（新教材适用）高中数学第6章平面向量及其应用64平面向量的应用643余弦定理正弦定理第1课时余弦定理课后习题

第1课时余弦定理课后训练巩固提升一、A组1.在△ABC中,已知a=23,b=9,C=150°,则c等于()A.73 B.83 C.39 D.102解析:由余弦定理,得c2=a2+b22abcosC=12+812×23×9×-32=147.故c=答案:A2.在△ABC中,a=7,b=43,c=13,则△ABC的最小角为()A.π3 B.π6解析:∵a>b>c,∴C为最小角,由余弦定理的推论,得cosC=a又C∈(0,π),∴C=π答案:B3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2acosB=c,则△ABC的形状一定是()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形解析:由余弦定理的推论及2acosB=c,得2a·a2+c2-b22ac故△ABC为等腰三角形.答案:C4.在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cosA等于(A.31010 B.1010 C解析:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D,由题意得BD=AD=13BC,故CD=23BC,AB=23BC,AC=由余弦定理的推论,得cos∠BAC=AB2答案:C5.在△ABC中,若a=b=1,c=3,则C=.

解析:由余弦定理的推论,得cosC=a2+∵0°<C<180°,∴C=120°.答案:120°6.在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=3,则AB等于.

解析:在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=3,设AB=x,由余弦定理,得BC2=AB2+AC22AB·ACcosA,化简得x22x+1=0,解得x=1,即AB=1.答案:17.在△ABC中,若b=1,c=3,A=π6,则a=,sinB=.解析:由余弦定理,得a2=b2+c22bccosA=12+(3)22×1×3cosπ6=1,即a=则a=b,得A=B=π6.故sin答案:118.在△ABC中,已知cos2A2=b+c解:在△ABC中,由已知cos2A2得1+cosA2=根据余弦定理的推论,得b则b2+c2a2=2b2,即a2+b2=c2.故△ABC是直角三角形.9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(ac)2=b234ac(1)求cosB的值;(2)若b=13,且a+c=2b,求ac的值.解:(1)由(ac)2=b234ac,可得a2+c2b2=54则a2+c(2)因为b=13,cosB=58,由余弦定理,得b2=13=a2+c254ac=(a+c)2134ac,又a+c=2b=所以13=52134ac,解得ac=12二、B组1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=ac,且c=2a,则cosB等于()A.14 B.34解析:b2=ac,且c=2a,由余弦定理的推论得cosB=a答案:B2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acosA,则b等于()A.5 B.6 C.7 D.8解析:由题意可设a=b+1,c=b1,b∈N*,且b≥2.∵3b=20acosA,∴3b=20(b+1)·b整理得7b227b40=0,解得b=5.答案:A3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2b2)tanB=3ac,则角B的大小为()A.π6 B.π3解析:∵(a2+c2b2)tanB=3ac,∴a2+c即cosBtanB=32,sinB=3∵B∈(0,π),∴B=π3或B=答案:D4.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=3,c=4,则实数a的取值范围是()A.(1,7) B.(1,5) C.(7,5) D.(3,5)解析:∵b=3,c=4,且△ABC是锐角三角形,∴cosA=b2+c2-a∴7<a2<25,∴7<a<5答案:C5.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若cosA=12,b+c=2a,则△ABC的形状为解析:由余弦定理的推论及cosA=12得b2+c2-a22bc∵b+c=2a,∴a=b+∴b2+c2b+c22=bc,即(bc∴b=c,于是a=b=c.∴△ABC为等边三角形.答案:等边三角形6.在△ABC中,a+b=10,若cosC是方程2x23x2=0的一个根,则△ABC的周长的最小值为.

解析:∵cosC是方程2x23x2=0的一个根,解方程得x=12或x=2(不合题意,舍去).∴cosC=∵0°<C<180°,∴C=120°.又c2=a2+b22abcosC=a2+b2+ab=(a+b)2ab=100ab=100a(10a)=(a5)2+75,当a=5时,c取最小值53,∴△ABC的周长的最小值为10+53答案:10+537.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b+c)(b+ca)=3bc.(1)求角A的大小;(2)若b+c=2a=23,试判断△ABC的形状.解:(1)∵(a+b+c)(b+ca)=3bc,∴a2=b2+c2bc.∵a2=b2+c22bccosA,∴2cosA=1,∴cosA=1∵A∈(0,π),∴A=π(2)在△ABC中,a2=b2+c22bccosA,且a=3,则(3)2=b2+c22bc·12=b2+c2bc∵b+c=23,与①联立,解得bc=3,∴∴b=c=3,于是a=b=c=3,即△ABC为等边三角形.8.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(sinB,1cosB)与向量n=(2,0)的夹角θ的余弦值为1(1)求角B的大小;(2)若b=3,求a+c的取值范围.解:(1)∵m=(sinB,1cosB),n=(2,0),∴m·n=2sinB.又|m|=sin2B+∵0<B<π,∴0<B2<π2,∴sinB2>0,∴而|n|=2,∴cosθ=m·