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文档简介

2025届山东省邹城市实验中学高考数学全真模拟密押卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.集合的真子集的个数为()A.7 B.8 C.31 D.322.定义在上的奇函数满足,若,,则()A. B.0 C.1 D.23.某学校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5,30],样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A.56 B.60 C.140 D.1204.如图,某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的,则该几何体的体积为()A. B. C.6 D.与点O的位置有关5.记为数列的前项和数列对任意的满足.若,则当取最小值时,等于()A.6 B.7 C.8 D.96.已知等差数列满足,公差,且成等比数列,则A.1 B.2 C.3 D.47.已知抛物线:,直线与分别相交于点,与的准线相交于点,若,则()A.3 B. C. D.8.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则9.关于函数,有下列三个结论:①是的一个周期;②在上单调递增;③的值域为.则上述结论中,正确的个数为()A. B. C. D.10.已知四棱锥,底面ABCD是边长为1的正方形,,平面平面ABCD,当点C到平面ABE的距离最大时,该四棱锥的体积为()A. B. C. D.111.函数的图象大致为()A. B.C. D.12.若函数满足,且,则的最小值是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数满足,当时,,若函数在上有1515个零点,则实数的范围为___________.14.函数的定义域为____.15.设满足约束条件,则目标函数的最小值为_.16.过动点作圆:的切线,其中为切点,若(为坐标原点),则的最小值是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知动圆Q经过定点,且与定直线相切(其中a为常数,且).记动圆圆心Q的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线?(2)设点P的坐标为,过点P作曲线C的切线,切点为A,若过点P的直线m与曲线C交于M,N两点,则是否存在直线m,使得?若存在,求出直线m斜率的取值范围;若不存在,请说明理由.18.(12分)已知f(x)=|x+3|-|x-2|(1)求函数f(x)的最大值m;(2)正数a,b,c满足a+2b+3c=m,求证:19.(12分)如图,在四面体中,.(1)求证:平面平面;(2)若,求四面体的体积.20.(12分)已知在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB(1)求b的值;(2)若cosB+3sin21.(12分)如图,在四棱锥中,侧棱底面,,,,是棱的中点.(1)求证:平面;(2)若,点是线段上一点,且,求直线与平面所成角的正弦值.22.(10分)在平面直角坐标系中,有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进,且每一步只能行进1个单位长度,例如:该机器人在点处时,下一步可行进到、、、这四个点中的任一位置.记该机器人从坐标原点出发、行进步后落在轴上的不同走法的种数为.(1)分别求、、的值;(2)求的表达式.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

计算,再计算真子集个数得到答案.【详解】,故真子集个数为:.故选:.【点睛】本题考查了集合的真子集个数,意在考查学生的计算能力.2、C【解析】

首先判断出是周期为的周期函数,由此求得所求表达式的值.【详解】由已知为奇函数,得,而,所以,所以,即的周期为.由于,,,所以,,,.所以,又,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性,属于基础题.3、C【解析】

试题分析:由题意得,自习时间不少于小时的频率为,故自习时间不少于小时的频率为,故选C.考点:频率分布直方图及其应用.4、B【解析】

根据三视图还原直观图如下图所示,几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积,即可求出结论.【详解】如下图是还原后的几何体,是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的,正方体的体积为8,四棱锥的底面是边长为2的正方形,顶点O在平面上,高为2,所以四棱锥的体积为,所以该几何体的体积为.故选:B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积,还原几何体的直观图是解题的关键,属于基础题.5、A【解析】

先令,找出的关系,再令,得到的关系,从而可求出,然后令,可得,得出数列为等差数列,得,可求出取最小值.【详解】解法一:由,所以,由条件可得,对任意的,所以是等差数列,,要使最小,由解得,则.解法二:由赋值法易求得,可知当时,取最小值.故选:A【点睛】此题考查的是由数列的递推式求数列的通项,采用了赋值法,属于中档题.6、D【解析】

先用公差表示出,结合等比数列求出.【详解】,因为成等比数列,所以,解得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题,化归基本量,寻求等量关系是求解的关键.7、C【解析】

根据抛物线的定义以及三角形的中位线,斜率的定义表示即可求得答案.【详解】显然直线过抛物线的焦点如图,过A,M作准线的垂直,垂足分别为C,D,过M作AC的垂线,垂足为E根据抛物线的定义可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M为AN的中点,所以MD为三角形NAC的中位线,故MD=CE=EA=AC设MF=t,则MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故选:C【点睛】本题考查求抛物线的焦点弦的斜率,常见于利用抛物线的定义构建关系,属于中档题.8、C【解析】

在A中,与相交或平行;在B中,或;在C中,由线面垂直的判定定理得;在D中,与平行或.【详解】设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则:在A中,若,,则与相交或平行,故A错误;在B中,若,,则或,故B错误;在C中,若,,则由线面垂直的判定定理得,故C正确;在D中,若,,则与平行或,故D错误.故选C.【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题.9、B【解析】

利用三角函数的性质,逐个判断即可求出.【详解】①因为,所以是的一个周期,①正确;②因为,,所以在上不单调递增,②错误;③因为,所以是偶函数,又是的一个周期,所以可以只考虑时,的值域.当时,,在上单调递增,所以,的值域为,③错误;综上,正确的个数只有一个,故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的性质应用.10、B【解析】

过点E作,垂足为H,过H作,垂足为F,连接EF.因为平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.设,将表示成关于的函数,再求函数的最值,即可得答案.【详解】过点E作,垂足为H,过H作,垂足为F,连接EF.因为平面平面ABCD,所以平面ABCD,所以.因为底面ABCD是边长为1的正方形,,所以.因为平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.易证平面平面ABE,所以点H到平面ABE的距离,即为H到EF的距离.不妨设,则,.因为,所以,所以,当时,等号成立.此时EH与ED重合,所以,.故选:B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意辅助线及面面垂直的应用.11、A【解析】

确定函数在定义域内的单调性,计算时的函数值可排除三个选项.【详解】时,函数为减函数,排除B,时,函数也是减函数,排除D,又时,,排除C,只有A可满足.故选:A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象,可通过解析式研究函数的性质,如奇偶性、单调性、对称性等等排除,可通过特殊的函数值,函数值的正负,函数值的变化趋势排除,最后剩下的一个即为正确选项.12、A【解析】

由推导出,且,将所求代数式变形为,利用基本不等式求得的取值范围,再利用函数的单调性可得出其最小值.【详解】函数满足,,即,,,,即,,则,由基本不等式得,当且仅当时,等号成立.,由于函数在区间上为增函数,所以,当时,取得最小值.故选:A.【点睛】本题考查代数式最值的计算,涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用,考查计算能力,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由已知,在上有3个根,分,,,四种情况讨论的单调性、最值即可得到答案.【详解】由已知,的周期为4,且至多在上有4个根,而含505个周期,所以在上有3个根,设,,易知在上单调递减,在,上单调递增,又,.若时,在上无根,在必有3个根,则,即,此时;若时,在上有1个根,注意到,此时在不可能有2个根,故不满足;若时,要使在有2个根,只需,解得;若时,在上单调递增,最多只有1个零点,不满足题意;综上,实数的范围为.故答案为:【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题,涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点,是一道中档题.14、【解析】由题意得,解得定义域为.15、【解析】

根据满足约束条件,画出可行域,将目标函数,转化为,平移直线,找到直线在轴上截距最小时的点,此时,目标函数取得最小值.【详解】由满足约束条件,画出可行域如图所示阴影部分:将目标函数,转化为,平移直线,找到直线在轴上截距最小时的点此时,目标函数取得最小值,最小值为故答案为:-1【点睛】本题主要考查线性规划求最值,还考查了数形结合的思想方法,属于基础题.16、【解析】解答:由圆的方程可得圆心C的坐标为(2,2),半径等于1.由M(a,b),则|MN|2=(a−2)2+(b−2)2−12=a2+b2−4a−4b+7,|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b2−4a−4b+7=a2+b2.整理得:4a+4b−7=0.∴a,b满足的关系为:4a+4b−7=0.求|MN|的最小值,就是求|MO|的最小值.在直线4a+4b−7=0上取一点到原点距离最小,由“垂线段最短”得,直线OM垂直直线4a+4b−7=0,由点到直线的距离公式得:MN的最小值为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),抛物线;(2)存在,.【解析】

(1)设,易得,化简即得;(2)利用导数几何意义可得,要使,只需.联立直线m与抛物线方程,利用根与系数的关系即可解决.【详解】(1)设,由题意,得,化简得,所以动圆圆心Q的轨迹方程为,它是以F为焦点,以直线l为准线的抛物线.(2)不妨设.因为,所以,从而直线PA的斜率为,解得,即,又,所以轴.要使,只需.设直线m的方程为,代入并整理,得.首先,,解得或.其次,设,,则,..故存在直线m,使得,此时直线m的斜率的取值范围为.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用,涉及抛物线中的存在性问题,考查学生的计算能力,是一道中档题.18、(1)(2)见解析【解析】

(1)利用绝对值三角不等式求得的最大值.(2)由(1)得.方法一,利用柯西不等式证得不等式成立;方法二,利用“的代换”的方法,结合基本不等式证得不等式成立.【详解】(1)由绝对值不等式性质得当且仅当即时等号成立,所以(2)由(1)得.法1:由柯西不等式得当且仅当时等号成立,即,所以.法2:由得,,当且仅当时“=”成立.【点睛】本小题主要考查绝对值三角不等式,考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式,属于中档题.19、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)取中点,连接,根据等腰三角形的性质得到,利用全等三角形证得,由此证得平面,进而证得平面平面.(2)由(1)知平面,即是四面体的面上的高,结合锥体体积公式,求得四面体的体积.【详解】(1)证明:如图,取中点,连接,由则,则,故故,平面.又平面,故平面平面(2)由(1)知平面,即是四面体的面上的高,且.在中,,由勾股定理易知故四面体的体积【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查锥体体积计算,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.20、(1)b=32【解析】试题分析:(1)本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b的值,所以可以考虑到根据余弦定理将cosB,cosC分别用边表示,再根据正弦定理可以将sinAsinC转化为ac,于是可以求出b的值;(2)首先根据sinB+3cosB=2求出角B的值,根据第(1)问得到的b值,可以运用正弦定理求出ΔABC外接圆半径R,于是可以将a+c转化为2RsinA+2R试题解析:(1)由cosB应用余弦定理,可得a2化简得2b=3则b=(2)∵cos∴12cos∵B∈(0,π)∴B+π6=法一.∵2R=b则a+c==sin=3=3sin又∵0<A<2π3,法二因为b=32得34又因为ac≤(a+c2)2所以34=(a+c)∴a+c≤3又由三边关系定理可知综上a+c∈(考点:1.正、余弦定理;2.正弦型函数求值域;3.重要不等式的应用.21、(1)证明见解析;(2)【解析】

(1)的中点,

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