2025届山西省临汾一中高三3月份模拟考试数学试题含解析

2025届山西省临汾一中高三3月份模拟考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设复数满足，则（）A． B． C． D．2．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度3．已知数列是公比为的等比数列，且，若数列是递增数列，则的取值范围为（）A． B． C． D．4．已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），则f（x）的最小值为（）A． B． C． D．5．如图，在中，点，分别为，的中点，若，，且满足，则等于（）A．2 B． C． D．6．己知全集为实数集R，集合A={x|x2+2x-8>0}，B={x|log2x<1}，则等于（）A．[4,2] B．[4,2) C．(4,2) D．(0,2)7．的内角的对边分别为，若，则内角（）A． B． C． D．8．已知函数，且)，则“在上是单调函数”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知数列的前项和为，且，，则()A． B． C． D．10．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为()A． B． C．6 D．与点O的位置有关11．已知直线和平面，若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．不充分不必要12．在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，，公积为，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，若，则________.14．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，则∁U(A∪B)＝________.15．某校高三年级共有名学生参加了数学测验（满分分），已知这名学生的数学成绩均不低于分，将这名学生的数学成绩分组如下：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是________（填序号）．①；②这名学生中数学成绩在分以下的人数为；③这名学生数学成绩的中位数约为；④这名学生数学成绩的平均数为．16．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的取值范围是_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前项和为，且满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：．18．（12分）已知函数（I）若讨论的单调性；（Ⅱ）若，且对于函数的图象上两点，存在，使得函数的图象在处的切线.求证：.19．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，若方程有两个不相等的实数根，求证：.20．（12分）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为AB，BC的中点.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.21．（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）若函数最小值为，且，求的最小值.22．（10分）如图，正方体的棱长为2，为棱的中点.（1）面出过点且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求与该平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据复数运算，即可容易求得结果.【详解】.故选：D.【点睛】本题考查复数的四则运算，属基础题.2、D【解析】

通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.【详解】根据题意，故只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.3、D【解析】

先根据已知条件求解出的通项公式，然后根据的单调性以及得到满足的不等关系，由此求解出的取值范围.【详解】由已知得，则.因为，数列是单调递增数列，所以，则，化简得，所以.故选：D.【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据之间的大小关系分析问题.4、A【解析】

先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为，再求最值.【详解】已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），=，=，因为，所以f（x）的最小值为.故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5、D【解析】

选取为基底，其他向量都用基底表示后进行运算．【详解】由题意是的重心，，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．6、D【解析】

求解一元二次不等式化简A，求解对数不等式化简B，然后利用补集与交集的运算得答案.【详解】解：由x2+2x-8>0，得x＜-4或x＞2，

∴A={x|x2+2x-8>0}＝{x|x＜-4或x＞2}，

由log2x<1，x＞0，得0＜x＜2，

∴B={x|log2x<1}＝{x|0＜x＜2}，

则，

∴.

故选：D.【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题.7、C【解析】

由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得．【详解】∵，由正弦定理可得，∴，三角形中，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．8、C【解析】

先求出复合函数在上是单调函数的充要条件，再看其和的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案.【详解】，且)，由得或，即的定义域为或，（且）令，其在单调递减，单调递增，在上是单调函数，其充要条件为即.故选：C.【点睛】本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.9、C【解析】

根据已知条件判断出数列是等比数列，求得其通项公式，由此求得.【详解】由于，所以数列是等比数列，其首项为，第二项为，所以公比为.所以，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.10、B【解析】

根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论.【详解】如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点O在平面上，高为2，所以四棱锥的体积为，所以该几何体的体积为.故选:B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.11、B【解析】

由线面关系可知，不能确定与平面的关系，若一定可得，即可求出答案.【详解】,不能确定还是，，当时，存在，，由又可得，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.12、B【解析】

计算出的值，推导出，再由，结合数列的周期性可求得数列的前项和.【详解】由题意可知，则对任意的，，则，，由，得，，，，因此，.故选：B.【点睛】本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

由题意先求得的值，可得，再令，可得结论．【详解】已知，，，，令，可得，故答案为：1．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．14、{5}【解析】易得A∪B＝A＝{1,3,9}，则∁U(A∪B)＝{5}．15、②③【解析】

由频率分布直方图可知，解得，故①不正确；这名学生中数学成绩在分以下的人数为，故②正确；设这名学生数学成绩的中位数为，则，解得，故③正确；④这名学生数学成绩的平均数为，故④不正确．综上，说法正确的序号是②③．16、【解析】

计算出角的取值范围，结合正弦定理可求得的取值范围.【详解】，则，所以，，由正弦定理，.因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了正弦定理，正弦函数图象和性质，考查了转化思想，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ），．（Ⅱ）见解析【解析】

（1）由，分和两种情况，即可求得数列的通项公式；（2）由题，得，利用等比数列求和公式，即可得到本题答案.【详解】（Ⅰ）解：由题，得当时，，得；当时，，整理，得．数列是以1为首项，2为公比的等比数列，，；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，故．故得证．【点睛】本题主要考查根据的关系式求通项公式以及利用等比数列的前n项和公式求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.18、(1)见解析(2)见证明【解析】

(1)对函数求导，分别讨论，以及，即可得出结果；(2)根据题意，由导数几何意义得到，将证明转化为证明即可，再令，设，用导数方法判断出的单调性，进而可得出结论成立.【详解】（1）解：易得，函数的定义域为，，令，得或.①当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增.此时，的减区间为，增区间为.②当时，时，，函数单调递减；或时，，函数单调递增.此时，的减区间为，增区间为，.③当时，时，，函数单调递增；此时，的减区间为.综上，当时，的减区间为，增区间为：当时，的减区间为，增区间为.；当时，增区间为.（2）证明：由题意及导数的几何意义，得由（1）中得.易知，导函数在上为增函数，所以，要证，只要证，即，即证.因为，不妨令，则.所以，所以在上为增函数，所以，即，所以，即，即.故有（得证）.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性以及函数极值等即可，属于常考题型.19、（1）；（2）当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；（3）证明见解析.【解析】

（1）当时，，求得其导函数，，可求得函数的图象在处的切线方程；（2）由已知得，得出导函数，并得出导函数取得正负的区间，可得出函数的单调性；（3）当时，，，由（2）得的单调区间，以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，构造函数，分析其导函数的正负得出函数的单调性，得出其最值，所证的不等式可得证.【详解】（1）当时，，所以，，所以函数的图象在处的切线方程为，即；（2）由已知得，，令，得，所以当时，，当时，，所以在上是减函数，在上是增函数；（3）当时，，，由（2）得在上单调递减，在单调递增，所以，且时，，当时，，，所以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，构造函数，则，当时，所以，在上单调递减，且，，由，在上单调递增，.所以.【点睛】本题考查运用导函数求函数在某点的切线方程，讨论函数的单调性，以及证明不等式，关键在于构造适当的函数，得出其导函数的正负，得出所构造的函数的单调性，属于难度题.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）通过证明面，即可由线面垂直推证面面垂直；（2）根据面，将问题转化为求到面的距离，利用等体积法求点面距离即可.【详解】（1）因为棱柱是直三棱柱，所以又，所以面又，分别为AB，BC的中点所以//即面又面，所以平面平面（2）由（1）可知////所以//平面即点到平面的距离等于点到平面的距离设点到面的距离为由（1）可知，面且在中，，易知由等体积公式可知即由得所以到平面的距离等于【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，涉及利用等体积法求点面距离，属综合中档题.21、（1）（2）【解析】

（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）先求得，即，再根据“的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值.【详解】（1）当时，，即，无解；当时，，即，得；当时，，即，得.故所求不等式的解集为.（2）因为，所以，则，.当且仅当即时取等号.故的最小值