2023-2024学年天津市滨海新区枫叶国际校中考四模数学试题含解析

2023.2024学年天津市滨海新区枫叶国际校中考四模数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.小丽只带2元和5元的两种面额的钞票（数量足够多），她要买27元的商品，而商店不找零钱，要她刚好付27元,

她的付款方式有（）种.

A.1B.2C.3D.4

2.如图，AB为G）O的直径，C,D为€）0上的两点，若AB=14,BC=1.则NBDC的度数是（）

3.如图：在中，CE平分NACB,C/平分NACQ,且所//BC交AC于若CM=5,则

等于（）

C.120D.125

4.我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四,

问人数、物价各几何？”意思是：几个人合伙买一件物品，每人出8元，则余3元；若每人出7元，则少4元，问几人

合买？这件物品多少钱？若设有x人合买，这件物品y元，则根据题意列出的二元一次方程组为（）

8x=y-38x=y+43x=y+88,v=y+3

A.B.八—D.〈

7x=y+4[7.r=y-34x=y-7[7J=y-4

5.全球芯片制造己经进入10纳米到7纳米器件的量产时代.中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微

观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米.数据0.0000（）0007用科学记数法表示为（）

A.0.7x10*8B.7x10*C.7x10"D.7xli）i°

6.如图所示的几何体的主视图是（）

7.如图，菱形中，对角线AC、BD交于点。，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28,则OE的长等于（）

8.下列因式分解正确的是（）

A.X2+1=（A+I）2B.X2+2x-\=（x-l）2

C.2x2-2=2（x+l）（x-l）D.X2-X+2=X（X-l）+2

9.如图，数轴上的四个点A,B,C,O对应的数为整数，且A3=3C=CO=L若|a|+例=2,则原点的位置可能是（）

•a।・-----•--b1♦>

ABCD

A.A或5B.区或CC.C或。D.。或A

10.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，若点A（3,m）在直线I上，则m的值是（）

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.不等式乒多1的正整数解为.

2

12.己知抛物线），=炉上一点八，以A为顶点作抛物线C：y=x+bx-\-ct点3（2,泗）为抛物线C上一点，当点A在

抛物线）=必上任意移动时，则以的取值范围是.

13.数据5,6,7,4,3的方差是.

14.从-2,-1,2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是.

15.为了求1+2+22+24…+22。、22。17的值，

可令S=1+2+22+23+...+220,<+22017,

则2S=2+22+23+24+...+220,7+22018,

因此2S-S=2"”8-1,

所以l+22+23+...+220,7=220,«-1.

请你仿照以上方法计算1+5+52+54…+52。门的值是.

16.如图，在2x4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点都在

格点上，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转一定角度后，得到AA/ITC,点B，在格点上，则点A走过的路径

17.如图，在平行四边形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域的概率为________.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）已知：二次函数y=+/'r满足下列条件：①抛物线产。必+必与直线产x只有一个交点：②对于任意

实数x,a（-x+5）2+b（-x+5）-a（x-3）2+b（x-3）都成立.

（1）求二次函数y^+bx的解析式；

（2）若当（#0）时，恰有£）01.5,成立，求，和「的值.

19.（5分）综合与实践--旋转中的数学

问题背景：在一次综合实践活动课上，同学们以两个矩形为对象，研究相似矩形旋转中的问题：已知矩形ABCDs矩

形AUVCD，，它们各自对角线的交点重合于点O,连接AA，，CC.请你帮他们解决下列问题：

观察发现：（1）如图L若则AA，与CC的数量关系是_____；

操作探究：（2）将图1中的矩形ABCD保持不动，矩形绕点O逆时针旋转角度a（0。<旺90。），如图2,在

矩形旋转的过程中，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

操作计算：（3）如图3,在（2）的条件下，当矩形绕点O旋转至AA，J_A4T时，若AB=6,BC=8,ABr=3,

求AA，的长.

DD

20.（8分）先化简，再求值：（1・工1）+三坐土2,其中x=l

x+1x2-l

21.（10分）正方形ABCD中，点P为直线AB上一个动点（不与点A,B重合），连接DP,将DP绕点P旋转90。

得到EP,连接DE,过点E作CD的垂线，交射线DC于M,交射线AB于N.

问题出现：（1）当点P在线段AB上时，如图1,线段AD,AP,DM之间的数量关系为;

题探究：（2）①当点P在线段BA的延长线上时，如图2,线段AD,AP,DM之间的数量关系为；

②当点P在线段AB的延长线上时，如图3,请写出线段AD,AP,DM之间的数量关系并证明；

问题拓展：（3）在（1）（2）的条件下，若AP=JJ,ZDEM=15-°,则DM=.

求证DE=

EB；如图2,当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；如图1,当点E在△ABC外部时,

EH_LAB于点H,过点E作GE〃AB,交线段AC的延长线于点G,AG=5CG,BH=1.求CG的长.

23.（12分）在RSABC中，ZACB=90°,以点A为圆心，AC为半径，作。A交AB于点D,交CA的延长线于点

E,过点E作AB的平行线EF交。A于点F,连接AF、BF、DF

fD

B

(1)求证：BF是OA的切线.(2)当NCAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明.

24.(14分)在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字1,2,3的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，

搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记

下小球上的数字.

(1)用列表法或树状图法写出所有可能出现的结果；

(2)求两次取出的小球上的数字之和为奇数的概率P.

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、C

【解析】

分析：先根据题意列出二元一次方程，再根据x,y都是非负整数可求得x,y的值.

详解：解：设2元的共有x张，5元的共有y张，

由题意，2x+5y=27

x=y(27-5y)

•:x,y是非负整数，

[x=l[x=\1fx=6

＜或V[或｛Q，

[尸5[y=l[y=3

・,•付款的方式共有3种.

故选C.

点睛：本题考查二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系,

列出方程，再根据实际意义求解.

2、B

【解析】

只要证明AOCB是等边三角形，可得NCDB=gZCOB即可解决问题.

2

【详解】

如图，连接OC,

VAB=14,BC=1,

/.OB=OC=BC=1,

•♦•△OCB是等边三角形，

/.ZCOB=6()°,

.\ZCI)B=-ZCOB=30°,

2

故选B.

【点睛】

本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题

型.

3、B

【解析】

根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2,进而可求出CE2+CF2的

值.

【详解】

解：YCE平分NACB,CF平分NACD,

/.ZACE=-!-ZACB,ZACF=-ZACD,&PZECF=-(ZACB+ZACD)=90°,

222

••・△EFC为直角二角形，

又,.,EF〃BC,CE平分NACB,CF平分NACD,

r.ZECB=ZMEC=ZECM,ZDCF=ZCFM=ZMCF,

.\CM=EM=MF=5,EF=10,

由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的

角平分线），直角三角形的判定（有一个角为90。的三角形是直角三角形）以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证

明出AECF为直角三角形.

4、D

【解析】

根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题.

【详解】

8%=>'+3

由题意可得:

7x=y-4

故选D.

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组.

5、C

【解析】

本题根据科学记数法进行计算.

【详解】

因为科学记数法的标准形式为ax10〃（品间勺0且n为整数），因此0.000000007用科学记数法法可表示为7x|。夕,

故选C.

【点睛】

本题主要考察了科学记数法，熟练掌握科学记数法是本题解题的关键.

6、C

【解析】

主视图就是从正面看，看列数和每一列的个数.

【详解】

解：由图可知，主视图如下

故选c.

【点睛】

考核知识点：组合体的三视图.

7、A

【解析】

根据菱形的四条边都相等求出AB,再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD,然后判断出OE是4ABD的中位线,

再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可.

【详解】

解：:菱形ABCD的周长为28,

AAB=28T4=7,OB=OD,

・.,E为AD边中点，

，OE是△ABD的中位线，

11

AOE=-AB=-X7=3.1.

22

故选：A.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键.

8、C

【解析】

依据因式分解的定义以及提公因式法和公式法，即可得到正确结论.

【详解】

解：D选项中，多项式、2・x+2在实数范围内不能因式分解；

选项B,A中的等式不成立；

选项C中，2X2-2=2(X2-1)=2(x+1)(x-1),正确.

故选C.

【点睛】

本题考查因式分解，解决问题的关键是掌握提公因式法和公式法的方法.

9、B

【解析】

根据AB=BC=CD=L|a|+|b|=2,分四种情况进行讨论判断即可.

【详解】

*：AB=BC=CD=\t

工当点A为原点时,|a|+|b|>2,不合题意：

当点〃为原点时，⑷+例=为符合题意；

当点C为原点时，|〃|+步|=2,符合题意；

当点。为原点时，|a|+IM>2,不合题意；

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了数轴以及绝对值，解题时注意：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.

10、C

【解析】

把(-2,0)和(0,1)代入y=kx+b,求出解析式，再将A(3,m)代入，可求得m.

【详解】

把(-2,0)和(0,1)代入y=kx+b,得

—2k+b=0

'b=\f

k=-

解得'2

b=\

所以，一次函数解析式产;x+L

再将A(3,m)代入，得

15

m=-x3+l=—.

22

故选C.

【点睛】

本题考核知识点：考查了待定系数法求一次函数的解析式,根据解析式再求函数值.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、1,2,1.

【解析】

去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可求出不等式的解集，根据不等式的解集即可求出答案.

【详解】

•・l・x2・2.

••-X>-1f

Ax<l,

・♦•不等式与N-1的正整数解是1，2,1,

2

故答案为：1,2,1.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，关键是求出不等式的解集.

12、

【解析】

设点A的坐标为(m,11),由题意可知n=ml从而可知抛物线C为y=(x-m),+n,化简为y=xLlmx+1ml将x=l

代入y-xMmx+lm1,利用二次函数的性质即可求出答案.

【详解】

设点A的坐标为(m,n),m为全体实数，

由于点A在抛物线y=x】上，

由于以A为顶点的抛物线C为j-x,+bx+c,

抛物线C为y=(x-m)1+n

化简为：y=x'-lmx+mI+n=x'-Inix+lm1,

・,•令x=l»

.*»ya=4-4m+lm,=l(m-1)'+1>1,

，5仑1,

故答案为y«>l

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意求出ya=4.4m+1mJl(m-1),+1.

13、1

【解析】

先求平均数，再根据方差的公式(X1.X)'+(X1-x)'+...+(Xn-x)”计算即可.

n

【详解】

解：Vx=(S+6+7+4+3)4-5=5,

・•.数据的方差SJ(x|(5-5)'+(6-5)'+(7-5),+(4-5)'+(3-5))=1.

故答案为：1.

考点：方差.

1

14、-

3

【解析】

首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答

案.

【详解】

列表如下：

-2-12

-22-4

-12-2

2-4-2

由表可知，共有6种等可能结果，其中积为正数的有2种结果，

所以积为正数的概率为g,

故答案为:.

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于

两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

5gl

10%---------------

4

【解析】

根据上面的方法，可以令S=l+5+52+53+…-5刈了，典15s=5+52+53+…+52012+5?。%再相减算出S的值即可.

【详解】

解：令S=1+5+52+53+...+52。。，

贝!|5S=5+52+53+...+520,2+52°,8,

5S-S=-1+52018,

4S=520,8-l,

5208T

K0S=-——

4

520I8_I

故答案为:

4

【点睛】

此题参照例子，采用类比的方法就可以解决，注意这里由于都是5的次方，所以要用5s来达到抵消的目的.

16、用汽

2

【解析】

分析：连接AA，，根据勾股定理求出AC=AC,及AA，的长，然后根据勾股定理的逆定理得出△ACA，为等腰直角三角

形，然后根据弧长公式求解即可.

详解：连接AA，，如图所示.

VAC=ArC=V5»AA*=Vi0»

，AC2+A，C2=AA〃，

•••△ACA，为等腰直角三角形，

.\ZACAr=90°,

点A走过的路径长=29_x2;rAC=@7T.

3602

故答案为：3.

点睛：本题主要考查了几何变换的类型以及勾股定理及逆定理的运用，弧长公式，解题时注意：在旋转变换下，对应

线段相等.解决问题的关键是找出变换的规律，根据弧长公式求解.

1

17、-

4

【解析】

先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可.

【详解】

解：♦・•四边形是平行四边形，

・••对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，

观察发现：图中阴影部分面积=1S四边形，

.•.针头扎在阴影区域内的概率为-:

4

故答案为：

4

【点睛】

此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)y=-i-x2+x；(2)1=4r=-l.

【解析】

(I)由①联立方程组，根据抛物线y=ax2+bx与直线y=x只有一个交点可以求出b的值，由②可得对称轴为x=L从

而得a的值，进而得出结论；

(2)进行分类讨论，分别求出t和r的值.

【详解】

(1)y=ax2+bx和y=x联立得：ax2+(b+l)x=O,

A=0得：31产=0,得b=L

—X+5+x—3

•・•对称轴为-------------------=1

2

.b

•♦----=1,

2a

•♦a•」cl—9

2

1,

:.v=----xZ3

•2

(2)因为y=-gx2+x=-g(x・l)2+；,

所以顶点(1,!)

2

当・2<r<L且#0时，

当x=i•时，y会大=-5产+「=].5!*,得「=-1,

当x=-2时，y最小=-4,

所以，这时t=-4,r=-l.

当r>l时，

1-1

y最大=5，所以1.5r=—,

所以口!，不合题意，舍去,

综上可得，t=-4,r=-l.

【点睛】

本题考查二次函数综合题，解题的关键是理解题意，利用二次函数的性质解决问题.

19、(1)AAr=CCr；(2)成立，证明见解析；(3)AA，=2回-3

2

【解析】

(1)连接AC、ACS根据题意得到点A、A，、C\C在同一条直线上，根据矩形的性质得到OA=OC,OA，=OC，，

得到答案；

(2)连接AC、AC，，证明△AgAgZkCOC,根据全等三角形的性质证明：

(3)连接AC,过C作CEJ_AB，，交AB，的延长线于E,根据相似多边形的性质求出B，U,根据勾股定理计算即可.

【详解】

(1)AA'=CC',

理由如下：连接AC、ATS

图1

•.•矩形ABCDs矩形A，BO,ZCAB=ZC,A,Br,

•・LVB'〃AB,

・••点A、A\C\C在同一条直线上，

由矩形的性质可知，OA=OC,(/V=OC)

.,.AAr=CC\

故答案为A」A，=CC；

(2)(1)中的结论还成立，AA=CC\

理由如下：连接AC、/VC。则AC、AXT都经过点0,

由旋转的性质可知，NA9A=NCOC,

丁四边形ABCD和四边形A，BO都是矩形,

.*.OA=OC,OA'=OC',

在2人94和4CfOC中,

()A=()C

{ZA,OA=ZCOCt

OA!=OC

•••△A'OAg^C'OC,

・・・AA，=CG；

(3)连接AC,过C作CE_LAB，，交AB，的延长线于E,

;矩形ABCDs矩形ABO,

.•的=工,即纥旦，

ArB'B'C3B'C

解得，B，C=4,

*.•NEB'C=NB'C'C=NE=90°,

.••四边形B，ECO为矩形，

・・.EC=BC=4,

在RSABC中，&C=JAB2+BC?=1。，

在RtAAEC中，AE=y]AC2-CE2=2721，

，AA，+ITE=2&T-3,又AA，=CO=B£

【点睛】

本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，掌握旋转变换的性质、矩形的性质是解题的

关键.

20、—.

5

【解析】

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入

计算即可求出值.

【详解】

2x+2-x+l(x+l)(x-l).v+3(.r+l)(x-l)x-i

-x+1(x+3)2-x+\(x+3)2x+3

当x=l时，原式.

2+35

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

21、(1)DM=AD+AP;(2)®DM=AD-AP;®DM=AP-AD;(3)3-6或8-1.

【解析】

(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADPgZiPFN,进而解答即可；

(2)①根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP^APFN,进而解答即可；

②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP^APFN,进而解答即可；

(3)分两种情况利用勾股定理和三角函数解答即可.

【详解】

(1)DM=/\D+AP,理由如下：

;正方形ABCD,

ADC=AB,NDAP-90。，

•・・将DP绕点P旋转90。得到，EP,连接DE,过点E作CD的垂线，交射线DC于M,交射线AB于N,

ADP=PE,ZPNE=90n,ZDPE=90°,

VZADP+ZDPA=90D,ZDPA+ZEPN=90\

AZDAP=ZEPN,

在AADP与△NPE中，

4ADP=4NPE

{/DAP=/PNE=90°,

DP=PE

/.△ADP^ANPE(AAS),

r.AD=PN,AP=EN,

AAN=DM=AP+PN=AD+AP；

(2)@DM=AD-AP,理由如下•:

•.•正方形ABCD,

/.DC=AB,ZDAP=90°,

••・,将DP绕点P旋转90。得到EP,连接DE,过点E作CD的垂线，交射线DC于M,交射线AB于N,

ADP=PE,ZPNE=90°,ZDPE=90°,

VZADP+ZDPA=90°,ZDPA+ZEPN=90\

，NDAP=NEPN,

在AADP^ANPE中，

4ADP=/NPE

(NDAP=NPNE=9()°,

DP=PE

.'.AADP^ANPE(AAS),

；.AD=PN,AP=EN,

.\AN=DM=PN-AP=AD-AP；

®DM=AP-AD,理由如下：

,:ZDAP+ZEPN=90°,ZEPN+ZPEN=900,

.,.ZDAP=ZPEN,

又•.•NA=/PNE=90。，DP=PE,

.,.△DAP^APEN,

.•・A」D=PN,

ADM=AN=AP-PN=AP-AD；

(3)有两种情况，如图2,DM=3-石，如图3,DM=JJ-1；

①如图2：・.・NDEM=15。，

/.ZPDA=ZPDE-ZADE=45°-15°=30°,

AP二G

u

在RtAPAD中AP=,AD=lan30-忑=3,

T

/.DM=AD-AP=3-6；

②如图3：VZDEM=15°,

/.ZPDA=ZPDE-ZADE=45°-15°=30°,

在RtAPAD中AP=75,AD=AP・tan30o="史=1,

ADM=AP-AD=V3-1.

故答案为：DM=AD+AP.DM=AD-AP：3-氏或6-1.

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质全等三角形的判定和性质，分类讨论的数学思想解决问题，判断出

AADP^APFN是解本题的关键.

22、(1)证明见解析；(2)ED=EB,证明见解析；(1)CG=2.

【解析】

(l)^根据等边三角形的性质得出NCED=60。，从而得出NEDB=10。，从而得出DE=BE；

(2)、取AB的中点O,连接CQ、EO,根据AACO和△CDE为等边三角形，从而得出△ACD和△QCE全等，然后

得出△COE和△BOE全等，从而得出答案；

(l)^取AB的中点。，连接CO、EO、EB,根据题意得出△COE和△BOE全等，然后得出△CEG和△DCO全等，

设CG=a,则AG=5a,OD=a,根据题意列出一元一次方程求出a的值得出答案.

【详解】