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文档简介

湖南省醴陵市第二中学2025届高三考前热身数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设,,则()A. B.C. D.2.如图,抛物线:的焦点为,过点的直线与抛物线交于,两点,若直线与以为圆心,线段(为坐标原点)长为半径的圆交于,两点,则关于值的说法正确的是()A.等于4 B.大于4 C.小于4 D.不确定3.“”是“函数(为常数)为幂函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.“”是“直线与互相平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.若实数满足不等式组则的最小值等于()A. B. C. D.6.已知集合的所有三个元素的子集记为.记为集合中的最大元素,则()A. B. C. D.7.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,,已知函数(),则函数的值域为()A. B. C. D.8.已知空间两不同直线、,两不同平面,,下列命题正确的是()A.若且,则 B.若且,则C.若且,则 D.若不垂直于,且,则不垂直于9.已知函数,,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.10.集合的真子集的个数为()A.7 B.8 C.31 D.3211.设,,是非零向量.若,则()A. B. C. D.12.一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合,如果圆锥的表面积与半球的表面积相等,那么这个圆锥轴截面底角的大小是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数的定义域为,其图象如图所示.函数是定义域为的奇函数,满足,且当时,.给出下列三个结论:①;②函数在内有且仅有个零点;③不等式的解集为.其中,正确结论的序号是________.14.根据如图的算法,输出的结果是_________.15.已知,椭圆的方程为,双曲线方程为,与的离心率之积为,则的渐近线方程为________.16.在中,已知是的中点,且,点满足,则的取值范围是_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)为了实现中华民族伟大复兴之梦,把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国,党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”,某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时,为创造更大价值,提高亩产量,积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别,该农场选取了40间大棚(每间一亩),分成两组,每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案,第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季,得到各间大棚产量数据信息如下图:(1)如果你是该农场的负责人,在只考虑亩产量的情况下,请根据图中的数据信息,对于下一季大棚蔬菜的种植,说出你的决策方案并说明理由;(2)已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案,光照设备每年的成本为0.22千元/亩;若采用夜间降温的方案,降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间(每间1亩),农场种植的该蔬菜每年产出两次,且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据,用样本估计总体,请计算在两种不同的方案下,种植该蔬菜一年的平均利润;(3)农场根据以往该蔬菜的种植经验,认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间,记增产明显的大棚间数为,求的分布列及期望.18.(12分)已知函数.(1)若在上单调递增,求实数的取值范围;(2)若,对,恒有成立,求实数的最小值.19.(12分)已知,,求证:(1);(2).20.(12分)在直角坐标系中,是过定点且倾斜角为的直线;在极坐标系(以坐标原点为极点,以轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线的极坐标方程为.(1)写出直线的参数方程,并将曲线的方程化为直角坐标方程;(2)若曲线与直线相交于不同的两点,求的取值范围.21.(12分)已知.(Ⅰ)若,求不等式的解集;(Ⅱ),,,求实数的取值范围.22.(10分)已知抛物线的焦点为,直线交于两点(异于坐标原点O).(1)若直线过点,,求的方程;(2)当时,判断直线是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,说明理由.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由不等式的性质及换底公式即可得解.【详解】解:因为,,则,且,所以,,又,即,则,即,故选:D.【点睛】本题考查了不等式的性质及换底公式,属基础题.2、A【解析】

利用的坐标为,设直线的方程为,然后联立方程得,最后利用韦达定理求解即可【详解】据题意,得点的坐标为.设直线的方程为,点,的坐标分别为,.讨论:当时,;当时,据,得,所以,所以.【点睛】本题考查直线与抛物线的相交问题,解题核心在于联立直线与抛物线的方程,属于基础题3、A【解析】

根据幂函数定义,求得的值,结合充分条件与必要条件的概念即可判断.【详解】∵当函数为幂函数时,,解得或,∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题考查了充分必要条件的概念和判断,幂函数定义的应用,属于基础题.4、A【解析】

利用两条直线互相平行的条件进行判定【详解】当时,直线方程为与,可得两直线平行;若直线与互相平行,则,解得,,则“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件,故选【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质,充分条件,必要条件的定义和判断方法,属于基础题.5、A【解析】

首先画出可行域,利用目标函数的几何意义求的最小值.【详解】解:作出实数,满足不等式组表示的平面区域(如图示:阴影部分)由得,由得,平移,易知过点时直线在上截距最小,所以.故选:A.【点睛】本题考查了简单线性规划问题,求目标函数的最值先画出可行域,利用几何意义求值,属于中档题.6、B【解析】

分类讨论,分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数,即可得解.【详解】集合含有个元素的子集共有,所以.在集合中:最大元素为的集合有个;最大元素为的集合有;最大元素为的集合有;最大元素为的集合有;所以.故选:.【点睛】此题考查集合相关的新定义问题,其本质在于弄清计数原理,分类讨论,分别求解.7、B【解析】

利用换元法化简解析式为二次函数的形式,根据二次函数的性质求得的取值范围,由此求得的值域.【详解】因为(),所以,令(),则(),函数的对称轴方程为,所以,,所以,所以的值域为.故选:B【点睛】本小题考查函数的定义域与值域等基础知识,考查学生分析问题,解决问题的能力,运算求解能力,转化与化归思想,换元思想,分类讨论和应用意识.8、C【解析】因答案A中的直线可以异面或相交,故不正确;答案B中的直线也成立,故不正确;答案C中的直线可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直,是正确的;答案D中直线也有可能垂直于直线,故不正确.应选答案C.9、B【解析】

可判断函数在上单调递增,且,所以.【详解】在上单调递增,且,所以.故选:B【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定,指数函数与对数函数的性质,利用单调性比大小等知识,考查了学生的运算求解能力.10、A【解析】

计算,再计算真子集个数得到答案.【详解】,故真子集个数为:.故选:.【点睛】本题考查了集合的真子集个数,意在考查学生的计算能力.11、D【解析】试题分析:由题意得:若,则;若,则由可知,,故也成立,故选D.考点:平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是:①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易);②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难);③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.12、D【解析】

设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得即可得圆锥轴截面底角的大小.【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有,解得,所以圆锥轴截面底角的余弦值是,底角大小为.故选:D【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、①③【解析】

利用奇函数和,得出函数的周期为,由图可直接判断①;利用赋值法求得,结合,进而可判断函数在内的零点个数,可判断②的正误;采用换元法,结合图象即可得解,可判断③的正误.综合可得出结论.【详解】因为函数是奇函数,所以,又,所以,即,所以,函数的周期为.对于①,由于函数是上的奇函数,所以,,故①正确;对于②,,令,可得,得,所以,函数在区间上的零点为和.因为函数的周期为,所以函数在内有个零点,分别是、、、、,故②错误;对于③,令,则需求的解集,由图象可知,,所以,故③正确.故答案为:①③.【点睛】本题考查函数的图象与性质,涉及奇偶性、周期性和零点等知识点,考查学生分析问题的能力和数形结合能力,属于中等题.14、55【解析】

根据该For语句的功能,可得,可得结果【详解】根据该For语句的功能,可得则故答案为:55【点睛】本题考查For语句的功能,属基础题.15、【解析】

求出椭圆与双曲线的离心率,根据离心率之积的关系,然后推出关系,即可求解双曲线的渐近线方程.【详解】,椭圆的方程为,的离心率为:,双曲线方程为,的离心率:,与的离心率之积为,,,的渐近线方程为:,即.故答案为:【点睛】本题考查了椭圆、双曲线的几何性质,掌握椭圆、双曲线的离心率公式,属于基础题.16、【解析】

由中点公式的向量形式可得,即有,设,有,再分别讨论三点共线和不共线时的情况,找到的关系,即可根据函数知识求出范围.【详解】是的中点,∴,即设,于是(1)当共线时,因为,①若点在之间,则,此时,;②若点在的延长线上,则,此时,.(2)当不共线时,根据余弦定理可得,解得,由,解得.综上,故答案为:.【点睛】本题主要考查学中点公式的向量形式和数量积的定义的应用,以及余弦定理的应用,涉及到函数思想和分类讨论思想的应用,解题关键是建立函数关系式,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)(i)该农场若采用延长光照时间的方法,预计每年的利润为426千元;(ii)若采用降低夜间温度的方法,预计每年的利润为424千元;(3)分布列见解析,.【解析】

(1)估计第一组数据平均数和第二组数据平均数来选择.(2)对于两种方法,先计算出每亩平均产量,再算农场一年的利润.(3)估计频率分布直方图可知,增产明显的大棚间数为5间,由题意可知,的可能取值有0,1,2,3,再算出相应的概率,写出分布列,再求期望.【详解】(1)第一组数据平均数为千斤/亩,第二组数据平均数为千斤/亩,可知第一组方法较好,所以采用延长光照时间的方法;((2)(i)对于采用延长光照时间的方法:每亩平均产量为千斤.∴该农场一年的利润为千元.(ii)对于采用降低夜间温度的方法:每亩平均产量为千斤,∴该农场一年的利润为千元.因此,该农场若采用延长光照时间的方法,预计每年的利润为426千元;若采用降低夜间温度的方法,预计每年的利润为424千元.(3)由图可知,增产明显的大棚间数为5间,由题意可知,的可能取值有0,1,2,3,;;;.所以的分布列为0123所以.【点睛】本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列,还考查了数据处理和运算求解的能力,属于中档题.18、(1)(2)【解析】

(1)求得,根据已知条件得到在恒成立,由此得到在恒成立,利用分离常数法求得的取值范围.(2)构造函数设,利用求二阶导数的方法,结合恒成立,求得的取值范围,由此求得的最小值.【详解】(1)因为在上单调递增,所以在恒成立,即在恒成立,当时,上式成立,当,有,需,而,,,,故综上,实数的取值范围是(2)设,,则,令,,在单调递增,也就是在单调递增,所以.当即时,,不符合;当即时,,符合当即时,根据零点存在定理,,使,有时,,在单调递减,时,,在单调递增,成立,故只需即可,有,得,符合综上得,,实数的最小值为【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查化归与转化的数学思想方法,考查分类讨论的数学思想方法,属于难题.19、(1)见解析;(2)见解析.【解析】

(1)结合基本不等式可证明;(2)利用基本不等式得,即,同理得其他两个式子,三式相加可证结论.【详解】(1)∵,∴,当且仅当a=b=c等号成立,∴;(2)由基本不等式,∴,同理,,∴,当且仅当a=b=c等号成立∴.【点睛】本题考查不等式的证明,考查用基本不等式证明不等式成立.解题关键是发现基本不等式的形式,方法是综合法.20、(1)(为参数),;(2)【解析】分析:(1)直线的参数方程为(为参数),其中表示之间的距离,而极坐标方程可化为,从而的直角方程为.(2)设,则,利用在圆上得到满足的方程,最后利用韦达定理就可求出两条线段的和.详解:(1)直线的参数方程为(为

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