2023年上海市各地区中考一模试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）

上海市2023年各地区中考数学模拟（一模）试卷按题型难易度分层分类汇编・03

解答题（较难题）

目录

--二次函数综合题（共10小题）...................................................2

二.三角形综合题（共1小题）.....................................................6

三.直的梯形（共1小题）.........................................................7

四.相似三角形的判定与性质（共1小题）...........................................7

五.相似形综合题（共6小题）.....................................................8

六.解直角三角形（共I小题）....................................................10

一.二次函数综合题（共10小题）.................................................11

二.三甭形综合题（共1小题）....................................................35

三.直带梯形（共1小题）........................................................37

四.相似三角形的判定与性质（共1小题）..........................................41

五.相似形综合题（共6小题）....................................................45

六.解直角三角形（共1小题）....................................................60

一.二次函数综合题(共10小题)

1.(2023•宝山区一模)在平面直角坐标系宜力中，已知抛物线y=-r+成+’经过点A(-1,0)、6(2,0),

将该抛物线位于x轴上方的部分沿1轴翻折，得到的新图象记为“图象U”，“图象U”与)，轴交于点C.

(1)写出“图象U”对应的函数解析式及定义域；

(2)求N4C8的正切值；

(3)点尸在x轴正半轴上，过点P作)，轴的平行线，交直线BC于点E,交“图象U”于点F,如果/与

△ABC相似，求点〃的坐标.

吓

1.

O

2.(2023•徐汇区一模)已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ad+bx+3经过点A(-1,0)、8(4,0),

与)，轴相交于点C

(1)求抛物线的表达式；

(2〕点尸是第一象限内抛物线上的一个动点，过点尸作直线轴，垂足为点。，直线广。与直线3c相交

于点E.

①当CP=C£时，求点尸的坐标；

②联结AC,过点夕作直线AC的平行线，交x轴于点R当N8P〃=NC84时，求点P的坐标.

¥

1-

O1.

3.(2023•虹口区一模)如图，在平面宜角坐标系X。)，中，已知抛物线)，=-/+2h-4A(&V0)的顶点为P,抛物

线与)，轴交于点A.

(1)如果点A的坐标为(0,4),点3(-3,〃力在抛物线上，联结A反

①求顶点P和点B的坐标；

②过抛物线上点。作。M_Lx轴，垂足为M,OM交线段/W于点石，如果。求点/)的坐标；

(2】联结OP,如果OP与x轴负半轴的夹角等于NAPO与/尸。4的和，求人的值.

4.(2023♦崇明区一模)如图，在直角坐标平面/0)，中，对称轴为直线文=3的抛物线)，=/+公+2经过点A(4,

2

0)、点用(1,加)，与y轴交于点B.

(I)求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点。的坐标；

(2)联结A3、AM、BM,求SMBM的面积；

(3)过M作x轴的垂线与48交于点P,。是直线MP上点，当△8MQ与△AMP相似时，求点。的坐标.

5.(2023•金山区一模)已知抛物线y=o?+取-3经过点A(1,0),8(-2,-3),顶点为点P,与y轴交于

点C.

(1)求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标；

(2)将抛物线向上平移机(w>0)个单位后，点4的对应点为点M,若此时MB〃AC,求/〃的值；

(3)设点。在抛物线『=/+/状-3上，且点。在直线3C上方，当NQ8C=N84c时，求点。的坐标.

6.（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xO.v中，抛物线尸af+/zr+3的对称轴为直线尸2,顶点为4,

与x轴分别交于点8和点。（点8在点C的左边），与），轴交于点Q,其中点。的坐标为（3,0）.

（1）求抛物线的表达式;

（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为£联结

①如果。石〃AC,求四边形4COE的面积；

②如果点E在直线。C上，点。在平移后抛物线的对称轴上，当NDQE=NCDQ时,求点Q的坐标.

7.（2023•松江区一模）在平面直角坐标系xQy中（如图），已知抛物线）=aF+c（«^0）经过点A（2,0）和点

B（-I,3）.

（I）求该抛物线的表达式；

（2）平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为尸（加，〃）.

①如果尸0=%，且新抛物线的顶点在aAOB的内部，求〃?+〃的取值范围；

②如果新抛物线经过原点，且NP0A=N08A,求点尸的坐标.

yI

5-

4-

B•3

2-

1-

A

IIIII_____________]劣

-5-4-3-2-10123451

—1-

—2-

一3-

-4-

—5-

8.（2023•青浦区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ad+/u+2与x轴交于点A­-1,0）和点B

（2,0）,与y轴交于点C.

（I）求该抛物线的表达式及点C的坐标；

（2）已知点P（1,m）与点Q都是抛物线上的点.

①求tan/PBC的值：

②如果NQ8P=45°,求点Q的坐标.

9.（2023•杨浦区一模）已知在平面直角坐标系直力中，抛物线y=q/+"x+c与x轴交于点4（一%0）和点8,

与），轴交于点。（0,3）,抛物线的对称轴与x轴交于点D

（1）求抛物线的表i大式：

⑵点P是直线AC上方抛物线上一点，过点P作〜GJ_x轴，垂足为点G,PG与直线AC交于点如果P"

=AH,求点P的坐标；

（3）在第（2）小题的条件下，联结AP,试问点B关于直线CZ）对称的点七是否恰好落在直线4P上？请说明

理由.

yM

5-

4-

3

2

1

12345x

-2

-3

-4

10.（2023•长宁区一模）已知抛物线y=o?+&+c（。＞0）与x轴交于点A（1,0）和8（4,0）,与y轴交于点

C,。为坐标原点，且O8=OC.

（1）求抛物线的表达式;

（2）如图1,点P是线段8c上的一个动点（不与点8、。重合），过点尸作x轴的垂线交抛物线于点。联结

OQ.当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点。的坐标;

（3）如图2,在（2）的条件下，。是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点£且NOQ"=2NOQQ,在

直线QE上是否存在点凡使得七厂与/XADC相似？若存在，求点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

二.三角形综合题（共1小题）

II.（2023•长宁区一模）已知：在A/WC中，AB=AC=\0,BC=16,点、P、。分别在射线CB、射线AC上，且

满足N4PO=NABC.

（1）当点P在线段BC上时，如图1.

①如果CQ=4.8,求研的长;

②设8、P两点的距离为x,AP=y,求），关于x的函数关系式，并写出定义域.

（2）当3P=1时，求△CPO的面积.（直接写出结论，不必给出求解过程）

图1备用图

三.直角梯形（共1小题）

12.（2023•松江区一模）已知梯形4BCD中，AD//BC,ZABC=W,AB=4,BC=6,E是线段CD上一点,

联结BE.

（1）如图1,如果AD=1,且CE=3QE,求NA8E的正切值;

（2）如图2,如果8E_LCO,且CE=2OE,求A。的长;

（3）如果8E_LCD,且△ABE是等腰三角形，求AABE的面积.

图1

四.相似三角形的判定与性质（共1小题）

13.（2023•杨浦区一模）已知在正方形ABCO中，对角线BD=4,点E、尸分别在边4力、CD±,DE=DF.

（1）如图，如果NEB尸=60。，求线段力E的长;

（2）过点E作EGLBF,垂足为点G,与BD交于点H.

①求证:黑嗡

②设B。的中点为点。，如果0，=1,求效的值.

GF

AD

BCBC

备用图

五.相似形综合题（共6小题）

14.（2023•普陀区一模）如图，在矩形A8C。中，tanNAB£>=旦，E是边。C上一动点，尸是线段OE延长线上一

4

点，且N£Ar=NA3。，AF与矩形对角线3。交于点G.

（1）当点产与点C重合时，如果AO=6,求。七的长；

（2）当点尸在线段。。的延长线上，

①求幽的值；

AE

②如果r>E=3CF,求/A兄Q的余切值.

15.（2023•徐汇区一模）如图1,已知菱形A8CQ,点E在边8C上，ZBFE=ZABC,AE交对角线BD于点F.

（1）求证：△A8/；s△。/^；

（2）如图2,联结CF.

①兰ZXCE尸为直角三角形时，求NABC的大小；

②如图3,联结。£当DE_LFC时，求cos/ABD的值.

e图2图3

16.（2023•金山区一模）已知平行四边形A3CO中，AB=3氓,cot/A8C=LBC=5,点P是对角线8。上一

2

动点，作NEPO=NABC,射线PE交射线8A于点七，联结4P.

（I）如图I,当点E1与点A重合时，证明：丛ABPs丛BCD，,

（2）如图2,点七在。4的延长线上，当石尸=A。时，求AE的长；

（3）当4A尸E是以AP为底的等腰三角形时，求4E的长.

E

图1图2备用图

17.（2023•奉贤区一模）如图,在平行四边形A4CQ中,点£在边A。上，C£交对角线8。于点凡ZDCE=Z

ADB.

(1)求证：AB・BC=BF・CE；

(2)如果AO=3OE=6.

①求C/7的长;

②如果80=10,求cosNABC值.

18.（2023•宝山区一模）如图1,在AA8C中，BC=2遥，AB=5,cot/ABcJ-点。、E分别在边A。、A8上

2

（不与端点重合），8。和CE交于点尸，满足NA8D=N8C£

(1)求证：C0=DF・DB；

（2）如图2,当CEJ_A6时，求C。的长:

（3）当△<?£）?是等腰三角形时，求。八F8的值.

（备用图）

19.（2023•崇明区一模）已知RtZSABC中，N84C=90°,A8=AC=4,AO〃4C.点E为射线人。上的一个动点

（不与A重合），过点石作石F_LBE,交射线CA于点F,联结8E

（1）如图，当点尸在线段AC上时，EF与AB交于点G,求证：AAEGs△FBG\

（2）在（1）的情况下，射线CA与8E的延长线交于点Q,设A£=x,QF=y,求），关于x的函数解析式，并

写出定义域；

（3）当8E=3时，求C尸的长.

DEAD__________________A

，丁

X

BCBc

（备用图）

六.解直角三角形（共1小题）

20.（2023•虹口区一模）如图，在△人8C中，AB=AC=\0,sin8=3,点。、石分别在边人8、BC上,满足NCQE

5

=NB.点F是OE延长线上一点，且/日才=乙4。。.

（1）当点。是的中点时，求tan/BCO的值；

（2）如果4。=3,求变的值；

DE

（3）如果是等腰三角形，求C尸的长.

A

BEC

上海市2023年各地区中考数学模拟（一模）试卷按题型难易度分层分类汇编（11

套）・03解答题（较难题）

参考答案与试卷解析

一.二次函数综合题（共10小题）

1.（2023•宝山区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线），=-/+bx+c经过点A（-1,0）、8（2,0）,

将该抛物线位于r轴上方的部分沿丫轴翻折，得到的新图象记为“图象ir,“图象ir与），轨交于点c.

（|）写出“图象u”对应的函数解析式及定义域;

（2）求NAC8的正切值;

（3）点尸在x轴正半轴上，过点P作），轴的平行线,交直线BC于点E,交“图象U”于点F,如果与

△ABC相似，求点〃的坐标.

1

O

-X2+X+2(X>2或X4-1)

【答案】（1）y=<

X2-X-2(T<X<2)

⑵⑶i/AC8=3；

（3）点P的坐标为：（工,0）或（亚运，0）或(2,0)或(2+2技,o).

2433

【解答】解：（1）由题意得：v(x+1)(x-2)=-X2+X+2,

则翻折后的函数表达式为：j=?-x-2,

-X2+X+2(X>2或X<-1)

即），=,

x^-x-2(T<x<2)

则SMBC=工%ABXCO=^XACXBH,

22

即3X2=^X3”,

解得：BH=3,

V5

6

则sin/AC8=^=2^=-^,

BC2V2V10

则tanNACB=3；

(3)由点8、C的坐标得，直线EC的表达式为：y=x-2,

设点。(■〃，0),在点E(〃?，"L2),点F(〃?，m2-tn-2)或(in,-m2+m+2),

则CE=&m,FE=-nr+2m或病-4,

如下图NE=45°=AABC,

故当/与△ABC相似时，NECF=NACB或NBCA,

①当NECF-NACZ?时，即tanZ£CF-tanZACB-3,

在△《£：?中，过点尸作"7_LCE于点”，

设：CH=t,贝ljHF=3t=HE,

则4f=CE=V2w且3j^t=EF=-m2+2m或nr-4,

解得：〃?=」或对巨（不合题意的值已舍去）；

24

②些NECT=NC4。时，则tan/£b=tanNCAO=2,

同理可得：3t=CE=^~2m且2^pit=EF=-m2+2m或nr-4,

解得：机=2或空运（不合题意的值已舍去）：

33

综上，点户的坐标为：（工0）或（亚公，0）或（20）或（丝叵，0）.

2433

2.（2023•徐汇区一模）已知在平面直角坐标系X。），中，抛物线），=&1+/>+3经过点A（-1,0）、B（4,0）,

与），轴相交于点C

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴，垂足为点。，直线PO与直线4c相交

于点E.

①兰CP=CE时，求点尸的坐标；

②联结AC过点尸作直线AC的平行线，交x轴于点凡当N8PF=NC84时，，求点P的坐标.

【答案】(1)抛物线的表达式；>--卫储+旦什3；(2)①。<2,旦)，②。(3,3).

442

【解答】解：(1)•・•抛物线y=a?+队+3经过点A(-1,0)、8(4,0),

・a-b+3=0

I16a+4b+3=0,

4

・•・抛物线的表达式：尸-&A与+3；

44

(2)①过C作C”J_PD于”,

♦：PC=CE,

:・PH=EH,

，：CH〃OB,

：.ZHCE=NCBO,

laiZHCE=tanZCBO,

•・•IHEI--0C--3--,

CHOB4

令EH=3k,则CH=4k,PH=3k,PD=3+3k,

・•・？的坐标是(4k,3+3%),

•••P在抛物线上，

:.一旦(4k)2+2义(4k)+3=3+3左，

44

.•・k=2或k=0(舍)，

2

・・・P的坐标是(2,9)；

@*：PG//AC,

:./CAB=/PFB,

v5C=VOC2<IB2=V32+42=5,4B=04+°8=5,

:・AB=CB,

：.ZCAB=ZBCA,

:./PFB=NBCA,

■:NABC=NBPF,

；・Z.CAB=/PBD,

TP在抛物线上，

・••设P(a,-342+2/+3)>

44

•：4CAB=/PBD,

tanZ.CAB=tanZPBD,

・PDCO.

DBAO

a+3

------=3,

4-a

，〃=3或a=4(舍)，

当。=3时，一岂p+Zz+3=3,

44

3.(2023•虹口区一模)如图，在平面直角坐标系直力中，已知抛物线y=-7+2履-4k(AV0)的顶点为P,抛物

线与y轴交于点A.

(1)如果点A的坐标为(0,4),点4(-3,M在抛物线匕联结4员

①求顶点P和点B的坐标；

②过抛物线上点。作DM_Lx轴，垂足为M,QM交线段4B于点E,如果。E=EM,求点。的坐标；

(2)联结OP,如果O尸与x轴负半轴的夹角等于NAPO与NPOA的和，求k的值.

o

【答案】⑴①顶点P的坐标为（-I,5）,点B的坐标为（-3,I）；

②点。的坐标为（-2,4）；

（2）&的值为2■泥.

【解答】解：（1）①将点A的坐标为（0,4）代入y=-/+2日-4%得，-44=4,

：.k=-1,

.*.y=-/-lv+4=-（x+1）2+5,

；・顶点。的坐标为（-1,5）,

将A--3代入y=-x1-2.r+4得，y=-9+6+4=1,

・••点B的坐标为（-3,I）；

②X（0,4）,B（-3,I）,

设直线AB的解析式为y=ax+b,

.・」-3a+b=l,解得卜=1,

Ib=4b=4

/.直线AB的解析式为y=x+4,

如图1,

设点。（。，・。2-24+4）,则MQ,0）,E（。，。+4）,

/.DE=-a2-2a+4-a-4=-a2-3a,EM=a+4,

•；DE=EM,

-a2-3a=a+4,解得a=-2,

・••点。的坐标为（-2,4）；

（2）如图2,过点P作PM_L），轴于点M,作PN_Lx轴于点N,

Vy=-jr+2kx-4k=-(x-k)2+/C-4k,

・•・顶点P的坐标为a，F・4A),4(0,-4k),

:.PM=ON=-k,PN=OM=e-4k,OA=-4k,

：.AM=OM-OA=^,

V^PON=ZAPO+ZPOA,NAPO+NPOA=NB4M,

・・・NPON=N%M,

•・・PW_Ly轴，PN_Lx轴，

：.4PNO=/PMA,

:.丛PNOS^PMA,

.0N__PN

••前,，

--kk2-4k

••——=------，

k2-k

:・k=2xj大或2-限

・"VO,

••/的值为2■泥.

图2

4.（2023•崇明区一模）如图，在直角坐标平面xOy中，对称轴为直线戈=2的抛物线"+2经过点人（4,

2

0）、点M（l,M,与），轴交于点用

（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点。的坐标；

（2）联结A8、AM.BM,求Sd5M的面积；

（3〕过M作x轴的垂线与A8交于点P,Q是直线MP上点，当△8MQ与aAM尸相似时，求点Q的坐标.

（21，上48河=2：

⑶Q的坐标为（1,~|）或（1,-1）.

【解答】解：（1）•・•抛物线），=苏+云+2的对称轴为直线工=日.

・・・-也=员①，

2a2-

•・•抛物线法+2经过点A（4,0）,

二16a+4H2=0②，

由①②可得a=~-1,

22

・•・),=-_1/+m+2,

'22

在)，=-»+当+2中，令.1=旦得：)，=--lx(3)2+3x3+2=空,

22222228

・•・抛物线顶点。的坐标为(S,在)；

28

(2)过M作MP〃了轴交A8于P,如图：

在y=--kr+-^v+2中，令x=0得y=2,

22

:,B(0,2),

VA(4,0),

・•・直线AB解析式为)，=--lr+2,

在y=-」储+m+2中，令x=1得)，=3,

22

：.M(1,3),

在y=-1+2中，令x=1得v=—,

22

：.p(1,J.),

2

.•・PM=3-3=3,

22

S-ABM=—PMX\XA-x«|=—X—X4=3：

222

(3)过4作于〃，如图：

由(2)知，B(0,2),W(1,3),

BM2=2,

是等腰直角三角形，

・・・N8MQ=45°,

VA(4,0),

・"B2=20,AM2=18,

:.AM2+BM2=AB2,

••・NAM8=90°,

・・・NAMP=90°・N8MQ=45°=4BMQ,

要使△BMQ与AAMP相似，只需迪=理或/=里

MPAMAMMP

设Q(1,f),则MQ=3-f,

当曲=圆时&

MP前3

2

解得/=§，

2

当的=现时，»与

AMMP372A

2

解得f=-1.

：.Q(1,-1),

5.(2023•金山区一模)已知抛物线y=o?+云-3经过点A(1,0),8(-2,-3),顶点为点P,与y轴交于

点C.

(I)求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标；

(2)将抛物线向上平移机(〃?>())个单位后，点4的对应点为点M,若此时MB〃人C,求〃?的值；

(3)设点。在抛物线丁=/+/状-3上，且点。在直线3C上方，当NO8C=N84C时，求点。的坐标.

【答案】⑴尸,+2x-3,顶点P的坐标为(7,-4)；

(2)机的值为6；

(3)点。的坐标为(1,-2).

24

【解答】解：(1)•・•抛物线尸尔+云-3经过点A(1,0),5(-2,-3),

..a+b-3=0,解得a=l

4a_2b_3=_3b=2

・•・抛物线的解析式为产3.

•・)=/+2..3=(A+1)2-4,

・•・顶点P的坐标为(-1,-4)；

(2)如图I,

y=^+2x-3,令x=0,贝ijy=-3,

AC(0,-3),

设直线AC的解析式为y=k.x+c,

(k+c=0,解得付3,

Ic=-3Ic=-3

・•・直线AC的解析式为y=3x-3,

*：M13//AC,

:.设MB的解析式为y=3x+d,

•:B(-2,-3),

:.-6+d=-3,解得d=3,

:・MB的解析式为y=3x+3,

•・•将抛物线向上平移机(阳＞0)个单位后，点A的对应点为点M,A(1,0),

:•点M为(1,/〃)，

代入MB的解析式为y=3x+3得，.的=3+3=6,

m的值为6：

(3)如图2,过点。作。"_LAC于"，过点。作CKJ_AB于K,

•••点A(1,0),B(-2,-3),C(0,-3),

・・・NABC=45°,BC=2,48=在2+32=3加,

・・・sinNA8C=空=2^,

BC2

:,CK=BK=®,

••,4B=3加,

：,AK=2^/2,

在RtZXACK中，tan/CAK=^，，

AK2

*：ZDBC=ZBAC,

・・・tanNO8C=也」，

BH2

在RLM)C”中，设DH=k,

:.BH=2k,

：.CH=2k-2,

：.D(2k-2,A-3),

•・•点D在抛物线y=/+2.3上，

:.(2k-2)2+2(2k-2)-3=k-3,解得A=0(舍去)或区，

4

・••点。的坐标为（▲,-2）.

24

6.（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系X。），中，抛物线y=aP+法+3的对称轴为直线x=2,顶点为A,

与x轴分别交于点8和点C（点8在点。的左边），与y轴交于点。，其中点。的坐标为（3,0）.

（1）求抛物线的表达式；

（2〕将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为£,联结。£.

①如果QE〃AC,求四边形ACQE的面积；

②如果点E在直线0c上，点。在平移后抛物线的对称轴上，当N7）QE=NCQQ时，求点。的坐标.

【答案】(1)y=/-4_r+3；(2)①15；②(4,-4加-1)或(4,-1).

【解答】解：(1)•・•抛物线y=o?+如3的对称轴为直线工=2,经过点C(3,0),

［上:2

2a,

9a+3b+3=0

解得：卜;1,

lb=-4

・•・抛物线的表达式为产7-4x+3；

(2)①•・}=/-4.i+3=(x-2)2-L

AA(2,-1).

设抛物线的对•称轴交x轴干点G,

：.AG=\.

令x=0,则y=3,

：.D(0,3),

・・・OD=3.

令y=0,则X2-4x+3=0,

解得：x=1或x=3,

:,B(I,0).

如果。E〃AC,需将抛物线向左平移，设。石交x轴于点儿平移后的抛物线对称轴交x轴于点"，如图,

•・•点C的坐标为(3,0),

・・・OC=3.

由题意：ZACB=45°,

*：DE//AC,

产C=NAC4=45°.

：,OF=OD=3,

：.F(-3,0),

由题意：EH=l,

:・FH=EH=1,

：.E(-4,-1).

•・・AE〃x轴，DE//AC,

・•・匹边形EFCA为平行四边形，

•：AE=2-(-4)=6,

:.Sr•行四边形EFCA=6X1=6.

VSADFC=—xFC・OO=工X6X3=9,

22

，匹边形ACDE的面枳=S行四边形"'6+5△。代=6+9=15：

②如果点E在直线。C上，点。在平移后抛物线的对称轴上，/DQE=NCDQ,如图,

当点。在工轴的下方时，

设平移后的抛物线的对称轴交x轴于F，由题意：EF=\.

•・・OD=OC=3,

・・・NOOC=NOCO=45°,

:.NFCE=NOCD=45°,

:.CF=EF=1,

：,E(4,-I).

7CD=22=322

VOD-KDCV2,CE=^CF+EP=V2>

：,DE=CD+CE=4^/2.

•：4DQE=NCDQ,

:.EQ=DE=4近,

:・QF=EF+EQ=M[i+\,

：.Q(4,-4^2-1);

当点。在x轴的下方时，此时为点Q',

*：ZDQ'E=ZCDQf,

：.EQ'=DE=4近,

：,Q'F=EQ'-EF=4>j2­I*

：,Q'(4,4V2-1).

综上，当NOQE=NCOQ时，点。的坐标为(4,-46-1)或(4,4爽-1).

7.（2023•松江区一模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线），=a*+c（a*O）经过点A（2,0）和点

8（7,3）.

（I）求该抛物线的表达式；

（2）平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为P（/〃，〃）.

①如果尸。=%，且新抛物线的顶点在△AO8的内部，求•〃的取值范围；

②如果新抛物线经过原点，且NPOA=NOBA,求点P的坐标.

yI

5-

4-

B•3

2-

1-

A

IIIII_____________]劣

-5-4-3-2-1012345x

—1-

—2-

一3-

-4-

—5-

【答案】(1)y=«+4：

(2)①1V〃?+〃V2；

②(工，1).

24

【解答】解：(1)•・•抛物线)=&，+。(〃wo)经过点A(2,0)和点8(・1,3),

.*a+c=。，解得产］

Ia+c=3c=4

，抛物线的表达式为)，=・f+4：

(2)①•••PO=B4,

工点P在。4的垂直平分线上，

•・•点A(2,0),

・••点P的横坐标m=l,

设直线AB为尸H+b,

•・,点A(2,0)和点8(-1,3),

・・.(2k+b=0,解得

-k+b=3Ib=2

:.直线AB为y=-x+2,

当x=1时、y=-x+2=1,

J0,4的垂直平分线与AB的交点坐标为(1,1),

•・•新抛物线的顶点P(〃】，“)在ZXAOB的内部,

••.，?的取值范围为0＜，2V1,

:.1<m+n<2：

②如图,

设0户与44交于Q,Q(x,-X+2),

•・・/P0A=N084,NQ4Q=/84O,

・•・△AOQS.B。，

・02二0A

**B0=BA,

•・•点A(2,0)和点8(-1,3),

/.0.4=2,BO=yj12+32=V_1O»BA=3^i，

・0Q二2

一行二啦‘

3

AVX2+(-X+2)2=^->解得尸或I,

・•・〈(-£,2)或(2,-1)(舍去),

3333

・•・直线OQ为y=/,

■:P(加，n),

H~-^-in>

2

，新抛物线为y=-(x-in)2+_^b

•・•新抛物线经过原点，

:.-(-in)2+_1机=0,解得阳=0或〃?=」■,

22

工点P的坐标为(2，1).

24

8.（2023•青浦区一模）如图，在平面直角坐标系X。），中，抛物线yax^+bx+l与x轴交于点A(-1,0)和点8

（2,0）,与y轴交于点C.

（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；

（2）已知点P（1,/«）与点Q都是抛物线上的点.

①求tan/P8C的值；

②如果NQBP=45°,求点Q的坐标.

【答案】（1）y=・』+"2,点C的坐标为（0,2）；

（2）①工；

3

②点Q的坐标为（-2,2）.

39

【解答】解：（I）将人（-I,0）、8（2,0）代入），=/+/"+2得,

卜-b+2=0,解得

l4a+2b+2=0lb=l

・•・该抛物线的表达式为y=-Phr+2.

当x=0时，y=2,

，点。的坐标为（0,2）；

（2）①连接PC,过点。作P〃_L8C,垂足为点〃.

•:P（1,w）在），=・f+x+2上,

••・〃?=-1+1+2=2,P（1,2）,

VC（0,2）,B（2,0）,

，BC=2&，PC1OC,NBCO=4°,

：・NPCH=45°,

"H=PH鼎岑.

:・BH=BC・CH=2V2

22

.・,NP8C=里亚.能3

BH223

②由题意可知，点。在第二象限.过点。作QOJLx轴，垂足为点。.

'：ZQBP=ZCBA=45°,

:.NQBD=/CBP，

VtanZP«C=A.

3

，tanNQ8D=©=X

BD3

设0Q=〃，则3。=3〃，00=3〃-2.

Q（2-3〃，n）>

将Q（2・3〃,n）代入y=・.P+x+2,得・（2-3〃）2+2-3n+2=n,

解得〃=g或（）（舍去），

9

・••点Q的坐标为（-2,2）.

39

9.（2023•杨浦区一模）已知在平面直角坐标系％。y中，抛物线y=鲁2+〃x+c与x轴交于点A（-4,0）和点8,

与），轴交于点C（0,3）,抛物线的对称轴与x轴交于点D

（1）求抛物线的表达式：

（2）点P是直线AC上方抛物线上一点，过点P作PG_Lx轴，垂足为点G,PG与直线AC交于点H.如果P”

=AH,求点。的坐标；

（3）在第（2）小题的条件下，联结AP,试问点B关于直线CO对称的点E是否恰好落在直线人P上？请说明

理由.

【答案】⑴产・当2・当+3；

44

⑵P（一包

3*

（3）8关于直线C。对称的点E恰好落在直线4P上，理由见解答过程.

【解答】解：（1）把A（-4,0）,C（0,3）代入v=历+c得:

y4

-12-4b+c=0

c=3'

-

解得＜b=N,

c=3

(2)如图:

rtl/1(-4,0),C(0,3)可得直线入。解析式为y-崇+3,八。一正正石村一5,

设p(〃?，-2-2n+3),则H(m,Ww+3),

444

：.PH=(-&〃2-2〃+3),(且加+3)=-3"』-3次,"G=MM+3,

44444

ZHAG=ZCAO,NAGH=90°=NAOC,

/.△A"GS/\4CO,

3

111+?

.AH=GH即AH=4'

••而OC*'~53

.・.A”=2〃+5,

4

*：PH=AH,

:.-3切2-3机=互〃+5,

44

解得机=-区或〃?=-4(与A重合，舍去)，

3

:.P(•区，-1^)：

33

(3〕点8关于直线C。对称的点E恰好落在直线AP上，理由如"

作5关于直线CO的对称点E,过£作£W_Lx轴于W,设交CO于K,如图:

由)，=-当2-2+3得抛物线对称轴为直线x=-1,B(1,0),

442

：.D(-3,0)，4。=旦

22

VC(0,3),

.・.CD=^ZK,

2

£关于直线CO对称，

・・・NBA7)=90°=ZDOC,BK=EK,

■:4CDO=/BDK,

：,4BDKSACD0,

5_

.BK=BD=DK即哒=2_=奥

"00CD0D'33瓶3'

丁2

:・BK=J^,QK=返，

2

:.BE=2BK=2低,

VZEWB=90°=4DKB,/WBE=/DBK,

.EW=BW=BE叩上L=BW=乐

**DK丽丽’、近7?"

22

：.EW=2,B\V=4,

：,OW=BW-OB=3,

:・E(-3,2),

由A(-4,0),尸(-$,-11)得直线A尸解析式为y=2x+8,

33

在)，=2x+8中，令x=-3得)，=2,

・・・E在直线直线4P上，UPB关于直线CD对称的点E恰好落在宜线A尸上.

10.(2023•长宁区一模)己知抛物线y=o?+必+c(。＞0)与