函数在上单调递增，在上单调递减，故函数有极大值，没有极小值.故选：.2．若函数在区间上的最大值为2，则它在上的极大值为（）A． B． C．24 D．27【解析】因为，所以，当时，当或时，即在上单调递增，在和上单调递减，所以是函数取得极小值，时函数取得极大值，又，，所以，解得，所以，故选：D3．函数的图象在处的切线方程为，则的极小值为（）A． B． C．-1 D．1【解析】函数的图象在处的切线的斜率为，由，，则，则，所以，由，得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增.，所以当时，有极小值，故选：B4．函数在上的极大值点为（）A．0 B． C． D．【解析】函数的导数为，令得，又因为，所以，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以使得函数取得极大值的的值为.故选：C.5．已知是函数的一个极值点，则的极大值为（）A． B． C．2 D．6或2【解析】因为，所以又是的一个极值点，所以，解得或．当时，，无极值；当时，，则的单调递增区间为和的单调递减区间为．故当时，取得极大值，且极大值为故选：B6．已知函数（为自然对数的底数），若的零点为，极值点为，则（）A． B．0 C．1 D．2【解析】，当时，，即，解得；当时，恒成立，的零点为．又当时，为增函数，故在，上无极值点；当时，，，当时，，当时，，时，取到极小值，即的极值点，．故选：C．7．若a，b是函数的两个极值点，则的值为（）A． B． C． D．【解析】，因为，是函数的两个极值点，则，是的两根，令得，则，，，故选A．8．函数图象如图所示（，都是极值点），则（）A． B． C． D．【解析】由图可知，点在函数上，所以，解得，故，则，令，即，解得，所以，故选：D二、多选题9．已知函数的导函数的图像如图，则下列叙述正确的是（）A．函数只有一个极值点B．函数满足，且在处取得极小值C．函数在处取得极大值D．函数在内单调递减【解析】由导函数的图像可得，当x<2时，，函数单调递增；当x>2时，，函数单调递减.所以函数的单调递减区间为,只有当x=2时函数取得极大值，无极小值.故选:AC.10．已知函数的图象在处的切线方程为，则（）A．B．C．的极小值为D．的极大值为【解析】因为，所以.又因为函数的图象在处的切线方程为，所以，，解得，.所以AB正确；由，令，得在单增，令，得在单减，知在处取得极大值，.无极小值.故选ABD.11．函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则下列结论中正确的是（）A．数列为等差数列 B．C． D．【解析】，令可得或，，易得函数的极值点为或，，从小到大为，，不是等差数列，错误；，正确；，，则根据诱导公式得，正确；，错误．故选：．12．已知函数，则下列说法正确的是（）A．有且仅有一个极值点B．有零点C．若的极小值点为，则D．若的极小值点为，则【解析】由题意得，的定义域为，且，设，则，∴在上单调递增，又，，∴存在唯一零点，设为，当时，单调递减，当时，单调递增，∴有唯一极小值点，故选项A正确．令，得，两边同时取对数可得．∴（当且仅当时等号成立），又，∴，即，∴无零点，故选项B错误．由，可设，则．当时，，∴在上单调递减．∴，即，故选项C正确，选项D错误，故选：AC三、填空题13．函数的极大值是______.【解析】．可得：，时，；时，．时，函数取得极大值，．14．已知等比数列是函数的两个极值点，则____【解析】因为，又是函数f(x)的两个极值点，则是方程的根，所以，所以解得(正值舍去).15．若，，且函数在处有极值，则的最小值等于________．【解析】函数的导函数：，由函数的极值可得：，解得：，则：，当且仅当时等号成立，即的最小值等于.16．函数的极小值为__________.【解析】，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则当时，有极小值四、解答题17．已知函数在处的切线方程．（1）求，的值；（2）求的单调区间与极小值．【解析】（1），由已知可得，解得.（2）由（1）可得，∴，令，解得；令，解得，∴在单调递减，在单调递增，∴当时，的极小值为．18．已知函数与函数在处有公共的切线.（1）求实数a，b的值；（2）记，求的极值.【解析】（1），，由题意得，，解得，.（2），，，的变化情况如下表：x0+0-极大值由表可知，的极大值为，无极小值.19．设为实数，函数（1）求函数的极值与单调增区间；（2）若曲线与轴仅有且只有一个交点，求实数的取值范围．【解析】（1）．令，则或．当变化时，，的变化情况如下表：100↗极大值↘极小值↗所以的极大值是，极小值是．所以的单调增区间为，（2）函数，由此可知，取足够大的正数时，有，取足够小的负数时，有，所以曲线与轴至少有一个交点．由（1）知，．∵曲线与轴仅有一个交点，∴或，即或，∴或，∴当时，曲线与轴仅有一个交点．20．设函数，其中．已知在处取得极值．（1）求的解析式；（2）求函数的单调区间；（3）求函数的极值．【解析】（1）因为，所以，由在处取得极值，得，解得：，故；（2）由（1）可知，所以，令，即，解得或，所以在和上单调递增，令，即，解得，所以在上单调递减，综上可得：在和上单调递增，在上单调递减；（3）由（2）可知在和上单调递增，在上单调递减；所以当时，函数取值极大值，；当时，函数取值极小值，；即，21．若函数，当时，函数有极值．（1）求函数的极大值；（2）若方程在上有三个零点，求实数的取值范围．【解析】（1）因为，所以，由题意知，解得，所以所求的解析式为；所以令，解得或，当或时，当时，即在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取得极大值，所以，（2）由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，又，，，，函数图象如下所示：因为方程在上有三个零点，即与在上有3个交点，由函数图象可知，即22．已知函数．（1）求的单调减区间；（2）若在上有极小值，求该极小值的最大值．【解析】（1）由题意，，当时，，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；当时，令，解得，若即，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；若即，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；当即时，，函数在单调递增；综上，当时，函数的递减区间为；当时，函数的递减区