《数值计算方法》课件7数值积分与数值微分

7.1

数值求积公式与代数精度

数值求积的必要性由微积分理论可知，只要被积函数在区间[a,b]连续，就可以使用牛顿—莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式计算定积分。然而，在许多实际问题中，这种解析方法是无能为力的，或者是非常麻烦的。体现在：（1）找不到原函数F(x)，如第一个例子中的第二类椭圆积分等，有些被积函数是以表格形式给出，没有有限的解析表达式。(2)虽然可以找到原函数F(x)，但它比被积函数复杂得多，而且有时难以给出最后的数值结果。(3)除一些特殊的无穷积分外，通常很难求无穷积分的值。7.1

数值求积公式与代数精度

数值求积基本思想求积区间离散化借助函数插值求定积分得到近似求积公式及余项7.1.1

数值求积的基本思想数值求积公式积分余项

基于积分中值定理构造的求积公式左、右矩形公式中点公式梯形公式辛卜生公式7.1

数值求积公式与代数精度7.1.2

求积公式的代数精度定义7-1

m次代数精度定理7-1例7-1

确定求积公式的代数精度例7-2

确定求积公式的代数精度例

确定下面2个求积公式的代数精度7.1.3

插值型求积公式定理7-2p1487.1

数值求积公式与代数精度求积系数求积余项容易得到7.1.4

求积公式的收敛性与稳定性定义7-2

求积公式收敛定义7-3

求积公式稳定定理7-3

若Ak>0，则求积公式是稳定的。7.2.1

牛顿—柯特斯求积公式与求积系数7.2

牛顿—柯特斯求积公式不难推得n=1,2,4时的梯形、辛卜生和柯特斯求积系数。表7-1牛顿--柯特斯系数表。观察柯特斯系数的对称性、和为1，n>7时有负值,影响公式的稳定性。7.2.2

偶数阶牛顿—柯特斯公式的代数精度7.2牛顿—柯特斯求积公式具有3次代数精度辛卜生公式被广泛使用。

7.2.3

低阶牛顿—柯特斯公式的余项7.2牛顿—柯特斯求积公式

梯形求积公式的余项7.2.3

低阶牛顿—柯特斯公式的余项7.2牛顿—柯特斯求积公式

辛卜生求积公式的余项同理可求出柯特斯求积公式的余项7.2.4

复化求积公式及其余项7.2牛顿—柯特斯求积公式问题：牛顿—柯特斯公式无论从收敛性、还是稳定性上都不能得到保证解决方法：将积分区间分成n等分，使每等分的宽度尽可能的小每个小区间使用低阶的牛顿—柯特斯公式1.复化梯形公式及余项1次代数精度7.2.4

复化求积公式及其余项7.2牛顿—柯特斯求积公式2.复化辛卜生公式及余项3次代数精度7.2.4

复化求积公式及其余项7.2牛顿—柯特斯求积公式3.复化柯特斯公式及余项5次代数精度复化辛卜生算法流程图7-1例7-3例7-4

复化求积公式收敛的阶7.3龙贝格求积公式7.3.1

变步长求积公式7.3龙贝格求积公式例7-5P1567.3.2

龙贝格求积公式7.3龙贝格求积公式

修正梯形公式

修正辛卜生公式不难验证，修正梯形公式正好就是辛卜生公式Sn，可以设想对辛卜生公式修正得到柯特斯公式，视为对梯形公式的二次修正。7.3.2

龙贝格求积公式7.3龙贝格求积公式

龙贝格（Romberg）公式

龙贝格算法示意图对柯特斯公式进行修正，得到精度更好的求积公式，但它不是n=8时的牛顿—柯特斯公式，由龙贝格首先提出，称为龙贝格公式。

龙贝格算法流程框图例7-6P1587.4.1

高斯求积公式与高斯点7.4高斯求积公式定理7-5插值型求积公式能达到的最高代数精度为2n+1次。定义7-4

具有2n+1次代数精度的求积公式称为高斯求积公式，其求积节点称为高斯点。为构造具有最高代数精度的高斯型求积公式，直接用待定系数法求解n+1个系数Ak和n+1个求积节点xk通常是不可能的。通常的方法是：（1）先确定求积区间上的高斯点xk；（2）在求n+1个求积系数Ak（待定系数法和公式法均可）定理7-6高斯点的充要条件。p1607.4.2

高斯求积公式的构造构造被积区间[a,b]上的n+1次带权正交多项式gn+1(x)求gn+1(x)的n+1个零点，作为高斯点xk用待定系数法或对拉格朗日基函数求积分来确定求积系数Ak例7-7P1617.4.3

高斯—勒让德求积公式7.4高斯求积公式定理7-7[-1,1]上的n+1次勒让德多项式与任一不超过n次的多项式正交。（权函数为1）当求积节点xk为n+1次勒让德正交多项式的零点时，求积公式称为高斯—勒让德求积公式。例7-8高斯—勒让德一点、两点、三点公式当积分区间为[a,b]时，需引进变换则t在区间[-1,1]上。例7-9P1647.4.4

高斯—切比雪夫求积公式7.4高斯求积公式其中，求积区间为[-1,1]，权函数、高斯点分别为7.4.5

高斯—埃尔米特求积公式其中，求积区间为[-∞,+∞]，高斯点为n+1次埃尔米特正交多项式的零点，权函数、求积系数分别为例7-10P1657.4.6

高斯求积公式的余项与稳定性7.4高斯求积公式定理7-8带权高斯公式的余项

勒让德公式的余项

切比雪夫公式的余项

埃尔米特公式的余项一、二、三点勒让德公式的余项定理7-9高斯求积公式是稳定的7.5.1

基于Taylor展开的微分公式7.5数值微分Taylor展开式向前差商公式向后差商公式中心差商公式二阶差商公式7.5.1基于Taylor展开的微分公式7.5数值微分

方法误差

舍入误差

整体误差由截断误差项可以看出，前两个公式的精度为O(h)，后两个公式的精度为O(h2)。如果仅从截断误差上考虑，h的幂次越高、h越小，计算精度就越高。从稳定性的角度讲，还应考虑舍入误差。

h越小，f(x0+h)、f(x0-h)和f(x0)的值越接近，它们相减后的有效数字损失越严重。在实际计算时，步长h不宜过大，也不宜过小，应综合考虑截断误差和数值稳定性这两个重要因素。中心差商公式整体误