《数值计算方法》课件9矩阵特征值的数值计算

9矩阵特征值的数值计算

（NumericalComputationofEigenvaluesofMatrix

）

本章主要内容

9.1特征值估计9.2幂法与原点平移法9.3矩阵的QR分解

9.4QR算法

重点：矩阵的两种正交变换、幂法

难点：QR分解与QR算法9.1特征值的基本知识与估计9.1.1特征值的基本知识

特征值定义则

特征向量x1,x2,…xn

线性无关是矩阵A可对角化的充要条件。此时称其为A的完全特征向量组。

相似矩阵有相同的特征值。

实对称矩阵的特征值为实数。9.1特征值的基本知识与估计9.1.2特征值估计

定义9-1

盖尔圆定理9-1盖尔圆定理例9-1

估计特征值范围。

结论：各个盖尔圆相互分离是最好不过了。定理9-2第2盖尔圆定理。例9-2

估计特征值范围。

盖尔圆分离的方法：构造相似变换B=DAD-1。其中，D为第2种形式的初等方阵。例9-3

盖尔圆分离。例9-4

设A按行严格对角占优，则A可逆（特征值不为0）。9.2幂法及原点平移法9.2.1幂法

幂法的基本思想：是构造一个向量序列使之逼近主特征向量，据此求出主特征向量和主特征值的近似值。是一种迭代的方法，又称乘幂法。9.2幂法及原点平移法9.2.1幂法

9.2幂法及原点平移法9.2.1幂法

幂法的算法步骤：例9-5

幂法计算结果。

幂法的特点：

优点：算法简单、便于机器实现，适合大型稀疏矩阵的最大特征值。

缺点：算法效率低，收敛速度取决于次特征值与主特征值的比值。9.2幂法及原点平移法9.2.2反幂法

反幂法原理：通过求A-1的按模最大的特征值，来获得A的按模最小的特征值。因为在工程应用中，按模最大和最小的特征值和特征向量是关注的重点。

反幂法算法步骤：

反幂法是对幂法的补充，其困难在于每迭代一步相当于求解一个线性方程组，计算量较大。9.2幂法及原点平移法9.2.3原点平移法

1原点平移加速

原点平移加速的原理是令B=A-pE，在保证B的主特征值与A的主特征值对应的基础上，使B的次特征值与主特征值之比减小或达到最小，从而起到加速求主特征值的目的。不难得到：

幂法与反幂法可以求矩阵的最大和最小特征值，对其他特征值就无能为力了。但是可以将原点平移技术与反幂法结合起来，就可求出任一个特征值（如果对所有的特征值有大概的估计的话）。

具体的作法：假设A在p附近有一个特征值，做原点平移B=A-pE，用反幂法求B的最小特征值，给其加上p，就是要求的特征值。例9-6，例9-7原点平移加速。2原点平移的反幂法例9-8，例9-9原点平移加速。9.3矩阵的QR分解

9.3.1矩阵的初等反射变换

矩阵的初等反射变换，又称镜面反射变换，或Householder（豪斯荷尔德）变换，是一种正交变换。显然，初等反射矩阵H具有对称性和正交性，这样y=Hx是一个正交变换。

初等反射变换主要用在以下两个方面：

等模反射变换

向量的约化消元9.3矩阵的QR分解

9.3.1矩阵的初等反射变换

等模反射变换

定理9-3（等模反射定理）设x,y是两个互异的n维列向量，且2范数相等，则存在一个初等反射阵H，使得Hx=y。

例9-11等模反射变换。注意不唯一性。

向量的约化消元

9.3矩阵的QR分解

9.3.2矩阵的平面旋转变换

矩阵的平面旋转变换，又称Givens（吉文斯）变换，也一种正交变换。

显然，选取合适的c，s使经Givens变换后的向量的第j个分量为0。起到对向量的约化消元的目的。例9-12用平面旋转变换对向量约化消元。9.3矩阵的QR分解

9.3.3矩阵的QR分解定理9-4

对于任一n阶实方阵A,有A=QR。其中Q,R分别为正交阵及上三角阵。定理9-5

（矩阵的QR分解）若n阶实方阵A可逆有，则A的QR分解是唯一的（当的对角线元素为正数时）。例9-13分别用两种方法求矩阵的QR分解。方法一：利用初等反射变换方法二：利用平面旋转变换例9-14用QR分解求解线性方程组。9.4QR算法

9.4.1基本QR算法在极限状态下，Ak逼近一个上三角阵，从而求得A的特征值（这里的Ak之间是相似的）。QR算法实质上是对Ak进行QR分解。定理9-6

任意实方阵都可以通过正交相似变换与上海森伯格矩阵相似。例9-16用初等反射变换化矩阵为上海森伯格矩阵。QR分解：Ak=QkRk交换相乘：Ak+1=RkQk=QTkAkQk例9-15试证矩阵与其约化成为的上Hessenberg阵有相同的特征值。

QR算法是求解矩阵全部特征值的有效方法

QR算法是一个迭代过程。主要分为一下两步9.4.2两步QR算法1.矩阵与上Hessenberg矩阵的正交相似

定义9-5

上海森伯格（Hessenberg）矩阵。推论实对称矩阵与三对角阵正交相似。9.4QR算法

9.4.2两步QR算法2.矩阵与上Hessenberg矩阵的正交相似

引入上Hessenberg阵的原因是，若对上Hessenberg阵进行分解，由于的次对角线以下元素均为零，只需使用次构造方便的平面旋转变换即可完成分解，显然这要比对一般矩阵进行分解简便得多。利用这个特点给出的两步算法，可以降低基本算法的计算过程中对矩阵做分解