标量衍射理论

第二章标量衍射理论光波是电磁波，其传播过程满足电磁波波动方程。当遇到障碍物时，光波会发生衍射。何为衍射索末菲定义：不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的任何偏离。衍射是光传播的普遍属性，是光的波动性的表现。惠更斯—菲涅尔定义：光波在传播过程中波面受到限制，使自由完整的波面产生破缺的现象称为衍射现代定义：光波在传播过程中不论任何原因导致波前的复振幅分布（包括振幅分布和位相分布）的改变，使自由传播光场变为衍射光场的现象，都称为衍射。衍射问题的解决方式：1，电磁波是矢量波，考虑光波的矢量性，严格电磁场衍射理论必须用矢量波方法求解。数学上很复杂，但是在某些问题（如研究高分辨率光栅时）必须要用这个方法。2，标量的方法（基尔霍夫标量衍射理论），一定条件下，可以不考虑电磁场矢量各个分量之间的联系，电磁波矢量方程可以写为分量方程（标量方程），把光作为标量来处理，只考虑电磁场一个分量的复振幅。标量衍射理论条件： （1）衍射孔径比光波长大得多;

（2）观察点距离衍射孔足够的远。§2.1历史引言a.”衍射”现象最早研究衍射现象的是格里马第(F.H.Grimaldi)光是能够作波浪式运动的流体，不同颜色代表不同频率

——1655年发表论文b.”衍射”的最初定义（索莫菲A.Sommerfeld)不能用反射或折射定律来解释的，光线对直线光路的任意偏离现象，称为衍射。d.18世纪牛顿在科学领域处于权威地位，由于他摒弃了光的波动理论，使得这一理论停滞了近一个世纪。c.惠更斯(F.M.Huygens)子波源假设理论

-----波动说的第一位倡导者波前上每一点起着一个次级波源(子波源)的作用，每一个次级波源发出次级球面波(子波)，它向着四面八方扩展，所有这些次级波的包络面便是新的波前。可解释”衍射”现象，但无法定量分析e.1801年,杨氏干涉原理(T.Young)证实了光的波动性——振幅叠加f.1818年，菲涅耳(A.J.Fresnel)提出惠更斯-菲涅耳原理。可定性分析衍射现象，提出了定量初步模型。g.基尔霍夫(G.Kirchhoff)提出了基尔霍夫衍射理论，完善了惠更斯-菲涅耳理论。可定性、定量分析衍射现象。h.索末菲利用格林函数理论修正了基尔霍夫衍射理论，成为瑞利-索末菲理论§2.2从矢量理论到标量理论光的电磁理论

麦克斯韦方程组介质中无自由电荷符号：电场强度磁场强度直角坐标系分量直角坐标系分量根据矢量理论若介质是线性、各向同性、均匀、无色散，则其中n

为介质折射率，c

为真空中的光速分量Ex,Ey,Ez,Hx,Hy,Hz的标量波动方程用一个标量波动方程慨括

和

的各分量的行为与位置和时间有关矢量理论到标量理论前提条件：介质同时具有线性、各向同性、均匀性且无色散结论：电场和磁场的所有分量的行为完全相同，可由单一的一个标量波动方程描述，标量理论可以完全准确的代替矢量理论若介质不具备上述前提，则用标量理论来表征矢量理论就会引入误差1678年，惠更斯为解释波的传播提出子波的假设，认为波面上每一点都可以作为次级子波的波源，后一时刻的波阵面（相位相同的点组成的平面）则可看作是这些子波的包络面1818年，菲涅耳引入干涉概念对惠更斯原理进行了补充，认为子波源应当是相干的，后空间光场是子波干涉的结果。惠更斯作图法加上干涉原理，就称为惠更斯---菲涅尔原理§2.3基尔霍夫标量衍射理论2.3.1

惠更斯-菲涅耳原理与基尔霍夫衍射公式1、

惠更斯-菲涅耳原理pS

*··QdU(Q)rpdSS(波前)设初相为零n

主要问题：1该理论缺乏严格的理论依据。常数c中应包含exp(-jπ/2)因子，惠更斯-菲涅尔原理无法解释。K(θ)的具体函数形式难以确定。衍射理论所要解决的问题

光场中任一点Q的复振幅能否用光场中其它各点的复振幅表示出来？例如能否由如图孔径平面上的场分布计算孔径后面任一点Q处的复振幅？这是一个根据边界值求解波动方程的问题。Q入射光

基尔霍夫利用数学工具格林定理，通过假定衍射屏的边界条件，求解波动方程，导出了更严格的衍射公式，从而把惠更斯—菲涅耳原理置于更为可靠的波动理论基础上。2、

基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射理论—基尔霍夫衍射公式QPnP0Σr0rP0点的单色点光源

P为孔径平面上任一点，Q为孔径后方的观察点。

r和r0分别是Q和P0到P的距离，二者均比波长大得多。

n表示衍射屏面法线的正方向。在单色点光源照明下，平面孔径后方光场中任一点Q的复振幅为基尔霍夫衍射公式孔径平面上的复振幅分布是球面波，有代入基尔霍夫衍射公式，有其中：若并代入衍射公式，该公式与惠更斯-菲涅尔衍射公式完全相同。基尔霍夫衍射公式说明：

上述基尔霍夫衍射公式仅仅是单个点光源发射的球面波照明孔径的情况作出的讨论，但衍射公式却适用于更普遍的任意单色光波照明孔径的情况。因为任意复杂的光波可分解成简单的球面波的线性组合，波动方程的线性性质允许对每一单个球面波分别应用上述原理，把所有点源在Q点的贡献叠加。因此，基尔霍夫衍射公式中可以理解为在任意单色光照明下在孔径平面产生的光场分布．基尔霍夫衍射公式

根据基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条件，孔径外的阴影区内，则衍射公式的积分限可以扩展到无穷，从而有：这里省略常数项c。

衍射与障碍物

不论以什么方式改变光波波面

——（1）限制波面范围

（2）振幅以一定分布衰减，（3）以一定的空间分布使复振幅相位延迟，（4）相位与振幅两者兼而变化，都会引起衍射，均称为衍射。 所以障碍物的概念，除去不透明屏上有开孔这种情况以外，还包含具有一定复振幅的透明片。把能引起衍射的障碍物统称为衍射屏。衍射屏处光场描写衍射屏自身宏观光学性质的物理量——复振幅透过率：：衍射屏前表面的复振幅或照射到衍射屏上的光场的复振幅；：是衍射屏后表面的复振幅。若衍射屏是具有开孔的不透明屏，则公式中的既可理解为衍射屏前表面的复振幅，也可理解为衍射屏后表面的复振幅，因为积分范围为Σ。若将衍射过程看作衍射屏后表面光振动到观察面的传播，则2.3.2基尔霍夫衍射与叠加积分基尔霍夫衍射公式令有

物理意义

衍射屏面上任一点P，其复振幅为

P点处的小面元dS对观察点Q的贡献

表示在P点有一个单位脉冲即时，在观察点Q造成的复振幅分布，称为脉冲响应或点扩散函数。由上面衍射公式可知，观察点Q的复振幅，是Σ上所有面元的光振动在Q点引起的复振幅的相干叠加。如果把衍射过程看作是一种变换，衍射公式便是将函数变换成的变换式。按照系统的观点，衍射过程或传播过程也可以等效为一种线性系统的线性变换，代表了这个系统的全部特性光波传播的线性性质不仅存在于单色光波在自由空间中的传播，同样存在于孔径和观察平面之间是非均匀媒质的情况，如两者之间存在有光学系统，则线性系统的脉冲响应函数h（P，Q）有不同的形式而已2.3.3

相干光场在自由空间传播的平移不变性对于近轴有：

则：故有：即：观察平面上光场的复振幅分布，等于孔径平面上透射光场的复振幅与脉冲响应

的卷积2.1.6因此，衍射系统可以等效于一个线性空不变系统，故可用线性系统理论分析衍射现象，这一结论是傅里叶变换与光学互相结合的纽带之一。2.3.4相干光场在自由空间传播的脉冲响应的近似表达式当和都是小量菲涅耳近似或傍轴近似脉冲响应可表示为：代入菲涅耳衍射如果在菲涅耳衍射的基础上进一步限定的线度远远小于传播距离z，以至于

小到可以忽略不计；而观察范围的线度与z相比尽管很小，但还未小到可以略去的程度，可以进一步简化得出：这一近似称为夫琅禾费近似或远场近似，在这一条件下，脉冲响应可进一步简化为：不再具有空间平移不变性。2.4衍射的角谱理论2.4.1单色平面波与本征函数如果不考虑夫琅禾费近似，则相干光场在给定的二平面间的传播过程就是通过一个二维线性空不变系统。在1.6.4节中，形如的函数应该是这种系统的本征函数，在1.7节中我们知道

的函数表示振幅为1的平面波在xy平面上形成的复振幅分布。空间频率分量表示单色平面波的传播方向。2.2.2角谱的传播

衍射角谱分析方法令：如果能够找到和的关系，就知道了每一平面波的分量在传播过程中振幅和位相发生的变化，自然也就可以确定整个光场由孔径平面传播到观察平面所发生的变化。由于在所有无源点上，必须满足亥姆霍玆方程将上式代入亥姆霍玆方程：在空域坐标系中仅是z的函数，解这个二阶齐次偏微分方程，得到这个方程的基本解为：式中由边界条件决定，在处，即为孔径平面，角谱是。因此上式表明，我们只要知道平面上光场的角谱就可以求出观察面的角谱，然后通过傅里叶逆变换可以求出观察面的复振幅分布。相移当时，式中对应这些传播方向波动分量称为倏逝波平方根是虚数该系统的传递函数是低通滤波器，截止频率为。在频率平面上，这个滤波器的半径为的圆孔。这一结论告诉我们，对于孔径中比波长还小的精细结构，或者空间频率高于的信息，在单色平面波照明下不能沿方向向前传播。基尔霍夫理论和角谱理论的比较球面子波干涉叠加的衍射理论衍射的平面波理论线性不变系统空域频域孔径平面上的光场看做点源的集合观察平面上的光场等于球面子波的相干叠加球面子波在观察平面上复振幅分布就是系统的脉冲响应孔径平面光场分布看成许多不同方向平面波的线性组合观察平面上的场分布仍然等于这些平面波分量的相干叠加。但每个平面波分量引入一个相移相移的大小决定于系统的传递函数2.2.3孔径对角谱的影响用单位振幅的平面波垂直照射衍射屏时因而通过衍射屏后，由函数所表征的入射光场的角谱变成了孔径函数的傅里叶变换，显然角谱分量大大增加了。因此，从空域看，孔径的作用限制了入射波面的大小，从频域看则是展宽了入射光场的角谱2.3.菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射

2.3.1菲涅耳衍射将展开：令略去第三项----菲涅耳近似得菲涅耳公式为:在指数项中，被略去的第三项不应引起明显的位相误差，即移项得：（2.3.1）2.3.2上式称为菲涅耳衍射成立的充分条件，但不是必要条件。取菲涅耳近似的目的是要能够用公式2.3.1来等效以下积分公式实际上，当z较小时，上述条件虽不满足，也能观察到菲涅耳衍射从角谱理论出发，对描述光波传播的传递函数H做出近似，导出菲涅耳衍射公式观察面上和孔径面上的光扰动关系式传递函数2.3.52.4.7当时，可对位相因子中的根式作二项式展开，即若上式中第三项所贡献的位相远小于，则上式中第三项都可以忽略不计，即z应满足2.5.7代入2.5.7傍轴近似下：在菲涅耳衍射区内代入由于，传递函数也可表示为对下式作逆傅里叶变换上式积分过程使用到高斯积分公式：2.3.3菲涅耳衍射与傅里叶变换的关系一般情况：指数项展开得代入上式整理得：-----菲涅尔衍射公式的傅里叶变换表达形式尤其当照明衍射屏是汇聚球面波时，中将包含关于的二次位相因子，在一定条件下可以与相消。这时的菲涅耳衍射计算变得比较简单。频率取离散值的无穷多个平面波的叠加现讨论与物平面相距为z的观察平面上的光场分布，这是一个菲涅耳衍射问题。对这个问题从频域研究比从空域研究更为方便由菲涅耳衍射传递函数的表达式得：观察平面上得到的场分布的频谱为：当z满足条件则有在这种情况下

对上式作傅里叶逆变换得到观察平面上的场分布为其强度分布与物体相同，即于是在的整数倍距离上，可观察到物体的像。成为泰伯距离2.5.3夫琅和费衍射公式式中:r的简化：令略去第三项----菲涅耳近似

---------------夫琅和费近似代入U(x,y)式得夫琅和费衍射公式为：------------------夫琅和费衍射公式夫琅和费近似条件及范围令2.5.4简单孔径的夫琅和费衍射（举例）求几个简单孔径的夫琅和费衍射(单位振幅的平面波照明：透过孔径的场等于振幅透过率)矩形孔的衍射

矩形孔的复振幅透过率为：得：

根据夫琅和费衍射公式得：得衍射平面的光强度为：光强在方向的分布如图

中央（0级）最大光强为：当时，

有由函数的定义知：

当，时，

因此：当时，

有零值，故得中央亮斑的宽度为：单缝的衍射单缝的复幅透过率为：

得：得强度分布为：2.贝塞尔函数的性质（1）（2）（3）圆孔衍射

圆孔的复振透过率为：圆对称，其付氏变换用傅里叶---贝塞尔变换表示由（1）（2）由得：故得圆孔夫琅和费衍射为：强度分布为：对于一阶贝塞尔函数有：当时，

因此，衍射斑中心的强度分布为（光强）故得：2.6透镜的傅里叶变换性质要在衍射屏后面的自由空间观察夫琅禾费衍射，其条件相当苛刻，要想近距离观察夫琅禾费衍射，是借助会聚透镜实现的。研究光场复振幅经过透镜后的横向光场分布（与普通光学中的区别）在单位振幅的平面波垂直照射衍射屏的情况下，夫琅禾费衍射就是屏函数的傅里叶变换。对透射物体进行傅里叶变换运算的物理手段是实现它的夫琅禾费衍射（即：透射物体后面加会聚透镜）。2.6.3透镜的一般变换特性2.6.1透镜的相位变换作用2.6.2透镜的FT特性本节包含：透镜：光密介质（玻璃、塑料等），v<c。薄透镜：忽略光线在透镜内由于折射而产生的平移，

0

0(x,y)薄透镜的作用:若忽略吸收，仅使入射波前产生相位延迟，。（把透镜看成是一个相位型的衍射屏）2.4.1透镜的位相变换作用图2.6.1透镜的位相变换作用几何光学：点物成点像波面变换：发散的球面波变换成会聚球面波透镜的复振幅透过率常数相位，可略去根据透镜的高斯公式：理解透镜相位变换的物理意义可通过考察透镜对垂直入射的单位振幅平面波的效应，来理解透镜相位变换的物理意义当一个单位振幅的平面波垂直于面入射时，它在面上造成的复振幅分

，在面上造成的复振幅分布傍轴条件下，这是一个球面波的表达式f>0凸透镜，指数位相因子显示为负，为会聚球面波，向透镜后方f处的焦点F会聚的球面波。f<0凹透镜，指数位相因子显示为正，为发散球面波，由透镜前方处的虚焦点发散球面波。发散透镜f<0-f会聚透镜f>0f球面透镜将平面波变换成球面波（波前经过透镜发生变化）,在很大程度上依赖于傍轴近似。表示孔径函数透镜孔径内其它透镜的位相变换因子可写作

会聚透镜除具有成像性质外，另一个最突出和最有用的性质就是它能够进行二维FT。正因如此，傅立叶分析方法才得以用于光学。2.6.2透镜的傅里叶变换特性1.物在透镜之前物的前表面上造成的光场分布透过物体，输出面上的光场分布根据菲涅耳衍射到达透镜平面，其复振幅分布：光源s的共轭面上的光场分布：把代入先将积出其中，1.输入平面位于透镜前焦面计算光源共轭面上场分布的一般公式衍射物体的复振幅透过率与衍射场的复振幅分布存在准确的傅里叶变换关系，并且只要照明光源和观察平面满足共轭关系，与照明光源的具体位置无关。也就是说，不管照明光源位于何处，均不影响观察面上空间频率与位置坐标的关系，始终为观察平面上坐标(x,y)处的光场的振幅和相位，由衍射物体中频率为