江西省南昌一中教育集团2023-2024学年八年级上学期期末数学试题含答案及解析

2023-2024学年第一学期期末阶段性学习质量检测初二数学试卷说明∶1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间100分钟．2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，写在试卷上的答案无效．一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.年第届世界大学生运动会在成都举行，如图所示历届大运会会徽是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列计算正确的是（）A. B.C D.3.如图，将一个三角形剪去一个的内角，剩下图形的内角和是（

）A B. C. D.4.根据下列已知条件，能唯一画出的是（）A.，， B.，，C.，， D.，5.若，，则的值为（）A.3 B.4 C.12 D.186.两个分式，，其中，则A与B的关系是()A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 D.A大于B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.当______时，分式的值为0．8.分解因式：________．9已知，则______．10.如图，，且，且，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积_______．11.如图，△中，，将△沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若，，则______度．12.在中，，点在线段上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是__________．三、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）分解因式：；（2）解方程：．14.化简求值：，并从，0，1中任意选一个数代入求值．15.已知，，求下列式子的值：（1）（2）16.如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度直尺在图①和图②中按要求作图．（1）在图①中，画等腰三角形，使其面积为3（画出一个即可）；（2）在图②中，画等腰直角三角形，使其面积为（画出一个即可）．17.如图，在中，，，求的度数．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.如图，于于，若．（1）求证：平分．（2）写出与之间的等量关系，并说明理由．19.第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州开幕．学校准备用1600元购买A，B两种亚运会纪念徽章作为“魅力校园”的活动奖品，已知A种徽章比B种徽章每件多20元．（1）若700元用于购买A种徽章，剩下资金全部购买B种徽章，且购买B种徽章的数量是A种徽章数量的3倍．求A，B两种徽章每件的价格；（2）购买当日恰逢国庆促销，两种徽章均打八折销售，学校临时调整购买方案，在不超过原资金的前提下，准备购买A，B两种徽章共120件．问最多可以购买A种徽章多少件？20.定义：若i的平方等于，即，则i叫做虚数单位．我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．复数有如下特点：①它的加减法和乘法运算，与整式的加减法和乘法运算类似，如：；．②若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数为共轭复数．如的共轭复数为．（1）填空：①；②；（2）若是的共轭复数，求的值；（3）已知，求的值．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.【母题呈现】观察图①，用等式表示下图中图形的面积的运算为．【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为．【知识应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则_____．（2）若x满足，求值．拓展应用】如图③，四边形中，于点E，，，，若E与的面积和为，则与的面积和为．

22.如图所示，三个相同的直角三角形拼成一个四边形．（1）写出图1中互相平行的线段：、、；（2）如图2，若点M是线段的三等分点，点P是线段上的一个动点，画出取得最小值时点P的位置，并说明理由；（3）如图3，若点M是直线上的一个动点，点P是线段上的一个动点．已知，求的最小值．六、解答题（本大题共12分）23.【感知】如图1，在四边形中，，且．求证：．【探究】如图2，在四边形中，，且，点在边的延长线上，连接，以为直角边作等腰直角，过点作，垂足为，连接交于点．求证：．【拓展】如图3，点在四边形内，，且，，过点作交于点，使，延长交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由．

2023-2024学年第一学期期末阶段性学习质量检测初二数学试卷说明∶1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间100分钟．2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，写在试卷上的答案无效．一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.年第届世界大学生运动会在成都举行，如图所示历届大运会会徽是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的概念，寻找对称轴，使得图形两部分折叠后可重合是解答本题的关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此分析每一个选项，只有选项是轴对称图形．【详解】解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：．2.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．【详解】解：A、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C符合题意；D、，故D不符合题意；故选：C．3.如图，将一个三角形剪去一个的内角，剩下图形的内角和是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，熟知四边形内角和为360度是解题的关键．【详解】解：∵剩下的图形是一个四边形，∴剩下图形的内角和是，故选：A．4.根据下列已知条件，能唯一画出的是（）A.，， B.，，C.，， D.，【答案】B【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，根据三角形的三边关系以及确定三角形的条件有、、、、，即可判断．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．【详解】解：A、∵，不能够成三角形．该选项是错误．B、已知两角夹边，即，三角形就确定了．该选项是正确．C、边边角不能确定三角形．该选项是错误．D、一角一边不能确定三角形．该选项是错误．故选：B．5.若，，则的值为（）A.3 B.4 C.12 D.18【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子因式分解为，据此代值计算即可．【详解】解：∵，，∴，故选D．6.两个分式，，其中，则A与B的关系是()A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 D.A大于B【答案】C【解析】【分析】把B化简，化成最简分式，后与A比较判断即可．【详解】因为===，故A与B互为相反数，故选C．【点睛】本题考查了分式的化简，熟练进行通分化简是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.当______时，分式的值为0．【答案】3【解析】【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．【详解】解：∵分式的值为0，∴，∴，∴当时，分式的值为0，故答案；3．8分解因式：________．【答案】【解析】9.已知，则______．【答案】9【解析】【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方的逆运算和代数式求值，先求出，再由幂的乘方的逆运算法则把所求式子变形为，进而由同底数幂乘法计算法则变形得到，据此可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为；9．10.如图，，且，且，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积_______．【答案】50【解析】【分析】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，关键是根据全等三角形的对应边相等解答．由，可以得到，而，由此可以证明，所以；同理证得，故，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．【详解】解：∵且，∴，∴，∴，∴，∴，∴．同理证得得．故，故．故答案为：50．11.如图，△中，，将△沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若，，则______度．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质，设，则，由折叠的性质可得，再根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再由平角的定义可得方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设，则，由折叠的性质可得，∵，∴，∵，，∴，解得，∴，故答案为：．12.在中，，点在线段上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是__________．【答案】或或【解析】【分析】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分三种情形，分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：如图1中，当，时，满足条件．如图2中，当，时，可得，．如图3中，当，时，，，故答案为：或或．三、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）分解因式：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题主要考查了分解因式，解分式方程：（1）直接提取公因式分解因式即可；（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．【详解】解：（1）；（2）去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，检验，当时，，∴是原方程的解．14.化简求值：，并从，0，1中任意选一个数代入求值．【答案】，2【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，注意取值时应先根据分式有意义的条件求出的取值范围．【详解】解：原式∵∴且故当时，原式．15.已知，，求下列式子的值：（1）（2）【答案】（1）15（2）18【解析】【分析】（1）利用完全平方公式将原式变形为，再将，代入求解；（2）利用完全平方公式将原式变形为，再将，代入求解．【小问1详解】解：，将，代入，得：原式；【小问2详解】解：，将，代入，得：原式．【点睛】本题考查完全平方公式、平方差公式、二次根式的混合运算，解题的关键是利用完全平方公式将所给式子进行变形．16.如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度直尺在图①和图②中按要求作图．（1）在图①中，画等腰三角形，使其面积为3（画出一个即可）；（2）在图②中，画等腰直角三角形，使其面积为（画出一个即可）．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定：（1）取格点C，连接，则即为所求；（2）取格点D，连接，则即为所求；【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】解：如图所示，即为所求。17.如图，在中，，，求的度数．【答案】【解析】【分析】本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，，邻补角的求解，根据三角形外角性质可得，结合已知推出，利用三角形内角和即可求出的度数，进行求出的度数，即可求出最后结果．【详解】解：，，，，，，，，．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.如图，于于，若．（1）求证：平分．（2）写出与之间的等量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析（2），理由见解析【解析】【分析】（1）根据，可得，可证明，从而得到，即可；（2）证明，可得，即可．【小问1详解】证明：∵于于，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴平分；【小问2详解】解：，理由如下：在和中，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查的是角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟知到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解答此题的关键．19.第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州开幕．学校准备用1600元购买A，B两种亚运会纪念徽章作为“魅力校园”的活动奖品，已知A种徽章比B种徽章每件多20元．（1）若700元用于购买A种徽章，剩下资金全部购买B种徽章，且购买B种徽章的数量是A种徽章数量的3倍．求A，B两种徽章每件的价格；（2）购买当日恰逢国庆促销，两种徽章均打八折销售，学校临时调整购买方案，在不超过原资金的前提下，准备购买A，B两种徽章共120件．问最多可以购买A种徽章多少件？【答案】（1）A，B两种徽章每件的价格分别为35元，15元（2）最多可以购买A种徽章10件【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：（1）设A种徽章每件价格为x元，则B种徽章每件的价格，根据700元用于购买A种徽章，剩下资金全部购买B种徽章，且购买B种徽章的数量是A种徽章数量的3倍列出方程求解即可；（2）设购买A种徽章m件，则购买B种徽章件，根据总资金不超过1600元累出不等式求解即可．【小问1详解】解：设A种徽章每件的价格为x元，则B种徽章每件的价格由题意得，，解得，经检验，是原方程的解，∴，答：A，B两种徽章每件的价格分别为35元，15元；【小问2详解】解：设购买A种徽章m件，则购买B种徽章件，由题意得，，解得，∴m的最大值为10，答：最多可以购买A种徽章10件．20.定义：若i的平方等于，即，则i叫做虚数单位．我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．复数有如下特点：①它的加减法和乘法运算，与整式的加减法和乘法运算类似，如：；．②若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数为共轭复数．如的共轭复数为．（1）填空：①；②；（2）若是的共轭复数，求的值；（3）已知，求的值．【答案】（1）①5；②（2）1（3）3【解析】【分析】本题主要是考查新定义运算问题及完全平方公式．（1）按照定义及完全平方公式计算即可；（2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可；（3）按照定义计算及的值，再利用完全平方公式的变形得出的值．【小问1详解】解：①；故答案为：5；②；故答案为：；【小问2详解】解：∵，是的共轭复数，∴，∴；【小问3详解】解：∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.【母题呈现】观察图①，用等式表示下图中图形的面积的运算为．【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为．【知识应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则_____．（2）若x满足，求的值．【拓展应用】如图③，四边形中，于点E，，，，若E与的面积和为，则与的面积和为．

【答案】母题呈现：；类比探究：；知识应用：（1）5；（2）3；拓展应用：23【解析】【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用，母题呈现：由题意知，；类比探究：由题意知，；知识应用（1）将，代入，计算求解即可；（2）由题意知，，根据，计算求值即可；拓展应用：由题意知，，，，由，可得，由，，可得，计算求出的值，根据，计算求值即可．【详解】解：母题呈现：由题意知，，故答案为：；类比探究：由题意知，，故答案为：；知识应用：（1）∵，，∴，∴故答案为：5；（2）解：由题意知，，∴，故答案为：3；拓展应用：∵，，，∴，，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案为：．22.如图所示，三个相同的直角三角形拼成一个四边形．（1）写出图1中互相平行线段：、、；（2）如图2，若点M是线段的三等分点，点P是线段上的一个动点，画出取得最小值时点P的位置，并说明理由；（3）如图3，若点M是直线上的一个动点，点P是线段上的一个动点．已知，求的最小值．【答案】（1）；；（2）见解析（3）【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判断，平行线的判定等等，正确利用线段垂直平分线的性质构造辅助线从而确定线段之和取得最小值的情形是解题的关键．（1）根据全等三角形的性质结合平行线的判定定理进行求解即可；（2）如图，延长至点H，使，连接交于点P，点P即为